CCINP Physique 2 PC 2003

 

SESSION 2003 | PCP2009

CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

- PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices est autorisée. Les deux problèmes sont 
indépendants

***

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance àla clarté, à la 
précision et à la _concision de la
rédaction ; si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une 
erreur d 'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives qu'il a été
amené à prendre.

***

PROBLEME I - ETUDE D'UN WATTMETRE ELECTRONIQUE

On se propose d'étudier le fonctionnement d'un wattmètre constitué de deux 
amplificateurs
logarithmiques, d'un amplificateur exponentiel et d'un additionneur.

]. Caractéristique d'une diode

'.V

--_>->}-- Figure 1
1

Dans tout le problème, les amplificateurs qui vont être étudiés utilisent une 
diode, schématisée sur
la figure 1, dont la caractéristique courant-tension a pour équation : \

i=IO(e%/O --1)

où i est l'intensité de courant traversant la diode, v la tension aux bornes, 
et la et Vo sont des
constantes positives.

Pour les applications numériques, on prendra : la = 10 MA et V0 = 25 mV.

Tracer qualitativement l'allure de la courbe i(v).

2. Amplificateur logarithmique

On réalise le montage de la figure 2 :

Fi ure 2
w g

L'amplificateur opérationnel (A.O.) est supposé idéal et on note V..., sa 
tension de saturation égale à
i 20 V ; les sources de polarisation ne figurent pas sur les schémas.

2.1. L'amplificateur opérationnel étant supposé en régime linéaire, déterminer 
vs(t) en fonction de
ve(t), VO, la et R.

2.2. On suppose que ve(t) = Ve\/2 sin ( cat) et que Ve\/2 >R I,, et on 
remarquera que V... >> V.,,
Pour 0 < wt < %, et compte-tenu des signes de ve et de vs ,\ justifier s'il y aura ou non saturation de l'amplificateur. Répondre à la même question pour TC < wt < 2%. > 2.3. Tracer l'allure des Courbes ve(t) et vs(t), en fonction du temps, sur 
une période complète, pour
v., & >R 10.

3. Amplificateur exponentiel

On réalise le montage de la figure 3 :

Figure 3

3.1. L'amplificateur opérationnel étant supposé en régime linéaire, déterminer 
vs(t) en fonction de
ve(t), Vo, 10 et R. '

3.2. On suppose que ve(t) = Ve\/î sin ( cat) ; pour 0 < wt < 712, donner la condition que ve(t) doit satisfaire pour que l'amplificateur soit effectivement en régime linéaire; calculer la valeur numérique de la limite trouvée pour ve(t) à partir des valeurs suivantes : R = 106 S2 et V_... = 20 V. 3.3. Obtenir la condition entre V..., et RIO nécessaire pour que l'amplificateur opérationnel soit en régime linéaire lorsque % < wt < 2%, quelle que soit la valeur de Ve. 4. Wattmètre électronigue On réalise maintenant le montage de la figure 4, dans lequel les amplificateurs opérationnels sont en régime linéaire : . u _. _ b R vs (1) ... -- ..., li,-- 3 l;-- A. .3 A. ., "=" = -- 0 0 "S") R -- _ » "s2(t) A.O. Figure 4 v.(t) 4.1. Exprimer vs 3 en fonction de v,; et vsg, puis en fonction de v; et v; et des éléments du montage. 4.2. En déduire la caractéristique de transfert vs = f(v;,v;) de ce montage, en fonction de 10 et R. 4.3. On considère que les tensions d'entrée sont de la forme : v,(t) = v1 & cos (cut) et W) : V2Jî cos (cut -- @) Déterminer l'expression de la valeur moyenne dans le temps de la tension de sortie, notée < v,>.

4.4. Proposer un moyen pour mesurer < v,>.

4.5. On considère un dipôle constitué de résistances, bobines et condensateurs, 
d'impédance

complexe équivalente Zéq = Réq + jXéq et alimenté par une tension v(t) = V & 
cos ( cut) (fig.5).

Figure 5

Exprimer la valeur moyenne P de la puissance instantanée reçue par le dipôle en 
fonction de V, Réq
et Xéq, dite aussi « puissance active ».

On veut mesurer cette puissance avec le montage de la figure 4, noté W ; on 
réalise dans ce but le

montage de la figure 6, alimenté par la tension »v(t) = V & cos ( tot) :

Figure 6

On considère que les intensités dans les deux entrées du wattmètre W sont 
nulles.
4.6. Quel est le rôle de la résistance r dans le montage ? Comment doit--on 
choisir la valeur de celle--ci ?

4.7. Montrer que la puissance moyenne totale mesurée par le Wattmètre est de la 
forme :
P' = k< vs>

Expliciter la constante k et exprimer P' en fonction de V, Réq, r et Xe'q.

|P'-- PI
P

4.8. Déterminer l'expression de l'erreur systématique relative EUR,. = et 
montrer qu'elle est

majorée par Ï/Réq.

4.9. On veut éliminer l'erreur introduite par la résistance r; on considère 
alors le montage de la
figure 7 :

Figure 7

Calculer la résistance d'entrée rEUR = ve/i de ce montage.

4.10. Pr0poser un montage utilisant le circuit de la figure 7 qui permette de 
mesurer la puissance P
reçue par le dipôle, sans l'erreur systématique EUR, introduite par la présence 
de r.

PROBLEME Il - ECRAN ELECTROMAGNETIS QUE

Le problème de la conception d'un écran électromagnétique est un problème de 
champ en régime
quasi-stationnaire. La pénétration du champ électromagnétique dans le domaine 
qui doit être

écranté dépend de la fréquence f, de la conductivité électrique 0' de l'écran, 
aussi bien que de la
géométrie de celui-ci.

On considère le domaine à écranter situé entre deux plaques métalliques 
parallèles d'extension
infinie, d'épaisseur d et distantes de 2D (fig. 1). Les deux plaques sont 
planes, homogènes et

isotropes, de conductivité électrique aet de constantes 80 et ,u,, égales à 
celles du vide.

]
On rappelle leurs valeurs numériques : 80 = 9 Fm"1 et ya = 471:lO'7 Hm'1
367510
z 0:-- "0

J'

É, 31

F ' 1
-D--d 0 x D+d 'gm
vide vide vide
écran écran

Dans le domaine extérieur, x E ]-oo,-D-d[ U ]D+d, +oo[, régné un champ 
magnétique uniforme et
variable dans le temps :

Ëe = BÆ cos(wt) @ *

Par ailleurs, on appelle :

Ë,-- : Bi(x, t) 172 le champ magnétique entre les deux plaques
Ë,-- : Ei(x, t) il y le champ électrique entre les deux plaques
Ë : B(x,t) üz le champ-magnétique dans les plaques

É = E (x, t) ii), le champ électrique dans les plaques.

Tous ces champs sont des fonctions harmoniques du temps t (régime sinusoïdal), 
de pulsation a).

1. Approximation de l'effet de peau dans un conducteur
' 3Ë

1.1. L'une des équations de Maxwell s'écrit : rôt Ë : ,u0 (; + 80 0--87)

De quelle équation de Maxwell s'agit-il ? Pourquoi est-elle nommée ainsi '?
Comment appelle-t-on _Î '? Quelle est son unité '?

1.2.Donner l'expression de la loi d'Ohm locale. Est-elle valable quelle que 
soit la fréquence ?
Justifier qualitativement la réponse.
On admettra la validité de cette loi dans toute la suite.

--_ 8Ë
1.3. On pose jd= 80 (,.--a--t Exprimer le rapport des amplitudes jd ------en 
fonction dec et de la
]
fréquence jf en un point quelconque de la plaque.
_j_d

Tracer l allure de la courbe représentative-- en fonction de f

]
Application numérique : dans le cas de l'aluminium, 0'=' 36.106 S.m'1 ; donner 
la condition vérifiée
_d] < 1 O' -6 ] Dans toute la suite du problème, on négligera Îd devant ; à l'intérieur des plaques métalliques ; il s 'agit de l'approximation de ! 'e_[fet de peau. par la fréquence f pour avoir-- 2. Champ électromagnétig ue dans les plagues ôË 2.1. Une autre équation de Maxwell s'écrit rôt Ë- -- ---- 8t ' Comment la nomme--t-on ? Pourquoi '? 2.2. Ecrire les deux autres équations de Maxwell. 2.3. On rappelle que : rôt (rôt Ë) =. gräd (div Ë) -- AË Donner l'équation aux dérivées partielles satisfaite par le champ Ë(x,t). 2.4. En régime sinusoïdal, à B(x,t)=B(x)\/îcos(wt +ÇÛ(X)), On associe l'image complexe suivante : ë(x) : B(x) ef$(x) On note _}f2 =jwfl00' avec \/}'2 =Îa(l+j)=ÎZ Expliciter on en fonction de (1), flo, 0: 2.5. Ecrire l'équation différentielle satisfaite par lj(x) avec 7 comme paramètre. 2.6. Résoudre cette équation pour x E ]D, D+d[, en donnant l'expression de _l_3(x) en fonction de deux constantes 41 et _42 , que l'on ne cherchera pas à déterminer dans cette question. 2.7. En exploitant la symétrie du système, justifier qu'il n'est pas nécessaire de résoudre l'équation différentielle de ë(x) dans le domaine ]-D--d, -D[. 2.8. A partir de l'une des équations de Maxwell judicieusement choisie, exprimer l'image complexe E (x) du champ électrique pour x E ]D, D+d[ avec M,, )_/, O', 1_41 et 42 comme paramètres. 3. Expression du champ électromagnétigue entre les deux plaques 3.1. Ecrire sans approximation les équations de Maxwell dans le vide entre les deux plaques. 3.2. En déduire l'équation différentielle satisfaite par Li,--(x) .. 3.3. Montrer que l'expression suivante est solution de cette équation : 275 . . 27z . . ê,--(x) = 43 COS(Î x) + 43 sm(--À-- x) où 43 et A3 sont des constantes, que l'on ne cherchera 0 0 pas à déterminer ici. Donner l'expression de Âo en fonction de 80, ya et f. 3.4. Dans quelle condition, l'approximation de régime quasi-stationnaire est--elle justifiée dans le vide, entre les deux plaques ? » Calculer flo pour f = 100 kHz et conclure. Que peut-on dire alors de AB,--(x) dans le domaine intérieur - D S x 5 D avec D = 10 cm ? 3.5. Déterminer l'image complexe Li,--(x) du champ électrique en fonction de 43 et d'une autre constante 44 comme paramètre. On prendra l_3,-- = _/_13 . 3.6. Comparer la symétrie de Ë à celle de Ë par rapport au plan Oyz. En déduire la valeur de IE,--(x = O) , puis la valeur de A4 4. Calcul des eonstagtes et du facteur d'atténuation 4.1. Il n'y a ni charge surfacique ni courant surfacique en x = D et en x = D + d. Justifier pourquoi. 4.2. Donner les relations de passage du champ magnétique et du champ électrique en x = D. 4.3. En déduire _z_41 et 42 en fonction de 43. On rappelle que }_/2 = ja),u00' 4.4. Donner la relation de passage du champ magnétique en x = D + d. En déduire l_3,-- , donc 43 , en fonction de _}: , D, d et Bo. "4.5. La valeur efficace Biefl du champ B,--(x,t) est donnée par le module de l'image complexe ë,- . Exprimer Biefl en fonction de a, D, d et Bo , dans l'hypothèse double aD >>] et 
ad >>1.

4.6. Les plaques utilisées sont en aluminium : _
0'= 36.106 S.m" et ya ,u0 = 47:10"7 Hm"1

et les autres grandeurs ont les valeurs suivantes : f = 100 kHz et D = 10 cm.

. . . 1
Calculer la valeur du paramètre oc, am51 que la profondeur de pénétraüon 5 = 
----- (5 sera donnée

a
en mm).

4.7. On définit le facteur d'atténuation a comme étant le rapport des valeurs 
efficaces :
B-
0

Calculer l'épaisseur d d'un écran pour avoir a = 10--5 .
L'hypothèse faite à la question 4.5. est-elle justifiée ?

Exprimer a en fonction de a: D et d.

4.8. Nature du métal : les applications ont concerné des plaques en aluminium. 
Ces applications
auraient-elles pu être effectuées sur des plaques en cuivre '? en fer ? 
Justifier la réponse.

Fin de l'énoncé