CCP Physique 2 PC 2011

Thème de l'épreuve Propagation le long d'une ligne électrique. Déconvenues expérimentales.
Principaux outils utilisés électrocinétique, électromagnétisme, onde, optique
Mots clefs câble coaxial, soliton, onde électrique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2011 PCP2008

A

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d énoncé, il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

***

Les deux problèmes sont indépendants.
Leur poids est approximativement 60 % pour le premier et 40 % pour le second.

***

PROBLÈME 1
PROPAGATION LE LONG D'UNE LIGNE ÉLECTRIQUE

- Effets d'échos - Reproduction retardée d'un signal -

Après quelques préliminaires concernant les propriétés électromagnétiques des 
lignes coaxiales, on
s'intéressera, en régime harmonique, au profil de la tension le long d'une 
ligne sans pertes &

constantes réparties. Ceci permettra, en particulier, d 'étudier l'eflet d'écho 
a l'entrée d'une ligne
quart--d'onde court--circuitée en sortie.
On considérera ensuite une ligne a constantes localisées, capable de diminuer 
la vitesse de

propagation des ondes. Une telle ligne, utilisée pour reproduire des signaux 
avec un retard
déterminé, s'avère consécutivement plus courte. Par contre, elle impose des 
limitations quant à la

forme des signaux à transmettre. Son étude sera conduite d'abord en régime 
harmonique, puis en
régime non linéaire favorable à la transmission d 'une onde solitaire.

A) Préliminaires

On s'intéresse (figure 1) à un câble coaxial dont l'âme (A) et la gaine (G) 
sont supposées réalisées
dans un métal conducteur parfait tandis que l'espace qui les sépare est supposé 
occupé par un
diélectrique parfait. Ce câble se présente comme un condensateur cylindrique, 
aligné selon l'axe
(Ox) d'un repère cartésien orthonormé (0, x, y, 2). Sa longueur (H) est 
supposée très grande par
rapport à son rayon extérieur (0). Un générateur de tension dépendante du temps 
est branché à l'une
des extrémités (O) de ce câble, la masse étant reliée à l'armature externe.

V(x,t) V(x+dx,t)

Métal
Isolant
Métal

_
\
< H »

Section droite Coupe axiale
Figure 1

A.1) Capacité du câble par unité de longueur
Si l'on considère que les électrons dans le diélectrique restent élastiquement 
liés aux atomes qui les

contiennent, on peut admettre que, sous l'action d'un champ électrique variable 
de fréquence usuelle
(très inférieure au térahertz), ils s'écartent de leur position d'équilibre sur 
une très faible distance

_) --> -->
& : (s/ne)E proportionnelle au champ électrique E auquel ils sont soumis.

Le nombre d'électrons présents par unité de volume est noté n ; chacun porte la 
charge e . Le

paramètre 8 , caractéristique de l'isolant, correspond à sa permittivité 
électrique.

Les électrons liés oscillent donc avec une vitesse proportionnelle à la dérivée 
temporelle du champ

--) ô_)
existant, telle que : v = -- .
ôt
_)
, ,. , . , . .* ôE
A.1.1) Demontrer qu 11 en resulte une den51te volumique de courant _]D = 8 É .
A.1.2) On peut admettre que la géométrie considérée impose un JÎ
champ électrique radial d'amplitude E(x,r,t) laquelle, désormais, &

sera notée simplement E pour alléger l'écriture.
Ainsi, lorsque les électrons qui sont disposés (figure 2) sur un
cylindre de rayon r et de longueur h supposée très courte,

effectuent un trajet & sous l'effet du champ, ils déplacent au total la

Figure 2

charge Q : ne t contenue dans le volume 1: z 27: r h &

Exprimer cette charge Q en fonction de 8 , h et du produit (r E) .

A.1.3) La charge en mouvement, soit donc l'intensité du courant, se conserve 
d'une armature à

l'autre, quelle que soit la surface traversée. En déduire une propriété 
importante du produit (r E) .

A.1.4) En écrivant le champ sous la forme E =A/r et après avoir précisé le sens 
du terme A ,

a
déterminer la différence de potentiel entre les armatures : V = Va _ Vb = -- IE 
_ dr
r=b

Exprimer V exclusivement en fonction du produit (r E) et du rapport (b/a) .

A.1.5) Déduire des questions précédentes, la capacité du câble par unité de 
longueur : y = QVÆ

Application numérique : Calculer y sachant que b/a = 3,6 et 8 = 20.10_12 F/m .

A.2) Auto-inductance du câble par unité de longueur

A.2.1) Les mouvements électroniques dans l'isolant sont accompagnés, dans les 
armatures, de
courants électromoteurs. L'âme du câble est de ce fait parcourue, selon l'axe 
des abscisses, par un
courant d'intensité l(x,t).

%
Il en résulte, en tout point de l'espace isolant, un champ magnétique B(x,r,t) 
. En préciser la

direction et le sens. Puis, par application du théorème d'Ampère, en déterminer 
l'amplitude B(x,r,t)
laquelle, désormais, sera notée simplement B pour alléger l'écriture. La 
perméabilité magnétique

de l'isolant est donnée égale à celle du vide : u0 .

A.2.2) L'évolution de la différence de potentiel le long de l'axe Ox , d'une 
position (x) à une
ôV

position (x+dx) est telle que : dV = V(x + dx,t) -- V( x, t) = 6_ dx . En 
utilisant la relation obtenue
X
à la question (A. l .4) , exprimer dV sous forme d'une expression dépendant de 
Ê--E .
x

A.2.3) Ecrire la relation de Maxwell-Faraday.

A.2.4) Sachant que cette relation, exprimée en coordonnées cylindriques, dans 
le cadre des

ÔE ôB
hypothèses de ce problème conduit à â_= _â--t , exprimer sous la forme dV =--l 
dx % la
x

différence de potentiel qui apparait sur une longueur de câble dx .

En déduire l'expression de l'auto-inductance EUR du câble par unité de longueur.

Application numérique: Calculer EUR sachant u0 : 471.10_7 H/m .

B) Ligne coaxiale sans perte à constantes réparties

Dans le présent paragraphe (B) , où est développée une étude en régime 
harmonique .' tensions,
courants et impédances seront représentés en notation complexe, la lettre j 
désignant le nombre

complexe de module unité et d'argument TE/2 .

, , . "(nt , , - . , \ ,
Un generateur de tensmn VO eJ , presentant une re51stance interne R0 , est 
branche a l'entree, en
x = 0 , de la ligne précédente. Cette ligne peut être modélisée selon le réseau 
en échelle dessiné sur

la figure 3 , où sont indiquées les impédances complexes des composants 
considérés ; chaque

maillon correspond à une portion de longueur infiniment petite dx .
La tension existant au temps t , au noeud M positionné à l'abscisse x , sera 
symbolisée par le

t . . ,, . , . , -
nombre complexe \_/(x) e" . La tens1on ex1stant au meme mstant t a l'absc1sse 
x+dx s'ecr1ra :
\_/(x +dx) eJoet et celle existant au même moment à l'abscisse x--dx s'écrira 
\_l(x --dx) ej")t .

Dans le développement des calculs, tout comme il est fait sur la figure 3, on 
fera abstraction du
facteur eJoet

X(x-dx) M(x) M(x+dx)
...."oeËdx joeËdx joeËdx ; .'joefldx

Figure 3

B.l) Ecrire, à un instant donné, la loi des noeuds au point M , en termes de 
potentiels, incluant
X(x) , !(x--dx) et X(x+dx) . Simplifier le résultat obtenu en remplaçant 
M(x+dx) et X(x--dx)
par leurs développements de Taylor limités au second ordre.

n
Rappel de la formule de Taylor : f(x +h)= f(X) + Ëh_ nî{î f]

x
X

Montrer alors que X(X) est régi par une équation différentielle du second ordre.

B.2) Sachant que la solution générale de cette équation différentielle peut 
être écrite sous la forme
X( x) = A_ cos (k x)+ & sin(kx) , préciser la valeur et l'unité du paramètre k 
, considéré réel positif.

B.3) En déduire l'expression générale de l'intensité l(x) du courant issu du 
point M et dirigé vers
l'extrémité de la ligne, puis celle de l'impédance L(x)= X(x)/l(x) vue à droite 
de l'abscisse x .

Exprimer la valeur de l'impédance équivalente de la ligne à l'entrée de 
celle--ci : Le = Z(x=0) .

B.4) En réduisant le schéma de la figure 3 à celui de la figure 4 ,
déterminer la tension Xe = \_l(x=0) à l'entrée de la ligne en
fonction de V0 , R0 et Le . En déduire une première relation

entre A et B, puis l'exprimer dans le cas où R0 = 1/E/y .

N.B. : Dans toutes les questions qui suivent, de B.5 à 3.9
incluses, on se limitera au cas où : R0 : «lE/y .

B.5) Cas d 'une terminaison en court-circuit
Lorsque la ligne est court--circuitée en son extrémité, exprimer que X(x=H) = 0 
. En déduire une
deuxième relation entre A et B , puis déterminer ces constantes en fonction des 
données.

Préciser l'expression complète de la tension \_/(x) . Exprimer le module HX(x)H 
de cette tension.

B.6) Déterminer la valeur particulière H...... de la longueur de la ligne, la 
plus courte possible, qui

impose que le courant le , à l'entrée de la ligne, soit nul quelle que soit 
\_/e . Comparer cette
longueur à la longueur d'onde À du signal électrique dans la ligne.

B.7) Si l'on prélève la tension MEUR à l'entrée d'une telle ligne de longueur 
H...... court-circuitée en
x = H..., , certaines pulsations émises par le générateur sont strictement 
coupées. Préciser lesquelles.

B.8) Les données pour un câble coaxial ordinaire sont : y = 100 pF/ m et l = 
0,25 uH/ m.

Calculer la vitesse de propagation V de ces ondes dans le câble. 
Présente-t--elle de la dispersion ?
Les signaux de forme quelconque sont--ils déformés au cours de la propagation '?
Quelle longueur de câble faut--il pour obtenir en sortie, un signal identique à 
celui de l'entrée, avec

un retard de 100 us ? Dans quel sens doit-on modifier les valeurs de y et EUR 
pour réduire cette
longueur ?

B.9) Le générateur délivre, en circuit ouvert, une tension sinusoïdale 
d'amplitude égale à 10 volts.
On branche à sa sortie (Ve) une longueur du câble étudié mesurant H...... = 10 
m , court-circuitée en

son extrémité. Préciser la valeur numérique de R0 . Quelle tension 
mesure--t--on alors entre les
homes du générateur lorsque la fréquence est réglée à 10 MHZ '?
Donner une représentation graphique de ||V(x=0)ll dans l'intervalle de 
fréquences f E [O ; 20 MHZ] .

Distinguer les différentes bandes passantes à -- 3 dB . Préciser les valeurs 
notables des fréquences.

C) Ligne sans perte, à constantes localisées

Avertissement : la finalité du présent paragraphe (C) dépassant le cadre du 
régime harmonique,
la notation complexe ne devra plus être utilisée.

C.l) Conditions de propagation

On considère (figure 5) une ligne électrique M,

en échelle, composée de maillons identiques, V... T) V... V(t-- T)

de longueur E, , composés de condensateurs ' L l(t+ T) ' L ...) '

de capac1te C et d'auto-mductances L. '
Si l'on note V(t) la tension à l'instant t au J(t)

point d'abscisse x , on peut dire qu'il y a i C C

propagation d'une onde électrique avec la \

vitesse v = ê/t dans le sens de l'axe des " x_g x x+ï; >X
abscisses si : F igure 5

a) la tension à l'instant t au point d'abscisse x--ë est en avance d'un temps T 
= â/v et s'écrit V(t+t)

b) la tension à l'instant t au point d'abscisse x+E_, est en retard d'un temps 
"|: = &/v et s'écrit V(t--t).

d
C.1.1) Exprimer la différence de potentiel V(t+t) --V(t) en fonction de L et de 
au" + T)].

C.1.2) Exprimer V(t) --V(t--t) en fonction de L et de %[I(t)] .

C.1.3) Exprimer, à partir de la loi des noeuds, le développement V(t+t) 
+V(t--T) --2V(t) en fonction

d [J...]
dt

potentiels. Ne pas développer le calcul de la dérivée de J(t) afin de conserver 
la généralité de
l'écriture lorsque la capacité C devient dépendante de V(t) , comme présentée 
au @ (C3) .

de L et de ;puis expliciter J(t) en fonction de C et de V(t) et conclure en 
termes de

C.2) Etude en régime linéaire : cas d'un signal harmonique

C.2.1) A partir des résultats obtenus au ê(C. 1 .3), traduire la loi des noeuds 
en termes de potentiels.
Déterminer alors une condition sur la pulsation pour que la forme V(t) = A 
cos(oet) en soit une
solution.

Rappels : cos(a+B)+cos(a-B) = 2 COS(Ot) cos(B) et l--cos( < ) 
			

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 2 PC 2011 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Rémy Hervé (Professeur agrégé à l'université) ; il a 
été
relu par Wahb Ettoumi (ENS Cachan) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet est constitué de deux problèmes indépendants : une étude de la 
propagation des ondes dans un câble coaxial d'une part, une série de petits 
problèmes
expérimentaux d'autre part.
· Le premier problème propose une étude assez complète des ondes pouvant 
évoluer dans un câble coaxial. Après une introduction où sont estimées les 
capacités et inductances linéiques utilisées dans les parties suivantes, on 
entre dans
le coeur du problème avec une modélisation électrique du câble coaxial par 
discrétisation du milieu en cellules élémentaires. Enfin, on conclut avec un 
modèle
électrique expérimental dans lequel le câble coaxial est effectivement remplacé
par une succession de cellules. Si la limite où l'on retrouve le premier modèle
est envisagée, l'objet de cette partie est surtout l'apparition d'ondes solitons
lorsqu'on rend le dispositif non linéaire.
Globalement bien posé et très guidé, ce problème est l'occasion de revenir sur
l'étude du câble coaxial, souvent mal compris, ainsi que de découvrir 
superficiellement la notion de soliton. Attention, une formule fournie par 
l'énoncé à la
fin de la partie C comporte une coquille. La formule corrigée est donnée dans
les indications.
· Le second problème consiste en une succession de petites situations 
expérimentales visant à faire réfléchir sur les limites d'une modélisation 
théorique hâtive.
Portant essentiellement sur des problèmes d'électrocinétique, on y trouve 
également trois petits exercices d'optique très pertinents soulevant des 
difficultés
autour de la notion de rayon lumineux, en particulier dans le cadre de l'optique
ondulatoire.
Sensiblement moins guidé que le premier, ce problème suppose également un
sens physique plus poussé et une meilleure connaissance des limites du cours.
L'ensemble des deux problèmes mobilise des connaissances en électrocinétique,
électromagnétisme et, dans une moindre mesure, en optique. Sans être difficile,
il demande d'avoir un certain recul, notamment pour alterner entre une approche
électrocinétique et une approche électromagnétique du câble coaxial. Par 
conséquent,
il est préférable de le réserver aux séances de révision.

Indications
Problème I
A.1.3 Justifier que la charge Q est indépendante de r.
A.2.1 Utiliser symétries et invariances de la distribution de courant, ainsi 
que la
règle de la main droite, pour déterminer l'orientation du champ.
B.3 Pour déterminer I, utiliser la loi d'Ohm généralisée pour une inductance et
développer V(x + dx) à l'ordre 1.
B.4 Penser à remplacer Ze et Ve par leur expression en fonction de A et B.
B.6 La longueur d'onde de l'onde est  = 2/k.
B.7 La longueur Hmin est fixée par rapport à une pulsation 0 de référence. On
injecte alors une pulsation  différente de 0 .
B.8 La vitesse de phase de l'onde est donnée par v = /k.
B.9 Déterminer d'abord R0 puis la pulsation 0 associée à la distance Hmin par
la condition de la question B.6. Le résultat de la question B.7 permet de
réduire l'analyse.
C.2.1 La première partie de la question n'est pas claire. On peut sans doute se
contenter de traduire l'hypothèse de régime harmonique dans l'équation de
la question C.1.3.
C.2.2 Montrer que  dépend de . La propagation n'est possible que si  est 
inférieur à une valeur critique...
C.3.1.a Une coquille s'est glissée dans la formule proposée. La bonne relation 
est
th ( + ) + th ( - ) - 2 th () = 2 th () th 2 ()

th 2 () - 1
1 - th 2 () th 2 ()

C.3.1.b Attention, dans l'expression de J, il faut remplacer C par .
C.3.1.c L'intégration fait apparaître une constante fixée par l'instant t = 0.
Problème II
1.1 Rappeler l'expression de la puissance dissipée par un conducteur ohmique
soumis à une tension U.
1.4 Déterminer d'abord V numériquement à l'aide de la question précédente.
2.4 Peut-on toujours appliquer le diviseur de tension au pont ? Pourquoi ?
3.1 Il faut supposer que l'A.O. fonctionne en régime linéaire.
3.2.b Existe-t-il un régime stationnaire pour v s autre que la saturation ?
4.3.c Le chemin optique entre deux plans d'onde ne dépend pas du rayon.

I. Propagation le long d'une ligne électrique
A.

Préliminaires

A.1.1 Le déplacement à la vitesse -
v d'une densité volumique n d'électrons portant
chacun une charge e correspond à une densité volumique de courant

-

-

-
D = ne v = ne
t
Les électrons étant élastiquement liés aux noyaux, on peut considérer que la 
densité
volumique d'électrons reste constante. Par conséquent, en utilisant la relation 
liant

-
le déplacement  au champ électrique, on obtient directement

-
E
-

=

D
t

-
Ce petit calcul explique sommairement pourquoi le terme   E /t de l'équation de 
Maxwell-Ampère est qualifié de « courant de déplacement ». Il faut
toutefois prendre garde à une petite manipulation de l'énoncé. Si l'on suit
le raisonnement proposé, le courant de déplacement ne devrait pas exister
dans le vide, puisqu'aucun électron ne peut être mis en mouvement. Toutefois, 
dans ce cas, l'équation de Maxwell-Ampère fait bien apparaître un

-
terme 0  E /t. La manipulation se situe au niveau de la relation liant le
déplacement au champ électrique. La bonne relation est
 e  0 -
-

 =
E
ne

-
E
-

et le courant associé :

=

D
e 0
t
e est la susceptibilité diélectrique du milieu. C'est la somme de ce courant de

-
déplacement électronique et du « courant de déplacement du vide » 0  E /t
qui conduit au courant de déplacement obtenu précédemment :

-

-

-
E
E
E
-

D =  0
+ e  0
=
t
t
t
A.1.2 En utilisant les relations fournies, on a
Q = ne  = 2 nerh = 2 nerh
soit

E
ne

Q = 2 h (rE)

A.1.3 La conservation de la charge en mouvement d'une armature à l'autre se
traduit par le fait que la grandeur Q est indépendante de r. Il en résulte
Q
rE =
= Cte
2 h
Le produit (rE) est indépendant de r.
Le champ électrique étant a priori une fonction de x et de t, le produit (rE)
n'est pas rigoureusement constant : il conserve une dépendance sur x et t.

Q
2 h
D'après la question précédente, A est la grandeur indépendante de r à laquelle 
est
égal le produit (rE). Ainsi,
A.1.4 Posons

A=

A
r

E=
Il en résulte

V=-

Z

a

E dr

r=b
a

=-

Z

A
dr
r=b r

= -A [ln r]ar=b
V = A ln

Enfin, comme A = rE,

(A indépendant de r)

b
a

V = rE ln

b
a

Ce que l'énoncé entend par « le sens du terme A » n'est pas clair. Cette 
grandeur est liée à la densité de charge en mouvement entre le coeur et la 
gaine.
Toutefois, d'un point de vue dimensionnel, ce n'est pas exactement une densité 
de charge en raison du facteur 1/. On a choisi de supposer que donner
l'expression de A en la liant au produit rE était suffisant.
A.1.5 D'après l'ensemble des résultats précédents, on a
=

Par conséquent,

=

Q
2  (rE)
=
hV
rE ln(b/a)

2 
= 9,8 · 10-11 F.m-1
ln(b/a)

A.2.1 On se place dans la base cylindrique (-
er , -
e , -
ex )
centrée sur l'axe du câble coaxial. Supposons que le courant I(x, t), dirigé 
suivant (Ox) et parcourant l'âme du

-
câble, est réparti uniformément dans l'âme. La distriB
I
bution de courant est donc de géométrie cylindrique
d'axe (Ox). Il en résulte qu'un plan contenant l'axe (Ox)
et un point M quelconque est un plan de symétrie de la
distribution de courant. Le champ magnétique étant un
vecteur axial, on en déduit que le champ magnétique en M est orthogonal à ce 
plan

donc suivant -
e .

-

B = B(x, r, , t) -
e
Par ailleurs, en utilisant la règle de la main droite, on obtient

Le champ magnétique est suivant +-
e si le courant I est suivant +-
ex .