CCP Physique PC 2015

Thème de l'épreuve Thermohydraulique, lunette astronomique et récupération d'énergie vibratoire
Principaux outils utilisés diffusion thermique, thermodynamique, mécanique des fluides, optique géométrique, mécanique, électrostatique
Mots clefs bilans en mécanique des fluides, pertes de charge, lunette astronomique, diaphragme de champ, diaphragme d'ouverture, résonance, filtre, condensateur

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2015 PCPH003

_:â=_ CONCOURS COMMUNS
- - POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

PHYSIQUE

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'énonce', il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Les trois problèmes sont indépendants.
Leurs poids respectifs sont approximativement de 50 %, 15 % et 35 %.
PROBLEME A : ELEMENTS DE THERMOHYDRAULIQUE

Ce problème a pour objectif d'étudier des aspects de thermohydraulique du 
combustible nucléaire
des réacteurs nucléaires à eau pressurisée (REP). Les REP exploitent l'énergie 
libérée par la fission
de noyaux d'uranium 235 provoquée par des flux de neutrons pour chauffer l'eau 
d'un premier
circuit, appelé circuit primaire. Le combustible nucléaire est le siège des 
réactions de fission. Il est
confiné dans des gaines métalliques. La forme chimique de l'uranium qui a été 
retenue pour le
combustible des REP est l'oxyde UO2, qui est plus stable chimiquement avec 
l'eau, en cas de
rupture de la gaine.

Si le combustible nucléaire possède généralement une géométrie cylindrique, il 
peut être
parallélipédique comme dans le présent problème, il est alors qualifié de 
combustible << plaque >>.
Pour limiter les températures de la gaine et de l'UOg, il faut maintenir une 
circulation minimale de
l'eau du circuit primaire. Ce débit dépend directement des pertes de pression 
dues à la circulation
du fluide.

Dans une première partie, nous allons étudier la thermique simplifiée d'une 
plaque de combustible
nucléaire sans sa gaine. La deuxième partie conduit à l'élaboration du profil 
radial de température
du combustible avec sa gaine. La troisième partie permet l'évaluation des 
pertes de pression, ce qui
fixe une première contrainte quant au dimensionnement de la pompe associée au 
circuit primaire.

Les trois parties A.1, A2 (à l'exception de la question A.2.2 liée à la partie 
A1) et A3 sont
indépendantes.

1/15

A.1- Thermique (simplifiée) d'une plaque de combustible nucléaire sans la gaine

Soit une plaque de combustible nucléaire dans laquelle des réactions 
nucléaires, réparties
uniformément, dégagent une puissance thermique volumique % constante. % = 500 
W.cm'3 est la

puissance thermique produite par unité de volume de combustible. Cette plaque 
parallélipédique est
d'épaisseur 2 -e = 4,0 mm, de largeur ] = 7,5 cm et de hauteur H= 1,0 m (figure 
1).

Le combustible nucléaire est un corps solide homogène de masse volumique p, de 
capacité
thermique massique (: et de conductivité thermique  = 3,65 W.m'l.K'l. Nous 
supposerons que p, Â
et (: sont indépendants de la température. Dans tout ce problème, on se placera 
en régime

permanent, dans le plan (sz) et à une cote z fixe pour établir les profils de 
température T (x) selon

l'axe des x. On suppose qu'il n'y a pas d'échange d'énergie autre que par 
conduction et selon la
direction x. Dans ces conditions, la plaque est réfrigérée à gauche par un 
fluide 1 qui impose une

température de paroi T1 = T (x = --e) et à droite par un fluide 2 qui impose 
une température de paroi

T,=T(x=e).

On rappelle que l'expression générale de l'équation de la chaleur s'écrit : p - 
c - % = % + /1 - AT , où

AT représente le laplacien de la température T. En coordonnées cartésiennes, 
l'opérateur laplacien

2 2 2
. T T T
ATapourexpress10n: AT=a 2 +8 2 +8 2 .
dx dy 82
Axez +
+Axez :
. l :
A: 5
i : UO2 > :
H { ?
Fluide 1 : Fluide 2 : ,v Axe y
A Ë2.e_ : .»'
' 1 ' _._._._._._O.l_.:.æ_'ïî_ -.-. ..... >
: _,-"" : Axex
___._._ V! ........ >AXÛX /_,-' |
x=-e ! x=+e , '

Figure 1 : plaque de combustible nucléaire sans gaine avec son refroidissement

A.1.1- Donner l'expression littérale de la puissance thermique Eh produite dans 
le combustible,
puis calculer sa valeur.

A.1.2- Donner l'expression littérale de T (x) en fonction de ça... T1, T,, e et 
À. En déduire

l'expression littérale de x

max 9

valeur de x pour laquelle la température est maximale, ainsi que cette

dernière, T

max 9

en fonction de % , T1 , T2 , e et À.

2/15

A.1.3- Dans le cas où T1 = T2 = 540 K, calculer les valeurs de xmaX et T % , 
puis tracer le profil de

m

température T (x) dans la plaque

A.1.4- Dans le cas où T1 = 580 K et T2 =540 K, calculer les valeurs de xmaX et T

max 9

puis tracer le

profil de température T (x) dans la plaque

On considère que les fluides de refroidissement arrivent a la même température 
et a la même
pression en bas de la plaque combustible (Z = 0) mais possèdent des vitesses 
d'écoulement
différentes : v1 pour le fluide l et v2 pour le fluide 2.

En justifiant votre réponse, dire lequel de ces deux fluides possède la vitesse 
d'écoulement la plus
élevée pour avoir T1 > T2 .

A.2- Profils de température

A.2.1- On considère un solide formé de deux parties parallélipédiques 
distinctes A et B, de même
hauteur H, de même largeur ], mais d'épaisseurs différentes, respectivement el 
et 62 (figure 2).
Leurs propriétés physiques sont homogènes mais différentes. On leur associe 
respectivement les
conductivités thermiques ÂA et ÂB. Il n'y a aucun dégagement de puissance dans 
ces deux solides

qui, par ailleurs, sont reliés sans résistance thermique. Les températures TO 
=T(x=0) et

T2 =T(x=e1 +e,) sont fixées.

A
AXGZ !
I
']:
61 62
H
_", ----- > Axex
x_ | 36:61 x=el+e2

Figure 2 : solide composé de deux parties A et B

On suppose qu'il n'y a pas d'échange d'énergie autre que par conduction et 
selon la direction x.
Déterminer, en le justifiant, si chacun des quatre profils de température T (x) 
proposés (figure 3,

page suivante) est, en régime permanent, possible ou non. Pour le ou les 
profils possibles, vous
préciserez le sens du vecteur densité de flux thermique ainsi que la ou les 
valeurs de la température

en x = 61 en fonction de M, ÂB, e1 , EUR, , T0 et T2 .

3/15

Î T(x) :profiln°l + T(X) :profil 1102

T1

| |
05 61 EUR1+EUR2 05 61 EUR1+EUR2
| |

À T(x) :profil n°3 {T(x) :profil n°4

81 el + 62 0 81 81 + 82

Figure 3 : profils de température dans un solide composé de deux parties A et B

A.2.2- Représenter, schématiquement, le profil de température radial T (x) en 
régime permanent, a z
fixé et compris entre 0 et H, dans la gaine et dans le combustible U02 d'une 
plaque combustible
gainée (figure 4). Le fluide de refroidissement arrive, de part et d'autre du 
combustible plaque, à la
même température et a la même pression en bas de la plaque combustible (z = O) 
et possède la
même vitesse d'écoulement. Il n'y a pas de fission dans la gaine. L'UOg et la 
gaine sont reliés sans
résistance thermique.

+ Axe 2
|

Z = H " "'T'T'T'T'T'T'T'T" UOZ
!H++û+++H
Ëñ*+*+*ü*+*+**ñ
Fñ*+*+*ü*+*+*"ñ
F**+* i*ñ
- a--a--aaaaxaa--a--
Game hË*ü*+***+*+*+*ë
}H++ü+++H
ÉË*+*+*ü*ü*ü*ü*fl

-+*++ +++e
H++ ++H.
Ë** gm

Gaine

-+*+ +*
HHHËËHËHËË
%Häü%ä*ä
-++++++**+o

iH++ü+++H
rä+:+:+ä+ä+ä+ä
!H++ü+++ü;l
ñä*+* **+îfl

Fluide de
refroidissement

Fluide de
refroidissement

z=O ------+ Axex

Figure 4 : élément combustible plaque avec sa gaine

4/15

A.3- Pertes de pression dans une conduite

Le combustible nucléaire, isolé par sa gaine, est réfrigéré par une circulation 
d'eau appelée << eau
primaire >>. Cette eau s'écoule de façon unidimensionnelle ascendante dans une 
conduite de section
rectangulaire et constante, de surface S, de largeur ] = 7,5 cm égale à la 
largeur de la plaque
combustible et d'épaisseur d = 5,0 mm (figure 5). Cette conduite est aussi 
appelée canal. Au cours
de son parcours dans le canal, l'eau primaire est chauffée à puissance 
constante sur toute la hauteur
H = 1,0 m de la conduite.

La pression en sortie de la conduite (2 = H) est maintenue constante à 6,89 MPa.

Les caractéristiques du fluide en entrée en 2 = 0 sont : température Te = 477 
K, enthalpie massique
he = 872 kJ.kg'l, masse volumique pe = 858 kg.m'3 , viscosité dynamique ,de = 
1,35 .10'4 Pas.

Les propriétés physiques de l'eau a 6,89 MPa sont: température de saturation T 
= 558 K,

sat
enthalpie massique à l'état de liquide saturant h' =l 260 kJ.kg'l, enthalpie 
massique à l'état de
2 770 kJ.kg'l.

vapeur saturante h

rrff++
;+++++
535355

jj}? Section de

passage S = l - d

r+++++
.+++++,
ÆËËËËË
Fÿ-ÿ+ÿ+ÿ+ÿ+ÿ+
ÈËhfifi*
ÈËËËË
++++++
h+++++

l|"+"'+'+'+"' "' + + + +
Ëflfifififi ËËËËË
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Fflfifififi PËËËËË
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flflfifififi FËËËËË
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Fluide
primaire (H20)

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+++++

.i+fi.ü+fi+ ll-

' ' '+'+'+
+++ ++++++

. _ "
'+H+++
++-+++4
Il.+L-L+A+L+fl

Figure 5 : fluide dans une conduite de section rectangulaire

Pour les questions A.3.1-, A.3.2- et A.3.3-, on considérera la pression de 
l'eau primaire constante à
6,89 MPa dans toute la conduite.

A.3.1- On rappelle que l'équation locale de conservation de la masse dans un 
milieu sans source ni

a M --
puits s'écrit: %+div(p(M,t)-v(M,t)) = 0 avec p(M,t) la masse volumique du 
fluide en

un point M et a un instant [ donné, Î)(M,t) le vecteur vitesse du fluide en un 
point M de la conduite

et a un instant [ donné. On considère un fluide monophasique liquide qui 
s'écoule de façon
ascendante selon l'axe des 2. Il possède, à la cote 2, une masse volumique p(z) 
et une vitesse v(z)

(figure 5).

5/15

Montrer que, lorsque l'écoulement est en régime permanent, la vitesse massique 
G(z) : ,a (z) - v(z)

et le débit massique D... (z) : p(z)-S -v(z) sont indépendants de la cote z. 
Ils seront désormais

notés respectivement G et Dm.

A.3.2- On considère comme système un volume de conduite fixe cl V, de section 
constante S (figure
6), parcouru, de façon ascendante, par un fluide. Le fluide entre dans le 
volume cl V a la cote z, a la

pression P(z) , avec une vitesse v(z) et une enthalpie massique h(z) , il en 
sort a la cote z+dz , a

la pression P(z + dz) , avec une vitesse v(z + dz) et une enthalpie massique h 
(z + dz).

Fluide

Combustible
plaque avec

sa gaine

Système : volume
de conduite fixe cl V

: +
++

: +_._+++

:++

++ Y :++
+++--|- _++++++
++ ++ -+++++
...:A : W
& +++++

Z

+

++;-

"'-|.

5'

"'-|.

_;El:

"'-|.

+
+
+
+1:

"'-|.

+

+
H:
| | | | |
..*+I+I

+

+
++
ll+=

+.l.

. . . ._|_ .+.
+ + ++++ + + ++
++ +

+ ++

+

+

+

++

- -l - + + + + + -
55551 555555
+.+.+.H.+. +.+.+.+.+.+

Figure 6 : volume de conduite fixe
traversé de façon ascendante par le fluide

Le bilan de conservation de l'énergie interne effectué sur le volume cl V = S - 
dz permet d'obtenir,
8 u

pour un fluide non visqueux, la relation :%-S - dz : D... -h (z) --D... -h(z + 
dz) + % -dz où % est
t

la puissance thermique échangée par unité de longueur, supposée ici 
indépendante de z, D... est le

débit massique et u la densité volumique d'énergie interne du fluide.

dh(z)
dz
l'expression littérale de l'enthalpie massique du fluide à la sortie de la 
conduite h, = h(z = H) en

fonction de: he, @, H et D...- On donne % =150 kW.m", D... = 0,10 kg.s'1 et H= 
1,0 m,

calculer la valeur de h,. Qu'en concluez-vous '? Calculer la cote zeb de 
transition

Montrer qu'en régime permanent cette relation se traduit par : D... : %. 
Déterminer alors

monophasique/diphasique dite cote d'ébullition.

Pour la suite du problème, afin de garantir un écoulement monophasique liquide, 
nous
considérerons désormais un débit massique de 1 kgs". Dans ces conditions, la 
masse volumique du
fluide en sortie de conduite ,0, sera égale à 806 kg.m'3 .

A.3.3- Vérifier, qu'avec ces nouvelles conditions, l'écoulement demeure 
monophasique liquide.

6/15

A.3.4- Un bilan de conservation de quantité de mouvement, projeté sur l'axe 2 
et effectué sur le
système cl V décrit précédemment, permet d'obtenir, pour un fluide monophasique 
non visqueux, la
relation :
8 m -v
%=,0(2)-S-(v(z))2 --p(z+d2)-S-(v(z+d2))2 +P(z)-S--P(z+d2)-S--p(z)-g-S-dz.
I

Comment est encore appelé ce bilan de conservation de quantité de mouvement en 
mécanique
lorsque la masse volumique p est constante '? Identifier les différents termes 
de la relation ci-dessus.

Montrer qu'en régime stationnaire nous obtenons la relation :

d(P(z))_ d(p(z)-(v(z)Y)
? dz --p(z)'g-

ZS d(p(z)(v(z))2) ZS
A.3.5- Les quantités J-- ai -dz et j--p(z)- g-dz représentent respectivement les
2

Ze Ze

pertes de pression dites par accélération AP et les pertes de pression dites 
par gravité AP .Dans

acc grav'

le cas général d'un fluide visqueux, des frottements doivent être prisf en 
compte et se traduisent par

-dz. Ces dernières font

des pertes de pression dites par frottement

APfrott_ =î_ 2 DH ,Û(Z )
1nterven1r plus1eurs parametres dont le d1ametre hydraul1que DH = ? , avec la 
sect10n de passage

m

S qui correspond a la section a travers laquelle le fluide peut s'écouler et Pm 
= 2-l le périmètre

mouillé qui correspond au périmètre des parois solides de la section en contact 
avec le fluide. Le
coefficient f est un facteur de frottement sans dimension relié au nombre de 
Reynolds Re, par la

relation de Poiseuille : f = % pour Re < 2 500 ou par la relation de Blasius : 
f = 0,316-R5 °'25
6
pour Re > 2 500.

A.3.5.a- On note P, =P(z=zs =H ) la pression du fluide à la sortie de la 
conduite et

P = P(z = z = 0) la pression du fluide à l'entrée de la conduite. Exprimer la 
perte de charge totale
AP= P-- P en fonction de AP AP et AP

acc ' gmv frott'

A.3.5.b- Calculer, dans un premier temps, la valeur de la vitesse massique G, 
puis évaluer la valeur
des pertes par accélération APacc

A.3.5.c- Pour calculer les pertes de charge par gravité, on définit une masse 
volumique moyenne

_ + S _
p =-- '0EUR 2 'OS et on considère alors que APg..._ -- _[ --,0 - g - dz. 
Evaluer APng
Ze
, . p-v-DH . . . , .
A.3.5.d- L express1on du nombre de Reynolds est Re = _ ou ,a est la v1scos1te 
dynam1que
,u

du fluide. Que représente physiquement ce nombre adimensionnel '? Calculer sa 
valeur en entrée de
conduite puis la valeur du facteur de frottement f associé

7/15

Pour la suite du problème, nous considérerons un facteur de frottement f 
constant tout le long de la
conduite et égal à 0,015.

Calculer alors les pertes de charge par frottement en considérant également une 
masse volumique

_ [Oe+IOS

moyenne ,a = ? constante le long de la conduite.

A.3.5.e- Qu'apportent les calculs précédents sur le dimensionnement de la pompe 
couplée au circuit
primaire '? La puissance de la pompe Wpompe dépend de la perte de charge totale 
AE , de Dm et de

pe. A l'aide d'une équation aux dimensions, donner l'expression de Wpompe en 
fonction de AB , Dm

et pe. L'application numérique donne Wpompe = 18 W, qu'en pensez-vous '?

A.3.5.f- Un REP possède plusieurs centaines d'éléments combustibles regroupés 
en une structure
d'allure cylindrique appelée << coeur >>. L'ensemble du coeur contient N = 2 
000 canaux identiques et
parallèles.

Quelle relation y-a-t-il entre la perte de charge totale dans le coeur AP et AB 
'?

COEURZÆI"

Quelle relation y-a-t-il entre le débit massique dans le coeur D et Dm '?

m _ coeur

En déduire la puissance de la pompe couplée au circuit primaire du REP.

PROBLEME B : LUNETTE ASTRONOMIQUE

La lunette astronomique est un systéme centré constitué d'un objectif et d'un 
oculaire. L'objectif est
assimilé à une lentille mince convergente de centre optique 01, de distance 
focale f '1 et de diamètre
D1. L'oculaire est une lentille mince convergente de centre optique 02, de 
distance focale f'2 et de
diamètre D2.

L'objectif donne, d'un objet éloigné, une image réelle appelée image objective. 
Cette dernière est
observée au moyen de l'oculaire.

B.1-

B.1.1- A quelle condition l'oeil d'un observateur, supposé sans défaut, 
n'accommode pas (ne se
fatigue pas)? En déduire la position relative de l'objectif et de l'oculaire. 
Ce système optique
possède-t-il des foyers '? Comment se nomme un tel système optique '?

B.1.2- Rappeler les conditions de Gauss. Réaliser un schéma, sans respecter les 
échelles, montrant
le devenir d'un rayon incident faisant un angle 9 avec l'axe optique et 
émergeant sous un angle 9'
dans les conditions de Gauss (figure 7).

01 02

Figure 7 : lunette astronomique

8/15

!

Déterminer l'expression du grossissement de la lunette G = ? en fonction de f1' 
et f2 , et calculer

ce grossissement si f1' = 1,0 m et f2 =20 mm.

B.2- On considère un faisceau lumineux issu d'un point objet A à l'infini sur 
l'axe optique de la
lunette (figure 8). Sans respect des échelles, représenter le devenir d'un tel 
faisceau lumineux limité
par la monture de la lentille objectif (encore appelée diaphragme d'ouverture).

' Monture de l'objectif
+ A A A
Di
01

02

; Y " V
V '

Figure 8 : lunette astronomique et diaphragme d'ouverture

Exprimer le diamètre D du faisceau de rayons issu de l'oculaire en fonction du 
grossissement G de
la lunette ainsi que du diamètre D1 du diaphragme d'ouverture.

Après avoir calculé la valeur numérique du diamètre D du faisceau de rayons 
issu de l'oculaire,
montrer que c'est le diaphragme d'ouverture, de diamètre D], qui le limite et 
non l'oculaire de
diamètre D2. On donne D1 = 10 cm et D2 = 6 mm.

B.3- On considère un objet ponctuel situé à l'infini en dehors de l'axe optique 
et dans la direction 9
par rapport a ce dernier (figure 9). Expliquer, de façon qualitative, ce qu'il 
advient des rayons
lumineux lorsque l'angle 9 devient trop important. On dit de la monture de 
l'oculaire qu'elle est le
diaphragme de champ de la lunette. Pouvez-vous justifier cette affirmation ?

'
A
'

Figure 9 : lunette astronomique et diaphragme de champ

B.4- L'objectif d'une lunette astronomique doit être capable de donner une 
image parfaite d'un
point infiniment éloigné. Pour cela, il doit, notamment, être achromatique. 
D'où provient
l'aberration chromatique d'une lentille ? Comment, en physique, qualifie-t-on 
ce type de milieu ?

9/15

PROBLEME C : RECUPERATION D'ENERGIE VIBRATOIRE

Le présent problème traite de la récupération de l'énergie générée par les 
vibrations ambiantes,
telles les vibrations induites par l'utilisation d'appareils domestiques ou 
industriels. On peut
également citer le coeur de l'être humain comme étant une source de vibrations.

Chaque source de vibrations aura son propre spectre (figure 10). Les 
caractéristiques du
récupérateur d'énergie en dépendront ainsi que de l'application envisagée.

Déplacement (m)

1EOEr.

'lE--[Ew

'FE--ü? J

1EOE4
IEOEa

'-FE--lüi

1El1

Accélération (m.s'2)

mm_
lfifl]+_
1Eflii
IEOE1_
1EOE4Ï

lE--Dl

Figure 10 : spectres des vibrations générées par un four à micro--ondes

Dans ce cadre, l'utilisation d'un système mécanique résonant comme récupérateur 
d'énergie va se
révéler pertinente. En effet, supposons que nous souhaitions récupérer de 
l'énergie d'une source de
vibrations à 200 Hz pour une accélération maximale de 5 m.s'2. Dans ces 
conditions, la structure
appelée boîtier, qui vibre, va se déplacer d'une amplitude d'environ 3 um. 
Puisqu'il est difficile
d'imaginer récupérer de l'énergie sur une structure mécanique qui se déplace 
aussi faiblement, nous
allons utiliser une structure mécanique résonante qui permet d'amplifier le 
déplacement.

Son modèle, représenté en figure ll, permet de donner une estimation de 
l'énergie théoriquement
récupérable à une fréquence et une accélération données. Il est composé 
essentiellement d'un
système masse ressort à un degré de liberté.

©»...

Figure ll : structure mécanique résonante

10/15

La masse dite sismique m est supposée ponctuelle et est repérée par la position 
du point M. Il s'agit
en fait d'une poutre. Cette dernière est reliée au boîtier vibrant via un 
ressort et via un amortisseur
modélisant un amortissement visqueux Â. Le ressort de constante de raideur k, 
de longueur à vide lo,
a son autre extrémité fixée au boîtier en B.

Le support est soumis aux vibrations Zvib (t) du milieu ambiant. On suppose que 
l'excitation est

sinusoïdale et unidirectionnelle. Les points du boitier oscillent donc 
verticalement a la pulsation a)
avec une amplitude Zvib dans le référentiel terrestre (9?) considéré comme 
galiléen muni d'un

_»

repere cartes1en (O,ex,ey,ez). Ams1, la pos1t10n du pomt A est reperee par sa 
cote:

zvib (t) = Zvib -sin(ca- [) . Ce déplacement induit un déplacement relatif de 
la masse sismique.

La position de la masse sismique est repérée dans le référentiel de la 
structure (9%) par sa cote Z(t)

sur l'axe (O'z) fixe par rapport au boîtier. L'origine de O' de cet axe 
correspond a la position
d'équilibre de M en l'absence de vibration. Suite a une vibration sinusoïdale, 
la position de M dans

(9%), par rapport a sa position d'équilibre, est de la forme : z(t) = Z 
-sin(æ-t+ça) . Nous pouvons

alors associer à Zvib (t) et Z(t) les notations complexes Zvib ( jw) et Z ( jw) 
reliées par la fonction

&)
Z ' --2
de transfert Æ ( jw) :Æ ( jw)= _(](_0) = 600 . (0 représente la pulsation de
2 ()
Zvib(]w) 1_ w +j..l£
5002 Q wo

résonance et Q le facteur de qualité.

Ainsi, si on ajuste la fréquence de résonance a celle des vibrations, avec un 
facteur de qualité de
100, l'amplitude de vibration de la masse sismique est de 300 um. C'est sur ce 
principe que
fonctionnent les micro générateurs résonants.

Il existe trois méthodes différentes de transduction utilisables pour 
transformer l'énergie mécanique
en énergie électrique : électrostatique, électromagnétique ou piézoélectrique. 
Les deux premières
seront étudiées dans les parties C.3- et C.4-. La troisième méthode, qui met en 
oeuvre des matériaux
piézoélectriques, ne sera pas étudiée ici.

Le tableau suivant compare les densités d'énergie récupérables pour les trois 
types de transduction.

Type de transduction Electrostatique Electromagnétique Piézoélectrique
Densité d energie. 4 mJ.cm'3 4 mJ.cm'3 18 mJ.cm'3
maximum en pratique
Dens1te d energie 44 mJ.cm'3 400 mJ.cm'3 335 mJ.cm'3

maximum en théorie

11/15

C.1- Généralités
C.1.1- Quelles sont les limitations d'un récupérateur d'énergie vibratoire ?

C.1.2- Quels sont l'avantage et le risque d'appliquer des vibrations avec des 
accélérations
importantes à un dispositif récupérateur d'énergie ?

C.1.3- La méthode de récupération d'énergie ambiante est-elle utilisable pour 
recharger un
téléphone portable de type smartphone ?

C.1.4- Vérifier qu'une structure qui vibre à 200 Hz avec une accélération de 5 
m.s'2 a une amplitude
de déplacement de 3 um. Quel est l'ordre de grandeur de l'énergie maximale 
théorique récupérable
pour une masse de 1 gramme ?

C.2- Fonction de transfert

Le vecteur vitesse du point M dans le référentiel (9%) est noté VM/ËKS . Les 
amortissements visqueux

sont modélisés par la force de frottement F = --Â - VM/ÈRS .

C.2.1- En l'absence de vibration, déterminer l'expression de la longueur à 
l'équilibre leq du ressort

en fonction de m, g, k et lo.

C.2.2- En présence de vibrations zvib(t)=Zvib-sin(a)-t), trouver l'équation 
différentielle du

mouvement de la masse sismique dans le référentiel non galiléen du boîtier.

C.2.3- Etablir l'expression de la fonction de transfert Æ ( jw). Qualifier très 
précisément le type de

filtre dont il s'agit. Justifier votre réponse.

C.2.4- Donner l'expression de la pulsation de résonance (00 en fonction de k et 
m. Vérifier que le

Jk---m

facteur de qualité Q a pour expression Q = .

À

C.2.5- Justifier l'intérêt que la fréquence de résonance corresponde àla 
fréquence des vibrations.

C.3- Transduction électrostatique

Les microgénérateurs électrostatiques produisent de l'énergie électrique grâce 
à la variation d'une
capacité constituée d'un conducteur mobile (la poutre vibrante) et d'un 
conducteur fixe associé à la
structure. Si cette capacité est initialement chargée par une source de tension 
continue U, alors la
variation de cette capacité permet de multiplier l'énergie de la source 
d'alimentation. L'énergie W

. , . 2-7z . , . .
produ1te sur une per1ode T :_ par cette capac1te var1able C, de valeur compr1se 
entre Cmax et
a)

C..., vaut: W=l-(Cmax --Cmin)-&-UZ.
2 C

min

12/15

C.3.1-

C.3.l.a- Considérons un plan infini uniformément chargé en surface, 
perpendiculaire à l'axe (02)
de vecteur unitaire associé EUR et centré en O (figure 12). La densité 
superficielle de charges est

positive et vaut +0". Rappeler le théorème de Gauss. Préciser les 
caractéristiques des vecteurs
champs électriques E+ et E_ créés respectivement dans chacun des deux 
demi--espaces z > 0 et 2 < 0

et séparés par ce plan. Ce plan est placé dans de l'air, de permittivité 80 .

/ O---- +V

Figure 12 : plan infini uniformément chargé en surface

C.3.l.b- Considérons deux plans infinis parallèles P1 et P2, uniformément 
chargés en surface et
perpendiculaire à l'axe (02) de vecteur unitaire associé EUR (figure 13). Le 
plan P1 possède une
densité superficielle de charges positives +0" et le plan P2 une densité 
superficielle de charges
négatives -0'. Ces plans sont séparés d'une distance 6.

Préciser les caractéristiques des vecteurs champs électriques E existant entre 
les plans ainsi que
E et E

z>e z<0

créés respectivement dans chacun des deux demi--espaces z > EUR et 2 < 0. Ces 
plans sont

placés dans de l'air, de permittivité 80 .

AZ

/ z=e---- +V 4-- PlanP1
EUR : PlanP2

/ z=O---- -V

Figure 13 : plans infinis parallèles uniformément chargés en surface

C.3.l.c- Un condensateur plan n'est pas constitué de plans infinis mais 
d'armatures de grandes
dimensions par rapport a la distance les séparant, ce qui permet de négliger 
les effets de bord. Aussi,
l'expression de l'intensité du champ électrique E régnant entre les armatures 
sera considérée
identique a celle trouvée, entre les plans, à la question précédente. Les 
densités superficielles de
charges, +0'pour l'armature 1 et -0'pour l'armature 2, sont dues à une source 
de tension continue U
positive qui les relie (figure 14, page 14).

Déterminer l'expression de la capacité C du condensateur plan constitué de ces 
deux armatures
métalliques très fines, de surface S, distantes de e = d et séparées par de 
l'air, de permittivité 80 .

Donner l'expression de l'énergie électrostatique We emmagasinée dans le 
condensateur en fonction
de C et de U.

13/15

Armature 1

A
U ()
: Armature 2

Figure 14 : champ électrique entre les armatures d'un condensateur plan

A

C.3.2- La distance entre les deux armatures n'est plus constante mais vaut e(t) 
=d +z(t) avec
z(t) = Z -sin(æ-t+ça) ; l'armature 1 correspond à la poutre vibrante et 
l'armature 2 reste fixe par
rapport au boîtier. Le condensateur ainsi constitué possède une capacité 
variable C(z) comprise

entre Cma et Cmi

X

et Cmin . Donner les express1ons de Cma

X

en fonction de 80 , S, d et Z.

Il

C.3.3- Le condensateur variable va fonctionner à charge constante. Le principe 
de fonctionnement
sur une période T (un cycle) est le suivant. Il fait référence à la figure 15. 
Lorsque la poutre

(armature l) est en Z(t) = --Z , la capacité est initialement chargée à q = 
Cmax -U (interrupteurs K1
fermé et K2 ouvert). On ouvre K1 et l'armature mobile s'éloigne pour effectuer 
son parcours.
Lorsqu'elle est parvenue en z(t) = +Z , l'énergie W emmagasinée dans le 
condensateur variable a
changé Cette énergie est alors transférée à un circuit récupérateur d'énergie 
CRE (interrupteurs K1

ouvert et K2 fermé). Puis, l'armature mobile revient en Z(t) = --Z où la 
capacité va être rechargée.

)_Cmax 'U2.
C

min

L'énergie maximum récupérable sur une période T vaut W =

. (Cmax _ Cmin

l
2

C.3.3.a- Rappeler l'expression de la densité volumique d'énergie w d'un 
condensateur plan en
fonction de la permittivité du diélectrique 80 et de l'intensité du champ 
électrique E régnant entre

les armatures.

C.3.3.b- Montrer que l'énergie W emmagasinée par le condensateur variable sur 
une période T vaut

W =l.(C'max _C'min).&.lj2 '
2 Cmin
K1 K2
A _;
l

Figure 15 : principe transducteur électrostatique

14/15

C.4- Transduction électromagnétique

A partir du schéma de principe indiqué en figure 16, expliquer le principe de 
la transduction
électromagnétique en indiquant notamment la loi physique sur lequel il repose.

Poutre

Bornes de /'
la bobine \»

<'£>Î'
""""" _

Figure 16 : principe transducteur électromagnétique

Bobine fixée
à la poutre

Aimant permanent

Fin de l'énoncé

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique PC 2015 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Louis Salkin (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Vincent Freulon (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Cette épreuve est composée de trois problèmes indépendants.
· Le premier porte sur la thermohydraulique d'un réacteur nucléaire à eau 
pressurisée. On étudie tout d'abord quelques aspects thermiques en établissant 
le
profil de température dans le combustible et dans la gaine qui l'isole 
thermiquement. On décrit ensuite l'écoulement du fluide de refroidissement en 
cherchant
notamment à exprimer ses diverses pertes de charge, qui sont compensées par
la pompe couplée au circuit primaire.
· Le deuxième problème aborde le principe de fonctionnement d'une lunette 
astronomique, notamment au rôle des diaphragmes de champ et d'ouverture de
cet instrument.
· Enfin, le troisième problème présente plusieurs systèmes de récupération 
d'énergie ambiante. Partant d'une structure mécanique résonante, l'énergie 
récupérée
peut alors être convertie par transduction électrostatique au sein d'un circuit
comportant un condensateur à capacité variable, ou par transduction 
électromagnétique en exploitant le phénomène d'induction.
Cette épreuve de difficulté raisonnable aborde de nombreux domaines du 
programme de première et de deuxième années. Des résultats intermédiaires 
(équations,
valeurs numériques) sont régulièrement fournis, ce qui permet de ne jamais 
rester
bloqué.

Indications
Partie A
A.1.4 L'utilisation du premier principe pour un système ouvert en régime 
permanent permet de comparer les vitesses v1 et v2 .
A.2.1 Exploiter la continuité de la température et du flux thermique.
A.3.5.b Pour l'évaluation de Pacc , remarquer que
(z)v(z)2 =

G2
(z)

A.3.5.e Chercher la puissance Wpompe sous la forme
Wpompe = Pt  Dm  e 
puis déterminer ,  et  par analyse dimensionnelle.
A.3.5.f Penser à une analogie électrocinétique.
Partie B
B.1.1 Une lunette astronomique est utilisée pour observer des objets à l'infini.
B.1.2 Pour le tracé de rayons, positionner les foyers des lentilles et utiliser 
des
rayons auxiliaires. Dans les conditions de Gauss (petits angles), tan    et
tan    .
B.2 La comparaison des diamètres D et D2 permet de conclure.
Partie C
C.1.3 On pourra prendre pour le smartphone une puissance P = 5 W.
C.2.2 Attention à ne pas oublier les forces d'inertie dans un référentiel non 
galiléen.
C.2.3 Passer l'équation différentielle en notation complexe. Comme pour l'étude
d'un filtre électrique, analyser les comportements asymptotiques de la fonction 
de transfert à basse et haute fréquences.
C.3.1.c Connaissant le champ électrique, en déduire la différence de potentiel 
U aux
bornes du condensateur.
C.3.3.b Puisque le condensateur fonctionne à charge constante, le champ 
électrique et
la densité volumique d'énergie électrostatique w restent également constants
pendant le cycle. Utiliser l'expression de w établie à la question précédente.
C.4 Remarquer que la bobine est en déplacement relatif par rapport à l'aimant
permanent posé au fond du boîtier.

A. Éléments de thermohydraulique
A.1.1 La puissance thermique Pth s'obtient en intégrant la puissance thermique
volumique V sur le volume de la plaque combustible :
Z e Z /2 Z H
Pth =
V dx dy dz
x=-e

y=-/2

z=0

Puisque V est uniforme dans la plaque, il vient après intégration
Pth = 2e H V = 1,5 · 105 W
A.1.2 En régime permanent, l'équation de la chaleur se simplifie selon
V

Puisque la température ne dépend que de la variable x :
T = -

d2 T
V
=-
dx2

L'intégration de cette équation différentielle permet d'obtenir
V 2
T(x) = C1 + C2 x -
x
2
où les constantes d'intégration C1 et C2 sont déterminées à l'aide des 
conditions aux
limites T(-e) = T1 et T(e) = T2 :

V 2

e
 T1 = C1 - C2 e -
2

 T2 = C1 + C2 e - V e 2
2

La somme de ces deux équations permet d'accéder à C1 :
V 2
T1 + T2 = 2C1 -
e

soit

C1 =

T1 + T2 + V e2 /
2

La différence des équations du système donne la valeur de C2 :
C2 =

T2 - T1
2e

Le profil de température s'écrit finalement
T(x) =

T1 + T2 + V e2 / T2 - T1
V 2
+
x-
x
2
2e
2

La température est extrémale lorsque sa dérivée première s'annule ; xmax 
vérifie alors
dT
T2 - T1
V
(xmax ) =
-
xmax = 0
dx
2e

xmax =

(T2 - T1 )
2e V

On en déduit finalement Tmax = T(xmax ) :
V 2
T1 + T2 + V e2 / T2 - T1
+
xmax -
x
2
2e
2 max

2 

T1 + T2 + V e2 /

T2 - T1
1 1
=
+
-
2
V
e
4 8

2
T1 + T2 + V e2 /

T2 - T1
+
=
2
8V
e

Tmax =

donc

Tmax

L'étude du signe de la dérivée seconde permet de vérifier que cet extremum de 
température est bien un maximum :
V
d2 T
=-
<0
dx2

Après cette question assez calculatoire, il est conseillé de s'assurer de la 
pertinence des expressions obtenues : vérification des conditions aux bords, 
homogénéité, analyse du cas symétrique T1 = T2 .
A.1.3 Pour T1 = T2 = 540 K, on retrouve par symétrie xmax = 0, puis
Tmax =

T1 + T2 + V e2 /
= 814 K
2

Le profil de température, de la forme
V 2
T(x) = Tmax -
x
2
correspond graphiquement à une parabole concave et
paire.

T(x)

T1

et

Tmax = 834 K

ex

0

-e

T(x)

A.1.4 Pour T1 = 580 K et T2 = 540 K,
xmax = -7,3 · 10-2 mm

Tmax

T1

Puisque xmax  e, le sommet de la parabole reste très
proche de l'axe x = 0.

Tmax
T2

ex
0
-e
Sous l'effet de la puissance thermique produite dans le combustible, les fluides
en écoulement voient leur température augmenter. D'après le premier principe 
pour
les systèmes ouverts en régime permanent, en négligeant toute source de 
dissipation
(viscosité), ainsi que les variations d'énergie cinétique et potentielle 
macroscopiques :
h = q
avec h la variation d'enthalpie massique et q le transfert thermique massique 
reçu.
En introduisant le débit massique Dm , il vient
Dm h = Pth
où Pth est la puissance thermique reçue. Si on considère le fluide comme une 
phase
condensée, sa variation d'enthalpie massique est reliée à sa variation de 
température
par la relation h = cf T, avec cf la capacité thermique massique du fluide. 
Ainsi,
pour une puissance thermique reçue identique, l'écoulement de plus fort débit 
subit
une variation de température plus faible.
Avec T1 > T2 , on en déduit v1 < v2 .