CCINP Physique 1 PC 2013

SESSION 2013 PCPIOO3

-:==- CONCOURS COMMUNS
-=- POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

N .B . : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

L'épreuve comporte deux problèmes indépendants.
L'attention des candidats est attirée sur le fait que la notation prendra 
compte du soin, de la clarté et

de la rigueur de la rédaction. Les candidats sont priés d'accorder une 
importance particulière aux
applications numériques demandées, en veillant à l'unité et aux chiffres 
significatifs du résultat.

Formulaire

, . 2x 2 1+cos2x 3 3cosx+cos3x
-Pourtoutnombrereelxz cosx=l--2sm î; cos x=--' cos X: 4 .

9

, . . , . . , . , . . , . 27Z'
- La decomposrtron en serre de Fourrer d une fonctron perrod1que f(t) de 
perrode T = -- est :
a)

f(t) : a_20 + Î (an cos(nco t) + on sin(nco t))
avec : n--

2 T
an =ïj0 f(t) cos(ncot) dt

2 T .
bn = Î.lo f(t) sm(no)t) dt .

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PROBLEME A : CONTRASTE INTERFERENTIEL

Sur la platine d'un microscope est posée une préparation très mince 
transparente, immergée dans un
liquide d'indice n et comprise entre deux lamelles de verre identiques dont les 
faces en regard,
semi-argentées, sont parallèles. Les détails de la préparation peuvent être 
assimilés à de petites
lames à faces parallèles d'indice n' d'épaisseur 8 très faible, parallèles aux 
faces semi--argentées
(figure 1). L'ensemble est éclairé par transmission en incidence normale par un 
faisceau parallèle de
lumière monochromatique (raie verte d'une lampe spectrale à mercure : Â : 546 
nm) a l'aide d'un
trou source disposé au foyer objet du condenseur non représenté dans la figure 
1. Un objectif placé
au-dessus de la préparation permet d'observer celle--ci.

il î î

OE@ ç@=äge
TÎ'°Ï Î

lumière incidente

Figure 1 : vue de profil de la préparation liquide sous microscope

A1- Observation en l'absence de détails

Les deux lamelles de verre semi--argentées peuvent être considérées comme deux 
miroirs semi-
réfléchissants de coefficients de réflexion et de transmission en amplitude r 
et t (nombres réels
positifs inférieurs à l) et introduisant un déphasage w a leur traversée. Une 
onde se propageant dans
la cavité ainsi formée émet a chaque aller-retour un rayon émergent. Les rayons 
émergents transmis
sont parallèles entre eux et interfèrent à l'infini. En négligeant tout 
phénomène de réfraction (les
rayons incidents sont considérés comme ayant une incidence normale aux lames) 
et tout phénomène
d'absorption des miroirs et de la préparation liquide, l'amplitude complexe en 
un point à l'infini du
ke rayon émergent s'écrit A R exp(--i @) où A R est l'amplitude du rayon k et @ 
sa phase.

A1.1- Exprimer le déphasage entre deux rayons émergents successifs ça : ©... - 
@ en fonction de
l'épaisseur de la cavité @, de l'indice de réfraction n du milieu et de la 
longueur d'onde À de la
lumière incidente dans le vide.

A1.2- Calculer le rapport des amplitudes de deux rayons successifs Ak +1 en 
fonction du coefficient

Ak

de réflexion en amplitude r des deux lames semi-réfléchissantes.

A1.3- En déduire l'amplitude complexe du ke rayon émergent, en prenant comme 
référence des phases,
celle du rayon incident entrant à travers la lame inférieure dont l'amplitude 
complexe s'écrit A0.

A1.4- Calculer l'amplitude complexe en un point à l'infini résultant de la 
superposition de
l'ensemble des rayons émergents de k = 1 à l'infini, le coefficient de 
réflexion r étant inférieur à 1.

2/10

A1.5- Montrer que l'intensité recueillie à l'infini ] : I(ça) peut se mettre 
sous la forme:

1 \ ° / ° 0
I = _0 ou m sera ex rime en fonction de r et 10 en fonction de A0, r et t.
(0 P
1 + m sin2 --
2

A1.6- Pour r % 0,9, calculer m.

A1.6.1- Déterminer les valeurs de ça qui correspondent a un maximum de I(ç0). 
Que vaut [max, la
valeur de ces maxima '?

A1.6.2- Evaluer la valeur et la position des minima de [( ça).

A1.6.3- Calculer les valeurs de ça autour d'un maximum, tel que I = % . En 
déduire la largeur à

mi--hauteur du pic correspondant A1/2 (ça) que l'on exprimera en fonction de m. 
Simplifier en tenant

compte de la valeur de m.
A1.6.4- Tracer l'allure de [( ça).

A1.6.5- En déduire que l'intensité recueillie à l'infini ne peut être 
considérée comme non nulle que
pour certaines valeurs de ça très réduites. En l'absence de détails, pour une 
préparation constituée
uniquement d'un liquide homogène, quel serait l'aspect du champ observé '?

A2- Observation en présence de détails.
Les réflexions sur les faces d'un détail sont négligeables si bien qu'un rayon 
lumineux traversant un
détail peut être considéré comme transmis intégralement en amplitude (pas 
d'absorption par le détail).

A2.1- Comme à la question A1.1, exprimer le déphasage entre deux rayons 
émergents successifs
ç0'= OE';... -- (D'k, mais dans une zone comportant un détail, en fonction des 
épaisseurs de la cavité @
et du détail 8, des indices de réfraction n du milieu et du détail n' et de la 
longueur d'onde À de la
lumière incidente.

Montrer que ça' peut s'exprimer comme ç0' : ça +Aç0 avec Aç0 dépendant 
uniquement de n, n', Set/1.
Calculer Aç0 pour une préparation d'indice 1,515 contenant un détail 
d'épaisseur EUR: 0,6 um et
d'indice de réfraction 1,520. Remarquer que la valeur de Aç0 est petite par 
rapport a celle donnant ça.

A2.2- Que devient l'intensité transmise I'= I'(ç0') dans une zone comportant un 
détail '?

A2.3- Calculer le contraste de l'image du détail par rapport au "fond", le 
contraste C étant défini par
I -- I '
C = -- .
1

Montrer que le contraste est de la forme C = K Aç0 où la constante K dépend de 
m et de ça.

, . , . . . ., \ 72'
A2.4- L'eparsseur de la preparation @ est chors1e de maniere a ce que ça : î+ 
2k7z (avec k nombre

entier). Pour les mêmes valeurs de r % 0,9 et de m trouvée à la question A1.6 
et sachant que l'oeil
humain décèle un contraste minimal de 0,1, le détail est-il visible '?

A2.5- Pour quelle valeur de ça, donc de l'épaisseur @ de la préparation, le 
contraste est-il maximal '?
Quelle est alors l'épaisseur minimale d'un détail décelable (donner un ordre de 
grandeur)?
Proposer une méthode expérimentale pour rendre un détail suffisamment contrasté 
pour être
observé.

3/10

PROBLEME B : UNE BALANCOIRE

Un enfant faisant de la balançoire (figure 2) est modélisé par une masse 
ponctuelle m située en M et
suspendue en 0 par une tige rigide, de masse négligeable et de longueur ! . Le 
champ de pesanteur ÿ ,

de norme g, est supposé uniforme. L'angle que fait la tige de suspension avec 
la verticale est noté 9
(figure 3). Les vecteurs unitaires ü, , üEUR et üz = ü, /\ÜEUR , tels que 
définis sur la figure 3, définissent

un triédre orthonormé direct lié àla balançoire.

%
O

Ë ;;6
ii,.
2
Figure 2 : enfant assis Figure 3 : schématisation de la balançoire
sur sa balançoire et repère mobile associé

B1- A quelle condition, sur la durée de l'expérience, le référentiel terrestre 
peut-il être considéré
comme galiléen ? On donnera un ordre de grandeur.

Cette condition sera supposée être vérifiée dans toute la suite du problème.

B2- Dans cette question, tout frottement de la tige sur son axe de rotation et 
tout frottement dû a la
résistance de l'air sont négligés.

B2.l- Etablir l'équation différentielle du mouvement vérifiée par H(t) en 
utilisant trois méthodes :
B2.1.1- en appliquant le principe fondamental de la dynamique ;

B2.1.2- en appliquant le théorème de l'énergie cinétique ;

B2.1.3- en appliquant le théorème du moment cinétique.

B2.2- En déduire que le mouvement est plan.

Dans toute la suite du problème, les mouvements de la balançoire et de l'enfant 
seront étudiés dans
le plan vertical de la figure 3.

B2.3- A quelle condition l'enfant assis sur la balançoire sera-t-il un 
oscillateur harmonique ?
Donner l'expression littérale de la pulsation propre (00 correspondante.

Application numérique : l'enfant part d'un angle 90 : 30° sans vitesse 
initiale. Avec les valeurs
numériques suivantes : l = 2,5 m, g = 10 ms"2 et m = 20 kg, calculer la période 
TO de l'oseillateur
harmonique, ainsi que la vitesse maximale vmaX de l'enfant.

4/10

B3- L'approximation de l'oseillateur harmonique est ici examinée en considérant 
les effets non
linéaires. L'enfant part d'un angle 90 positif sans vitesse initiale.

B3.l- En partant du théorème de l'énergie cinétique, étudié à la question 
(32.12), donner

l'expression de d_9 en fonction de H, 90 et des paramètres caractéristiques du 
système. En déduire
dt

l'expression de la période T( Hg) sous forme d'une intégrale en fonction de H, 
90 et des paramètres
caractéristiques du système. On précisera soigneusement les bornes 
d'intégration. On ne demande
pas de calculer cette intégrale.

Retrouver le résultat de la question 32.3 dans le cas des petites oscillations.

Une intégration numérique permet de dessiner la courbe représentative de la 
fonction T( Hg) ci-
dessous (figure 4). Commenter cette courbe.

T (s)

6 _

90 (rad)

0 1 2 3

Figure 4 : période en fonction de l'angle de départ

B3.2- Posant sin «9: H - 93/6, que devient l'équation différentielle du 
mouvement vérifiée par H(t) ?
B3.3- On cherche, pour l'équation différentielle approchée écrite en B3.2, une 
solution elle--mème
approchée de la forme :

H: 90 cos wt + 890cos 3wt où 8<< l. B3.3.1- En se limitant au premier ordre en EUR, exprimer en fonction de (00 et 90 la pulsation fondamentale wainsi que le terme 8. B3.3.2- Par rapport au mouvement harmonique, la courbe H(t) relative au mouvement réel a-t-elle une plus grande ou une plus petite période ? B3.3.3- Quelle est la pulsation du premier harmonique après le fondamental ? B3.3.4- Dans le cas général où on ne se limiterait pas à des développements au premier ordre, quelle serait l'allure du spectre de la solution @@ obtenu par analyse spectrale ? B4- Au point 0 s'exercent des forces de frottement sur la tige. Le moment de ces forces (par \ , \ d 9 _ . . . a a a rapport a 0) est egal a -- C --uZ ou C est une constante pos1trve et uZ = ur /\ ua . dt B4.l- Quelle est la dimension de la constante C ? 5/10 B4.2- Etablir l'équation différentielle a laquelle doit maintenant obéir H(t). B4.3- En supposant que l'angle Hreste suffisamment petit, a quelle inégalité doit satisfaire C pour que le mouvement de l'enfant puisse être considéré comme un mouvement oscillatoire dont l'amplitude décroît avec le temps (mouvement pseudo--périodique) ? Application numérique : considérant cette condition satisfaite, on approxime ici la pseudo--période T1 a la période TO de la question B2.3. L'enfant part d'un angle 90 : 30° sans vitesse initiale. On observe que l'amplitude du mouvement est réduite de moitié après 20 oscillations. Calculer la valeur de la constante C avec les valeurs numériques données àla question B2. B5- Les frottements (question B4) ont pour conséquence d'amortir le balancement de l'enfant et un deuxième enfant vient donc aider le premier enfant qui se balance à maintenir une amplitude constante en le poussant (figure 5) avec une force horizontale périodique non harmonique dont le module F (t) est représenté àla figure 6. F(t) " T F 0 0 * t Æ Figure 5 : enfant sur sa balançoire Figure 6 : profil de la force appliquée à l'enfant poussé par un autre enfant sur sa balançoire en fonction du temps N.B. : il n'est pas nécessaire d'effectuer une analyse en série de Fourier de F ( t) pour répondre aux questions B5.1,B5.2 et B5.3. B5.l- A quel moment et a quelle fréquence l'enfant pousseur doit-il appliquer sa poussée sur l'enfant de la balançoire pour que son action soit la plus efficace possible ? Que vaut donc la période T de la force F (t) pour que l'action de l'enfant pousseur soit la plus efficace possible ? (on supposera les frottements faibles dans cette question et dans les suivantes). B5.2- Représenter sur un même graphe la fonction F (t) de la figure 6 et l'angle H(t). B5.3- Déterminer la puissance moyenne dissipée par les frottements en fonction de C, a) la pulsation du mouvement et 90 l'amplitude du mouvement. En déduire le travail fourni par l'enfant pousseur après 20 oscillations de l'enfant se balançant (les valeurs numériques des différents paramètres sont toujours ceux donnés àla question BZ). 6/10 B6- L'enfant se balançant décide de monter sur une autre balançoire, pour laquelle les frottements sont considérés comme totalement négligeables. Alors que l'enfant se balance, il décide de monter de plus en plus haut. Pour cela, il effectue les mouvements suivants au cours des phases oscillatoires successives, ], 2, ...n : - lorsque la balançoire passe par la position verticale, l'enfant accroupi se relève (de A a B) ; - de B a C..., l'enfant reste debout ; - lorsque la balançoire atteint H..., son amplitude d'oscillation maximale, l'enfant s'accroupit (de Cn--l à Dn--l) ; - de D... a A, l'enfant reste accroupi ; - lorsque la balançoire repasse par la position verticale, l'enfant accroupi se relève (de A a B); - de B a C... l'enfant reste debout ; - lorsque la balançoire atteint 9... sa nouvelle amplitude d'oscillation maximale, l'enfant s'accroupit a nouveau (de C11 a Dn) ; - de DD a A, l'enfant reste accroupi. Sur la figure 7 sont tracées la trajectoire et quelques positions du centre de gravité de l'enfant dans le référentiel galiléen lié au sol. Les passages de la position accroupie a debout et réciproquement sont considérés comme instantanés. départ accroupi l'enfant s'accroupit Figure 7 : mouvements de l'enfant sur sa balançoire B6.1- Description qualitative. B6.l.l- Dans un repère lié a la balançoire (c'est-à-dire un repère lié a la tige de suspension et au siège de la balançoire), identifier les forces extérieures au système. 7/10 B6.1.2- Evaluer alors dans ce même repère lié a la balançoire, pour chacune des forces extérieures au système, le signe du travail qu'elles produisent sur un demi--cycle ABCnDnA. B6.1.3- En appliquant alors le théorème de l'énergie cinétique sur le demi--cycle ABCnDnA, en déduire que le travail des forces intérieures dû au mouvement du corps de l'enfant, qui se relève et s'accroupit, est de signe positif. B6.1.4- Il est rappelé que pour tout système de points matériels, le travail des forces intérieures se conserve dans un changement de référentiel (il n'est pas demandé de démontrer cette propriété). En appliquant le théorème de l'énergie cinétique dans le référentiel galiléen lié au sol, en déduire que le mouvement du corps de l'enfant, qui se relève et s'accroupit, permet a la balançoire de monter de plus en plus haut. B6.2- Modélisation simplifiée de la balançoire et de l'enfant. On schématise la balançoire et l'enfant comme un pendule de masse fictive (constante) m accrochée à un fil de longueur variable dépendant de la position angulaire de repérage : l = [(H) B6.2.1- Calculer le moment cinétique, ËO , du pendule au point 0 dans le référentiel galiléen lié au sol. B6.2.2- En appliquant le théorème du moment cinétique dans le référentiel galiléen lié au sol, donner l'équation vérifiée par LO . B6.2.3- En notant «% les élongations successives maximales (figure 7), montrer la relation : j_';" 13 (9) sin 9 d6' = 0 (on pourra multiplier chacun des membres de l'équation donnée a la question B6.2.2 par la quantité 129 ). B6.2.4- Montrer que les positions angulaires extrémales successives, 6}, et 6}..., obéissent à une loi de récurrence faisant intervenir sin( &) et sin( «% +1). On prendra [(H) = L + il pour -6'n < 6'< O et [(H) = L pour 0 < 6'< 9n+1. B6.2.5- En déduire les valeurs des positions angulaires extrémales «% atteintes par l'enfant sur sa balançoire. B6.2.6- Si l'enfant démarre sans vitesse initiale, quelle est la position la plus avantageuse pour démarrer ? La balançoire pourrait-elle faire accomplir un tour complet autour de son axe de rotation (« grand soleil » comme àla barre fixe) ? B7- Une autre manière de faire monter sa balançoire est la suivante : l'enfant peut rester assis et mettre son dos alternativement en avant ou en arrière tout en repliant puis étendant ses jambes afin de faire lever ou abaisser son centre de gravité. En supposant comme précédemment que la masse de la balançoire est négligeable, on modélise la balançoire et l'enfant comme un ensemble de deux masses articulées. La masse totale de l'enfant est m+,u en notant m la masse du corps en M (la longueur de la balançoire OM est L) et ,u la masse des jambes (la distance entre le centre de masse des jambes A - qui est situé environ a la position des genoux - et le point M est AM : a comme indiqué sur la figure 8). 8/ 10 A la montée, l'enfant met et maintient ses jambes en "avant" tandis qu'à la descente l'enfant met et maintient ses jambes "en arrière". Pour simplifier, il est supposé que la direction AM fait un angle droit avec la direction OM a la "montée" comme a la "descente", tel qu'indiqué àla figure 8. % % O à la "montée" à la "descente" Figure 8 : positions de l'enfant et de ses jambes assis sur sa balançoire B7.1- Equation du mouvement. B7.1.1- Calculer le moment cinétique de l'enfant, ËO , au point 0 dans le référentiel galiléen lié au sol. B7.1.2- Calculer le moment des forces de pesanteur par rapport à l'axe Oz, dans le cas où la balançoire est dans une phase de montée et dans le cas où la balançoire est dans une phase de descente. On pourra introduire l'angle @ tel que tan( @) = a/L. B7.1.3- En appliquant le théorème du moment cinétique, montrer que les équations du mouvement sont de la forme : à la montée : à... : --w12 sin H(t) - Aw2 sin(6(t) + (p) à la descente : à... : --w12 sin H(t) - Aw2 sin(6(t) -