CCP Physique 2 PC 2005

Thème de l'épreuve Filtrage optique – effets chromatiques. Table à induction.
Principaux outils utilisés optique géométrique et ondulatoire, électromagnétisme, induction

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2005 , PCP2009

A

CONCOURS (OMMUNS POlYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices est autorisée. Les deux problèmes sont 
indépendants.
Leur poids est approximativement 55% pour le premier et 45% pour le second.
***
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la
concision de la rédaction ; si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui 
sembler être une
erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa 
composition en expliquant

les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
***

PROBLEME I : F ILTRAGE OPTIQUE - EFFETS CHROMATIQUES

L'observation d'un objet exposé à la lumière du jour est révélatrice d'une 
multitude de
phénomènes physiques liés aux propriétés intrinsèques de la matière qui le 
constitue,
conjointement à son état de surface et à sa géométrie.

En particulier, la redistribution de la lumière incidente après absorption 
sélective ou diffusion
sélective, la dispersion ou encore le filtrage interférentiel peuvent générer 
des effets de couleurs
liés aux bandes passantes du système optique.

Le présent problème, qui se compose de trois parties indépendantes, porte l 
'accent sur quelques
exemples choisis afin d'illustrer tour à tour chacun des phénomènes cités.

A) Redistribution sélective de la lumière par la matière.

Lors de l'impact de la lumière sur un objet quelconque, on peut considérer 
globalement qu'une
unité de puissance du rayonnement incident se divise en quatre fractions 
dépendant en général
de la longueur d'onde % : RO») par réflexion spéculaire (comme sur un miroir), 
D(À) par
réflexion diffuse (diffusion), A(À) par absorption et T(À) par transmission, de 
sorte que :

R... + D(k) + A(k) + T0») = 1

- La partie absorbée est en général convertie sous une forme d'énergie non 
visible : thermique,
électrique, chimique, biologique ; chez les végétaux, elle actionne le 
processus de
photosynthèse.

A.]. - Une bonne réflexion spéculaire nécessite un bon poli optique. En 
estimant que pour
réaliser un tel poli, les aspérités superficielles doivent être, pour le moins, 
inférieures au dixième
de la longueur d'onde la plus courte, quelle doit être - dans le domaine 
visible - la dimension
maximale de ces aspérités ?

A.2. - Quel est l'aspect visuel d'un objet parfaitement absorbant pour toutes 
les longueurs
d'onde '? Une plante verte utilise-t--elle l'intégralité des radiations vertes 
dans son
développement ?

A.3. - Un tissu bleu est examiné à la lumière d'un néon ne contenant pas de 
radiations bleues.
Décrire son apparence visuelle. Justifier la réponse.

A.4. - Le modèle de l'électron élastiquement lié, excité par une onde lumineuse 
plane,
progressive, harmonique, appliqué aux particules présentes dans l'atmosphère 
terrestre, permet
de montrer que le flux lumineux diffusé eSt proportionnel à la puissance quatre 
de la fréquence
de l'onde. Expliquer alors la couleur bleue du ciel et la couleur rouge du 
soleil couchant.

- Quel est l'aspect visuel du ciel, observé hors atmosphère, à bord d'un 
satellite ?

B) Dispersion de la lumière solaire lors d'un arc--en-ciel
B.]. -- Préciser exactement ce que l'on entend par dispersion.

B.2. - Questions préliminaires.

a) Rappeler les lois de Descartes pour la réfraction d'un rayon lumineux 
passant de l'air (milieu
d'indice unité) vers un milieu d'indice 11. On fera un schéma en notant i 
l'angle d'incidence et
r l'angle de réfraction. Exprimer la dérivée dr/ d1 exclusivement en fonction 
de l'indice n et du
sinus (sin i) de l'angle d'incidence.

b) Exprimer, en fonction de i et de r, la valeur de la déviation du rayon 
lumineux, définie par
l'angle entre la direction incidente et la direction émergente, orientées dans 
le sens de
propagation.

c) Exprimer ausSi, à l'appui d'un schéma, la déviation d'un rayon lumineux dans 
le cas d'une
réflexion.

Dans l'ensemble de ce problème, tous les angles seront considérés en valeur 
arithmétique,
c'est--à-dire réels positifs. Leurs valeurs numériques seront à exprimer 
obligatoirement en
degrés décimaux.

B.3. - Lorsque le soleil illumine un rideau de pluie, on peut admettre que 
chaque goutte d'eau se
comporte comme une sphère réceptionnant un faisceau de rayons parallèles entre 
eux.

Dans tout ce qui suit, on considérera que l'observation est faite par un oeil 
accommodant à
] 'infini, c'est--à--dîre assimilable à une lentille convergente (cristallin) 
capable de focaliser sur un
écran (rétine) tout faisceau de lumière parallèle issu d'une goutte d'eau.

On recherche, dans un premier temps, les conditions pour que la lumière 
émergente, issue d'une
goutte d'eau, se présente sous forme d'un faisceau de lumière parallèle. Pour 
cela on fait
intervenir l'angle de déviation D de la lumière à travers la goutte d'eau, 
mesuré entre le rayon
émergent et le rayon incident. Cet angle de déviation D est une fonction de 
l'angle d'incidence i.
Exprimer la condition de parallélisme des rayons émergents en la traduisant 
mathématiquement
au moyen de la dérivée dD/di.

B.4. - Une goutte d'eau quelconque, représentée par une sphère de centre O et 
de rayon R, est
atteinte par la lumière solaire sous des incidences variables, comprises entre 
0° et 90°. Son
indice, pour une radiation donnée, sera noté n tandis que celui de l'air sera 
pris égal à l'unité.

Fig. 1

Dans chacun des trois cas suivants,

B.4.1. -- Lumière directement transmise (Figure 1),

B.4.2. -- Lumière transmise après une réflexion partielle à l'intérieur de la 
goutte (Figure 2),
B.4.3. - Lumière transmise après deux réflexions partielles à l'intérieur de la 
goutte (Figure 3),
répondre successivement aux questions a, b, c, ci--après :

Fig. 3

Tournez la page S.V.P.

a) - Exprimer en fonction de l'angle d'incidence i ou de l'angle de réfraction 
r , tous les angles
marqués de lettres grecques.

b) - En déduire l'angle de déviation D propre à chaque cas, en fonction de i et 
de r .

c) - Rechercher ensuite, si elle existe, une condition d'émergence d'un 
faisceau parallèle,
exprimée par une relation entre le sinus (sin i) de l'angle d'incidence et 
l'indice n de l'eau.

B.5. - Le soleil étant supposé très bas sur l'horizon, normal au dos d'un 
observateur, montrer que
celui-ci ne pourra observer la lumière transmise que si la goutte d'eau se 
trouve sur deux cônes
d'axes confondus avec la direction solaire et de demi--angles au sommet 62 = 
180° -- D2
(justification de l'arc primaire) et 93 = D3 ---- 180° (justification de l'arc 
secondaire).

B.6. -- Les angles 92 et 63 dépendant de l'indice n de l'eau, on observe un 
phénomène d'irisation
dû au fait que cet indice évolue en fonction de la longueur d'onde. Calculer 
ces angles pour le
rouge et le violet, sachant que pour le rouge l'indice vaut 1,3317 tandis que 
pour le violet il est
égal à 1,3448. _

- En admettant .que l'observateur se trouve face à un rideau de pluie, dessiner 
la figure qui
apparaît dans son plan d'observation en notant la position respective des 
rouges et des violets.

B.7. - Interférences

Les directions angulaires D2 et D3 sont celles d'un étroit faisceau émergent de 
lumière parallèle
où, dans tout plan d'onde, tous les rayons lumineux présentent entre eux une 
différence de
marche nulle. On peut aussi rencontrer des rayons qui, arrivés sous des 
incidences différentes,
émergent dans une même direction DX en présentant entre eux, dans tout plan 
d'onde, une
différence de phase multiple entier de la longueur d'onde. Il devient alors 
possible d'observer un
phénomène d'interférences responsable d'arcs dits "surnuméraires".

B.7.]. Dans le cas d'une seule réflexion partielle à l'intérieur de la goutte 
d'eau (Figures 2 et 4) :

a) Justifier que les plans (P1) et (P2) tangents àla sphère (Figure 4) sont des 
plans d'onde.

b) Calculer le chemin optique entre ces deux plans en fonction de n , i , r et 
R.

c) On considère deux rayons incidents parallèles arrivant sur la goutte d'eau 
avec deux
incidences caractérisées par les angles il et i2 . Montrer que, pour obtenir 
une même déviation
(DZ sur la figure 2) pour ces deux rayons, il faut que la différence des angles 
d'incidence i2 ---- il
soit proportionnelle à la différence des angles de réfraction correspondants r2 
-- r1 . Déterminer
la constante de proportionnalité.

(1) Quelle doit être la différence de marche entre ces deux rayons pour qu'ils 
donnent une

interférence constructive '?

B.7.2. Dans le cadre d'une expérience ayant permis de visualiser la frange 
d'interférences
d'ordre 2, des calculs effectués à l'ordinateur ont donné i2 = 67,98° et il = 
50,l3° avec une
radiation rouge pour laquelle l'indice est égal à n = 1,33 17.

a) Vérifier la condition B.7. 1. (c).
b) Où est localisée cette frange pour un observateur du phénomène situé à 
grande distance ?

c) Sachant que la longueur d'onde utilisée est X = 0,75 mn en déduire le 
diamètre d'une goutte
d'eau.

C) Filtrage interférentiel au moyen de lames minces

La couleur des ailes de papillons est due à un phénomène de réflexions sur un 
empilement de
lames de chitine séparées par des couches d'air, toutes épaisseurs étant 
voisines des longueurs
d'ondes du spectre visible. De la même manière, la minceur des parois d'une 
bulle de savon est
responsable de phénomènes d'irisation. Pour simplifier les calculs dans les 
questions qui suivent,
on ne considérera que la transmission à travers une seule lame de verre à faces 
parallèles,
d'épaisseur microscopique, plongée dans l'air. En outre les calculs ne seront 
développés qu'en
incidence normale pour des ondes électromagnétiques planes, lesquelles sont 
donc à champs
transversaux, parallèles aux faces de la lame.

C.]. -- Question préliminaire : Une onde de lumière supposée plane, progressive,
monochromatique (OPPM), à polarisation rectiligne, se déplace dans un milieu 
transparent
d'indice n, avec une vitesse v orientée suivant l'axe des abscisses Ox. En 
représentant par Ê
l'amplitude du champ électrique, 8 l'aire traversée normalement à l'axe des 
abscisses et no la
perméabilité du vide, démontrer que la puissance moyenne transportée par cette 
onde est égale à

A2

_ E
2uov

P S

C.2. - On considère une lame à faces parallèles, d'épaisseur D, en verre 
d'indice n, dont le
pouvoir réflecteur a été accru sur ses deux faces au moyen d'une couche 
métallique très mince.
Plongée dans l'air, elle reçoit sur l'une de ses faces (81), sous incidence 
normale, une OPPM à
polarisation rectiligne se propageant selon l'axe Ox (Figure 5).

Dans ce qui suit, tous les champs électriques seront décrits par leur 
composante algébrique (E)
selon l'axe de polarisation (non dessiné). Leur amplitude, indépendante du 
temps mais
éventuellement complexe, sera notée Ê tandis que E en désignera le module.

Le champ électrique qui a pénétré à l'intérieur du verre, à l'abscisse x = O, 
immédiatement après
la traversée de la paroi SI sera désigné par EEUR .
Il sera représenté en notation complexe (la lettre i désignant le nombre 
imaginaire unité) par :

Ee(0>t) : Êe eÎOEt

Le champ électrique sortant, défini dans le verre, en x = D, immédiatement 
avant de flanchir la
paroi 82 sera désigné par ES .

Pour ne pas avoir à considérer ici les problèmes d'absorption dans les couches 
métalliques, on
s'intéressera uniquement au rapport de transmission en intensité, interne au 
verre .'

Er Dépôt métallique

/ mince

0 8 Fig. 5 D"8 D

A l'instant t, au voisinage de la surface SI à l'abscisse 8 tendant vers zéro, 
un champ électrique
global Ep se propage dans le sens positif de l'axe. Il sera représenté, en 
notation complexe, sous
la forme :

Ep(8at) : Êp eioet

Ce champrésulte de la superposition du champ Be et d'un champ Err dont la 
valeur est égale à

celle qu'avait Ep à l'instant t--2D/v (précédemment à un aller--retour à la 
vitesse v), atténuée par

deux réflexions successives symétriques.

a) Ecrire l'expression complexe E (EUR,t) sachant que le produit des deux 
coefficients de

--I'I'
réflexion en amplitude successifs est égal au coefficient de réflexion en 
intensité R tel que :

, 2 Ê2 , 2
IΣ=R ,'2'=R et 1ÎÊ=1--R

Ep Er Ep
La dernière égalité résulte de l'hypothèse que, dans le verre même, 
l'absorption est négligeable.

b) Exprimer E_p en fonction de _E_@ et de En puis en déduire Ê_P en fonction de 
E_e et des
autres données.

*2
Ep 1

A2 =--------------------
EC l+R2--2RCOS(ZOEDJ
v

C.3. - Déterminer en conséquence le rapport de transmission en intensité r 
interne au verre
puis, 7»0 désignant la longueur d'onde incidente dans l'air, l'exprimer en 
fonction de R et du
paramètre u = ko/ D .

- Exprimer 1: en fonction de u et de coefficients numériques, dans le cas d'une 
lame de verre
particulière, argentée sur ses deux faces où R = 0,9 .

L'indice du verre sera pris égal à n = 1,5 tandis que l'indice de l'air sera 
considéré égal à l'unité.

c) Démontrer que:

C.4. - Le tracé de la courbe représentant la fonction 1: (u) est donné, figure 
6, dans l'intervalle
0,4 < u < 4 . Préciser l'amplitude des pics numérotés de 1 à 7 et leur position 
exacte.

' 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0

C.5. - A l'aide des curseurs d'un calculateur, on a mesuré la bande passante Au 
à mi-hauteur
pour chacun des pics et dressé le tableau ci--dessous :

___--___"

On cherche à déterminer une épaisseur de lame D capable de privilégier la 
transmission d'une
radiation verte de longueur d'onde, dans le vide, égale à XO = 530 nm, avec une 
résolution au
moins égale à AK = D.Au = 3 nm. Calculer la valeur numérique de cette épaisseur.

Fin du premier énoncé

PROBLEME Il - TABLE A INDUCTION

- Le chauflage du fond métallique (plaque circulaire) des récipients de cuisson 
peut être
directement réalisé au moyen de courants de Foucault induits par un champ 
magnétique

variable.
- Loge' dans une table en céramique, un bobinage (inducteur) alimenté en 
courant sinusoïdal

génère ce champ. Le transfert d'énergie électrique s'effectue par induction 
mutuelle entre ce
bobinage et la plaque circulaire assimilable à une spire unique fermée sur 
elle-même.

- Dans le domaine de la cuisson, il s'agit de créer une forte dissipation Joule 
dans le fond des
récipients tout en limitant au plus bas l'échauffement de l'inducteur. Pour 
atteindre cet objectif
un choix s'impose quant aux propriétés du métal à chauffer.

Avertissements :

a) Ce problème conduit à comparer le comportement d'un fond en acier magnétique 
à celui d'un
fond en acier magnétique, cependant aucune connaissance des milieux magnétiques 
n'est
nécessaire. Les comparaisons seront abordées tout simplement en utilisant les 
valeurs des
perméabilités magnétiques relatives ur données ci-après, sachant que la 
perméabilité magnétique
du vide uo = 47t 10"7 H.m"1 doit être systématiquement remplacée par la 
perméabilité
magnétique absolue du métal : u = no * uT

b) On tiendra compte aussi du fait que la conductivité électrique y des deux 
métaux considérés
n'est pas la même. Les données sont :

- pour l'acier amagnétique : "7 = 1 et y = 106 S.m'1

- pour l'acier magnétique : uT = 350 et y = 5. 106 S.m"1

c) La permittivité du vide sera prise égale à 80 = 1/(36n 109) F .m"1

_)
d) L'express1on donnée c1-après du laplac1en vectonel d'un vecteur _] , pourra 
être utilisée sans

démonstration :
--:> --> -:> --> ---> -.>
A] : grad {div Jil--rot [rot ]]

e) On désignera par i le nombre complexe de module unité et d'argument n/2 et à 
toute
grandeur harmonique de pulsation co : a(M,t) = a(M) cos[oet + (b(M)] on 
associera le
nombre complexe a(M,t) = A(M) exp[i (Dt] où _A_(M) représente l'amplitude 
complexe
A(M) = a(M) eXp[i ®(M)l--

]) Courants de Foucault - Effet de peau.

...)
Un 1nducteur alimenté par un courant 11 génère un champ magnét1que B smusoïdal 
de fréquence

compatible avec l'approximation des régimes quasi stationnaires (A.R.Q.S.). Ce 
champ est
globalement orienté suivant un axe Oz (Figure 1) autour duquel il conserve une 
symétrie de
révolution. Il agit sur un disque métallique coaxial dont la face en regard 
vers l'inducteur est

centrée en O.

inducteur
[Fig. 1]

1.1 - Exprimer la loi qui permet de prévoir globalement le sens de rotation des 
courants induits
dans la plaque circulaire. Préciser celui--ci. Quelle est la fréquence des 
courants induits '?

1.2 - Pour modéliser ces courants, on recherche une solution conforme aux 
équations de
Maxwell et compatible avec l'hypothèse de charges mobiles entraînées en 
rotation autour de
l'axe Oz, avec une vitesse angulaire Q(z), uniforme dans chaque section droite 
de la plaque
circulaire.

Toute l'étude se fera en coordonnées cartésiennes dans le référentiel 
orthonormé Oxyz, l'axe Oy
non représenté sur la figure 1 étant orienté normalement au plan du dessin, 
vers l'arrière.

_)
1.2.1. Exprimer la vitesse linéaire v des charges électriques en un point 
M(x,y,z) du disque, sous

--+ -+
forme d'un produit vectoriel fonction du rayon vecteur OM et du vecteur axial Q 
(2) représentant

la vitesse de rotation, orienté selon Oz.

_)
1.2.2. En déduire les composantes jx et jy de la densité de courant j en 
fonction du nombre n

de charges élémentaires e mobiles par unité de volume, de la vitesse angulaire 
Q(z) et des
coordonnées du point M.
(3le 62jx ôij et 62jY

ÔX23 ôy2' ÔX2 ôy2

1.2.3. Calculer les dérivées partielles:

1.3 -- Equations de Maxwell
1.3.1. Exprimer la loi d'0hm locale pour un métal de conductivité y.
1.3.2. Ecrire les équations de Maxwell pour un métal de perméabilité absolue u.

1.3.3. A partir de ces équations de Maxwell, retrouver l'équation locale de 
conservation de la
charge.

1.3.4. Si les conditions initiales étaient telles qu'une densité volumique de 
charges p0 soit
présente à l'instant t = 0 , montrer qu'elle disparaîtrait en un temps très 
court. Evaluer ce temps et
conclure qu'en régime établi, le conducteur reste globalement neutre en tout 
point de son
volume. Donner l'expression simplifiée de l'équation de Maxwell-Gauss.

1.3.5. Montrer que, lorsque la fréquence imposée est égale à 25 kHz, les 
courants de
déplacement sont tout à fait négligeables devant les courants de conduction. 
Dans ce cas, donner
l'expression simplifiée de l'équation de Maxwell-Ampère.

1.3.6. Réécrire les équations de Maxwell ainsi obtenues, en utilisant la 
notation complexe pour
les dérivations en fonction du temps. En déduire une relation exprimant la 
proportionnalité entre

--> --->
la densité de courant j et son laplacien vectoriel A j .

1.4 - On recherche pour les composantes jX et jy de la densité volumique de 
courant, des
expressions complexes qui puissent s'écrire : lx(z) exp[i co t] et ly(z) exp[i 
03 t].
Monter alors, en utilisant les résultats obtenus en 1.2.3, que ces expressions 
sont régies par des

équations différentielles de la forme :

dz--2X = f(_J_X) [1] et Îzäy_ : fig) [2]

1.5 - Résoudre ces équations et écrire l'expression générale des amplitudes 
complexes lx et _J_y
en faisant apparaître, dans chaque cas, les deux constantes d'intégration.

1.6 - Introduire une grandeur ô homogène à une longueur et caractéristique de 
l'atténuation
suivant l'axe Oz. Quel nom donne--t-on habituellement à cette grandeur ? 
Montrer qu'elle peut
s'écrire :
503,3
5 ...

"WJ--Îf'

1.7 - L'inducteur est alimenté par un générateur délivrant une fréquence f = 25 
kHz.

La plaque a une épaisseur égale à 1 cm.

a) Calculer la profondeur de pénétration des courants dans les deux cas, acier 
amagnétique puis
acier magnétique, compte tenu des valeurs numériques données en début de 
problème.

b) Justifier que, malgré la petitesse de son épaisseur, l'on puisse considérer 
la plaque comme
illimitée en 2.

c) Simplifier alors les expressions de lx et de ly .

..)
1.8 - Donner en notation réelle l'expression de la norme du vecteur densité de 
courant j (2).
On désignera par J 0 son amplitude en z = O .

2) Transfert d'énergie électrique par mutuelle induction
2.1 Caractérisation de l'inducteur

L'inducteur, dont le rayon extérieur mesure 10 cm, comporte 20 spires. Pour des 
raisons
techniques, elles sont généralement enroulées en spirale. Cependant, on 
considérera ici qu'il est
équivalent à un bobinage ordinaire, chaque spire ayant un rayon moyen égal à r 
= 5 cm . Le fil
électrique dont le rayon mesure 2 mm est réalisé avec du cuivre multibrins 
(fils de Litz) de
manière à rendre négligeable l'influence de l'effet de peau. On considérera que 
la section de
cuivre est égale à la moitié de la section du fil.

2.1.1. - Calculer la résistance R1 de l'inducteur sachant que le fil de cuivre 
utilisé a une
conductivité égale à y] = 55,5 106 S.m'1.

2.1.2. - L'inducteur, alimenté loin de la plaque, sous une tension efficace de 
24 volts, à la
fréquence de 25 kHz, est traversé par un courant de valeur efficace égale à 5,1 
A. Exprimer
littéralement son auto-inductance L1 puis en donner la valeur numérique.

2.2 Caractérisation de la plaque (induit)

La plaque de résistance R2 et d'auto-inductance L2 , a un rayon égal à 10 cm et 
une épaisseur
égale à 1 cm. Elle peut être assimilée à une spire unique refermée sur 
elle-même ayant pour rayon
la moitié de la valeur précédente soit r = 5 cm et une section de conduction 
circulaire d'aire S

égale àla section de passage des courants induits dans l'épaisseur de peau du 
disque soit S = 2r ô.
L'auto-inductance de la spire est évaluée selon la formule :

L2 =uo r ln (£)--Z
p 4

où p représente le rayon de la section de conduction, supposé très inférieur à 
r.

2.2.1. Calculer la résistance R2 de la plaque réalisée en acier magnétique.
2.2.2. Calculer l'auto-inductance L2 de la plaque réalisée en acier magnétique.

2.2.3. Montrer que pour la fréquence utilisée (25 kHz), l'on peut négliger 
(R2)2 devant (L2 oe)2
avec une erreur inférieure à 5%.

Par la suite, tous les calculs numériques seront à effectuer dans le cadre de 
cette
approximation.

2.3 -- L'inducteur est alimenté sous une tension v1(t). Sachant que l'ensemble 
inducteur--plaque se
comporte comme deux circuits couplés par une mutuelle inductance M :

a) Ecrire sans approximation les équations temporelles de couplage entre le 
courant i1(t) circulant
dans l'inducteur et le courant i2(t) parcourant la plaque (Figure 2).

R2

îM
Fig. 2 Vlî...1nducteur

L1

b) En déduire l'expression littérale du rapport des amplitudes complexes %
--1

c) En dédu1re auss1 l'expressmn htterale de l'1mpedance d'entree complexe _Z_e 
: --Îl du systeme.
_]

2.4 - Simplifier les expressions ci--dessus (2.3.b et 2.3.c) puis effectuer le 
calcul numérique de
leur module, sachant que l'inductance mutuelle est estimée à M = 2 uH.

3) Influence de la nature du matériau formant la plaque.

3.1.- Pour des raisons de sécurité, on se fixe comme objectif de limiter les 
pertes par effet Joule
dans l'inducteur à 50 watts. Quelle est alors la valeur efficace du courant 
maximal admissible
dans l'inducteur ? '

En déduire la valeur efficace maximale de la tension d'alimentation, 
l'intensité du courant dans la
plaque et la puissance de chauffe développée dans celle-ci.

3.2 - Lorsqu'on reprend les mêmes calculs, précisés avec les données de l'acier 
amagnétique, on
trouve que : R2 % 1 m9 , 12/11 % 16,5 et Ze % 0,56 Q , les impédances ayant 
baissé à
cause de l'épaisseur de peau plus grande.

Reprendre la question précédente 3.1 et montrer qu'utiliser l'acier magnétique 
revient à diminuer
nettement la puissance de chauffe de la plaque, malgré une très nette 
augmentation du courant
dans celle-ci.

3.3 - La tension d'alimentation est réglée à V1 = 110 volts, valeur efficace 
proche du maximum
toléré, en vue de recevoir une plaque en acier magnétique. Dans le cas où un 
utilisateur déposerait
sur la table un récipient en acier amagnétique, montrer qu'il existe un risque 
d'échauffement
excessif de l'inducteur. Proposer une solution pour éviter tout accident de ce 
type. '

Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 2 PC 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benjamin Levrard (Chercheur au CNRS) ; il a été relu
par Julien Tailleur (ENS Cachan) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Cette épreuve est composée de deux problèmes indépendants quasiment d'égale
importance :
· Le premier traite de certains effets chromatiques liés à la sélectivité de la 
réponse fréquentielle d'objets exposés à la lumière solaire, cette sélectivité 
pouvant provenir de divers phénomènes physiques liés à l'interaction entre la 
lumière et la matière tels l'absorption, la diffusion ou la dispersion. Après 
une
série de questions générales sur ce thème, on étudie, dans une deuxième partie,
la formation et les caractéristiques des arcs-en-ciel primaires et secondaires.
L'existence d'interférences lumineuses à la sortie des gouttes d'eau en 
suspension est alors utilisée pour estimer le rayon de ces gouttes. Enfin, dans 
une
troisième partie, on étudie la sélectivité fréquentielle d'une lame de verre 
mince
entourée de couches métalliques fortement réfléchissantes.
· Le second problème décrit le principe simplifié d'une plaque chauffante à 
induction. Dans un premier temps, on étudie les propriétés des courants de 
Foucault
créés par l'inducteur dans un récipient métallique sous forme de cylindre de
faible épaisseur. Dans un deuxième temps, les caractéristiques électriques 
(résistance, inductance) de l'inducteur et du fond métallique sont estimées 
pour des
géométries simples. Les équations couplées régissant l'évolution des courants
dans ces deux circuits sont alors recherchées en tenant compte du couplage
magnétique par inductance mutuelle. Finalement, dans un troisième temps,
l'optimisation de la puissance dissipée dans la plaque est discutée en fonction
du choix du métal du récipient de cuisson.
Les concepts mis en jeu concernent principalement l'optique géométrique et 
ondulatoire (problème I) ainsi qu'une large partie du cours d'électromagnétisme 
(ondes
électromagnétiques, effet de peau dans un conducteur et phénomènes d'induction)
dans les deux problèmes.
Malgré sa longueur, cette épreuve ne présente pas de difficulté majeure, et 
reste
globalement très accessible. La multiplicité des questions permet de guider le 
candidat
avec clarté. En outre, les notions requises restent proches du cours et des 
programmes
de la filière PC. Toutefois, les questions préliminaires peuvent sembler 
déroutantes
pour un début d'épreuve.

Indications
Premier problème
B.3 Considérer un fin pinceau de lumière incident parallèle dont les angles 
d'incidence sont situés entre i et i + di. Exprimer mathématiquement, au premier
ordre, que les rayons émergents sont parallèles entre eux si leurs déviations
sont identiques ou très proches.
B.4.1.b Utiliser les lois de Descartes pour chaque réfraction et réflexion et 
sommer
chacune des déviations pour obtenir la déviation totale du rayon lumineux.
Attention à l'écriture de chacune de ces déviations, tous les angles devant
être exprimés ici sous la forme de réels positifs.
B.4.1.c Utiliser le résultat de la question B.3.
B.7.1.b Décomposer le chemin optique (H1 H2 ) suivant
(H1 H2 ) = (H1 A) + (AB) + (BC) + (CH2 )
B.7.1.c À partir de la question B.4.2.b, traduire le fait que la déviation D2 
des deux
rayons doit être identique.
B.7.2.c Utiliser le résultat de la question B.7.1.d pour la frange d'ordre 2.
C.1 Partir du vecteur de Poynting et calculer le flux moyen de ce vecteur à 
travers
une surface S perpendiculaire à sa direction.
C.3 Attention, la longueur d'onde 0 désigne la longueur d'onde dans le vide et
non dans la lame mince. Les relier à l'aide des indices de ces milieux.
C.5 Comparer la bande passante donnée par le tableau et la bande passante
maximale tolérée autour de chaque pic.

Deuxième problème
1.1 Raisonner à partir de la loi de Lenz.
1.5 Il est nécessaire de trouver les racines du complexe i = ei/2 .
2.1.2 Considérer le circuit série composé d'un générateur alimentant un 
inducteur
d'auto-inductance L1 et de résistance R1 .
2.2.1 Rechercher d'abord le rayon  équivalent avant de calculer la valeur de 
l'inductance de l'inducteur.
2.3 Écrire rigoureusement la loi des mailles pour chaque circuit en tenant 
compte
des f.é.m. supplémentaires dues à l'induction mutuelle.
3.1 Utiliser la formule donnant la puissance moyenne dissipée dans une 
résistance
P = R (Ieff )2 .

I. Filtrage optique, effets chromatiques
I.A.

Redistribution sélective de la lumière par la matière

A.1 En considérant que les longueurs d'onde extrêmes du rayonnement visible
sont approximativement 400 et 800 nm correspondant respectivement au violet et
au rouge, la dimension maximale dmax des aspérités est de l'ordre du dixième de 
la
longueur d'onde la plus courte, soit
dmax 

min
= 40 nm
10

A.2 Un objet qui est parfaitement absorbant pour toutes les longueurs d'onde ne
réémet (ne diffuse ou ne réfléchit) par définition, aucune des radiations 
incidentes.
En particulier, si aucune radiation du rayonnement visible n'est réémise, 
l'objet paraît
noir à tout observateur. Pour des raisons similaires, une plante verte ne peut 
utiliser
l'intégralité des radiations vertes dans son développement. Si tel était le 
cas, aucune
radiation dans le vert ne serait alors réémise ou diffusée et la plante ne 
pourrait
apparaître verte.
· Un corps qui absorbe tout rayonnement incident quelle que soit sa
longueur d'onde est, par définition, appelé corps noir. Toutefois, un tel
corps émet un rayonnement d'origine thermique dont la distribution
spectrale suit la loi de Planck. Cette distribution dépend, en particulier,
de la température du corps.
· L'origine de la couleur verte des plantes est principalement due à la
chlorophylle. Ce pigment absorbe surtout dans le bleu (445 nm) et le
rouge (645 nm). La couleur apparente de la plante est alors la couleur
complémentaire des radiations absorbées, soit ici dans le vert.
A.3 La couleur n'est pas une propriété intrinsèque des corps. Si un tissu est 
considéré comme bleu, c'est qu'il absorbe les autres radiations que le bleu et 
diffuse ce
dernier lorsque qu'il est soumis à un rayonnement dans le visible. Ainsi, un 
tissu bleu
éclairé par les radiations d'une lampe à néon ne contenant pas de radiations 
bleues
absorbe toutes les radiations incidentes et ne diffuse aucun rayonnement. Il 
apparaît
comme noir à un observateur.
A.4 La diffusion de la lumière solaire dans le cadre du modèle de l'électron 
élastiquement lié permet d'expliquer, avec des hypothèses simples, certaines 
couleurs du
ciel. Le flux lumineux diffusé étant proportionnel à la puissance 4 de la 
fréquence,
une première conséquence est que les rayonnements de grande fréquence comme le
bleu sont plus diffusés que le rouge. Le rapport entre ces fréquences étant de 
l'ordre
de 1, 7, l'intensité de la lumière bleue diffusée dans une direction par le 
dioxygène
ou le diazote est (1, 7)4 , soit environ huit fois supérieure à celle de la 
lumière rouge.
Supposons que l'on observe la lumière diffusée à 90 de la direction incidente 
comme
indiquée sur la figure suivante. L'atmosphère diffuse préférentiellement du 
bleu dans
cette direction. Quand on observe une région éloignée du Soleil, toutes les 
molécules
situées dans la direction d'observation diffusent préférentiellement une 
lumière bleue
et le ciel apparaît ainsi bleu.

Lumière solaire
Lumière
à dominante
rouge

Lumière
à dominante
bleue

Observateur
Terre
Lorsqu'on regarde dans le prolongement de la direction incidente, le 
raisonnement est différent. En effet, comme une faible partie du rayonnement 
incident est
diffusée par les molécules, un observateur voit dans cette direction, la très 
grande
majorité du rayonnement incident non diffusé. À cette contribution, il faut 
retirer le
rayonnement diffusé dans toutes les autres directions mais ajouter le 
rayonnement
diffusé vers l'avant donc vers l'observateur. Comme le rayonnement diffusé dans 
les
autres directions est très riche en bleu, le rayonnement arrivant vers 
l'observateur
est très appauvri en radiations bleues malgré la faible contribution de la 
diffusion
vers l'avant. Aussi, la lumière émise dans le prolongement de la direction 
incidente
s'enrichit progressivement en lumière rouge. Lorsque le Soleil se couche et se 
trouve
bas sur l'horizon, la couche d'air traversée est plus épaisse et le Soleil 
paraît rouge
(voir la figure suivante).
Satellite

Lumiere solaire

Lumiere
a dominante
bleue

Lumiere
a dominante
rouge
Observateur

Atmosphere
Terre

La théorie proposée est fortement simplifiée. Il est en effet naturel de se
demander pourquoi le ciel n'est pas violet plutôt que bleu si les rayonnements
de grande fréquence sont les plus diffusés. Il convient alors d'ajouter que :
· la composante violette de la lumière solaire est moins intense que la
composante bleue de sorte que moins de violet est diffusé vers l'observateur ;
· notre oeil est beaucoup moins sensible au violet qu'au bleu ;
· la couleur vue par l'oeil est la superposition des radiations diffusées qui
parviennent jusqu'à lui, chacune ayant un poids différent.
Pour des informations supplémentaires sur les couleurs du ciel, on peut se
reporter, par exemple, à l'article suivant : Jearl Walker, Les Couleurs du
ciel, Pour la science n 137 (mars 1989), p. 98-101.
Si l'on observe la voute céleste depuis un satellite, elle apparaît 
noire.L'absence d'atmosphère entre la source lumineuse et l'observateur empêche 
la diffusion Rayleigh
évoquée précédemment.