CCP Physique 2 PC 2003

Thème de l'épreuve Étude d'un wattmètre électronique. Écran électromagnétique.
Principaux outils utilisés AO, diode, électromagnétisme
Mots clefs wattmètre, écran électromagnétique, effet de peau

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2003 | PCP2009

CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

- PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices est autorisée. Les deux problèmes sont 
indépendants

***

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance àla clarté, à la 
précision et à la _concision de la
rédaction ; si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une 
erreur d 'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives qu'il a été
amené à prendre.

***

PROBLEME I - ETUDE D'UN WATTMETRE ELECTRONIQUE

On se propose d'étudier le fonctionnement d'un wattmètre constitué de deux 
amplificateurs
logarithmiques, d'un amplificateur exponentiel et d'un additionneur.

]. Caractéristique d'une diode

'.V

--_>->}-- Figure 1
1

Dans tout le problème, les amplificateurs qui vont être étudiés utilisent une 
diode, schématisée sur
la figure 1, dont la caractéristique courant-tension a pour équation : \

i=IO(e%/O --1)

où i est l'intensité de courant traversant la diode, v la tension aux bornes, 
et la et Vo sont des
constantes positives.

Pour les applications numériques, on prendra : la = 10 MA et V0 = 25 mV.

Tracer qualitativement l'allure de la courbe i(v).

2. Amplificateur logarithmique

On réalise le montage de la figure 2 :

Fi ure 2
w g

L'amplificateur opérationnel (A.O.) est supposé idéal et on note V..., sa 
tension de saturation égale à
i 20 V ; les sources de polarisation ne figurent pas sur les schémas.

2.1. L'amplificateur opérationnel étant supposé en régime linéaire, déterminer 
vs(t) en fonction de
ve(t), VO, la et R.

2.2. On suppose que ve(t) = Ve\/2 sin ( cat) et que Ve\/2 >R I,, et on 
remarquera que V... >> V.,,
Pour 0 < wt < %, et compte-tenu des signes de ve et de vs ,\ justifier s'il y 
aura ou non saturation de
l'amplificateur.

Répondre à la même question pour TC < wt < 2%.

> 2.3. Tracer l'allure des Courbes ve(t) et vs(t), en fonction du temps, sur 
une période complète, pour
v., & >R 10.

3. Amplificateur exponentiel

On réalise le montage de la figure 3 :

Figure 3

3.1. L'amplificateur opérationnel étant supposé en régime linéaire, déterminer 
vs(t) en fonction de
ve(t), Vo, 10 et R. '

3.2. On suppose que ve(t) = Ve\/î sin ( cat) ; pour 0 < wt < 712, donner la 
condition que ve(t) doit
satisfaire pour que l'amplificateur soit effectivement en régime linéaire; 
calculer la valeur

numérique de la limite trouvée pour ve(t) à partir des valeurs suivantes : R = 
106 S2 et V_... = 20 V.

3.3. Obtenir la condition entre V..., et RIO nécessaire pour que 
l'amplificateur opérationnel soit en
régime linéaire lorsque % < wt < 2%, quelle que soit la valeur de Ve.

4. Wattmètre électronigue

On réalise maintenant le montage de la figure 4, dans lequel les amplificateurs 
opérationnels sont en
régime linéaire :

. u _.
_ b R vs (1)
... -- ..., li,-- 3 l;--
A. .3 A. .,

"=" = -- 0 0 "S")
R --
_ » "s2(t)
A.O. Figure 4

v.(t)

4.1. Exprimer vs 3 en fonction de v,; et vsg, puis en fonction de v; et v; et 
des éléments du montage.
4.2. En déduire la caractéristique de transfert vs = f(v;,v;) de ce montage, en 
fonction de 10 et R.

4.3. On considère que les tensions d'entrée sont de la forme :

v,(t) = v1 & cos (cut) et W) : V2Jî cos (cut -- @)
Déterminer l'expression de la valeur moyenne dans le temps de la tension de 
sortie, notée < v,>.

4.4. Proposer un moyen pour mesurer < v,>.

4.5. On considère un dipôle constitué de résistances, bobines et condensateurs, 
d'impédance

complexe équivalente Zéq = Réq + jXéq et alimenté par une tension v(t) = V & 
cos ( cut) (fig.5).

Figure 5

Exprimer la valeur moyenne P de la puissance instantanée reçue par le dipôle en 
fonction de V, Réq
et Xéq, dite aussi « puissance active ».

On veut mesurer cette puissance avec le montage de la figure 4, noté W ; on 
réalise dans ce but le

montage de la figure 6, alimenté par la tension »v(t) = V & cos ( tot) :

Figure 6

On considère que les intensités dans les deux entrées du wattmètre W sont 
nulles.
4.6. Quel est le rôle de la résistance r dans le montage ? Comment doit--on 
choisir la valeur de celle--ci ?

4.7. Montrer que la puissance moyenne totale mesurée par le Wattmètre est de la 
forme :
P' = k< vs>

Expliciter la constante k et exprimer P' en fonction de V, Réq, r et Xe'q.

|P'-- PI
P

4.8. Déterminer l'expression de l'erreur systématique relative EUR,. = et 
montrer qu'elle est

majorée par Ï/Réq.

4.9. On veut éliminer l'erreur introduite par la résistance r; on considère 
alors le montage de la
figure 7 :

Figure 7

Calculer la résistance d'entrée rEUR = ve/i de ce montage.

4.10. Pr0poser un montage utilisant le circuit de la figure 7 qui permette de 
mesurer la puissance P
reçue par le dipôle, sans l'erreur systématique EUR, introduite par la présence 
de r.

PROBLEME Il - ECRAN ELECTROMAGNETIS QUE

Le problème de la conception d'un écran électromagnétique est un problème de 
champ en régime
quasi-stationnaire. La pénétration du champ électromagnétique dans le domaine 
qui doit être

écranté dépend de la fréquence f, de la conductivité électrique 0' de l'écran, 
aussi bien que de la
géométrie de celui-ci.

On considère le domaine à écranter situé entre deux plaques métalliques 
parallèles d'extension
infinie, d'épaisseur d et distantes de 2D (fig. 1). Les deux plaques sont 
planes, homogènes et

isotropes, de conductivité électrique aet de constantes 80 et ,u,, égales à 
celles du vide.

]
On rappelle leurs valeurs numériques : 80 = 9 Fm"1 et ya = 471:lO'7 Hm'1
367510
z 0:-- "0

J'

É, 31

F ' 1
-D--d 0 x D+d 'gm
vide vide vide
écran écran

Dans le domaine extérieur, x E ]-oo,-D-d[ U ]D+d, +oo[, régné un champ 
magnétique uniforme et
variable dans le temps :

Ëe = BÆ cos(wt) @ *

Par ailleurs, on appelle :

Ë,-- : Bi(x, t) 172 le champ magnétique entre les deux plaques
Ë,-- : Ei(x, t) il y le champ électrique entre les deux plaques
Ë : B(x,t) üz le champ-magnétique dans les plaques

É = E (x, t) ii), le champ électrique dans les plaques.

Tous ces champs sont des fonctions harmoniques du temps t (régime sinusoïdal), 
de pulsation a).

1. Approximation de l'effet de peau dans un conducteur
' 3Ë

1.1. L'une des équations de Maxwell s'écrit : rôt Ë : ,u0 (; + 80 0--87)

De quelle équation de Maxwell s'agit-il ? Pourquoi est-elle nommée ainsi '?
Comment appelle-t-on _Î '? Quelle est son unité '?

1.2.Donner l'expression de la loi d'Ohm locale. Est-elle valable quelle que 
soit la fréquence ?
Justifier qualitativement la réponse.
On admettra la validité de cette loi dans toute la suite.

--_ 8Ë
1.3. On pose jd= 80 (,.--a--t Exprimer le rapport des amplitudes jd ------en 
fonction dec et de la
]
fréquence jf en un point quelconque de la plaque.
_j_d

Tracer l allure de la courbe représentative-- en fonction de f

]
Application numérique : dans le cas de l'aluminium, 0'=' 36.106 S.m'1 ; donner 
la condition vérifiée
_d] < 1 O' -6
]
Dans toute la suite du problème, on négligera Îd devant ; à l'intérieur des 
plaques métalliques ;

il s 'agit de l'approximation de ! 'e_[fet de peau.

par la fréquence f pour avoir--

2. Champ électromagnétig ue dans les plagues

ôË
2.1. Une autre équation de Maxwell s'écrit rôt Ë- -- ----

8t '
Comment la nomme--t-on ? Pourquoi '?

2.2. Ecrire les deux autres équations de Maxwell.

2.3. On rappelle que : rôt (rôt Ë) =. gräd (div Ë) -- AË

Donner l'équation aux dérivées partielles satisfaite par le champ Ë(x,t).

2.4. En régime sinusoïdal, à B(x,t)=B(x)\/îcos(wt +ÇÛ(X)), On associe l'image 
complexe
suivante : ë(x) : B(x) ef$(x)

On note _}f2 =jwfl00' avec \/}'2 =Îa(l+j)=ÎZ

Expliciter on en fonction de (1), flo, 0:

2.5. Ecrire l'équation différentielle satisfaite par lj(x) avec 7 comme 
paramètre.

2.6. Résoudre cette équation pour x E ]D, D+d[, en donnant l'expression de 
_l_3(x) en fonction de
deux constantes 41 et _42 , que l'on ne cherchera pas à déterminer dans cette 
question.

2.7. En exploitant la symétrie du système, justifier qu'il n'est pas nécessaire 
de résoudre l'équation
différentielle de ë(x) dans le domaine ]-D--d, -D[.

2.8. A partir de l'une des équations de Maxwell judicieusement choisie, 
exprimer l'image complexe
E (x) du champ électrique pour x E ]D, D+d[ avec M,, )_/, O', 1_41 et 42 comme 
paramètres.

3. Expression du champ électromagnétigue entre les deux plaques

3.1. Ecrire sans approximation les équations de Maxwell dans le vide entre les 
deux plaques.

3.2. En déduire l'équation différentielle satisfaite par Li,--(x) ..

3.3. Montrer que l'expression suivante est solution de cette équation :

275 . . 27z . .
ê,--(x) = 43 COS(Î x) + 43 sm(--À-- x) où 43 et A3 sont des constantes, que 
l'on ne cherchera
0 0
pas à déterminer ici.
Donner l'expression de Âo en fonction de 80, ya et f.

3.4. Dans quelle condition, l'approximation de régime quasi-stationnaire 
est--elle justifiée dans le
vide, entre les deux plaques ?

» Calculer flo pour f = 100 kHz et conclure.
Que peut-on dire alors de AB,--(x) dans le domaine intérieur - D S x 5 D avec D 
= 10 cm ?

3.5. Déterminer l'image complexe Li,--(x) du champ électrique en fonction de 43 
et d'une autre

constante 44 comme paramètre.

On prendra l_3,-- = _/_13 .

3.6. Comparer la symétrie de Ë à celle de Ë par rapport au plan Oyz. En déduire 
la valeur de
IE,--(x = O) , puis la valeur de A4

4. Calcul des eonstagtes et du facteur d'atténuation

4.1. Il n'y a ni charge surfacique ni courant surfacique en x = D et en x = D + 
d. Justifier
pourquoi.

4.2. Donner les relations de passage du champ magnétique et du champ électrique 
en x = D.
4.3. En déduire _z_41 et 42 en fonction de 43. On rappelle que }_/2 = ja),u00'

4.4. Donner la relation de passage du champ magnétique en x = D + d. En déduire 
l_3,-- , donc 43 , en
fonction de _}: , D, d et Bo.

"4.5. La valeur efficace Biefl du champ B,--(x,t) est donnée par le module de 
l'image complexe ë,- .

Exprimer Biefl en fonction de a, D, d et Bo , dans l'hypothèse double aD >>] et 
ad >>1.

4.6. Les plaques utilisées sont en aluminium : _
0'= 36.106 S.m" et ya ,u0 = 47:10"7 Hm"1

et les autres grandeurs ont les valeurs suivantes : f = 100 kHz et D = 10 cm.

. . . 1
Calculer la valeur du paramètre oc, am51 que la profondeur de pénétraüon 5 = 
----- (5 sera donnée

a
en mm).

4.7. On définit le facteur d'atténuation a comme étant le rapport des valeurs 
efficaces :
B-
0

Calculer l'épaisseur d d'un écran pour avoir a = 10--5 .
L'hypothèse faite à la question 4.5. est-elle justifiée ?

Exprimer a en fonction de a: D et d.

4.8. Nature du métal : les applications ont concerné des plaques en aluminium. 
Ces applications
auraient-elles pu être effectuées sur des plaques en cuivre '? en fer ? 
Justifier la réponse.

Fin de l'énoncé

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CCP Physique 2 PC 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Matthieu Denoual (ENS Cachan) et Vincent Fourmond
(ENS Ulm) ; il a été relu par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Stéphane 
Ravier
(ENS Lyon).

Ce sujet comporte deux problèmes indépendants. Le premier est un problème
d'électronique qui illustre une solution pour la mesure de la puissance moyenne
dissipée dans un dipôle. Le principe est de s'affranchir d'un montage 
multiplicateur en utilisant une addition sur des fonctions logarithmes (AB = 
exp(ln A + ln B)).
Ces montages logarithmique et exponentiel exploitent la caractéristique de la 
diode.
Ce problème requiert la connaissance des conditions de fonctionnement en régime
linéaire d'un amplificateur opérationnel et de savoir ce qu'est la puissance 
active dissipée par un dipôle. Pour résoudre rapidement et sans erreurs ce 
problème, il faut faire
particulièrement attention aux conditions d'écriture des équations, que ce 
soient les
conditions de rigueur mathématique, dans la manipulation des expressions 
logarithmiques par exemple, ou les conditions physiques liées aux phénomènes de 
saturation
ou de blocage. Il est intéressant également, pour simplifier les calculs, de 
travailler
avec les notations complexes.
Le second problème traite du blindage électromagnétique, c'est-à-dire de la 
façon
de construire une enceinte dans laquelle les champs oscillants extérieurs 
(comme par
exemple les ondes radio, le réseau électrique ou les pollutions 
électromagnétiques des
alimentations à découpage des ordinateurs), qui sont de grosses sources de 
bruits pour
toutes les expériences faisant intervenir une mesure électrique (soit la 
quasi-totalité
des expériences actuelles), ne pénètrent pas. Il est relativement proche du 
cours et
permet de réviser l'effet de peau et la propagation des ondes dans le vide. Une 
bonne
partie des questions fait intervenir de petits raisonnements physiques plutôt 
que des
calculs et discute les hypothèses. C'est un bon problème, d'une difficulté 
raisonnable,
qui peut constituer une introduction pour réviser l'électromagnétisme dans le 
vide et
l'effet de peau.

Indications
Premier problème
2.1 Attention à bien préciser les conditions de validité de l'expression 
obtenue.
2.2 Utiliser les hypothèses de l'énoncé pour déterminer si l'expression trouvée 
à la
question précédente est valide ou non.
3.2 Montrer que v s est négative sur cet intervalle.
3.3 Montrer que v s est positive sur cet intervalle.
4.3 La valeur moyenne de fonctions sinusoïdales est nulle.
4.1 Étudier le bloc AO3 puis utiliser le résultat de la question 2.1 puisque 
les blocs
AO1 et AO2 sont des amplificateurs logarithmiques.
4.5 Utiliser la notation complexe et la loi d'Ohm pour éliminer i dans 
l'expression
de la puissance instantanée.
4.8 Attention, il y a un piège dans cette question. Le résultat que l'on demande
d'établir suppose que l'on considère que les tensions v(t) des figures 5 et 6 
sont
les mêmes et par conséquent que la puissance P définie à la question 4.5 
conserve
la même expression. En toute rigueur, la tension aux bornes de l'impédance dans
la figure 6 est (v1 - v2 ) ; la puissance moyenne P reçue par le dipôle de la 
question
4.5 devrait plutôt s'exprimer en fonction de (v1 - v2 ).
Second problème
2.3 Partir de l'équation de Maxwell-Ampère, utiliser la loi d'Ohm locale puis 
l'équation de Maxwell-Faraday.
2.8 Utiliser l'équation de Maxwell-Ampère et la loi d'Ohm locale.
3.5 Utiliser l'équation de Maxwell-Faraday.
 -
-

3.6 Il s'agit des champs E et B , c'est-à-dire des champs dans les plaques. En 
déduire
une symétrie de la distribution de courants dans les plaques, et conclure sur la

-
symétrie de Ei .
4.1 Pourquoi introduit-on habituellement des densités de charges ou de courants
surfaciques ?
4.5 Les arguments des exponentielles ont des parties réelles. En conséquence, 
l'une
des deux exponentielles doit être beaucoup plus petite que l'autre.

I.

Étude d'un wattmètre électronique
1.

Caractéristique d'une diode

1 Si la tension v est négative, la diode est bloquée et le courant traversant la
diode est proche du courant de fuite (-I0 ). Au-dessus de la tension de seuil 
de la
diode, v seuil (de l'ordre de 0, 6 V), la diode est conductrice et i  I0 exp 
(v/V0 ). La
courbe ci-dessous représente une allure réaliste de la caractéristique d'une 
diode et
pas uniquement le tracé de i(v) : on y a fait figurer en plus la tension 
d'avalanche.
i

va
-I0

v seuil

v

Si la tension appliquée aux bornes de la diode est négative et de forte 
amplitude (v a  -200 V), on assiste au phénomène d'avalanche, le plus souvent
destructeur, caractérisé par un accroissement très rapide du courant inverse.

2.

Amplificateur logarithmique

2.1 L'amplificateur opérationnel étant supposé idéal et en régime linéaire, on 
peut
écrire v + = v - et i+ = i- = 0, avec v + , v - les tensions des entrées 
respectivement
non inverseuse et inverseuse et i+ , i- les courants respectifs de ces entrées. 
Le courant
dans la diode correspond donc au courant traversant la résistance R, ce qui 
s'écrit

 -
ve - v-
v - vs
-1 =
i = I0 exp
V0
R
Le schéma suivant illustre les orientations choisies :
v
i
ve
i
R
ve

vs

Puisque v + = 0 implique v - = 0, on peut simplifier l'expression précédente en

-v s
ve
I0 exp
-1 =
V0
R

soit

exp

-v s
V0

=

ve
+1
R I0

On peut alors exprimer v s en fonction de v e , V0 , I0 et R à la condition que
soit strictement positif, c'est-à-dire que v e > -R I0 . On obtient finalement

ve
v s = -V0 ln 1 +
R I0

si

ve
+1
R I0

v e > -R I0

L'expression trouvée justifie le nom de ce montage. En effet, v s s'exprime
comme une fonction logarithmique du signal d'entrée v e .

2.2 Considérons d'abord
 l'intervalle
 0 < t < . Sur cet intervalle, v e (t) est pove
sitive : l'expression V0 ln 1 +
a donc un sens ; reste à la comparer à Vsat .
R I0
Onremarqueque Vsat  V0 puisque Vsat /V0 = 800. Par conséquent, il faudrait que
ve
ln 1 +
soit supérieur à 800 pour qu'il y ait saturation, ce qui est physiquement
R I0
impossible puisque v e /R I0 devrait être de l'ordre de e800 . En conclusion,
Il n'y a pas de saturation pour 0 < t < .

Lorsque l'on essaye d'évaluer e800 sur une calculatrice, on obtient en général
une erreur face à ce nombre astronomique.
Considérons maintenant 
l'intervalle  < t < 2. Sur cet intervalle, v e (t) est

ve
négative. L'expression V0 ln 1 +
a un sens tant que Ve 2 sin(t) > -R I0 ,
R I0
mais cette condition
n'est pas vérifiée sur tout l'intervalle  < t < 2 puisque l'on

suppose Ve 2 > R I0 . Quand v e est inférieure à -R I0 , le courant reste 
limité par la
diode. Le montage ne fonctionne alors plus en régime linéaire puisqu'il n'y a 
plus de
rétroaction sur l'entrée inverseuse dans l'amplificateur opérationnel. 
L'amplificateur
opérationnel sature alors à Vsat tant que v e < -R I0 . En conclusion,
L'A.O. sature à Vsat pour  < t < 2.