CCP Physique 2 PC 2012

Thème de l'épreuve Spectroscopie. Métrologie par opposition.
Principaux outils utilisés optique, électrocinétique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2012

PCP2008

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC
____________________

PHYSIQUE 2
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

___________________________________________________________________________________

Les calculatrices sont autorisées
Les deux problèmes sont indépendants.
Leur poids est approximativement 2/3 pour le premier et 1/3 pour le second.

PROBLÈME I
SPECTROSCOPIE
L'étude de la répartition spectrale de la lumière émise par une source ou 
diffusée par les milieux
matériels nécessite un appareillage possédant une forte dispersion associée à 
une bonne luminosité.
Après quelques questions d'ordre général, puis un rappel des propriétés du 
spectroscope à prisme,
on s'intéressera au principe d'un spectromètre à réseau réflecteur, de manière 
à déterminer l'intérêt
de celui-ci.
1) Quelques questions d'ordre général
1.1) Qu'appelle-t-on spectre lumineux ?
1.2) Préciser la bande passante de l' il humain en fonction de la longueur 
d'onde dans le vide puis
en fonction de la fréquence. Indiquer chaque fois la couleur associée aux 
bornes citées.
1.3) Donner une définition concise de la dispersion : quel effet en fonction de 
quel paramètre ?
1/12

Tournez la page S.V.P.

2) Spectroscope à prisme
Avertissement : dans tout le problème, les résultats numériques concernant les 
angles doivent
obligatoirement être exprimés en degrés.

2.1) On considère un prisme en verre dont l'indice évolue en fonction de la 
longueur d'onde
b
suivant la loi de Cauchy n " a ! 2 .
Ce prisme est plongé dans l'air dont l'indice est considéré égal à l'unité. Son 
angle au sommet
mesure A = 60 ° .
Il est éclairé par un pinceau de lumière parallèle blanche, sous une incidence 
i = 60 ° par rapport à
la normale à la face d'entrée du prisme.
La lumière émerge sous un angle #( ) par rapport à la normale à la face de 
sortie du prisme.
Effectuer un dessin du dispositif en précisant de quel côté de la normale (vers 
le sommet ou vers la
base du prisme) il convient de positionner le rayon incident pour éviter toute 
réflexion totale.
Compléter la figure en détaillant tout le trajet suivi par un rayon 
monochromatique.
Définir les angles utiles et les orientations adoptées, puis écrire les 
formules associées du prisme.
Conclure en exprimant sin(#) en fonction de A , i et n exclusivement.

2.2) La longueur d'onde

étant celle du rayonnement incident et son unité étant le nanomètre, les

coefficients de Cauchy sont définis par a " 1,620 et b " (102,2 nm )2 .
Calculer la valeur numérique de l'indice n pour un rayonnement de longueur 
d'onde
correspondant au centre du doublet jaune du mercure.
En déduire la valeur numérique de l'angle d'émergence # .

" 578 nm

Un calcul littéral (non demandé) conduit à l'expression suivante de la 
dispersion angulaire :
Da "

d#
2b
"$ 3
d

sin A
sin 2 i
cos # 1 $ 2
n

Quel sens physique peut-on attribuer à cette grandeur ?
Calculer sa valeur numérique, exprimée en °/%m , pour

.

= 578 nm .

En déduire l'écart angulaire à l'émergence entre les deux raies ( 1 " 577 nm et 
2 " 579 nm) du
doublet du mercure.
Est-il observable à travers une lunette afocale de grossissement égal à 10, par 
un il dont la limite
de résolution (plus petit écart angulaire discernable) est de 1' (une minute 
d'angle) ?

2/12

3) Spectroscope à réseau réflecteur échelette
3.1) Montage goniométrique
Le goniomètre étant l'instrument le mieux adapté à la mesure d'angles, on se 
placera dans le cas de
la figure 1, le réseau réflecteur posé sur la platine.
La lumière, issue d'une lampe spectrale est émise sous forme d'un faisceau 
parallèle grâce à
l'interposition d'un collimateur dont l'orifice d'entrée O est accolé à la 
lampe.
Une lunette de visée, autocollimatrice, permet l'observation à l'infini du 
faisceau réfléchi.
Lunette

Oeil

L3
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
R
xxxxxxxxxx
L2
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx

ur

y

y'
L1

Lampe
spectrale

xxxxxxx

ui

S'

x

F

O

x

x

x

xxxxxxx

x

O'

x'

x

Collimateur
N.B. : Les axes Oz et O'z', non dessinés, sont perpendiculaires au plan de 
figure.

Figure 1
3.1.1) Le collimateur
Confection d'un large faisceau de lumière parallèle, à partir d'une source 
ponctuelle.
Une lentille L1 en verre d'indice n (figures 1 et 2) possède une face d'entrée 
sphérique de centre
O , de sommet S et de rayon R = OS = 3 cm . (Toute donnée N cm sous-entendra 
N,00 cm).
Sa face de sortie est un ellipsoïde de sommet S' , de révolution autour de 
l'axe Ox d'un repère
orthonormé cartésien (O,x,y,z) et dont la coupe axiale dans le plan xOy a pour 
équation :
x $ 2!2 y2
#
" 1 où x et y sont exprimés en cm. On a ainsi OS' = 5 cm .
9
5
y
A
(P)

M
1 cm

R

N

%
O

K

S
1 cm

S'
3

(n)

(1)

x

4
(1)

L1

A'

Figure 2

3/12

Tournez la page S.V.P.

Une source ponctuelle de lumière est située au centre O de la face d'entrée et 
l'on souhaite que tous
les rayons émergents MK soient parallèles à l'axe optique Ox .
3.1.1.a) Déterminer les coordonnées du point A , puis en déduire la valeur " ! 
( Ox, OA) de
l'angle d'ouverture du faisceau incident.
3.1.1.b) Exprimer OM 2 puis écrire la longueur OM sous la forme OM = a x + b .
3.1.1.c) Exprimer la distance MK du point M jusqu'au plan tangent au dioptre de 
sortie.
3.1.1.d) Sachant que la lentille est placée dans l'air, d'indice supposé égal à 
celui du vide, exprimer
le chemin optique L(OMK) et montrer que, pour une valeur particulière de 
l'indice n de la lentille,
ce chemin optique devient indépendant de la position du point M sur la face de 
sortie. Préciser la
valeur numérique de cet indice et la longueur du chemin optique correspondante.
3.1.1.e) Préciser, dans ce cas, la propriété essentielle du plan (P) et 
conclure quant à la forme du
faisceau émergent.
3.1.1.f) Est-il nécessaire de se limiter aux conditions de Gauss pour atteindre 
l'objectif fixé
initialement ?
3.1.2) La lunette
La lunette possède un réticule fixe R , un oculaire assimilable à une lentille 
mobile L3 et un
objectif à tirage réglable, assimilable à une lentille mobile L2 .
Initialement, la position de la lentille L1 reste à ajuster par rapport à 
l'orifice O pour obtenir une
collimation à l'infini. En outre, on veut rendre la lunette afocale pour une 
visée à l'infini.
Pour effectuer ces réglages, on dispose d'un miroir plan auxiliaire que l'on 
peut, lorsque nécessaire,
poser sur le plateau du goniomètre.
Décrire le processus de mise au point en précisant l'ordre chronologique du 
déplacement des trois
lentilles.
3.2) Rediffusion d'une onde plane par des récepteurs ponctuels
Considérons (figure 3) une onde plane se propageant dans le vide avec la 
vitesse c dans le sens
d'un vecteur unitaire ui et admettons qu'à réception par deux points matériels 
O' et M , cette
onde soit déviée instantanément, sans modification de fréquence, dans une 
direction de vecteur
unitaire u r (figure 4). Dans tout ce qui suit, on pourra faire abstraction du 
déphasage au contact
des points considérés en le supposant identique en chacun de ces points.

ui

ur
Hi

ui

Hr

"i

(P i )

"r

M
O'

O'

Figure 3

Figure 4

4/12

ur
M

(Pr )

Le temps de parcours d'un plan d'onde incident (Pi ) à un plan frontal dévié 
(Pr) dépend du trajet
emprunté ; il est égal à O' via O' et à M via M. Démontrer que la différence = 
M ! O' a pour
expression :
#

O ' M .( u i ! u r )
"
.
c

En supposant que, dans le plan (Pr), l'état vibratoire transmis via O' puisse 
être décrit par une
fonction scalaire telle que so (t ) " a o cos($ t ) , en déduire, dans ce même 
plan, la grandeur scalaire

sM ( t ) associée à l'onde qui a transité par M .
3.3) Rediffusion de la lumière reçue par un plan sous incidence normale
3.3.1) Un miroir, contenu dans le plan (y'O'z') d'un repère cartésien 
(O',x',y',z') orthonormé, est
éclairé par un faisceau lumineux monochromatique de longueur d'onde % , en 
incidence normale
selon le vecteur unitaire u i porté par l'axe des abscisses (figure 5).
Comme indiqué sur la figure 1, le repère (O',x',y',z') est disposé selon les 
mêmes bases que celles du
repère (O,x,y,z). Seule l'origine O' diffère de O par translation le long de 
l'axe des abscisses.
On peut imaginer que chaque atome en surface du miroir, excité par le 
rayonnement incident, se
comporte comme une source ponctuelle secondaire cohérente qui rayonne de la 
lumière dans toutes
les directions au-dessus du miroir.
y'

! h/2
+ l/2
y'
ui

M

O'

x'

z'
! l/2
+ h/2
z'

Figure 5

5/12

Tournez la page S.V.P.

On observe le miroir à travers une lunette réglée sur l'infini et orientée pour 
recevoir le
rayonnement lumineux rediffusé uniquement dans une direction de vecteur 
unitaire :
%(r "
u r )
#$ & r !
En caractérisant le rayonnement reçu par la lunette en provenance d'un atome 
situé au point O' par
la grandeur scalaire so ( t ) ) a o cos*, t + , exprimer l'état vibratoire s 
M(x',y',t) du rayonnement issu

% 0"
#
d'un atome situé en un point quelconque M du plan (x'O'y'), tel que : O' M ) # 
y' .
#$ z '!
-

3.3.2) On supposera maintenant (figure 5) que le miroir est réduit à une bande 
métallique de grande
longueur h comprise entre les cotes . h/2 et + h/2 , ayant une fine largeur l 
comprise entre les
ordonnées . l/2 et + l/2 . On dénombre N1 atomes alignés dans le sens des 
ordonnées et N2
atomes alignés dans le sens des cotes.
3.3.2.a) Exprimer le nombre d'atomes dN contenus dans une surface élémentaire 
dS' = dy'.dz' en
fonction de N1 , N2 , l , h , dy' et dz' .
En déduire, sous forme d'une intégrale double, la grandeur scalaire 
caractéristique de l'onde globale
qui atteint le plan (Pr) selon le vecteur u r (figure 4). Développer son 
expression en faisant
apparaître le temps t et les coordonnées y' et z' . Préciser les bornes 
d'intégrations.
Un calcul (non demandé) conduit au résultat suivant :
h1
l1
4
4
S ) N 1 N 2 a o sinc 2 6 & r / sinc 2 6 ' r / cos*, t +
50
50
3
3

où :

sinc ( x) )

sin*x +
.
x

3.3.2.b) Dans l'hypothèse où les dimensions h et l restent très supérieures à 
la longueur d'onde, en
déduire dans quelle unique direction il demeure possible d'observer de la 
lumière dans la lunette.
3.3.2.c) Dans l'hypothèse où seule la longueur h est très supérieure à la 
longueur d'onde, tandis que
la largeur l devient suffisamment fine pour être voisine d'un petit nombre de 
longueurs d'onde,
expliquer pourquoi l'onde lumineuse n'est pratiquement rediffusée que dans le 
plan &r ) 0 .
Simplifier dans ce cas l'expression de l'intégrale S ; situer la position du 
maximum d'intensité puis
les positions correspondant à des zones sombres.
Comment nomme-t-on habituellement ce phénomène ?
3.4) Cas d'un arrangement périodique sous incidence normale
3.4.1) Dans l'hypothèse d'une seule longue bande réfléchissante de largeur 
micrométrique l
Dans ce cas, la lunette doit être maintenue dans le plan (x'O'y') et 
l'amplitude scalaire de l'onde
lumineuse réceptionnée se réduit à :
4
l1
S ) N1 N 2 a o sinc 2 6 ' r / cos*, t + .
50
3
Exprimer l'intensité lumineuse correspondante.
Est-il matériellement possible d'observer le maximum de luminosité 
correspondant à ' r ) 0 ?

6/12

On souhaite faire l'observation d'un rayonnement de longueur d'onde % = 578 nm 
suivant un

angle de réflexion égal à O = 30 ° , de sorte que Br = sin® = 0,5 .

EUR , . . . ,. . , .
En admettant que pour une phase \|1= TE Br î supeneure a TE , les p1cs 
d1ntens1te se srtuent au

. . TE , . .
v01s1nage des valeurs w = (2q+ 1)5 , q etant un entrer non nul, quelle est la 
valeur de cet ent1er q

si l'on souhaite travailler avec une largeur @ de l'ordre de 40 um ?

Les choix effectués sur les valeurs de ® et de EUR conduisent à une valeur de q 
élevée. Quel
inconvénient en résulte-t-il ?

3.4.2) Dans le cas d'un réseau de bandes réfléchissantes parallèles

Un moyen d'augmenter l'intensité
lumineuse consiste à multiplier le
nombre de bandes réfléchissantes,
avec la condition, évidemment,

qu'elles interférent en concordance
de phase.

On arrive ainsi à un dispositif tel
que représenté sur la figure 6.

On éclaire ce système, en incidence @
normale, avec un faisceau de
lumière de longueur d'onde ?» et
l'on s'intéresse à la lumière diffusée
par le plan (O',y',z') suivant la
direction du vecteur unitaire ü,

selon l'angle aigu @ (non orienté)
défini sur la figure.

N.B. : L'axe O'z' , non dessiné, est normal au plan de figure.

Figure 6

3.4.2.a) Exprimer le vecteur &, en fonction de l'angle @ .

--> -->
Lorsque l'on fait subir à la longue bande précédente une translation de vecteur 
T = O'Ol = b

2 _) u u . .
exprimer le déphasage cp = % O'Ol .(u i-- u r) qu1 en résulte pour l'onde 
red1ffusée.

Pour que les ondes réfléchies par toutes les bandes interférent en phase, le 
déphasage doit être tel
que : (p =27£p , p étant un entier relatif non nul.

En déduire une relation [.73] entre les paramètres b, e, @ et p À.

3.4.2.b) L'ordre p étant fixé, une petite variation d de la longueur d'onde 
entraîne une petite
variation d! de la position angulaire du pic considéré. En différentiant membre 
à membre
d!
l'équation " R # obtenue, exprimer la dispersion angulaire D a $
.
d
Justifier la nécessité de choisir un entier p élevé.
3.4.2.c) On fait le choix de b = 40 %m et de p = 64 , tout en conservant ! $ 30 
& et $ 578 nm .
En déduire la valeur numérique correspondante pour le décalage e .
Lors d'une observation à travers la lunette (de grossissement égal à 10), 
déterminer l'écart angulaire
séparant le doublet du mercure ( 1 $ 577 nm et 2 $ 579 nm ) . Comparer au 
résultat obtenu avec
un spectroscope à prisme (question B) et conclure.

PROBLÈME II
MÉTROLOGIE PAR OPPOSITION
La mesure d'une grandeur physique peut se faire de manière directe en observant 
les effets qui
résultent de l'application de cette grandeur. L'inconvénient majeur de ce 
procédé provient du fait
que les lois qui régissent ces effets en fonction de leur cause ne sont pas 
toujours des plus simples.
Un moyen d'échapper à cette difficulté consiste à ramener à son état initial un 
équilibre modifié
sous l'influence de la grandeur à mesurer, en compensant ses effets par une 
action antagoniste plus
facilement mesurable. Le retour à l'équilibre peut se rechercher manuellement 
comme, par
exemple, en déposant des poids dans le plateau d'une balance, l'oeil servant de 
capteur de position
pour le fléau. Il peut aussi être asservi pour plus de confort. Deux exemples 
simples sont étudiés ciaprès, suivis de nombreuses questions indépendantes.
1) Méthode d'opposition pour la mesure d'une f.e.m.
1.1) Mesure directe au voltmètre
P
R
Générateur

'() V

+
E

*

Voltmètre

M

xx

Figurexx
1
Un voltmètre de résistance interne ( est connecté (figure 1) aux bornes d'un 
générateur électrique
modélisable par une source idéale de tension continue E en série avec une 
résistance R . Exprimer
la tension V mesurée par le voltmètre en fonction de E et du rapport R/( .
A quelle condition est-il possible d'affirmer que le voltmètre mesure 
correctement la f.e.m. E du
générateur ? Dans le cas où R = ( =10 M+ , exprimer numériquement le rapport 
V/E ; la mesure
est-elle satisfaisante ?

8/12

1.2) Mesure par opposition avec réglage manuel

Pour mesurer la fem. d'un générateur dont la résistance interne R ne vérifie 
pas la condition
précédente, on peut lui opposer une source électrique de fem. U réglable, de 
résistance interne r
négligeable devant celle du voltmètre (r << p). L'équilibrage est obtenu 
(figure 2.a) en réglant la

tension U jusqu'à ce que le voltmètre incorporé dans le circuit, entre les 
points P+ et P- , mesure
entre ces bornes une tension u nulle.
Quelle relation existe-t--il alors entre U et E ?

, , Alimentation
Generateur ,
reglable
Figure 2.a
Générateur Alimentauon
réglable
Figure 2.b

Dans un deuxième temps (figure 2.b), le générateur est déconnecté et le 
voltmètre est branché
directement aux bornes (P-, M) de l'alimentation auxiliaire ainsi réglée. Il 
mesure maintenant une
tension V.

Exprimer numériquement le nouveau rapport V/E sachant que : r = 50 Q et R = p = 
10 MQ .

Préciser l'erreur relative ainsi commise : 8 = (E--V)/E .

1.3) Mesure a l 'aide d'un montage suiveur à amplificateur opérationnel

On réalise maintenant un montage "suiveur" en câblant le circuit détaillé sur 
la figure 3 (page
suivante) autour d'un amplificateur opérationnel (réel) dessiné dans le cadre 
en pointillés.

Cet amplificateur présente entre ses deux bornes d'entrée une résistance élevée 
p et intègre une
source modélisée par un générateur de tension U , en série avec une résistance 
r .

Si l'on remarque que le circuit schématisé figure 3 est absolument identique à 
celui dessiné sur la
figure 2.a , on peut travailler à partir de cette figure 2.a . Exprimer alors 
la tension différentielle

d'entrée u en fonction de l'écart E--U et du rapport oc = p/(R+p+r).

. . , . , . dU . ,
La source de tens1on U est en fa1t réglé par l'equat10n : U + I È: A u , la 
tens1on u etant celle
. . , , . , . _ , dU
que lon Vient de calculer. Reecnre cette équation sous la forme . U + t -- = u 
E .

dt

Exprimer la valeur asymptotique U vers laquelle tend la réponse U(t) .
A quelle condition sur le gain A le coefficient
pourrait-il être considéré comme rigoureusement
égal à l'unité ?

_
u

r

!

S

+

U

R

A
VS

Générateur
E
M

Figure 3
Toujours dans le cas où r # 50 " , R # ! # 10 M" et sachant que A # 2.105 avec
U %E
calculer la constante de temps $' puis l'écart relatif réellement atteint : & # 
'
.
E

$ # 1 ms ,

2) Réglage de la vitesse de rotation d'un moteur
2.1) Principe
On souhaite régler la vitesse angulaire

" d'un moteur qui tourne en entraînant un aimant
*

permanent devant un bobinage fixe, lequel délivre une tension sinusoïdale : x # 
X cos(" t ) .
En agissant sur la tension d'alimentation du moteur, il devient possible 
d'assujettir cette vitesse "
*

comparativement à la pulsation + d'un oscillateur délivrant une tension : y # Y 
cos(+ t - , ) .
Pour ce faire, on peut composer une tension telle que : v # x

d2 y

d2 x

, puis faire évoluer la
dt 2
dt 2
vitesse " jusqu'à obtenir un signal v nul. Exprimer v puis démontrer que, 
quelles que soient les
*

%y

*

valeurs crêtes X et Y des tensions considérées, on obtient bien v = 0 lorsque " 
# + .
Les opérations conduisant à la détermination de v à partir des tensions x et y 
peuvent être
réalisées à l'aide de montages électroniques ou bien programmées au moyen de 
microprocesseurs.

10/12

2.2) Exemple d'un oscillateur sinusoïdal

C

C

R
R

A

+
R

A

+
z

C

y

Figure 4
Le montage considéré (figure 4) utilise deux amplificateurs opérationnels 
supposés idéaux et
fonctionnant en régime linéaire.
2.2.a) En considérant le premier amplificateur, à gauche sur la figure, 
déterminer la relation entre la
tension y et la dérivée temporelle de z .
2.2.b) En considérant le second amplificateur, à droite sur la figure, 
déterminer la relation entre la
tension z et la dérivée temporelle de y .
2.2.c) En déduire l'équation différentielle qui régit y , exclusivement ; puis 
en donner la solution
générale et déterminer la pulsation
de l'oscillateur.
2.3) Exemple d'un double dérivateur analogique
Par exemple, on peut appliquer une tension x à l'entrée du montage schématisé 
sur la figure 5, en
considérant que les amplificateurs opérationnels sont idéaux et fonctionnent en 
régime linéaire.
En pratique, ces hypothèses restent limitées à des fréquences inférieures à 
quelques kilohertz et la
stabilité du montage exige l'ajout, en série avec chaque condensateur, d'une 
résistance
complémentaire de faible valeur, non dessinée ici. On en fera abstraction.
R

R

C
C
+

A
+
u
x

x

A
vx

Figure 5

Exprimer la tension ux en fonction de R , C et

dx
, puis en déduire la tension vx .
dt

11/12

Tournez la page S.V.P.

2.4) Exemples de multiplicateurs analogiques
2.4.a) Par effet Hall
Un ruban de faible épaisseur (10 m), parallèle au plan xOy d'un repère 
cartésien orthonormé
(figure 6), est parcouru par un courant d'intensité I orienté dans le sens Oy.
Un bobinage (non dessiné) parcouru par un courant I' soumet ce ruban à un champ 
magnétique de
norme B ! k I' , orienté selon Oz.
Des réponses qualitatives sont attendues.
z

Exprimer et dessiner la force magnétique qui agit
sur les charges en mouvement, en supposant
qu'elles soient négatives.
Comment est-il possible de justifier que les
charges restent animées d'un mouvement
uniforme suivant Oy sans être déviées par cette
force ?
Définir en conséquence une grandeur
directement mesurable, proportionnelle au
produit I.I' .

B
1/100 mm
5 mm

I

O

y

x
8 mm

Figure 6

2.4.b) Au moyen de détecteurs quadratiques
Additions et soustractions de tensions peuvent être réalisées à partir de 
montages à amplificateurs
opérationnels. D'autre part, il existe des dispositifs (détecteurs 
quadratiques) faisant intervenir des
composants non linéaires, capables de délivrer en leur sortie une tension 
proportionnelle au carré
d'une tension appliquée à leur entrée.
Il est donc possible d'élaborer ainsi des tensions telles que : w1 ! a x " v y 
2 et w 2 ! a x # v y 2 ,
où a est une constante de proportionnalité dont il est demandé de préciser 
l'unité. Ces tensions
peuvent être appliquées aux entrées du montage représenté figure 7, lequel met 
en uvre un
amplificateur opérationnel fonctionnant en régime linéaire.
Exprimer alors la tension de sortie vs en fonction du produit xvy et conclure.
R
R

w2

$

w1

R

Figure 7

Fin de l'énoncé

12/12

vs

IMPRIMERIE NATIONALE ­ 12 1242 ­ D'après documents fournis

+
R

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 2 PC 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Pierre Fleury (ENS Lyon) ; il a été relu par 
JeanChristophe Tisserand (Professeur en CPGE) et Emmanuel Bourgeois (Professeur 
en
CPGE).

Cette épreuve comporte deux problèmes indépendants.
· Le premier problème (optique) aborde la spectroscopie, d'un point de vue 
essentiellement expérimental. On y compare les performances d'un spectroscope
à prisme et d'un spectroscope à réseau, en termes de résolution. De nombreuses 
thématiques de l'optique géométrique et ondulatoire sont ainsi balayées.
Quelques points techniques nécessitent par ailleurs l'utilisation de méthodes
élémentaires de géométrie analytique.
· Le second problème (électrocinétique), plus court, est construit autour de la 
notion de mesure par opposition. Il est entièrement abordable en première année,
et constitue un bon support de révision en seconde année. Après avoir évoqué
le problème classique des mesures de forces électromotrices, le sujet propose
l'étude de plusieurs circuits électroniques simples pouvant intervenir dans un
dispositif de réglage de la vitesse d'un moteur.
Il s'agit dans l'ensemble d'un sujet de longueur normale, contenant une majorité
de questions sans grande difficulté et proches du cours. On note toutefois 
quelques
exceptions dans le premier problème.

Indications
Problème I
2.1 Utiliser les lois de Descartes pour la réfraction, ainsi que la géométrie du
triangle formé par le sommet du prisme et les points d'entrée et de sortie du
rayon lumineux.
3.1.1.a Caractériser le point A comme l'intersection entre deux figures 
géométriques.
Résoudre le système d'équations associé.
3.1.1.b x est l'abscisse du point M (omission de l'énoncé). Procéder de même 
qu'à la
question précédente.
3.1.1.c Supposer que la portion MK du rayon lumineux est parallèle à l'axe 
optique.
3.1.1.e Quelle est la propriété essentielle d'un plan d'onde ?
3.2 Quelle distance doit parcourir chaque rayon ?
3.3.2.a Exprimer la contribution au signal lumineux d'une portion dS de miroir,
située autour du point M .
3.3.2.b Quelle est l'allure de la fonction x 7 sinc (x), pour  grand devant 
l'unité ?
Problème II
1.2 Penser au pont diviseur de tension.
1.3 Le coefficient µ ne peut pas être rigoureusement égal à l'unité, mais 
seulement
de manière approchée.
2.2.a Introduire les courants des branches portant les condensateurs. Exprimer 
chacun d'entre eux de deux manières différentes, en prenant garde aux 
conventions de signe (récepteur ou générateur) dans les relations 
courant-tension.
2.4.a Quelle est l'allure de la trajectoire d'une particule chargée dans un 
champ
magnétique ? Quel effet cela produit-il sur la distribution globale des charges
au sein du conducteur ? Enfin, comment une telle distribution rétroagit-elle
sur le mouvement des charges ?

I. Spectroscopie
1.

Quelques questions d'ordre général

1.1 Le spectre S() d'un signal lumineux est la répartition de son énergie dans
l'espace des longueurs d'onde dans le vide. Ainsi, dI = S() d représente la
portion d'intensité lumineuse contenue entre les longueurs d'onde  et  + d.
À titre d'exemple, on donne ci-dessous l'allure du spectre de la lumière
émise par une ampoule à incandescence. Il s'agit d'un rayonnement de type
thermique (dit du « corps noir ») causé par l'agitation des atomes constituant
le filament. Ceux-ci rayonnent alors comme des dipôles oscillants.
S() (u.a.)

0 400 800

 (nm)

Le spectre ci-dessus est continu, au sens où toutes les longueurs d'onde situées
dans une large bande y sont présentes. Le spectre d'émission d'une lampe au
sodium, par exemple, est au contraire discret (spectre de raies) : son allure
est très piquée autour de certaines longueurs d'onde bien particulières.
La notion de spectre n'est pas limitée à l'optique. Dans le cadre général
de l'étude et la caractérisation des signaux en physique, on définit ainsi le
spectre d'un signal comme sa densité fréquentielle de puissance.
1.2 En moyenne, l'oeil humain perçoit les signaux lumineux allant de 
l'infrarouge
à l'ultraviolet. Les longueurs d'onde et fréquences concernées sont
800 nm  IR >  > UV  400 nm
375 THz   IR 6  6  UV  750 THz
On rappelle que le lien entre la fréquence  et la longueur d'onde  d'un
signal monochromatique est la célérité c de ce signal, selon  = c/. Dans le
cas d'une onde lumineuse se propageant dans le vide, c = 3,0 · 108 m.s-1 .
Le préfixe T dans THz se lit « téra » et signifie 1012 .
1.3 On dit que la propagation d'une onde est dispersive lorsque sa vitesse de
phase dépend de sa fréquence (ou de sa longueur d'onde).
Une petite confusion pouvait ici gêner le candidat. Il est en effet plusieurs
fois question dans la suite du problème de la dispersion angulaire d'un rayon
lumineux, qui est une notion tout à fait différente.

2.

Spectroscope à prisme

2.1 On représente ci-contre la marche d'un rayon
lumineux à travers le prisme. Le rayon incident
doit provenir du côté base du prisme afin d'éviter
toute réflexion totale lors de la traversée du second
dioptre verre/air. L'application des lois de SnellDescartes aux points I et E 
donne

sin i = n sin r
sin  = n sin 

S
air
i

I

A
C  E
r 

verre

Par ailleurs, dans le triangle SEI, on a
A + (90 - r) + (90 - ) = 180

soit

A=r+

Enfin, l'angle de déviation , non utilisé dans la suite, vérifie
=i+-A
En utilisant les trois premières formules du prisme établies ci-dessus, il vient

d'où

sin  = n sin(A - r)
= n(sin A cos r - cos A sin r)
p
= n sin A 1 - sin2 r - cos A sin i
p
sin  = sin A n2 - sin2 i - cos A sin i

car r  [0,/2]

2.2 L'indice optique du verre est donné par la formule de Cauchy,
n( = 578 nm) = 1,65
En utilisant ce résultat, ainsi que A = i = 60 , dans la formule donnant sin  
établie
à la fin de la question précédente, on obtient
sin  = 0,783
soit

 = 51,6

La dispersion angulaire Da = d/d représente la propension du prisme à séparer
les composantes spectrales du rayon lumineux incident. Au voisinage de  = 578 
nm,
cette quantité vaut
Da = -10,1  /µm
Attention, la valeur de Da obtenue par substitution est en unités S.I., donc
en rad/µm. Il faut convertir les radians en degrés pour obtenir la valeur
demandée.
Les deux raies du doublet jaune du mercure ayant des longueurs d'onde voisines,
on peut estimer leur écart angulaire en sortie du prisme par un développement 
limité
(1 ) - (2 )  Da (1 - 2 )