CCP Physique 1 PC 2010

Thème de l'épreuve Oscillateurs à relaxation. Effet Doppler et ondes sonores.
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, électrocinétique, thermodynamique, ondes sonores

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2010 PCP1003

A

coucouns connus Pouncamou:s

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE PC

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées

Les deux problèmes sont indépendants. On fera l'application numérique chaque 
fois

que cela est possible, en veillant à l'unité et a ux chiffres si gnifica tifs 
du résultat.
* * *

N. B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la
concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui 
sembler être une
erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa 
composition en expliquant

les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre.
* * *

PROBLÈME 1
OSCILLATEURS A RELAXATION

Cette partie traite d'un modèle d'oscillateur hydraulique.
On notera p la masse volumique de l'eau, g l'accélération de la pesanteur, et 
on prendra pour valeurs

numériques :
p == 103 kg.m"3
9 == 9, 8 ms"2

(2)

Figure 1.1

SESSION 2010 PCP1003

A

coucouns connus Pouncamou:s

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE PC

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées

Les deux problèmes sont indépendants. On fera l'application numérique chaque 
fois

que cela est possible, en veillant à l'unité et a ux chiffres si gnifica tifs 
du résultat.
* * *

N. B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la
concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui 
sembler être une
erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa 
composition en expliquant

les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre.
* * *

PROBLÈME 1
OSCILLATEURS A RELAXATION

Cette partie traite d'un modèle d'oscillateur hydraulique.
On notera p la masse volumique de l'eau, g l'accélération de la pesanteur, et 
on prendra pour valeurs

numériques :
p == 103 kg.m"3
9 == 9, 8 ms"2

(2)

Figure 1.1

I.1 Vidange d'un réservoir

On considère un réservoir cylindrique dont la section horizontale est un disque 
d'aire S. Les
hauteurs sont repérées à l'aide d'un axe vertical (Oz) orienté vers le haut, et 
dont l'origine coïncide
avec le fond du réservoir (voir figure 1.1 à gauche). Ce réservoir est rempli 
d'eau jusqu'à une certaine
hauteur h. et percé d'un orifice situé au niveau du point B, à hauteur 23. Cet 
orifice possède une sec-
tion droite a. On nomme D, le débit volumique d'eau sortant par l'orifice B 
associé à l'écoulement
de vidange du réservoir. La surface libre du réservoir (d'aire S) et 
l'extrémité de l'orifice B sont en
contact avec l'air entourant le réservoir, à pression atmosphérique PO 3 1 bar. 
Tous les écoulements
considérés dans cette partie seront assimilés à des écoulements non visqueux, 
incompressibles et
laminaires. La variable de temps est notée t.

-- 1.1.1

On assimile la vidange du réservoir à un écoulement stationnaire, en faisant 
l'hypothèse que
la hauteur h(t) de la surface libre varie lentement par rapport aux vitesses 
caractéristiques de
l'écoulement. Tracer l'allure plausible des lignes de courant associées à cet 
écoulement.

-- 1.1.2

Énoncer et appliquer le théorème de Bernoulli le long de ces lignes de courant, 
et déterminer,
dans le cadre des hypothèses ci-dessus, et pour des sections droites S et a 
quelconques, la
vitesse du fluide UB au niveau de l'orifice B.

Que vaut alors le débit D, '?

--- 1.1.3
En déduire la valeur algébrique de h : dir/dt.

Que deviennent les expressions de "03 et h dans la limite où la section droite 
0' est très petite

devant S ?
Dans toute la suite on considère valide l'approximation 0 << S .

--- 1.1.4
Calculer la valeur numérique du débit D, lorsque h = 2 m, 23 = 0,1 m et a == 2 
cm".

Exprimer votre résultat dans les unités du système international (81), puis en 
litre par seconde
( L.s"').

1.2 Influence du siphon

Un siphon est une portion coudée de conduite, de section constante 0, dont la 
hauteur maximale,
représentée par le point C de la figure 1.1, page précédente à droite, se 
trouve à une hauteur .zc
supérieure àla hauteur Z}; de l'orifice d'entrée de la conduite. Un siphon peut 
se trouver dans deux
états. Dans l'état amorcé, le siphon ne contient pas d'air, et l'on peut 
considérer que le théorème
de Bernoulli s'applique d'une extrémité à l'autre du siphon. L'extrémité D 
située à l'opposé du
réservoir se trouve alors en contact avec l'air à pression atmosphérique PO. 
Dans l'état désamorcé, le
siphon contient de l'air, la continuité de l'écoulement dans le siphon est 
rompue, et le débit à travers
la conduite est nul.

On supposera qu'une fois amorcé, le siphon reste dans cet état jusqu'à ce que 
de l'air pénètre par

l'orifice situé en B. Le siphon est toujours amorcé lorsque le niveau d'eau 
excède zC.

_ 10201
Lorsque le siphon est amorcé, le réservoir se vide avec un débit sortant D,, 
que l'on exprimera

en fonction de h., 9, 0 et de la hauteur d'un des trois points B, C ou D.

- 1.2.2

Donner une équation différentielle du premier ordre en t pour l'évolution 
temporelle de la hau--

teur h de la surface libre, dans le régime où le siphon est amorcé. Le 
réservoir n'est alimenté
par aucune source.

-- 1.2.3

Trouver la solution de cette équation différentielle, en partant d'une 
condition initiale
h.(0) : ]'LQ __>__ zo.
En déduire la durée nécessaire tl pour que le siphon se désamorce.

1.3 Réservoir alimenté

Le réservoir est désormais alimenté en permanence par un filet d'eau de débit 
D,, arrivant par
l'orifice A, et qui ne perturbe pas l'écoulement de vidange (figure 1.2).

Figure 1.2

- 1.3.1

Comment doit--on modifier l'équation différentielle portant sur h.. en présence 
d'un débit D,
venant alimenter le réservoir, le siphon étant amorcé '?

' - 1.3.2

Montrer que l'équation différentielle obtenue admet une solution stationnaire, 
de hauteur hs
constante, que l'on exprimera en fonction de zD, D,, a et 9.

Cette solution paraît--elle acceptable si la valeur de hs associée à un débit 
D,; est telle que
hg < 33 '? Justifier votre réponse.

--- 1.3.3
Décrire l'évolution de la hauteur h(t) lorsque le siphon est désamorcé.

--- 1.3.4
Montrer que si le débit D,; est plus faible qu'une valeur critique D.,, le 
système représenté
sur la figure 1.2 se comporte comme un oscillateur, dont le débit de sortie est 
une fonction
périodique du temps.
Déterminer la valeur de D.,.

- 1.3.5
On suppose D,-- < DC. Représenter schématiquement l'allure temporelle de la 
hauteur h.(t) en

fonction du temps t.
Déterminer, en fonction des paramètres du problème, la période T du phénomène, 
en négligeant,
lorsque le siphon est amorcé, le débit incident D,-- par rapport au débit 
sortant D,.

- 1.3.6
Application Numérique : Calculer DC et T pour les valeurs suivantes des 
paramètres, dans le
cadre de l'approximation de la question précédente : zD : ----0, 2 m, zc : O, 3 
m, 23 = O, 1 m,

a == 2 cm2, D,- = 4 >< 10'"4 m3.s"1, S ==1m2.

I.4 Analogie électronique

Le circuit représenté sur la figure 1.3 est construit autour d'un amplificateur 
opérationnel (AO)
supposé idéal et fonctionnant en régime saturé. La tension de sortie V, est 
donc égale à iV,at suivant
la différence de tension observée entre les homes V.,. et V... Un condensateur 
C et trois résistances
R de même valeur sont assemblés autour de l'amplificateur opérationnel; le 
condensateur et la
résistance apparaissant sur le coté gauche du schéma sont reliés àla masse du 
circuit.

C V.. R
_
.... VS
- -
R V+ R
//_
Figure 1.3

--- 1.4.1
Établir, pour une valeur donnée constante de la tension de sortie V,, 
l'équation différentielle

que vérifie V.... (t).

- 1.4.2

Après un très bref régime transitoire, le circuit produit des oscillations 
périodiques de la ten-
sion de sortie de l'AG. Représenter, en fonction du temps, l'allure temporelle 
du signal de
sortie V,(t), ainsi que celle de la tension V...(t). On justifiera la réponse 
sans entrer dans le

détail des calculs.

- 1.4.3
Donner l'ordre de grandeur de la période T de l'oseillateur lorsque R = 100 Ml 
et C = 1 ,uF.

--- 1.4.4
L'oscillateur électronique et l'oseillateur hydraulique ont un fonctionnement 
analogue. Quel

composant joue le rôle du réservoir '? Quelles grandeurs électriques peut-on 
associer aux hau-
teurs ::Bet ch ? D'où vient, dans chaque cas, l'énergie permettant aux 
oscillateurs de fonction--

ner ?

PROBLÈME II
EFFET DOPPLER ET ONDES SONORES

L'objet de cette partie est d'établir, de deux façons différentes et 
indépendantes, la variation
de fréquence apparente d'un signal périodique associée au mouvement relatif 
d'une source et d'un
observateur.

Données :

-------- constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J .K'"'1.mol""1

-------- masse molaire de l'air : M = 28, 8 g.mol""1

--------- masse volumique de l'air à température T = 298 K et pression P0 
=----- 1,01 >< 105 Pa :
[)0 =: 1, 30 kg....w3

II.1 Approche heuristique de l'effet Doppler

Dans cette partie, on détermine de façon heuristique (c'est--à--dire en 
simplifiant volontairement
le raisonnement) le changement de fréquence associé au mouvement relatif d'une 
source sonore S et
d'un détecteur M (oreille humaine ou microphone), bien connu sous le nom 
d'effet Doppler. Une
source S émet un signal sonore, de période TO, sous forme de « bips » 
réguliers. On note t,, i entier
positif, l'instant où est émis le i-ème bip. La suite des instants t,-- est 
donc donnée par un terme
général :

ÏL-z == iTo

-- II.1.1

Une source S est immobile en :): = 0. Un observateur M immobile, situé à la 
distance d,
perçoit ce signal. sonore, avec un retard lié au temps de propagation du signal 
sonore à la
vitesse (.: (figure 11. l , cas A). Définir la fréquence fo de ce signal 
périodique.

Calculer le délai séparant l'émission d'un bip sonore par S de sa détection par 
M.

Cas A S M
.....-- ..---..-..-......-..-......-..-..-..-..-..-..-.. ...>
0 d X
Cas B S M
-.....-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-+..-..-..-..-..-..-..--___>..-..- 
.-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-...-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-. -..-..-..-.. ..3,
0 (1 X
Cas C S M
..-..-..4_-....-..-..-+..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-...-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..>
0 d X
Cas D S M
-..-..-..-..-..... ' .-..-..4__.-..-....-..+-..-..-..- ;,
0 d X
Cas E S M
. ..-..-..-{-..-..-..-..-...___>.....-. >
0 d X

Figure II.]

--- II.1.2

La source S, initialement en a: == 0, se déplace à vitesse constante 77 : 
"z,r0êÎæ en direction de
l'observateur M, immobile et situé en a: = d (figure 11. 1 , cas B). La vitesse 
vo est inférieure à.
c. La source émet le même signal sonore périodique. Donner l'expression des 
instants 9,- cor--
respondant à la réception, par l'observateur, de chacun des signaux sonores, la 
source restant
à gauche de l'observateur.

Calculer l'intervalle de temps T(UO) séparant la réception de deux bips 
consécutifs par l'obser--
vateur immobile.

En déduire la fréquence apparente f (vo) du signal périodique perçu par 
l'observateur. Expri--
mer le résultat en fonction de f... -uO etc.

---- II.1.3

La source S, initialement en 1: = 0 à l'instant t = 0, se déplace à vitesse 
constante 5 == -------v0 é},
en direction opposée à celle de l'observateur M, immobile et situé en zz: == (1 
(figure II.. 1 , cas C).
La source émet le même signal. sonore périodique.

En procédant comme àla question précédente, calculer l'intervalle de temps 
T(----'UO) séparant
la réception de deux bips consécutifs par l'observateur immobile.

En déduire la fréquence apparente f (-------vo) du signal périodique perçu par 
l'observateur. Ex--
primer le résultat en fonction de fo, vo et c.

- [1.1.4

La source 8 est immobile en a: == 0 et émet le même signal sonore. 
L'observateur M, initiale---
ment situé en a: : ci, se déplace à vitesse -----*z.vOë'æ en direction de la 
source (figure 11. l , cas D).
Déterminer la suite 9; des instants correspondant à la réception du bip t' par 
l'observateur en
mouvement, la source restant à gauche de l'obervateur.

En déduire l'intervalle de temps 7" (no) séparant la réception de deux bips 
consécutifs par l'ob--
servateur en mouvement.

Donner la fréquence f' (og) du signal périodique perçu par l'observateur. 
Exprimer le résultat
en fonction de fo, co et c.

-- 11.15

La source S est immobile en a: x 0 et émet le même signal sonore. L'observateur 
M, initia--
lement situé en a: = ci, se déplace à vitesse v0ë'OE en direction opposée à 
celle de la source

(figure II.], cas E).

Calculer l'intervalle de temps 7" ( ----«vo) séparant la réception de deux bips 
consécutifs par l'ob-
servateur en mouvement.

En déduire la fréquence f' (-----vo) du signal périodique perçu par 
l'observateur. Exprimer le
résultat en fonction de f(), vo et 0.

11.2 Thermodynamique des ondes sonores

-- II.2.1

Un gaz parfait diatomique subit une transformation adiabatique réversible entre 
un état initial
de pression PO et de masse volumique po, et un état final de pression P1 et de 
masse volumique
P].-

Donner une relation entre P0, P1, [)0, pl et 7 == Cpîm/CU,..., rapport des 
capacités thermiques
molaires à pression constante Cp}... et à volume constant C,,)....

Comment varie l'entropie S du gaz lors de cette transformation ?

- II.Z.Z

On définit le coefficient de compressibilité isentropique XS comme la variation 
relative, à
entropie constante, de la masse volumique par rapport à la pression :

...} Ê_P_
XS...p ÔP 3

À l'aide du résultat obtenu à la question 11.2.1, calculer XS dans le cas de 
l'air assimilé à un
gaz parfait diatomique (")/ == 1, 40) à température T = 298 K et à pression PO 
== 1, 01 >< 105 Pa.

Approximation acoustique

Dans l'approximation acoustique, un fluide est décrit par un champ de masse 
volumique p(f' , t),
de vitesse Ü(ñ t) et de surpression p(f', t) = P (F, t) ------- PO, vérifiant 
les équations :

85 -------->
---- : ----O'rad --
Ôp
---- : ------ div 17
81EUR Po ( )
où po désigne la masse volumique moyenne, F est le vecteur position et t le 
temps. On rappelle que

le Laplacien scalaire est défini par A : div(grad).

-- II.2.3

Trouver une relation thermodynamique linéaire entre la surpression p(ff' , t) 
(différence entre
pression locale instantanée et pression moyenne) et la variation de masse 
volumique au voisi--
nage de P0, 5K)(ñ t) : P("Ï t) "'" Po-

Montrer que la surpression p(ff', t) obéit alors à une équation de d'Alembert, 
caractérisée par
une célérité (: que l'on déterminera, defaçon littérale, puis numérique, dans 
les conditions de
pression et de température de la question 112.2.

11.3 Ondes longitudinales dans un tube

L' écoulement unidimensionnel et unidirectionnel d'un fluide compressible, 
confiné dans un tube,
est décrit par un champ de vitesse iÏ(:r t) = v(:r, t)ë}, un champ de masse 
volumique p(a:, t) et une
surpression p(:c, 16) (figure 11.2).

_Â___......
ll ! : ...... ...... | | |...... ||... |
\.-..-..--..-..-..--..-..-..-..---.-..-..-..--..-..-..--..-..--..--..-..-...--..--.---..--..--..--.._..--.---..-..-. "_..- _..--

Figure II.2

-- II.3.1
On suppose que se propage, sans réflexion dans le tube, une onde sonore créée 
en a: == 0 par

une membrane acoustique. L'onde se propage en direction des a: positifs. La 
surpression se

met sous forme
p(æ, t) = P... cos(w0t ---- kom)

Donner la relation entre wo et ko. Définir la fréquence fo de l'onde sonore.

-- [1.3.2
Exprimer le champ de vitesse v(æ, t) associé au champ de surpression ci-avant.

En déduire la valeur du rapport p(æ, t) /v(æ, t). Ce rapport dépend--il du 
temps t ou de la posi--
tion æ ?

-- [1.3.3

Montrer, dans le cas particulier de l'onde sonore unidimensionnelle considérée 
ici, que la com--
posante v(a:, t) suivant a: du champ de vitesse obéit àla même équation de 
d'Alembert que le
champ de pression p(:c, t).

--- [1.3.4

Figure 11.3
Un microphone M, intialement situé en a: = ci, se déplace à vitesse me}, 0 < vo 
< 0, sans

toutefois perturber l'onde sonore qui se propage autour de lui (figure 11.3). 
La position du mi--
crophone est donc donnée par :c(t) : d + v0t. Déterminer la pression p...(t) 
mesurée par le
microphone au cours de son mouvement.

Montrer que le signal p...(t) est sinusoïdal. Déterminer sa pulsation w...(v0) 
et sa fréquence

fm(U0)°

Exprimer f...(vo) en fonction de fo, vo etc.

- [1.3.5

Figure 11.4 '
La source S initialement située en a: = 0 se déplace à vitesse mé}, 0 < vo < 0, 
en direction du

microphone immobile (figure 11.4). On suppose que pour tous les points situés 
entre la source
et le microphone, la vitesse du fluide s'exprime comme :

'v' a: _>_ v0t ; v(oe,t)ê,, : V... cos(wflî ---- k1æ)ë'æ

la vitesse moyenne du fluide restant nulle. Quelle relation vérifient & et cul 
'?

Comment choisir ... pour que l'onde sonore, qui se propage, corresponde à une 
vibration à
fréquence fo de la surface de la source sonore S en mouvement '?

En déduire la fréquence f... de l'onde sonore perçue par le microphone.

II.4 Vélocimétrie

On s'intéresse à la reflexion d'une onde sur une cloison rigide mobile, au 
voisinage de laquelle
la vitesse du fluide suivant a: s'annule. Pour déterminer la vitesse de la 
cloison rigide, on envoie
une onde incidente et on mesure les propriétés de l'onde réfléchie (figure 
ILS). On recherche donc
"une solution de l'équation de d'Alembert comme la superposition d'une onde 
incidente v,--(a:, t) =
V}, cos(w,t -------- le,--r) et d'une onde réfléchie v,...(æ, t) === % cos(w.rt 
+ ka). Les grandeurs V,; et le,; sont
supposées connues, tandis que les grandeurs V,... et le,... sont à déterminer.

Figure II.5

--- II.4.1

La cloison est dans un premier temps immobile, placée en a: == 0. Déterminer 
w... le,... et W pour
que la condition aux limites soit satisfaite.

--- [1.4.2
La cloison se déplace maintenant en direction de l'expérimentateur 0 à vitesse 
constante
à" == -------uEUR,,. Sa position est donc :cc(t) == ----ut. On néglige les 
effets de l'écoulement ma-

croscopique de fluide engendré par le déplacement du fluide autour de la 
cloison, pour ne
considérer que les ondes incidente et réfléchie se propageant comme si le 
fluide environnant
était au repos.

Déterminer les grandeurs w... k,... et V,... sachant que la condition aux 
limites est satisfaite.

En déduire que les pulsations des ondes sonores incidente et réfléchie sont 
différentes. Expri--
mer la pulsation ca,. de l'onde réfléchie en fonction de celle au, de l'onde 
incidente, de la vitesse
u de déplacement de la cloison et de la célérité (: des ondes acoustiques.

-- II.4.3
Donner la fréquence de l'onde sonore réfléchie f,... en fonction de celle de 
l'onde incidente f,,

de u et de 0.
Montrer que ce résultat coïncide avec celui que l'on obtiendrait en combinant 
les résultats des
questions ll.l.4 et Il.l.2, c'est--à--dire en supposant que le signal émis par 
la source est perçu

par un observateur en mouvement (la cloison) puis réémis par celui--ci en 
direction de la source.

- II.4.4
Application numérique. Calculer la fréquence fr et la variation de fréquence 
f,... ---- f,-- pour les

valeurs suivantes des paramètres de la question précédente : u = 10 cms--1, 
f,--_ = 2 >< 104 Hz,
(: = 340 m.s"1.

11.5 Conclusion

Pourquoi ne trouve-t--on pas le même résultat lorsque la source est en 
mouvement et l'obser--
vateur immobile, et lorsque la source est immobile et l'observateur en 
mouvement ?

Cela contredit-il le principe d'invariance galiléenne ?

Ces calculs s'appliquent-ils aussi aux ondes électromagnétiques dans le vide ?

Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 1 PC 2010 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Pierre-Marie Billangeon (ESPCI) ; il a été relu par
Vincent Freulon (ENS Ulm) et Julie Zutter (Professeur en CPGE).

Cette épreuve se compose de deux problèmes indépendants.
· Le premier porte sur les oscillateurs à relaxation. L'étude débute par le 
classique
vase de Tantale. On commence par étudier le cas d'un réservoir seul, puis la
modification du débit sortant quand on lui adjoint un siphon. Le but est de
déterminer les conditions nécessaires à l'observation d'oscillations du niveau
d'eau dans le vase. Toute cette partie utilise des notions de mécanique des
fluides. Ensuite, on s'intéresse à un analogue électronique, le multivibrateur
astable.
· La second problème couvre différents aspects de l'effet Doppler dans le cas
d'ondes acoustiques. Après avoir examiné quelques cas simples, on procède à
quelques rappels sur la propagation du son dans le cadre de l'approximation
acoustique. On étudie ensuite le cas d'un tube unidimensionnel, puis l'exemple
de la vélocimétrie Doppler. Cette partie aborde principalement la physique
de la propagation d'ondes sonores, et requiert une bonne compréhension de
l'approximation acoustique.
Ce sujet ne comporte pas ni difficultés majeures, ni développements 
calculatoires
excessifs. Il est bien adapté pour vérifier que le cours est assimilé.

Indications
Problème I
I.2.1 Utiliser le fait que la surface libre du fluide et l'orifice sont à la 
pression atmosphérique P0 .
I.3.1 Prendre en compte le débit incident Di .
I.3.2 Utiliser le résultat de la question I.3.1, et chercher la valeur de h 
telle que h = 0.
I.3.3 Le siphon se réamorce lorsque la continuité de l'écoulement du fluide 
dans le
siphon est rétablie, c'est-à-dire lorsque le niveau de la surface libre atteint 
zC .
I.3.5 Dans le cas où l'on peut négliger le débit incident Di par rapport au 
débit
sortant Ds , l'équation différentielle, qui décrit l'évolution temporelle du 
niveau
d'eau dans le réservoir h(t), est identique à celle établie à la question I.2.2.
I.4.1 Utiliser le fait que l'amplificateur opérationnel est considéré comme 
idéal pour
écrire que les courants d'entrée sont nuls, puis appliquer la loi des noeuds.
I.4.3 En mode saturé, les tensions d'entrée sont différentes. Ceci permet de 
justifier
le basculement entre +
- Vsat de la tension de sortie, et donc les oscillations.
Problème II
II.1.2 Lorsqu'un bip est émis à l'instant i par la source en mouvement, il lui 
faut
parcourir la distance (d - i (v0 0 )) pour atteindre l'observateur.

II.1.4 Entre l'instant ti où le bip est émis par la source, et celui où il est 
détecté par
l'observateur en mouvement i , l'onde sonore, ainsi que le détecteur, parcourent
la distance qui les sépare (d - i (v0 0 )) à leur vitesse respective c et v0 , 
soit
(v0 + c) (i - ti ) = d - i (v0 0 )
II.2.1 Utiliser la loi de Laplace.
II.2.2 Écrire la différentielle logarithmique de la loi de Laplace.
II.2.3 Combiner l'équation de conservation de la masse à l'équation d'Euler 
linéarisée,
pour retrouver l'équation de d'Alembert, vérifiée par le champ de surpression.
II.3.2 On peut par exemple partir de l'équation d'Euler linéarisée, telle 
qu'elle est
rappelée à la question II.2.3, que l'on intègre par rapport au temps.
II.4.2 En supposant que les ondes incidente et réfléchie se propagent au 
voisinage
de la cloison comme si le fluide qui l'entoure était au repos, la condition de
continuité de la vitesse normale reste valable lorsque celle-ci est en 
mouvement.
Utiliser à nouveau le fait que les ondes incidente et réfléchie vérifient 
l'équation
de d'Alembert pour écrire leur relation de dispersion respective. Cette dernière
relie respectivement les pulsations  i et  r aux vecteurs d'onde k i et k r .

I. Oscillateurs à relaxation
I.1

Vidange d'un réservoir

I.1.1 Une ligne de courant à un instant donné est en tout
point tangente au vecteur vitesse dans le fluide. Les lignes
de courant sont orthogonales à la surface libre : en effet, à
ce niveau la pression est uniformément égale à la pression
atmosphérique, et le champ de pesanteur est lui aussi identique en tout point. 
Par conséquent, la vitesse du fluide
est en tout point égale au niveau de la surface libre. On
peut donc représenter schématiquement l'allure plausible
des lignes de courant dans le cas du réservoir.

-

Si l'on considère un champ de vitesse -
v (t), ainsi qu'un élément d  d'une
ligne de courant, il vient
 
-

-
d  -
v (t) = 0

Pour déterminer les lignes de courant, il faut donc résoudre à t fixé le système
d'équations différentielles
dx
dy
dz
=
=
vx
vy
vz

I.1.2 Pour l'écoulement d'un fluide parfait incompressible et homogène, en 
régime
permanent, tel que toutes les forces dérivent du potentiel , le théorème de 
Bernoulli
établit que
1
P +  +  v 2 = Cte
2
Dans le champ de pesanteur,  =  g z, d'où
P + gz +

1 2
 v = Cte
2

En particulier, entre un point de la surface libre du réservoir où v = h, P = 
P0 ,
z = h, et l'orifice B où P(B) = P0 , on trouve
1
1
P0 +  g h +  h2 = P0 +  g zB +  vB 2
2
2
La vitesse du fluide au niveau de B s'écrit donc
q
vB = 2 g (h - zB ) + h2

Le débit sortant Ds est le produit de la vitesse du fluide au niveau de 
l'orifice B, par
la section droite de ce dernier, soit
q
Ds =  2 g (h - zB ) + h2

I.1.3 La valeur algébrique de h est reliée au débit d'eau Ds sortant par B selon
q
S h = -Ds = - 2 g (h - zB ) + h2 car h < 0
d'où
Soit finalement,

(S2 -  2 ) h2 =  2 2 g (h - zB )
p

h = - 
2 g (h - zB )
2
2
S -

Dans la limite où la section droite  de l'orifice B est très petite devant 
celle du
réservoir, il vient

2
2
S
S -
Alors, l'expression de la vitesse de la surface libre h se simplifie selon
h = -
Ainsi

vB =

p
2 g (h - zB )
S

s

  2 
2 g (h - zB ) 1 +
S

Comme /S  1, à l'ordre le plus bas, on trouve
p
vB = 2 g (h - zB )

Ceci revient à négliger la vitesse de la surface libre du fluide dans le 
réservoir
par rapport à celle au niveau de B, ce qui est pleinement justifié lorsque   S.
On retrouve la formule de Torricelli.
I.1.4 On peut donc estimer la valeur du débit sortant Ds pour les paramètres 
donnés
dans l'énoncé.
Ds = 1.10-3 m3 .s-1
= 1 L.s-1

I.2

Influence du siphon

I.2.1 Lorsque le siphon est amorcé, celui-ci ne contenant pas d'air, on peut 
écrire
le théorème de Bernoulli entre la surface libre du réservoir où v  vD , et 
l'extrémité
du siphon D, qui sont tous deux en contact avec l'air à pression atmosphérique 
P0
P 0 +  g h = P 0 +  g zD +
d'où

vD =

1
 vD 2
2

p
2 g (h - zD )

Par conséquent, le réservoir se vide avec un débit Ds , tel que
p
Ds =  2 g (h - zD )