CCP Physique 2 PC 2002

Thème de l'épreuve Transmission entre deux arbres. Effet Hall.
Principaux outils utilisés induction, couples mécanique, équations de Maxwell dans un conducteur

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A

SESSION2002 coucouas communs rorvrscumou:s PCP2009

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices est autorisée. Les deux problèmes sont 
indépendants

***

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été 
amené à prendre.

***

PROBLEME I - TRANSMISSION ENTRE DEUX ARBRES

Deux disques conducteurs identiques de rayon a, sont solidaires de deux arbres 
de rayons
négligeables, non couplés l'un à l'autre et coaxiaux. Les deux disques se 
trouvent dans un champ

magnétique, Ë : Bi, uniforme, invariable dans le temps. Les arbres sont reliés 
électriquement par

un fil conducteur, aussi bien que les périphéries des disques, formant ainsi un 
circuit fermé, de
résistance R (Fig. 1). Le premier disque reçoit une puissance mécanique P... et 
tourne à la vitesse

angulaire a} : col uz , tandis que sur l'arbre du deuxième disque, on applique 
un couple résistant de

moment C, : --CfuZ et il tourne en régime permanent a la vitesse angulaire 602 
= (02 u, . On note ],

le moment d'inertie d'un disque par rapport à son axe.

Tournez la page S.V.P.

1. Forces électromotrices.

1.1 En utilisant la circulation du terme (ÇAË) le long du "rayon actif" 01A1 
(en pointillés sur la

fig. 1) du premier disque, exprimer la force électromotrice e1 induite sur ce 
rayon, en fonction

de a),, a et B .
Préciser clairement la convention utilisée pour définir 61-

1.2. Conduire la même démarche pour le calcul de l'expression de la force 
électromotrice @, induite
le long du "rayon actif" ()2A2 du deuxième disque, en fonction de (02, a etB, 
en précisant

également la convention utilisée pour définir @, .

1.3. Exprimer l'intensité induite i parcourant la résistance R.

2. Force et couple.

2.1. En déduire la force de Laplace E,: exercée sur le rayon O2A2. Quel est son 
point
d'application '? La représenter sur un schéma.

2.2. Exprimer le moment de E,: , noté 6î , par rapport au centre 02 du deuxième 
disque.

2.3. Exprimer puis calculer la vitesse de rotation a), du deuxième disque, en 
régime permanent, en

fonction de a),, Cf, a et B.

2.4. En déduire la valeur maximale C...... du couple résistant ; la calculer 
numériquement.

A.N.: B=lT
a=lOcm

a)1 : 104,6 rad/s

R=Q2Q
C, = 10'2 Nm

3. A l'instant t = 0, on supprime le couple résistant sur le deuxième disque et 
on maintient la vitesse
de rotation du premier disque constante : (()1 = Cz)... = constante et C = 0.

3.1. Déterminer (()2 (t) en fonction du temps, si à t = O, 602 (O) = 6020

a2 2 Bz
On posera O! = -- ----
2 R]
A.N. : ]: 2,5.10'2 l 0 (fig. 1). Elle est 
alors placée dans un

champ magnétique uniforme B : Buz avec B > O créé par des sources extérieures. 
Le champ

magnétique créé par le courant dans la plaque est négligeable devant Ë .

Fig. 1

On suppose qu'en présence du champ magnétique Ë , le vecteur densité de courant 
est toujours égal
à ? = JLZ .

I.1 Exprimer le vecteur vitesse l7 des électrons dans la plaque en fonction de 
?, n et @. Montrer

....

qu'en présence du champ magnétique B en régime permanent, il apparaît un champ 
électrique

appelé champ électrique de Hall Ë,, : --1----Î A F .
ne

Exprimer les composantes de E ,, .

1.2. On considère deux points 1 et 1' en vis-à--vis des faces A et A' de la 
plaque. Calculer la
différence de potentiel UH : V( 1)-V( 1') appelée tension de Hall. Montrer que 
UH peut s'écrire :

C
UH ='--ÉLIB

Expliciter la constante C H.

A.N. : Pour l'antimoniure d'indium1n Sb CH : 375.10Î6m3.C_1

I=O,lA
h=O,3mm
B=IT

_ , . , . , 3
Calculer UH a1ns1 que la densrte volumique n, en electrons/m .

1.3. On veut établir la loi d'Ohm locale, c'est--à-dire, la relation entre le 
champ électrique Ë dans la

plaque et la densité du courant Î en présence du champ magnétique Ë .

\

Soit Ë'=E'LÎQ la partie du champ électrique colinéaire a ] . On pose Î=O'Ë', 0" 
étant une

grandeur positive.
Quelle caractéristique du matériau de la plaque O' représente--t--elle '?

Montrer qu'en présence du champ magnétique, on a ? = O'(Ë -- C H ? /\ Ë) .

---+

1.4. Tracer dans un plan xOy de la plaque les vecteurs --ïÏ--, Ë et CHÎAË et 
les lignes

O'
équipotentielles en présence puis en absence de champ magnétique. Faire deux 
figures en vue de

dessus par rapport à la figure 1.

1.5. Soit 6 l'angle entre les vecteurs ? et Ë. Montrer que l'angle 9 ne dépend 
que de B et du semi--
conducteur. Préciser le domaine de définition de 6 pour le semi-conducteur 
étudié.

1.6. On veut utiliser la plaque pour mesurer l'induction magnétique B, en 
mesurant la tension de
Hall U H . Il faut donc qu'en absence du champ magnétique U H (B = O) = U HO = 
0.

Pour cela, il faut souder deux fils conducteurs exactement en vis-à-vis. C'est 
un problème difficile,
vu les dimensions de la plaque.
Proposer un schéma de montage, utilisant un potentiomètre, ainsi que le 
protocole expérimental qui

permet d'avoir U H 0 = O .

Il. Régime variable dans la plagne

On considère une longueur infinie de la plaque selon l'axe des x. Elle est 
située dans un champ
magnétique produit par des sources autres que le courant électrique dans la 
plaque et que l'on
appellera champ magnétique extérieur. Ce champ magnétique extérieur varie dans 
le temps. Dans
un premier temps, la plaque n'est connectée à aucun circuit électrique : on dit 
que le courant de

commande est nul (fig. 2)

Tournez la page S.V.P.

On veut déterminer la densité volumique du courant électrique et le champ 
magnétique dans la
plaque. On étudiera ensuite l'effet de ces courants sur la tension de Hall.

Soit ËZ, Ë et Î les champs suivants :

B : Be(t)Z le champ magnétique extérieur,

EUR

Ë : B( y,t)1î le champ magnétique dans la plaque,

__.

J = ] ( y,t)Zaî la densité volumique du courant électrique induit dans la 
plaque.

On considère cette fois que le champ magnétique créé par les courants 
volumiques de la plaque
n'est plus négligeable. La densité volumique des charges électriques dans la 
plaque est nulle.

Les propriétés 50 et #0 de la plaque sont celles du vide.

11.1. Ecrire les quatre équations de Maxwell dans la plaque. On considère le 
régime quasi-
stationnaire ; préciser l'approximation qui en découle.

11.2. En déduire div 7 dans la plaque.

11.3. Exprimer rot? en fonction d'une dérivée partielle de Ë en supposant que 
la loi d'Ohm locale

établie en 1.3. est toujours valable. De cette expression de rot] et de l'une 
des équations de
Maxwell, déduire deux relations liant B( y, t) et J(y,t) ou leurs dérivées 
partielles.

11.4. En déduire l'équation aux dérivées partielles vérifiée par J( y, t).

On se place en régime harmonique : Be : Boys/î cos (OIL--£: et

_.

Î = J(y)ficos(wt + ça(y)) ux
A une fonction A(y,t)=A(y)ficos(afi+ça(y))=Re{fiA(y)ejw(ÿ)ew}, on associe 
l'image

' A . . . . A
complexe _A_(y) = A(y)efæm . Donc à a--, on assoc1e 1604 et a êê--, on assoc1e 
£.
dt dy dy
wa
On pose 0! : 'u°2 et k2 : jw,u00'

11.5. Ecrire l'équation différentielle vérifiée par l'image complexe de la 
densité volumique de

courant 1( y ).
A une date quelconque t, J(y,t) est une fonction impaire de y. Donner la 
relation liant J(--y) à J( y ),

celle liant (p(--y) à ça(y) et celle liant l(y) à _J_(--y).

En déduire la solution 1( y ) de l'équation différentielle à une constante 
multiplicative près.
En raisonnant sur les symétries, justifier la parité de J( y, t ) par rapport à 
la variable y.

11.6. A partir de la solution 1( y ), donner l'expression de _3( y ). Quelle 
est la parité de cette fonction ?

Justifier qualitativement que _lî (i%) : Boe

En déduire l'expression complète de l ( y) et de _B_(y) .

11.7. On considère maintenant que la plaque est connectée à un circuit. Elle 
est traversée par un

_ [ _. \
courant de commande constant d'intensité I et de densité uniforme JO O=BBu se 
superposant a la

densité de courant calculée ci-dessus. Ce courant produit dans la plaque un 
champ magnétique BO .

Justifier que BO = B0(y)iiZ .
Quelle relation lie BO(--y) à B0(y) ? Quelle est la valeur de BO(O) ?

dBO .
d : "OJO. Exprimer alors B0(y).
Y

Montrer que

11.8. Justifier que la tension Hall instantanée a pour expression :
b

UH (t) = CH Î(JO + ](y,t))(Bo(y) + B(y,t))dy

_2
2

+b/2

Montrer que UH (t)-- ---- ------[BO ( y)B( y t)]_})/2 et exprimer la valeur 
efficace de la tension de Hall UH6

"0
en fonction de CH, 11, I et Boa. Proposer une conclusion.

III. Effet ioule dans la plaque

Si les courants induits ne modifient pas la tension de Hall, par contre ils 
limitent le domaine de
fonctionnement de la sonde de Hall. On est toujours dans le cas d'un régime 
harmonique pour le

champ Ê=B [cos cut u et la plaque est traversée par le courant de commande d' 
intensité I.

B()L

111.1. Exprimer la puissance Pn dissipée par effet Joule sur une longueur EUR 
de la plaque en fonction
de O', 1, h, b, et EUR , lorsque BW = 0.

111.2. La loi d'Ohm locale établie en 1.3. étant toujours applicable, montrer 
que la puissance
moyenne P( y ) de l'effet Joule en un point quelconque de la plaque est égale à 
la somme P 1 + P2( y )

de la puissance P; de l'effet Joule dû à îo et de la puissance moyenne de 
l'effet Joule P2( y) dû aux

courants Î induits dans la plaque.

111.3. Pour déterminer P2( y ) on suppose que le champ magnétique créé par les 
courants induits dans

la plaque est négligeable devant le champ magnétique extérieur B -- --B (t)u.

31 83,

Donner la relation liant --(y, t) et
dy dl

. En déduire J(y), puis P2(ÿ) en justifiant que J(O) : 0

111.4. Exprimer en fonction de O', B06, h, b et EUR et de la fréquence f, la 
puissance moyenne Pn
dissipée par effet J oule dû aux courants induits pour une longueur EUR de la 
plaque.

Tournez la page S.V.P.

111.5. En régime stationnaire, la puissance totale PT : PTI + Pn sera dissipée 
vers l'extérieur par
transfert thermique.

La puissance du transfert thermique est égale à aSAT :

a est le coefficient de transfert thermique exprimé en W.m'2 .K'1,

S est la surface d'échange entre la plaque et l'extérieur, h étant négligeable 
devant EUR et b.

AT est l'écart de température entre la plaque et l'extérieur.

En imposant AT, exprimer l'intensité I du courant de commande en fonction de &, 
AT, O', 17, h , fet

Bag.

111.6. On appelle I,, l'intensité du courant de commande pour cette valeur de 
AT lorsque le champ

magnétique extérieur Ë. est indépendant du temps ou nul.

. I , ,. . , , . . . . , ,
Exprimer le rapport -- , I etant lmtens1te def1n1e a la quest10n precedente.

ISI
AN: h : 3,0.10'4 m
b : 3,0.10'3 m
B.... =0,10 T
a = 40 W.m'2.K'l
AT=25K
Pour In Sb: a : 2,0.104 ..."

Calculer la fréquence f pour laquelle --I-- = 0,5.

I

S!

Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 2 PC -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Fourmond (ENS Ulm) ; il a été relu par Éric
Armengaud (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (ENS Lyon).

Ce sujet se compose de deux problèmes distincts :
· Le premier considère deux arbres reliés électriquement et étudie les moyens
de transmettre un couple entre eux uniquement à l'aide des courants induits.
Il commence par une étude en régime permanent suivie d'une étude dynamique.
Ce problème permet, grâce à des questions de difficulté croissante, de 
travailler
sur l'induction et la notion de couple.
· Le second problème propose une modélisation de l'effet Hall dans un conducteur
afin de comprendre le fonctionnement d'une sonde de champ magnétique. Il
commence par une modélisation en régime permanent, s'intéresse ensuite à ce
qui se passe dans le cas d'un champ extérieur variable, pour finir avec une
estimation de la chaleur dissipée et de la variation de température que cela
entraîne.
C'est un problème assez complet pour travailler sur les champs magnétiques,
leurs symétries, les équations aux dérivées partielles et la notation complexe. 
La
majorité des questions sont relativement simples ; quelques-unes, plus 
délicates,
demandent de prendre des initiatives. En outre, deux questions de ce problème
reposent sur une supposition assez discutable de l'énoncé, ce qui ne rend pas
les choses faciles.

Indications

Premier problème
2.1 Remarquer que le champ des forces de Laplace est uniforme.
4.1 Écrire le théorème du moment cinétique pour chacun des disques, et 
introduire
.
4.2 Prendre la somme des équations obtenues à la question 4.1.
4.3 Penser à faire un bilan d'énergie.

Second problème
I.1 La force de Lorentz dévie les électrons sur les bords et engendre une 
accumulation de charge sur les bords, ce qui crée un champ électrique. Calculer 
sa valeur
à l'équilibre.

-

-
I.3 Exprimer E en fonction du champ total E et reporter le résultat dans la loi
d'Ohm.
I.6 Montrer que mettre un potentiomètre entre deux points le long du même côté
permet en quelque sorte de « déplacer » la soudure.
II.2 Utiliser l'équation de Maxwell-Ampère.

-
II.5 Pour justifier la parité de J , remarquer que le système est laissé 
invariant par
une symétrie axiale.
II.6 Écrire les relations de continuité du champ en y = ±b/2.
-
 -

II.7 Supposer que h  b et que cela se traduit par B0 = B0 (y).
II.8 Pour calculer UH , ne pas expliciter B et B0 mais utiliser les questions 
II.3 et
II.7. Exprimer le résultat en fonction de h et non de n.
III.1 Écrire la résistance du conducteur envisagé en fonction de sa 
conductivité.
III.3 Utiliser un résultat de la question II.3 et justifier que J(0) = 0 de la 
même
manière qu'à la question II.5.
III.5 Ne pas oublier que la plaque a deux côtés !

Premier problème
Transmission entre deux arbres
, -

-

Pour plus de clarté, on note -
u
r u et uz les vecteurs de base des coordonnées
cylindriques d'axe (O1 O2 ).
1. Forces électromotrices
1.1 En se plaçant dans le référentiel du disque, on observe un champ électrique

-

-

E induit = -
v B

où -
v est la vitesse du point considéré dans le référentiel du laboratoire.
Cette formule n'est vraie que pour un changement de référentiel galiléen ­ et
pour des vitesses faibles. Cependant, on peut à chaque instant attacher un
référentiel galiléen à chaque point de la roue, ce qui permet d'étendre cette
relation à notre cas qui n'est pas galiléen.

 -
-
dV = - E · d 

Puisque
on a

V(A1 ) - V(O1 ) =

Z

=

Z

O1

-
-

E induit · d 

A1
O1

 -
-
-

v  B · d

A1

-

-

v =-

r = r 1 -
u
1

Comme

-
-

-
) = r  B -

v  B = r 1 B (-
u
u
u

z
1
r

on a

Ici, l'énoncé nous demande explicitement de calculer cette intégrale le long
du rayon O1 A1 . Il convient cependant de vérifier qu'elle ne dépend pas du

-
chemin d'intégration. E induit est radial et ne dépend que de r, son rotationnel
est donc nul. Il s'agit bien d'un champ dérivant d'un potentiel ­ son intégrale
le long d'un chemin ne dépend que des points initial et final.
On veut calculer une force électromotrice. On travaille donc en convention 
générateur
(flèches orientant le courant et la tension dans le même sens). e1 est donc la 
différence
de potentiel entre A1 et O1 . Comme on intègre le long du rayon O1 A1 , on a

-

d  = dr -
u
r
Z a
donc
e1 = V(A1 ) - V(O1 ) =
1 B r dr
r=0

c'est-à-dire

e1 = 1 B

a2
2

1.2 On obtient avec le même raisonnement qu'à la question précédente
a2
2
Cependant le courant traverse le disque dans l'autre sens, donc en conservant la
convention générateur, on a
V(A2 ) - V(O2 ) = 2 B

e2 = V(O2 ) - V(A2 )
e2 = -2 B

a2
2

1.3 Le circuit total est équivalent à
i

On en déduit

e1

R

d'où

Ri = e1 + e2

i=

B a2
(1 - 2 )
2R

e2

2. Force et couple

-
2.1 La force de Laplace qui s'exerce sur un élément de conducteur d  traversé 
par
un courant i est donnée par
 -
-
-

d FL = i d   B
-

où i est compté positivement s'il va dans le sens de d  .
Ici, on modélise la distribution de courant sur le disque par une ligne de
courant le long de [O2 A2 ].
En intégrant de A2 à O2 , on obtient la force sur tout le rayon
Z O2
 -
-
-

FL =
i d  B
A2

=i

Z

O2

A2

!
-

-
d  B

--- -

= iA2 O2  B
-

FL = i B a -
u

-
Ici, on intègre de A2 à O2 pour que i soit dans le sens de d  .