CCP Physique 2 PC 2006

Thème de l'épreuve Fibre optique et effet de réverbération
Principaux outils utilisés ondes, milieux diélectriques, optique géométrique et ondulatoire, acoustique, électronique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2006 PCP2009

A

CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées
***

Les deux problèmes sont indépendants.

Leur poids est approximativement 2/3 pour le premier et 1/3 pour le second
***

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance àla clarté, à la 
précision et à la concision
de la rédaction ; si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler 
être une erreur
d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en 
expliquant les raisons

des initiatives qu'il a été amené à prendre.
' ***

PROBLÈME 1 - FIBRE OPTIQUE

Ce problème présente cinq questions indépendantes, bien que d'inégales 
longueurs.

L'accent est notamment mis sur les propriétés des lames quart--d'onde 
antireflet qui, déposées sur
les faces d'entrée et de sortie, conditionnent -- comme dans tout système 
optique - la propagation
d'une onde progressive. Le principe d'un capteur gyroscopique à fibre optique 
sera abordé pour
terminer.

1) Equations de Maxwell et relations de passage
1.1.a) -- Rappeler, en donnant leur nom, les 4 équations de Maxwell dans le 
vide (ni charges ni

courants) caractérisé par sa permittivité diélectrique 30 , et sa 
perméabilité'magnétique % .

1.1.b) - Retrouver l'équation de propagation du champ électrique puis en 
déduire la vitesse de
propagation c des ondes électromagnétiques dans le vide.

1.1.c) - Réécrire l'équation de Maxwell-Ampère dans le cas d'un milieu 
diélectrique linéaire
homogène transparent, caractérisé par une permittivité diélectrique relative 
réelle sr .

1.1.d) -- Définir alors la vitesse de propagation v d'une onde 
électromagnétique dans un tel milieu
en fonction de 8 = 80 Br , 80 et c.

V - Comment appelle - t - on le rapport : ---8-- '?
80

1.2). - Préciser les relations de passage pour le champ électromagnétique, à la 
surface de séparation
entre deux milieux diélectriques, en l'absence de charges et de courants.

1.3) Le champ électrique d'une onde incidente se propage, selon un axe x' x , 
dans un milieu

A

d'indice nl avec la vitesse de propagation VI en conservant une amplitude 
constante E . Il est
défini dans un repère cartésien orthonormé (O,x,y,z) par ses composantes, 
telles que :

O
--> A
Ei : E cosoe{t--£)
vl
()

1.3.a) - Préciser les trois caractéristiques principales de cette onde.

1.3.b) - Rappeler la relation de structure de l'onde plane progressive puis en 
déduire l'expression

--+ ' --+
du champ magnétique Bi associé au champ électrique Ei .

1.3.c) - Démontrer que la puissance moyenne incidente Pi rayonnée par cette 
onde à travers une
surface S perpendiculaire à la direction de propagation est donnée par la 
relation :

n1Ê2
21400

1.4) Cette onde vient frapper en x = 0 la frontière - constituée par le plan 
yOz - avec un second
milieu d'indice , n2 , semi-infini pour x > O et dans lequel elle possède une 
vitesse de

propagation v2 .

Pi = s

----> -->
1.4.a) - En écrivant le champ électrique réfléchi Er et le champ électrique 
transmis Et sous la

forme:
0 0
----> , - X _ _, A X
Br.--_-- pEc05oe[t+--] et E: tEcosoe(t------]
V1 V2
0 0

déduire des relations de passage en x = 0 , une première relation liant entre 
eux les coefficients

de réflexion p et de transmission 1 .

--> -->
1.4.b) -- Exprimer les champs magnétiques Br et Bt associés aux champs 
électriques respectifs

puis, toujours à l'aide des relations de passage, écrire une seconde relation 
reliant les coefficients

de réflexion p et de transmission 't .

=n1--n2 et T: 2n1
111+I12 Il1+112

1.4.c) -- Démontrer alors que : p

1.4.d) - La puissance moyenne réfléchie Pr et la puissance moyenne transmise Pt 
étant définies
dans les mêmes conditions que la puissance moyenne incidente Pi en (1.3.c), 
exprimer le rapport

R = Pr/Pi puis le rapport T = Pt / Pi .

2) Lame antireflet
2.1) - La face d'entrée d'une fibre optique d'indice N = 1,69 est éclairée, en 
incidence normale,

par un faisceau laser en transit dans l'air d'indice n = 1 (Figure 1). Calculer 
la valeur numérique
des coefficients p et 1. En déduire la proportion d'énergie réfléchie par la 
face d'entrée et la
proportion d'énergie transmise à la fibre optique.

Fibre optique

Rayon laser

(Il)

Figure 1

2.2) Une couche mince de cryolithe (Na3 Al F 6) d'indice n' et d'épaisseur D 
égale au quart de
la longueur d'onde À de la lumière dans ce milieu, est déposée sur la face 
d'entrée de la fibre
optique (Figure 2). '

2.2.a) - Quelle relation y a--t--il, pour une onde de fréquence donnée, entre 
sa longueur d'onde X

dans un milieu d'indice n et sa longueur d'onde % dans le vide ?
2.2.b) - Exprimer, en fonction des indices n , n' et N , les coefficients de 
transmission en

amplitude 1:1 , 1:2 , 13 et les coefficients de réflexion en amplitude pl , p2, 
p3 , notés sur la
figure 2. '

SI ' ' S2 .
Air Cryolithe Fibre optique
(n) , (n') .* (N)
fifi E 5 _,
l l
I !
EUR : :
I' . | |
' '
| |
l l
| l
l I
l |
l l
l |
| l
x
o & D--E, D
Figure 2

11 pour la transmission de l'air vers la cryolithe

12 pour la transmission de la cryolithe vers la fibre
13 pour la transmission de la cryolithe vers l'air

pl pour la réflexion "air - cryolithe -- air"

p2 pour la réflexion "cryolithe - fibre -- cryolithe"
p3 pour la réflexion "cryolithe - air - cryolithe"

2.2.c) - Exprimer p3 en fonction de pl .

2.3) Dans ce qui suit, tous les champs électriques seront décrits par leur 
composante
algébrique, nommée E , selon l'axe de polarisation. Leur amplitude, 
indépendante du temps
mais éventuellement complexe, sera notée E tandis que E en désignera le module.

Le champ électrique incident dans l'air à l'abscisse x = 0 sera désigné par Ei .

Il sera représenté en notation complexe par : _E_i(0,t) = .Ê.i ejoet , la 
lettre j désignant le nombre

complexe de module unité et d'argument 1t/2 .

Le champ électrique sortant, défini dans le verre, en x = D = M4 , sera désigné 
par E . '

A l'instant t , au voisinage de la surface S] à l'abscisse & tendant vers zéro, 
un champ
électrique global Ep se propage dans le sens positif de l'axe. Il sera 
représenté, en notation
complexe, sous la forme :

Ep(ë,t)=Ep eJ"°t

Ce champ résulte de la superposition du champ tl E et d'un champ E23 dont la 
valeur est égale
à celle qu'avait Ep à l'instant t--2D/v {précédemment à un aller--retour à la 
vitesse de propagation
v dans la cryolithe), atténuée par deux réflexions successives.

2.3.a) -- En tenant compte du fait que D : Â- , écrire l'expression complexe 
_E_23(ë,t) en fonction

4

de E_p(ë,t) et des coefficients p2 et p3 .

Ei et de E23 puis en déduire _Ê_P en fonction de Êi et des

2.3.b) -- Exprimer _E_p en fonction de
autres données.

2.3.c) -- Exprimer en conséquence le champ globalement réfléchi Er au voisinage 
de l'abscisse

x = 0 puis réduire son expression en fonction des seuls coefficients pl et p2 
et de Ei .
- En déduire une condition entre pl et p2 qui permette d'annuler ce champ.

2.4.a) -- Transposer la relation précédente en fonction des indices n , n' et N 
. Ce résultat serait--

il modifié si l'on intervertissait les indices n et N ?
-- Calculer la valeur numérique de l'indice de la cryolithe qui réalise cette 
condition.

2.4.b) - Quelle est alors la proportion d'énergie transmise à la fibre ?

2.4.c) - La face de sortie de la fibre est revêtue d'une même lame mince de 
cryolithe. Quelle est la
puissance transmise en bout de ligne ? Conclure. Quelle est la valeur du 
coefficient de réflexion

global de l'ensemble constitué par la fibre et les deux couches de cryolithe ?

3) Guidage par une gaine réfléchissante
Une fibre optique d'indice N = 1,69 et dont les faces d'entrée et de sortie ont 
subi le traitement
antireflet décrit précédemment, est étirée (Figure 3) sous forme d'un cylindre 
de révolution

d'axe Ox.

Air (n = 1)

Figure 3

- Démontrer que l'angle de pénétration d'un rayon lumineux dans la fibre 
d'indice N est '
indépendant de la couche d'indice n ', quelle que soit son incidence initiale.

- Cette fibre est'gainée par une couche transparente d'indice N' = 1,30 dont 
l'épaisseur est très
supérieure à la longueur d'onde. Expliquer et justifier la raison pour laquelle 
un rayon lumineux
incident, situé dans un plan méridien et incliné d'un angle @ par rapport à 
l'axe, est conduit le
long de l'axe sans jamais traverser la gaine. Avec le présent choix des 
indices, cette propriété est--

elle vérifiée quel que soit l'angle 9 ou existe--t-il une valeur limite pour 9 ?

4) Face de sortie focalisante _
La fibre étant utilisée en "monomode", c'est-à-dire en lumière paraxiale pour 
éviter les réflexions

multiples, on recherche un profil de sortie (Figure 4) qui fasse converger vers 
un foyer F tout
faisceau de lumière parallèle à l'axe Ox. Le calcul se fera en négligeant 
l'épaisseur de la couche
antireflet. On désignera par S le sommet de la face de sortie et par f = SF la 
distance focale. La

position du point d'émergence M sera repérée à l'aide de ses coordonnées 
polaires r et 9 .

4.1) - On considérera ci--après les chemins optiques mesurés jusqu'au point F , 
à compter d'un
plan d'onde (PO) fixe, positionné en H0 sur l'axe optique, à l'intérieur de la 
fibre. Exprimer alors,

en fonction de f , r , 6 et des indices, la différence (A) entre le chemin 
optique selon un rayon
lumineux passant par le point courant M et le chemin optique relatif au rayon 
particulier

confondu avec l'axe optique.

X

H() | s ' F
(N) (n= 1)

Figure 4

4.2) - Sachant qu'un foyer lumineux est un point où se superposent un grand 
nombre d'ondes en
concordance de phase, traduire cette propriété par une condition relative à la 
différence (A). En
déduire alors l'équation r = g(6) du profil de la face de sortie dans le plan 
de figure. Comment se

nomme cette courbe '?

4.3) - Les fibres optiques utilisées en monomode ont un diamètre très faible, 
de l'ordre de 6 um.
En supposant que la valeur maximalede la distance HM soit égale à 3 pm , en 
déduire la
distance focale f puis la flèche (HS)max de la face de sortie, si l'on souhaite 
que le demi-angle
au sommet du cône de lumière atteignant le foyer F , c'est-à--dire 7c -- 9 , 
ait pour mesure 30°.

5) Mesure d'une variation de vitesse giratoire

5.1) T ous les paramètres introduits ci--après le seront dans le référentiel 
héliocentrique
galiIe'en. On considérera une tige de verre d'indice n et de longueur L en 
mouvement avec la
vitesse V, tout d'abord dans le sens de propagation de la lumière (Figure 5. 
a), puis dans le sens
inverse (Figure 5. b). On considérera que la vitesse V est très petite devant 
la vitesse de la

lumière dans le vide c-- -- 3 108 m. S'1.

5.1.3) - L'expérience montre que pendant le temps t1 de la traversée du verre à 
co-courant (dans
le même sens) la distance AOBI entre le point d'entrée de la lumière et son 
point d'émergence

est parcourue avec la vitesse
c 1
C1 : "'" + V 1 '-- î
n n

Pendant le même temps la tige s'est déplacée sur une distance telle que AoBo = 
V t] .
Exprimer la distance AOB1 en fonction de L et de AOBO puis en déduire t1 en 
fonction des

paramètres L, o, n et V.

0

l
|
|
l

A B() , A1 B1 A0 Bo A1 131
? l ' l
l l !
l l l
| l l

} |
| |
| |
| |
|

| l

| l

I l

. l l
. : 1

c ...}. Instant t : Instant t WC{
: , _ :

l l

! l

' HV ' :-->V |
:. L ,* L___L___,È
: | | |
Figure 5.2! Figure 5.b

5.1.b) - L'expérience montre que pendant le temps t2 de la traversée du verre à 
contre-courant la
distance A1BO entre le point d'entrée de la lumière et son point d'émergence 
est parcourue avec

lavitesse
c 1
c =------V 1----

Pendant le même temps la tige s'est déplacée sur une distance telle que A1B1 = 
V t2 .
Exprimer la distance A1BO en fonction de L et de A1B1 puis en déduire t2 en 
fonction des

paramètres L , c , n et V.

5.1.c) - En effectuant un développement limité au premier ordre en V/(nc) 
exprimer le décalage
temporel At = t1 -- t2 entre les temps de transit dans la tige de verre dans 
l'un et l'autre sens.

- En déduire le déphasage (b qu'auraient deux ondes cohérentes traversant le 
verre en sens
opposés et dont la longueur d'onde dans le vide est donnée par ).0 .

5.2) Un montage astucieux consiste à remplacer la tige de verre par une fibre 
optique d'indice N,
enroulée sur plusieurs tours et refermée de manière à amener en coïncidence les 
points
d'incidence et les points d'émergence précédents. On arrive ainsi à faire 
circuler, en sens inverse
dans la fibre, deux fractions dédoublées d'un même faisceau de lumière 
cohérente. Il suffit alors
de superposer les deux fractions émergentes et de mesurer l'éclairement qui en 
résulte pour en
déduire la vitesse de rotation du système.

5.2.a) - Tout l'ensemble dessiné (figure 6) est en rotation, avec la vitesse 
angulaire Q , autour
d'un axe fixe passant par le point 0 et perpendiculaire au plan de figure. En 
s'inspirant du
dispositif interférométrique de Michelson, préciser la position de la lame 
séparatrice.

Fibre optique de longueur L
(p spires)

Coupleur

Figure 6

5.2.b) - Le capteur est en fait une cellule photosensible qui mesure 
l'éclairement 6 (puissance
moyennée dans le temps, reçue par unité de surface captrice), dû à la 
superposition des deux

ondes émergentes. En supposant que chaque fraction du faisceau possède une même
amplitude Ê , déterminer l'expression de l'éclairement EUR de l'onde résultante 
au point B en

fonction des paramètres po , c , Ê et du déphasagecb . Expliciter ensuite ce 
déphasage en
remplaçant la vitesse V par son expression en fonction du rayon R d'une spire 
et de la vitesse

angulaire Q. Celle-ci devient alors mesurable sous certaines conditions.

5.2.c) - Exprimer la sensibilité |d6 / dQ)| et montrer qu'elle est d'autant 
plus grande que la -

longueur L de la spire est grande, à condition toutefois que le déphasage soit 
optimisé.
- Préciser la valeur du déphasage optimal et celle qui rend ce gyromètre 
"aveugle".

5.2.d) Dans le cas d'un réglage de phase optimal :

- Préciser, en fonction de E , po et c , la valeur particulière 60 de 
l'éclairement défini

précédemment.

-- En supposant que c = 3 108 m.s*1 , Ào = 1,55 um et qu'en moyenne R w 10 cm , 
donner une
estimation de la longueur de fibre et du nombre p de spires nécessaires pour 
mesurer une
variation de vitesse angulaire égale à ôQ = 1 degré par seconde, sachant que la 
limite de

sensibilité pour observer le contraste est telle que 86/ 60 = 5 % .

***

PROBLÈME 11 - EFFET DE RÉVERBÉRATION

Ce problème comporte trois questions indépendantes.

- La première se rapporte à la propagation du son dans l'air.

-- La seconde étudie le phénomène de réverbération qui apparaît lorsqu'à un 
signal sonore
d'origine se superposent plusieurs échos réfléchis sur différents obstacles, 
l'ensemble donnant
une impression de volume caractéristique du lieu d'audition. Pour ce faire, on 
se limitera &
l'étude d'un seul écho - non atténué - additionné à un signal d 'origine 
sinusoi'dal.

- La troisième question concerne un procédé particulier, anciennement utilisé, 
capable de

reproduire artificiellement un écho avec un retard donné.

]) Propagation du son dans l'air
Afin d'étudier la propagation des vibrations acoustiques dans l'air, on peut 
considérer que celui--ci
est enfermé dans un long tube de section S , d'axe horizontal Ox , divisé 
lui-même en un grand

nombre de compartiments de longueur LO renfermant chacun -- au repos - sous la 
pression PO ,
un volume V0 = S LO (Figure 1). Sous l'effet d'une perturbation d'origine 
externe, on peut
imaginer que les cloisons de ces volumes élémentaires subissent au cours du 
temps t des
déplacements ë(x,t) très petits devant LO . Bien que ces cloisons soient 
immatérielles, on peut
attribuer à chacune d'elles toute la masse de gaz m0 contenue dans l'un des 
deux compartiments
plus proches voisins. Leur mouvement peut alors s'étudier sous l'action des 
forces dues aux
surpressions exercées à gauche et à droite, consécutives aux variations de 
volume des deux

cellules plus proches voisines.

Repos

Mouvement

---->--1 u------->4

|
I...
!

lën-1l ën | | ën+l !

Figure 1

1.1) - Calculer à l'instant t , le volume des deux compartiments jouxtant la 
cloison de rang 11
positionnée en xn + fin : VG à gauche et VD -à droite.

1.2) On supposera que la pression P de l'air enfermé dans le volume V obéit àla 
loi de Laplace

que l'on écrira sous la forme :
" Y
V0

1.2.a) - Exprimer le paramètre y en fonction des capacités calorifiques à 
pression et à volume
constant.

1.2.b) - Enoucer les quatre conditions d'application de cette loi. Laquelle 
est--elle justifiée par la
disproportion entre les constantes de temps acoustiques et thermiques '? 
Préciser comment.

- Expliquer pourquoi l'on peut admettre ici que les transformations subies par 
l'air sont réversibles.
1.2.c) - En effectuant un développement limité au premier ordre, exprimer en 
fonction des

paramètres ,y , PO , L0 et des déplacements ëi , la pression PG de l'air dans 
la cellule à gauche de
la cloison de rang Il .

1.2.d) - Dans les mêmes conditions, exprimer la pression PD de l'air dans la 
cellule de droite.
1.2.e) - En déduire la valeur algébrique Fn selon l'axe Ox , de la résultante 
des forces agissant sur

" "

la cloison n

1.3) - Afin d'affiner l'analyse précédente, on peut remplacer le découpage en 
cellules discrètes de

longueur L() par une répartition continue de cellules ayant chacune une 
longueur dx infiniment
petite. Alors, la cellule de rang Il étant positionnée au repos à l'absciSse x 
, on peut, à un instant
donné t, transposer fin en ë(x , t) , transposer E,n__1 en &,(x--dx , t) et 
ân+1 en ë(x+dx , t).
Réécrire, dans ces conditions, la résultante des forces obtenue précédemment en 
"1.2.e" , laquelle
devient alors une fonction continue infinitésimale que l'on écrira an .On 
pourra, par exemple,

simplifier son expression en remplaçant &";(x--dx, t) et ë(x+dx, t) par des 
développements de
Taylor limités au second ordre.

hn ô"f
n! ôxn

X

Rappel de laformule de Taylor f(x+h, t)== f(x, t) + nÎ1_

1.4) - En désignant par no la masse volumique de l'air au repos sous la 
pression PO , écrire en
projection sur l'axe Ox , au temps t , le principe fondamental de la dynamique 
pour la Cloison
affectée de la masse % S dx , qui était positionnée au repos à l'abscisse x . 
En déduire que son
déplacement E,(x , t) est régi par une équation de d'Alembert unidimensionnelle.

1.5.a) - Identifier la vitesse de propagation c du son en fonction des 
paramètres P0 , po et y .
1.5.b) - En faire le calcul numérique sous une pression PO d'une atmosphère 
(1013 hPa) et à
20°C , sachant qu'alors la masse volumique de l'air est égale à 110 = 1,2 
kg.m"3 et que y = 1,4 .
1.5.c) - La vitesse de propagation du son dans le vide est-elle très différente 
de sa vitesse dans
l'air '? Le son se propage--t-il plus vite dans les solides que dans l'air ou 
est-ce le contraire '?

2) Superposition de deux signaux sinusoïdaux identiques, décalés dans le temps

2.1) - Le signal acoustique original peut être converti sous forme d'une 
tension vo(t) et l'écho
obtenu artificiellement au moyen d'une copie vr(t) reproduisant la tension 
vo(t) retardée d'un
temps 't . L'effet de réverbération est alors obtenu en réalisant la somme vS = 
v0 + vr puis en
l'appliquant après amplification à l'entrée d'un haut--parleur. Déterminer en 
fonction de la valeur R
des résistances schématisées Figure 2 , la valeur de la résistance X qui permet 
de réaliser un
montage sommateur à amplificateur opérationnel tel qu'en sortie : vS = V0 + vr .

On supposera que l'amplificateur fonctionne en régime linéaire et qu'il est 
idéal : préciser les
simplifications qui résultent de l'ensemble de ces hypothèses.

Figure 2

/\ A '
2.2) ---- En supposant que vo(t) = V cos tot et que vr(t) : V cos (out -- 't) _ 
exprimer la tension
de sortie vs(t) du montage puis sa valeur efficace VS en fonction de 00 , 't et 
de la valeur
efficace V0 du signal v0(t).

2.3) - Représenter la transmittance T= VS / V0 en fonction de la fréquence.
- Définir l'ensemble des fréquences pour lesquelles la tension de sortie sera 
nulle.
- Situer sur le graphe l'ensemble des bandes passantes définies à -- 3 dB.

2.4) - Quelles sont approximativement les limites de la bande de fréquences 
auxquelles l'oreille

humaine est sensible '? -
- Si l'on souhaitait que toutes les fréquences inférieures à 20 kHz 
appartiennent sans interruption

à une même bande passante définie à -- 3 dB , quelle serait la valeur maximale 
du retard
acceptable ? Ce filtrage-ci privilégierait-il les graves ou les aigus '?

3) Reproduction artificielle électromécanique d'un écho
3.1) - En considérant que le son se propage à raison de 340 m/s, calculer le 
temps de retard

ressenti par l'oreille, pour un son réfléchi qui a parcouru, dans l'air, 17 
mètres de plus que par le
trajet direct.

3.2) -- On peut provoquer artificiellement ce retard grâce à un moyen 
électromécanique, en
construisant des dispositifs (Figures 3.a ou 3.b) dans lesquels les vibrations 
de la membrane d'un
haut--parleur actif (alimenté par un amplificateur) se propagent le long d'un 
ressort à boudins.
Dans le cas de la figure 3.a, le ressort transmet les vibrations à la membrane 
d'un haut--parleur
passif. Dans le cas de la figure 3.b, les vibrations reviennent interférer sur 
l'émetteur après

réflexion sur un obstacle immobile.
Châssis

Figure 3.a . Figure 3.b

On se limitera dans ce qui suit au cas de la Figure 3.a

Afin d'étudier la propagation des vibrations d'un haut--parleur à l'autre, 
connaissant la masse M ,
la longueur L et la raideur K du ressort de liaison, on peut modéliserce 
ressort" selon une
succession de masses dM séparées par des liaisons élastiques identiques (quant 
à elles
dépourvues de masse), de longueur au repos dx et de raideur individuelle k 
(Figure 4). On peut
imaginer que ces masses effectuent, à partir de leurs positions d'équilibre 
respectives x--dx , x et
x+dx , de petites oscillations ê(x--dx , t) , E__(x , t) et ë(x+dx , t) , 
comptées positivement dans le
sens de l'axe Ox .

Exprimer, à l'instant t , la résultante dFe des forces élastiques qui 
s'exercent sur la masse dM
en mouvement autour de l'abscisse x . On pourra - comme en (1.3) - simplifier 
l'expression
obtenue en faisant usage de développements de Taylor limités au second ordre.

'----æ<--------+dxdx}

' dM dM ' dM
Repos WWW--W
k : k } k : k
O+--------------------------*------>x

| .
| |
' |
' |
' |
' |
' |
| .

Mouvement | M......
| : |
Ï------>| %--------»

|
{
-------->|

ël(x -dx ,t) 2';(x,t)l È(x +dxl , t)
Figure 4

3.3.a) -- Un nombre N de ressorts en série, de longueur L0 et raideur k est 
équivalent à un
ressort unique de longueur L = N L() et de raideur globale K : démontrer que K 
= k/N .

- A partir de ce résultat, exprimer k en fonction de K , de L et de dx .

3.3.b) - Ecrire, en projection sur l'axe Ox , le principe fondamental de la 
dynamique qui régit le
déplacement ë(x,t) , abstraction faite des frottements. Simplifier cette 
équation en remplaçant k
par l'expression qui vient d'être trouvée et la masse dM par son expression en 
fonction de M , L
et dx.

3.3.c) -- Faire apparaître une équation de d'Alembert et identifier la vitesse 
de propagation c' des
ébranlements dans le ressort. Montrer que le retard 't de l'onde transmise 
entre les deux haut-

parleurs peut se déduire de la connaissance de K et de M exclusivement.
3.3.d) - En supposant que le ressort ait une raideur globale K = 24 N/m et une 
masse linéique
égale à 2 g/cm , calculer sa longueur L afin de simuler le retard considéré 
plus haut (3.1).

Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 2 PC 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Marc Legendre (Professeur en CPGE) ; il a été relu 
par
Antoine Senger (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).

Ce sujet comporte deux problèmes indépendants. Ces derniers se décomposent
en sous-parties quasiment autonomes qui abordent plusieurs aspects essentiels du
programme de PC.
· Le premier problème propose l'étude détaillée d'une fibre optique. Le début, 
très
proche du cours, s'intéresse à la propagation des ondes dans les diélectriques.
On calcule alors les coefficients de réflexion et de transmission à l'interface
entre deux diélectriques. Le principe de la couche anti-reflet est ensuite 
traité
de manière originale. La partie se termine sur des considérations d'optique
géométrique et ondulatoire avec l'étude de l'interféromètre de Sagnac.
· Le second problème est plus court et aborde tout d'abord un modèle original 
modélisant la propagation du son dans l'air. La simulation du phénomène
d'écho est ensuite réalisée à l'aide d'un montage électronique à amplificateur
opérationnel. Le problème se termine par une étude de la propagation du son
le long de ressorts.
L'ensemble est long mais reste accessible même si certaines questions ne sont 
pas
faciles. Il n'est pas nécessaire de traiter linéairement le sujet puisque les 
huit sousparties peuvent être résolues indépendamment et constituent une série 
d'exercices
de longueur et de difficulté variables. Les candidats ont dès lors intérêt à 
traiter en
priorité les exercices qui leur semblent les plus abordables et à avancer le 
plus possible
dans les problèmes.

Indications

Partie I
1.2 Ne pas donner la relation de passage qui concerne la composante normale du
champ électrique.
1.4.b Remarquer que le champ réfléchi se propage selon --
u pour utiliser la relation
x

de structure.

2.3.a Exprimer Ep (, t - 2D/v) en fonction de Ep (, t).

2.3.c Simplifier à l'aide des relations montrées à la question 2.2.b.
2.4.c Utiliser le principe du retour inverse de la lumière pour traiter le bout 
de ligne
par analogie avec l'entrée.
3 Montrer que la condition de réflexion totale à l'interface fibre-gaine est 
vérifiée
dans le cas  = /2.

4.2 La concordance de phase correspond à une différence de chemin optique nulle.
2
en considérant que
5.2.b Calculer cos t + cos(t - )
hcos ti = 0

et

cos2 t =

1
2

5.2.c Le réglage est optimal lorsque |sin | = 1.
Partie II
1.2.c Si ||  1, (1 + )  1 + .

1.4 Bien remarquer que L0 = dx.

1.5.c Le son se propage-t-il dans le vide ?
2.1 Utiliser le théorème de Millman aux entrées - et +.

2.2 On rappelle que la valeur efficace de la fonction f est
l'indication de la question 5.2.b de la première partie.

p
hf 2 i. Utiliser alors

2.4 La bande passante à -3 dB est l'ensemble des fréquences telles que

T(f ) > Tmax / 2.
3.3.a Utiliser le principe des actions réciproques pour justifier que la force 
de rappel
est constante le long des N ressorts en série. L'allongement du ressort 
équivalent
est la somme des N allongements.

I. Fibre Optique
1.1.a Rappelons les équations de Maxwell dans le vide dans lequel il n'existe ni

-

charges ( = 0), ni courants (-
 = 0 ).

div

div

-

E =0

-
B =0

-

B
- -

rot E = -

t

-

-

-

 rot B = µ0 0  E
t

Maxwell-Gauss
Maxwell-flux
Maxwell-Faraday
Maxwell-Ampère

1.1.b Les formules d'analyse vectorielle donnent
 --

-

-

-
- - -
rot rot E = grad (div E ) -  E = - E

Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday

-

- - -
-  B
rot rot E = - rot
t
En dérivant l'équation de Maxwell-Ampère par rapport à t et en permutant 
dérivées
temporelle et spatiale, on obtient alors

-
-

2 E
 E =  0 µ0 2
t
Le champ électrique obéit à l'équation de d'Alembert tridimensionnelle avec
1
c= 
 0 µ0
1.1.c Dans un diélectrique linéaire homogène et transparent de permittivité 
relative r , l'équation de Maxwell-Ampère s'écrit

-
-
E
- 
rot B = µ0 r 0
t
1.1.d On obtient, en raisonnant comme à la question I.1.b, l'équation de 
propagation du champ électrique

-

-
2 E
 E =  0  r µ0 2
t
C'est une équation de d'Alembert avec une vitesse de propagation
1
c
v= 
=p
 0  r µ0
/0

La vitesse de
p propagation est telle que v = c/n où n est l'indice optique du milieu.
Le rapport /0 est donc l'indice optique du milieu.

1.2 En l'absence de courants surfaciques, les relations de passage à la surface 
de
séparation entre deux diélectriques s'écrivent pour la composante tangentielle 
du
champ électrique et pour le champ magnétique
-

-
E T2 = E T1

et

-
 -

B2 = B1

L'énoncé indique qu'il n'y a ni charges, ni courants ; il s'agit bien sûr de
charges et de courants non liés. Des courants et charges de polarisation sont
a priori présents.
Seule la relation de passage concernant les composantes tangentielles du
champ électrique est au programme de PC dans l'étude des diélectriques. La
relation concernant les composantes normales est hors programme. Pour 
information, elle s'écrit

-

-
1 EN1 = 2 E N2

1.3.a L'onde est
· plane puisque le champ est uniforme dans tout plan perpendiculaire à la 
direction de propagation x ;
· progressive et se propage selon les x croissants car le signal est de la forme
f (t - x/v1 ) ;
· harmonique puisque la fonction f est sinusoïdale.

Rappelons que l'onde se propage vers les x croissants car le signal f (x, t) en
un point x à l'instant t est identique à f (x + x, t + t) en x = v1 t car

x + x
x
f t + t -
=f t-
v1
v1

1.3.b La relation de structure caractérisant la propagation d'une onde plane 
progressive selon -
u
x dans un milieu transparent d'indice n1 est

-

-
-
-

n1 -
ux  E
u
x E
B =
=
c
v1

Rappelons qu'on retrouve rapidement cette relation de structure en écrivant
en notation complexe l'équation de Maxwell-Faraday.
Le champ magnétique est donc

b
-

E
x
-

Bi =
cos  t -
u
z
v1
v1