CCP Physique 2 PC 2000

Thème de l'épreuve Étude des propriétés d'un ferrofluide ; action d'un champ magnétique sur un milieu ferromagnétique. Propagation dans une ligne électrique de transmission.
Principaux outils utilisés magnétisme de la matière, mécanique du point, mécanique des fluides, électrocinétique, électromagnétisme

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SESSION 2000 PC009

A

CONCOURS (0MMUNS POLYTECHNIQUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE PC

PHYSIQUE 2

DURÉE : 4 heures

L 'utilisation des calculatrices est autorisée - Les deux problèmes sont 
indépendants.

PROBLEME I-- SEPARATEUR MAGNETIQUE A FERROFLUIDES

Un fluide magnétique est une suspension colloïdale, stable et homogène,de 
particules
ferromagnétiques de diamètre moyen inférieur à 10 nm dans un fluide de base. Le 
liquide de base
confère au ferrofluide ses propriétés hydrodynamiques, tandis que les 
particules ferromagnétiques
assurent une perméabilité magnétique relative de l'ordre des unités.

La relation entre les vecteurs ËetË est Ë=uo(IÏI+M), où Ëreprésente le champ

magnétique, ËI l'excitation magnétique et M le vecteur aimantation. La relation 
M = M(H)
linéarisée est donnée dans la figure 1 :

M X...H pourHH0 ; HOMS=4OmT

5

où x... est la susceptivité magnétique du ferrofluide.

Les vecteurs É, M et Ë sont colinéaires et B, M et H

représentent le module des vecteurs.
On peut donc écrire, pour un fluide non saturé (HHo

Expliciter les constantes A1, A2, C1.

Pour la suite on prendra A1 = 0,775 8.1.
A2 = 2,32.10'2 5.1.
C. = 22,2 S.I.

L'énergie magnétique du système considéré est localisée entre les pièces 
polaires avec une
2 2
den51te volum1que W... = H--2-- dans le flu1de magnet1que, et uo ? dans le 
petit corps.

1.5.2 On note : UË le volume du fluide magnétique

o le volume du petit corps
et U : UÊ + D

Le corps étant très petit, on peut considérer que l'énergie magnétique dans le 
domaine du
H2(Z)

2 0, où 2 est la position du centre de masse du corps.

corps est po

Exprimer l'énergie magnétique du système comme la somme de deux termes, dont 
l'un sera
indépendant de z et se calcule comme une intégrale sur D , et l'autre fonction 
de 2.

1.5.3 Retrouver, par des considérations énergétiques, l'expression de la force 
Fm .

1.6. Traiectoires des particules dans le séparateur magnétigue

On considère un petit corps de perméabilité po de masse m , volume 0 et masse 
volumique p,

----- --.

lancé à l'instant t = 0 avec la vitesse initiale V0 Vox +YOZ dans la zone 
active du séparateur
(figure 5).

Fig.5

On note Pe la masse volumique du fluide et on néglige la force que le fluide 
oppose au mouvement

du petit corps.
1.6.1 Ecrire l'équation différentielle satisfaite par f(t) avec 'r' = O_M.

1.6.2 On considère le cas H>Ho et on note :
N iCl

%
champ magnétique.

pl; : p [ + la masse volumique apparente du fluide magnétique en présence du

Déterminer les équations paramétriques de la trajectoire du petit corps x(t) et 
z(t).

On considère maintenant V0 : VoüX et on note x* la valeur de x pour 2 = h.

1.6.3 Montrer que dans le cas H>H0
1/2

Tournez la page S. V. P.

1.6.4 Calculer le nombre d'ampères tours N i pour lequel le petit corps reste à 
la surface du fluide
magnétique.

Application numérique : pe : 1500 kg/m3 ; p = 8900 kg/m3 et g = 9,81 m/s2

1.6.5 Déterminer z = z(x) pour HI
X
0

on modélise un élément de longueur dx par le quadripôle représenté dans la 
figure 2.

i(x,t) R0dx Lodx i(x+dx,t)

Fig.2 u(x,t) C dx È G dx u(x+dx,t)

0 0

où R... L.,, G.,, et C0 représentent respectivement la résistance, 
l'inductance, la conductance et la
capacité par unité de longueur de ligne. Les bornes H 'et 2--2' représentent 
respectivement l'entrée

et la sortie d'une ligne de longueur ! .

11.1. Déterminer le système d'équations aux dérivées partielles satisfait par 
u(x,t) et i(x,t) en
appliquant les lois des mailles et des noeuds sur le quadripôle de la figure 2.

11.2. A quelles grandeurs locales du champ électromagnétique correspondent les 
grandeurs
intégrales u(x,t) et i(x,t) ?

Pourquoi le mode de propagation réalisé par ce système s'appelle transverse
électromagnétique (TEM) ?

11.3. On considère, pour une ligne de longueur EUR , le régime sinusoïdal 
permanent.
On note: Ï2 = (R0 +joeLOXGO +joeCo)
avec X=OE+jB ; a=a(oe)>0 ; B=B(oe)>0
où y est la constante de propagation, on la constante d'atténuation, B la 
constante de phase.
A une grandeur sinusoïdale :

u(x,t) : U(xficos(oe t+ (p(x)), on associe l'image complexe Q(x) : U(x)e"(x) .

11.3.1 Ecrire le système d'équations différentielles satisfait parQ(x) et 1(x), 
puis l'équation
différentielle satisfaite par Q(X).

11.3.2 Exprimer les solutions Q(X) et 1(x) en fonction de deux constantes A] et 
A2 , de y et de

l'impédance caractéristique de la ligne

' L
Ze = --R°--OEÈ--°-- ; on posera Z() : °
G0 + JCOCO C0

11.3.3 lnterpréter chaque terme de la solution 1_J(x)et donner leur expression 
en fonction de x et
de t. Préciser la vitesse de phase et la longueur d'onde.

11.4. Pourquoi le fait que la vitesse de phase v dépende de a) est dérangeant 
pour une

. . R G . . . .
communication téléphonique ? Montrer que 51 L--° : C--° , la ligne dev1ent sans 
d15per51on.
() 0

11.5. Déterminer Q(x) et 1(x) en fonction de 3 = Q(o) et I_ = I(o) .

11.6. Entre les bornes 2 - 2', on branche un dipôle d'impédance Z .

Tournez la page S. V. P.

Calculer l'impédance d'entrée :

z =ËL
11

_e en fonction de Z, &&

Que devient cette expression pour une ligne sans atténuation (RO= 0 ; Go= O)? 
Exprimer
U(x) et l(x) dans ce cas.

. , . À , . .
Il.6.l Pour une ligne sans attenuatron de longueur [ = --, determiner Ze 51 
entre le bornes 2 - 2' on

4
branche un condensateur de capacité C.

II.6.2 Pourquoi un générateur n'apprécie pas une ligne de longueur EUR = , sans 
atténuation,

Z
connectée à ses homes l - l' '?

II.7 On considère le montage suivant :

llT1
IN

l' EUR 2'

[1.7.1 Déterminer le courant l(x) en fonction de E,Zg,ZC et des coefficients de 
réflexion en

courant
6 _Z A , Ze _Zg ,. , , ,
p = " * cote charge et p = cote generateur.
_} ZC+Z _2 Zc+Zg
E --2
On note 10 : --Z et oc=p,p,e YZ
Zg + _c

[1.7.2 Pour des charges Z passives la] < 1 .

l
1--oc

En développant en série, interpréter les termes de l(x).

Fin de l'énoncé

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CCP Physique 2 PC 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Franck Stauffer (ENS Lyon) ; il a été relu par 
Yannick
Alméras (ENS Ulm) et Péter Horvai (ENS Ulm).

L'épreuve se compose de deux problèmes indépendants.
Dans le premier problème, on se propose de faire l'étude d'une solution 
ferrofluide
placée dans l'entrefer d'un électroaimant qui constitue un séparateur 
magnétique. Si
les questions préliminaires relèvent du cours, le problème va bien plus loin, 
et toutes
les connaissances sur le magnétisme dans la matière y sont largement exploitées.
On met notamment en évidence l'analogie entre la poussée d'Archimède et la force
exercée par un ferrofluide sur un corps de perméabilité µ0 .
Le second problème traite, quant à lui, de la propagation des ondes 
électromagnétiques dans une ligne de transmission. Bien qu'un peu plus 
calculatoire que le
précédent, il se révèle intéressant et fait partie des « classiques » qu'il 
faut savoir
traiter. On y détaille notamment les problèmes liés à la propagation dans ces 
lignes,
dans différentes situations et pour différentes conditions aux limites.

Indications

Problème I
I.2.1 Utiliser les propriétés magnétiques du fer.
I.2.2 Penser à évaluer la circulation sur une ligne de champ.
I.2.4 Il faut utiliser les résultats de la question I.2.3.
I.3 En considérant l'action du champ sur les particules du fluide, établir 
l'existence
d'un gradient de pression.
I.4.1 Ne pas oublier que l'on fait l'hypothèse que le champ magnétique et le 
moment
magnétique sont alignés.
I.4.3 Faire une simple analogie avec la question I.4.1.
I.5.1 Penser à utiliser la formule de Green-Ostrogradsky.
I.5.3 Faire un bilan d'énergie pour le système {corps + fluide}, afin d'évaluer 
l'énergie
à fournir pour faire passer le corps de z à z + dz.
I.6.1 Faire le bilan de toutes les forces qui s'exercent sur le corps.
I.6.5 Adapter le résultat de la question I.6.1.

Problème II
II.1 Pour cette question, se limiter au premier ordre en dx.
II.3.1 Exprimer l'opérateur de dérivée temporelle en notation complexe.
II.6 Déterminer la condition imposée par la présence de Z.
II.7.1 Adapter le raisonnement de la question II.6.
II.7.2 Penser à une analogie optique.

Problème I

I.1

Séparateur magnétique à ferrofluides

Questions préliminaires

I.1.1 On appelle cycle d'hystérésis d'un milieu ferromagnétique, la courbe 
représentant la variation du champ magnétique total B en fonction de 
l'excitation magnétique
H du matériau. Voici la courbe que l'on obtient :
B

pente µ0

Br

-Hc

pente µ0

Hc

H

-Br

­ L' induction rémanente Br est définie comme la valeur de B pour une 
excitation magnétique H nulle.
­ Le champ coercitif Hc est défini comme la valeur de H pour un champ 
magnétique B nul.

La modélisation physique des systèmes ferromagnétiques peut être réalisée
de diverses manières. Il y a notamment le modèle (approché) du champ 
moléculaire de Weiss, qui a l'avantage d'être simple à résoudre et de donner
des résultats satisfaisants ; des considérations de mécanique quantique 
permettent de justifier cette approche. On peut aussi citer le modèle d'Ising, 
qui
compte parmi les modèles les plus utilisés. Moins approximatif que le 
précédent, il est aussi plus difficile à résoudre et n'a d'ailleurs aucune 
solution
exacte pour les systèmes tridimensionnels. Actuellement il n'existe pas de
modèle exact du ferromagnétisme.

I.1.2 Voici le schéma d'un dispositif permettant d'obtenir le cycle 
d'hystérésis d'un
matériau ferromagnétique (représenté par un tore).

i1

i2

Rp

Y

n1

u1

E

Rs

n2

u2

C

X

Le générateur délivre une tension sinusoïdale d'amplitude 24 V à une fréquence 
de
50 Hz. En pratique, les ordres de grandeur des composants sont les suivants :
n2
n1 =
 500 spires
2
Rp  quelques 
Rs  10 k
C  10 µF
On peut montrer que, dans ces conditions, UX  H et UY  -B. En effet, si l'on
note l la longueur moyenne du circuit magnétique, le théorème d'Ampère donne
Hl = n1 i1 + n2 i2
Le choix des composants impose par ailleurs |n2 i2 |  |n1 i1 |, donc
H=

n1 UX
Rp l

Par ailleurs, S désignant la section moyenne du milieu ferromagnétique, et B le 
flux
du champ magnétique à travers cette surface,
Z
1
UY =
u2 dt
Rs C
Z
1
dB
=-
Rs C
dt
Z
1
dB
UY = -
n2 S
dt
Rs C
dt

donc

B=-

Rs C
UY
n2 S