CCINP Physique 1 PC 2008

 

wc.--52-- v " cm.--fifi

...? ....ËOEOEËm

0m Ëfl--A--h .. @DOE--h--OOEQOE ËËOEH

......=o_z=v...-->dca ...z=OEOEOu ...c=ovz°u

'

Les calculatrices sont autorisees
Les deux problemes sont independants. On fera l'application numerique chaque 
fois que cela est
possible, en veillant a preciser l'unite et a ne donner que les chiffres 
significatifs du resultat.
****
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la 
precision et a la concision de la
redaction. Si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler etre une 
erreur d'enonce, il le signalera
sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a ete amene a
prendre.

****

P ROBL EME I
E AU ET MICRO - ONDES
Ce probleme aborde divers aspects de l'interaction entre les molecules d'eau et 
un rayonnement
micro-onde.
I.1 Traitement classique de la rotation d'une molecule d'eau
Une molecule d'eau est constituee d'un atome d'oxygene O et de deux atomes 
d'hydrogene H1
et H2 . La longueur de la liaison O-H, centre a centre, est a = 96 pm, et 
l'angle entre les deux liaisons
O-H est  = 104, 5 (figure I.1). Les atomes sont consideres comme des masses 
ponctuelles. L'eau
possede un moment dipolaire permanent ~p (represente sur la figure) : ||~
p || = 6, 11 × 10-30 C.m.
y
z

H

H

2

1

p

a

x

O

Figure I.1
1/10

On donne les valeurs numeriques des constantes physiques suivantes :
- masse d'un nucleon (proton ou neutron) : mn = 1, 67 × 10-27 kg
- nombre de nucleons d'un noyau d'oxygene (nombre de masse) : A = 16
- permeabilite magnetique du vide : µ0 = 4 × 10-7 H.m-1 = 1, 26 × 10-6 .s.m-1
- permittivite du vide : 0 = 8, 85 × 10-12 F.m-1
- constante de Planck : h = 6, 62 × 10-34 J.s
- celerite de la lumiere dans le vide : c = 3, 00 × 108 m.s-1
- constante de Boltzmann : kB = 1, 38 × 10-23 J.K-1
- conductivite electrique du cuivre :  = 5, 96 × 107 -1 .m-1
On rappelle qu'un picometre (pm) vaut 10-12 m, que le prefixe giga (G) 
represente 109 , que le
symbole de l'unite de resistance ohm est note , et que le henry (H) s'exprime 
egalement en "ohmseconde" (.s).
On donne les valeurs numeriques suivantes : cos(/2) = 0, 61 ; sin(/2) = 0, 79.
On donnera si possible le resultat des applications numeriques avec trois 
chiffres significatifs.
- I.1.1
Calculer et donner la valeur, en picometre (pm), des coordonnees xH1 , yH1 du 
premier atome
d'hydrogene, puis des coordonnees xH2 , yH2 du second atome d'hydrogene, en 
supposant que
l'atome d'oxygene occupe l'origine du repere, et que l'orientation de la 
molecule est telle que
representee sur la figure I.1.
- I.1.2
Calculer et donner la valeur, en picometre, des coordonnees xG et yG du centre 
de masse G de
la molecule d'eau.
Representer, sur un schema semblable a celui de la figure I.1, la position de G 
par rapport aux
autres atomes constituant la molecule d'eau.
- I.1.3
Calculer et donner la valeur, en picometre, des coordonnees xO , y O de l'atome 
d'oxygene,
puis des coordonnees xH1 , y H1 , xH2 , et y H2 des deux atomes d'hydrogene, 
exprimees dans le
referentiel du centre de masse de la molecule d'eau.
- I.1.4
On definit le moment d'inertie d'un systeme indeformable de N points materiels, 
indexes par
i, de masse mi , par rapport a un axe D comme
JD =

N
X

mi d2i (D)

i=1

ou di(D) designe la distance du point i a l'axe D.
Donner l'unite, dans le cadre du Systeme International, d'un moment d'inertie.
Calculer les trois moments d'inertie Jx , Jy et Jz de la molecule d'eau par 
rapport aux axes
passant par le centre de masse G, et orientes respectivement suivant les 
vecteurs unitaires ~ex ,
~ey , ~ez .
Faire les applications numeriques.
- I.1.5
On considere une molecule d'eau, en rotation a vitesse angulaire constante x 
autour de l'axe
2/10

(Gx) passant par le centre de masse et oriente par ~ex . Donner l'expression, 
dans le referentiel
du centre de masse, de l'energie cinetique Ecx associee a ce mouvement de 
rotation, en fonction de x et du moment d'inertie Jx .
- I.1.6
Donner, dans les memes conditions, l'expression du moment cinetique x associe a 
une vitesse
angulaire de rotation x autour de l'axe (Gx).
En deduire une relation entre Ecx , x et Jx .
- I.1.7
Le theoreme d'equipartition de l'energie predit que la valeur moyenne de 
l'energie cinetique
de rotation, notee hEcx i, est egale, pour une temperature T , a

hEcx i =

kB T
2

Appliquer le theoreme d'equipartition de l'energie a une molecule d'eau en 
phase vapeur a
100 C.
p
En deduire la valeur numerique de la vitesse angulaire quadratique moyenne q = 
hx2 i, la
frequence fq , ainsi que la periode q associees a cette vitesse angulaire q .

I.2 Les rayonnements micro-ondes

- I.2.1
Dans le vide, un rayonnement electromagnetique de frequence f est transporte 
par des photons d'energie E = hf .
Quelle energie, en Joule, est transportee par un photon de frequence f = 2, 45 
GHz ?
Quelle est la longueur d'onde  d'un rayonnement de frequence f = 2, 45 GHz ?
Peut-on negliger, dans un circuit electrique dont les fils conducteurs 
presentent une dizaine de
centimetres de longueur, les effets de retard et de propagation d'un tel signal 
?
- I.2.2
On sait qu'aux frequences elevees, le courant electrique circule au voisinage 
de la surface des
conducteurs metalliques (effet de peau). La profondeur de peau , depend de la 
conductivite
 du materiau d'une part, de la frequence du courant f , et de la permeabilite 
magnetique du
vide µ0 d'autre part. Trouver, par un raisonnement d'analyse dimensionnelle, la 
dependance
de la longueur , fonction de , f et µ0 .
Estimer  dans le cas d'un courant de frequence f = 2, 45 GHz, circulant dans du 
cuivre.
- I.2.3
Dans un four a micro-ondes, on suppose que toute la puissance du four est 
convertie en rayonnement electromagnetique. Le but des questions suivantes est 
d'estimer la valeur du champ
~ regnant dans la cavite du four.
electrique E
3/10

Flux incident d'énergie

Section S

ez

ey
ex

Four

Modélisation

Figure I.2
Pour cela, on commence par modeliser l'onde electromagnetique comme une onde 
plane monochromatique se propageant dans le vide suivant la direction -~ez 
(figure I.2)

z
~
~ex
E = Re E0 exp 2j f t +

j est le nombre imaginaire pur de carre -1, et Re{·} designe la partie reelle 
des nombres complexes.
~ dans le vide.
Rappeler l'expression du vecteur de Poynting 
~ du vecteur de Poynting pour l'onde electroQue vaut la valeur moyenne 
temporelle hi
magnetique consideree ici ?
- I.2.4
Pour quelle valeur du champ electrique E0 , la puissance de l'onde 
electromagnetique traversant une section carree S = 0, 1 m2 est-elle egale a 
103 W ?
- I.2.5
L'application numerique de la question I.1.7 nous montre que la variation 
temporelle du champ
electrique est lente devant la vitesse de rotation des molecules d'eau. Le 
champ electrique peut
donc, a l'echelle de la picoseconde, etre considere comme constant. Donner 
l'expression de
l'energie potentielle d'interaction entre le moment dipolaire p~ permanent de 
la molecule d'eau,
et le champ E~0 = E0~ex precedemment calcule. Calculer en Joule, l'ordre de 
grandeur de cette
energie potentielle. Comparer cette energie a l'energie d'agitation thermique 
des molecules
d'eau en phase vapeur a 100 C. Conclure.
I.3 Absorption du rayonnement electromagnetique
- I.3.1
A la frequence consideree, le vecteur d'onde k et la pulsation  de l'onde 
electromagnetique
~ 0 exp[j(t + kz)] ayant penetre dans le milieu dielectrique et non conducteur, 
verifient la
E
relation :
 ()
k2 - r 2 2 = 0
c
ou la constante dielectrique relative r () est un nombre complexe qui se 
decompose en
r () =  () - j (), avec  partie reelle,  partie imaginaire et    .
Que peut-on dire de la nature de l'onde dans un tel milieu ?
4/10

Quelle est la consequence physique, pour ce milieu, du passage de l'onde 
electromagnetique ?
- I.3.2
En 1912, P. Debye a propose un modele theorique pour la variation de r () et 
obtenu, dans
le cas de l'eau, l'expression suivante :
r () = 1, 77 +

65, 00
1 + j

ou  est un temps de relaxation, dependant de la temperature du fluide, et 
valant a 60 C,
 (60 C) = 4, 0 × 10-12 s.
Donner l'expression litterale, puis l'application numerique, de la partie 
reelle  et imaginaire - de la constante dielectrique a 60 C, pour une onde de 
pulsation
 = 1, 54 × 1010 rad.s-1 correspondant a la frequence de 2,45 GHz ci-dessus.
- I.3.3
Deduire de la relation de dispersion que le vecteur d'onde k est complexe et se 
met sous la
forme k = k  - jk  . Donner l'expression de k  et k  en fonction de , c,  et  , 
en faisant
l'hypothese que k  est grand devant k  .
- I.3.4
Quelle epaisseur d'eau L a 60 C l'onde devrait-elle traverser pour que son flux 
d'energie
soit divise par 2, dans le cadre du present modele ?
Remarques : en pratique, les ondes vont etre reflechies un grand nombre de fois 
par les
bords metalliques de la cavite du four. La constante dielectrique r () depend 
fortement de la
temperature. Le temps de relaxation  est du meme ordre de grandeur que le temps 
de rotation
des molecules d'eau determine dans la partie I.1.

5/10

P ROBL EME II

M OUVEMENT DE SPH ERES DANS LES FLUIDES
On definit le repere de coordonnees spheriques (figure II.1 ci-dessous) :

z
er

M

O

r

e
e

y

x
Figure II.1
La relation entre coordonnees spheriques et cartesiennes est :
x = r sin() cos()
y = r sin() sin()
z = r cos()
Les champs de vecteurs au point M (r, , ) seront exprimes dans le repere local 
(~er , ~e , ~e ).
L'axe (Oz) designe la verticale ascendante du referentiel d'observation.
On pourra, tout au long du probleme, utiliser le formulaire d'analyse 
vectorielle suivant, pour les
champs scalaires :
--
f
1 f
1 f
grad(f ) =
~er +
~e +
~e
r
r 
r sin() 
2f
2f
1 2f
cos() f
1
2 f
+ 2 + 2 2 + 2
+ 2 2
f =
r r
r
r 
r sin() 
r sin () 2
~ = Xr~er + X~e + X~e :
et pour les champs vectoriels X
2
Xr
cos()
1 X
1 X
Xr +
+
X +
+
r
r
r sin()
r 
r sin() 

cos()
1 X
1 X
-
 ~
~er
+
X -
rot(X)
=
r 
r sin()
r sin() 

1 Xr X X
~e
-
-
+
r sin() 
r
r

X X 1 Xr
+
+
-
~e
r
r
r 

~ =
div(X)

6/10

On utilisera, pour les applications numeriques, les donnees suivantes :
- viscosites dynamiques de l'air et de l'eau dans les conditions usuelles : air 
= 1, 8 × 10-5 Pl ;
eau = 1, 0 × 10-3 Pl
- masses volumiques de l'air et de l'eau : air = 1, 3 kg.m-3 ; eau = 103 kg.m-3 
.
- acceleration de la pesanteur g = 9, 8 m.s-2 .
II.1 Fluide parfait dans un champ de pesanteur
- II.1.1
On note  la masse volumique du fluide, ~g le champ de pesanteur, Pt la pression 
et ~v le champ
de vitesse. Ecrire l'equation d'Euler pour un fluide parfait, en supposant le 
referentiel d'observation galileen.
- II.1.2
En deduire, a une constante pres, la valeur de la pression hydrostatique Ph 
(z), lorsque le fluide,
suppose incompressible, est au repos dans le referentiel galileen.
II.2 Ecoulement stationnaire d'un fluide parfait autour d'une sphere immobile
On note  la masse volumique du fluide et ~v le champ de vitesse. On definit la 
surpression P
comme la difference entre la pression Pt et la pression hydrostatique Ph 
definie dans la partie
precedente. Dans toute cette partie, on remplacera dans l'equation d'Euler la 
pression Pt par la
surpression P , et on negligera totalement l'influence du champ de pesanteur.
- II.2.1
Donner la condition d'incompressibilite de l'ecoulement.
- II.2.2

--
On considere un ecoulement potentiel, ~v (~r) = grad (~r) , ou  est une 
fonction arbitraire de
~
l'espace, et r = ||OM||
la distance a l'origine du repere de coordonnees spheriques.
Que vaut alors le rotationnel du champ de vitesse ~v ?
- II.2.3
Soit le potentiel u (~r) = uz, avec u une constante. Reconnaitre le champ de 
vitesse ~vu associe.
- II.2.4
Exprimer u a l'aide des coordonnees spheriques r, , .
Exprimer dans la base locale (~er , ~e , ~e ) le champ de vitesse ~vu associe a 
u .
- II.2.5
On donne maintenant le potentiel

b
s (r, , ) = ur + 2 cos()
r
ou b est une constante. Calculer le champ de vitesse ~vs associe.
- II.2.6
Verifier que le champ de vitesse ~vs correspond bien a un ecoulement 
incompressible.
- II.2.7
Montrer que pour une valeur particuliere a de la distance r, la composante 
radiale de la vitesse
7/10

(c'est-a-dire la composante orientee suivant ~er ) s'annule. Exprimer b en 
fonction de u et de a.
Reecrire le champ de vitesse en fonction de u, a, r et .
- II.2.8
On s'interesse desormais a la region de l'espace r  a, exterieure a la sphere 
de rayon a, et on
souhaite representer sur un schema l'allure du champ de vitesse dans le 
demi-plan defini par
 = 0 et   [0, ].
Reproduire et completer le tableau de valeurs ci-dessous, pour une constante u 
egale a 1.
r

a
0
a /4
a /2
a 3/4
a

vr

v

r

2a
0
2a /4
2a /2
2a 3/4
2a

vr

v

- II.2.9
A l'aide des valeurs du tableau, representer graphiquement le champ de vitesse 
pour r  a.
Tracer l'allure de quelques lignes de courant.
- II.2.10
On rappelle que dans le cas d'un ecoulement potentiel, le terme de derivee 
convective peut-etre
mis sous la forme :

--
-- ~v 2
~v · grad (~v ) = grad
2
Deduire de l'equation d'Euler pour un ecoulement parfait potentiel 
stationnaire, en l'absence
de pesanteur, l'existence d'une quantite C dependant de ~v ,  et P , et dont la 
valeur est uniforme dans l'espace.
Quel nom donne-t-on a ce resultat ?
En faisant tendre r vers l'infini, et en faisant l'hypothese que limr P (r) = 
0, determiner la
constante C.
- II.2.11
En deduire la valeur de la surpression P (r = a, , ) au voisinage de la sphere 
r = a.
La sphere subit-elle de la part de l'ecoulement une force de trainee, 
c'est-a-dire une force
dirigee suivant ~ez ? (repondre sans faire de calcul.)
II.3 Sphere en mouvement de translation dans un fluide visqueux : approche 
qualitative
Une sphere de rayon a en mouvement de translation a vitesse ~u dans un fluide 
de viscosite ,
subit de la part de ce fluide une force de trainee F~ egale a F~ = -6a~u, 
pourvu que cette vitesse de
deplacement soit suffisamment faible (loi de Stokes).
- II.3.1
Une bille de rayon a et de masse volumique b est lachee sans vitesse initiale 
dans un fluide
de viscosite  et de masse volumique . La bille et le fluide sont soumis a 
l'influence de la
pesanteur, dont l'acceleration est notee ~g . Etablir l'expression de la 
vitesse de la bille, fonction
du temps, ainsi que la vitesse limite ~u atteinte par celle-ci, dans le cadre 
de la loi de Stokes.

8/10

- II.3.2
Calculer la vitesse limite de chute associee respectivement a une gouttelette 
de brouillard
(rayon 1 µm), puis a une goutte de pluie (rayon 1 mm) dans l'air. Ce dernier 
resultat vous
parait-il realiste ?
- II.3.3
Pour juger de la validite de la formule de Stokes, il faut calculer le nombre 
de Reynolds associe
a l'ecoulement du fluide autour de la bille. Proposer une expression du nombre 
de Reynolds
Re associe au mouvement de chute d'une bille dans un fluide de viscosite .
A quelle condition peut-on considerer que la loi de Stokes est valable ?
Cela est-il le cas dans les exemples de la question precedente ?
Comment se comporte la force de trainee a grande vitesse ?
II.4 Interactions hydrodynamiques dans un fluide visqueux
Les interactions hydrodynamiques sont des forces transmises par le fluide sur 
les objets qui s'y
deplacent. Elles expliquent divers effets observes durant la sedimentation de 
petits objets (processus
par lequel des particules dans un fluide au repos se deposent), comme la 
tendance de ceux-ci a tomber
les uns a la verticale des autres, ou a tomber a une vitesse differente s'ils 
sont proches les uns des
autres.
Lorsqu'une bille spherique se deplace verticalement vers le bas a vitesse ~u = 
-u~ez , elle cree un
deplacement du fluide autour d'elle, dont le champ de vitesse a grande distance 
et dans un repere de
coordonnees spheriques dont l'origine est occupee par la particule, est donne 
par (forme d'Oseen) :
~v (~r) =

3au
[-2 cos()~er + sin()~e ]
4r

(voir figure II.2 a gauche). L'expression ci-dessus, que l'on admettra, n'est 
valable que pour des distances r tres superieures au rayon a de la bille qui se 
deplace. Le champ de vitesse ~v (~r) represente
la vitesse d'ecoulement du fluide dans le referentiel du laboratoire.

z

r

er
e

d

u

u
Figure II.2
- II.4.1
Reproduire et completer le tableau de valeurs suivant, pour une valeur de la 
constante 3au/(4r)
egale a 1 (ou vr et v designent respectivement les composantes radiales et 
orthoradiales du
champ de vitesse) :
9/10

0
/4
/2
3/4

vr

v

- II.4.2
Neuf billes identiques occupent les positions de la figure II.2 a droite. Les 
huit billes exterieures
sont a egale distance d de la bille centrale et immobiles par rapport au 
fluide. La bille centrale
est animee d'un mouvement vertical, et d'une vitesse ~u dirigee vers le bas.
Reproduire la figure II.2 de droite sur la copie, puis dessiner l'allure des 
forces exercees par le
deplacement de la bille centrale sur chacune des huit billes peripheriques 
voisines, supposees
immobiles, et causees par la nature visqueuse de l'ecoulement.
- II.4.3

A

B

d

u

u

Figure II.3
Deux spheres identiques A et B soumises a leur poids et a la friction visqueuse 
du fluide
descendent a la meme vitesse ~u (figure II.3). On note ~rA et ~rB les positions 
respectives
des spheres A et B, ~rAB la separation ~rB - ~rA , et d la distance ||~rAB ||. 
On suppose que le
deplacement de la bille A cree au point B un champ de vitesse ~v (~rAB ) par 
rapport au referentiel
du laboratoire. La bille B subit donc de la part du fluide une force de 
friction de Stokes egale
a :
F~s = -6a[~u - ~v (~rAB )]
En faisant un bilan des forces exercees sur la bille B, deduire sa vitesse de 
descente ~u en
fonction de sa masse m, de l'acceleration de la pesanteur g, de la viscosite du 
fluide  et du
rayon a.
En comparant avec le resultat obtenu en II.3.1, conclure sur le fait que deux 
billes proches
sedimentent plus vite, moins vite ou aussi vite qu'une bille isolee.

Fin de l'enonce

10/10