CCINP Physique 1 PC 2003

 

SESSION 2003 ' l \ PCP1006

CONCOURS (OMMUNS POI.YÎECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - F ILIERE PC

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices est autorisée. Les deux problèmes sont 
indépendants

Une feuille de papier millimétré devra être distribuée avec le sujet.

***

N. B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a 
été amené à prendre.

***

PROBLEME I - L'AIR HUMIDE :
CLIMATISATION ET FORMATION DES NUAGES

L'air qui nous entoure est humide : c'est un mélange d'air sec et de vapeur 
d'eau. Les
caractéristiques de l'air humide sont liées aux proportions de chacun des deux 
constituants.

Sauf indication particulière, on considère, dans tout le problème, de l'air 
humide à la pression
atmosphérique P = 1,013 .] 05 Pa.

Pour les applications numériques, on se référera, si nécessaire, aux données et 
au tableau figurant
à la fin de l'énoncé.

On supposera dans tout le problème que l'air sec et la vapeur d'eau se 
comportent comme des gaz
parfaits.

I. Grandeurs caractéristiques et propriétés de l'air humide

Soient Ma la masse molaire de l'air sec et MV la masse molaire de l'eau pure. 
Soient Pa la pression
partielle de l'air sec contenu dans un volume V d'air humide à la température T 
et P., la pression
partielle de la vapeur d'eau du même volume àla même température.

1.1. Justifier que P = Pa + P..

1.2. Soit ma la masse d'air sec contenue dans le volume Vd'airhumide à la 
température T. On peut
alors écrire : Pa V= ma Ra T.

Exprimer Ra en fonction de R et Ma. Application numérique.

Soit mv la masse de vapeur d'eau contenue dans le volume V d'air humide à la 
température T. On
peut alors écrire : Pv V = mv R., T.

Exprimer RV en fonction de R et M... Application numérique.

1.3. L'humidité spécifique a) de l'air humide, à la température T, est le 
rapport de la masse de
vapeur d'eau contenue dans un volume Vd'air humide à la masse d'air sec 
contenue dans ce même
volume. Elle est donnée en kilogramme d'eau par kilogramme d'air sec.

P.
P -- Pv '
En déduire l'expression de la constante A et la calculer numériquement.

Montrer que l'humidité spécifique s'exprime sous la forme : co = A

1.4. La sensation d'un individu de se trouver dans un air plus ou moins humide 
est directement liée
Pv
P

vsat

..., la pression de vapeur

à l'humidité relative ou degré hygrométrique 8 défini par : EUR =

saturante de l'eau a la température T de l'air humide.

Soit 1 m3 d'air humide, à t9= 15°C, dont le degré hygrométrique est égal' a 
0,85.
Calculer numériquement les masses ma d'air sec et mv de vapeur d' eau du 
mélange.

1.5. Un air humide tel que EUR = 1, ne peut plus accepter d'eau sous forme 
vapeur. L'eau
supplémentaire renfermée dans l'air humide se présente alors sous forme de 
gouttelettes d'eau
suffisamment fines pour rester en suspension et formant ainsi un brouillard.

Tracer, de façon précise sur papier millimétré, la courbe représentative de 
l'air humide saturé dans

le graphe w=f(69, appelé diagramme de Carrier.
Sur le graphe précédent, indiquer en le justifiant où se trouve la zone de 
brouillard.

1.6. La température de rosée T, est la température de l'air humide saturé en 
humidité. Elle peut être
mesurée par un hygrométre à condensation : on place dans l'air humide une 
petite surface dont on
fait varier la température jusqu'à apparition sur celle-ci, de condensat (rosée 
ou buée) : la
température de la surface est alors celle du point de rosée.

Calculer le degré hygrométrique d'un air humide à H= 30°C dont la température 
de rosée est égale
à 10°C.

1.7. L'enthalpie de" l'air humide tient compte de l'enthalpie de ses 
constituants définie sur la base
des conventions suivantes :

- l'origine de l'enthalpie de l'air sec est prise à O°C, '

- pour l'eau, 1' enthalpie de référence est celle de l'eau liquide a O°C.

Soient c,... et cm les capacités thermiques massiques respectives de l'air sec 
et de la vapeur d'eau.
Soit 1 la chaleur latente massique de vaporisation de l'eau.

Donner, en fonction de ma, m... c,..., c..., l, et 9 la température en degrés 
Celsius de l'air humide,
l'expression de l'enthalpie massique h de l'air humide.

Donner, en fonction de a), c,..., c..., l et H, l'expression de l'enthalpie 
spécifique H* de l'air humide
contenant un kilogramme d'air sec.

Il. Conditionnement d'air -- formation des nuages

Les techniques de climatisation et de conditionnement d'air ont pour objet 
l'amélioration des
conditions de confort. Elles reposent sur des opérations telles que mélange, 
échaufl"ement,
refroidissement ou humidification de l'air humide.

Les opérations de mélange d 'airs humides sont également à l'origine de 
phénomènes
météorologiques. En bord de mer, la rencontre de l'air frais et sec provenant 
de l'intérieur des
terres avec de l'air marin fortement humide, produit les brouillards côtiers. 
D'autre part, l'air
humide étant plus léger que l'air sec, il entre, dans son mouvement ascendant, 
en contact avec de
l'air plus froid en altitude : c'est ainsi que se forment les nuages.

II.1. Un réchauffeur apporte, par transfert thermique à pression constante, une 
quantité d'énergie Q
à un kilogramme d'air humide, à la température initiale 19, d'humidité 
spécifique initiale a),
contenant une masse ma d'air sec.

Exprimer analytiquement (en fonction des paramètres du problème) % l'humidité 
spécifique et &,
la température de l'air humide obtenu.

Décrire qualitativement mais en le justifiantcomment évolue, au cours de 
l'opération de chauffage,
le degré hygrométrique de l'air humide.

11.2. Une installation de climatisation industrielle assure le réchauffage 
isobare d'un débit massique

de 12.103 kg.h'1 d'un air humide entrant à 9 = 15°C avec un degré hygrométrique 
EUR = 0,85. La
température de sortie de l'air est égale à 45°C.
Quelle est la puissance du réchauffeur '?

11.3. On mélange deux airs humides de température 91 et 92 d'humidités 
spécifiques cul et (02
contenant respectivement les masses d'air sec mal et mag.

Etablir, en les justifiant, les relations permettant de calculer, en fonction 
de cal, (02, ma], nm et des
enthalpies spécifiques H ; et H ; des constituants, l'humidité spécifique 503 
et l'enthalpie spécifique

H ; du mélange.

11.4. On mélange un kilogramme d'air humide dans l'étatl (61 = 35°C, (a; = 
0,035 kg d'eau/kg
d'air sec), à un kilogramme d'air humide dans l'état 2 (62 = 25°C, (02 = 0,0039 
kg d'eau/kg d'air
sec).

Calculer numériquement l'humidité spécifique 603 et la température 93 du 
mélange.

11.5. On mélange maintenant une quantité d'air humide dans l'état 4 (94 = 40°C, 
84 = l) à une

quantité d'air humide dans l'état 5 (95 = 5°C, 85 = 0,2) contenant également 
toutes les deux, un
kilogramme d'air sec.

Calculer numériquement l'humidité spécifique 506 et la température 96 du 
mélange.
Placer le point obtenu sur le graphe w=f(9) tracé en 1.5. Conclusion.

11.6. Un thermomètre placé dans le mélange obtenu à la question 11.5 . indique 
une température
supérieure de 3°C à celle déterminée en 11.5.
Quelle est la raison de cet écart entre la température calculée et la 
température mesurée ?

A l'aide du graphe (0 = j(69 tracé en 1.5, en déduire la masse me d'eau liquide 
présente dans le
mélange.

Constante des gaz parfaits : R = 8,32 J .mol'l.K'l. '
Masse molairede l'air sec : Ma = 29 g.mol".

Masse molaire de l'eau pure MV = 18 g.mol'l.

Pression de va eur saturante de l'eau en fonction de la tem érature :

Capacité thermique de l'air sec cm = 1006 J .kg'l.K'l.
Ca acité thermi ue de la va eur d'eau q.... = 1923 J .kg'l.K'1 (supposée 
indépendante de la température).

Chaleur latente de .va orisation de l'eau ! = 2500 kJ.kg".

PROBLEME II - VIDANGE D'UN RESERVOIR

La partie I est indépendante des parties II et III.

Rappel d'analyse vectorielle :
div( fü ) = fdiv (17) + ü.grad ( f) avec f fonction scalaire et u vecteur 
quelconque.

On considère un grand réservoir de section cylindrique S;. Ce réservoir 
hermétiquement fermé,

contient de l'eau (masse volumique ,a), que l'on assimilera à un fluide 
parfait, emprisonnant ainsi
un matelas d'air à la pression Po. L'air emprisonné sera assimilé à un gaz 
parfait.

Un tube plongeur, de section 2], immergé dans l'eau jusqu'à la profondeur kg, 
est relié à l'extérieur
où règne la pression atmosphérique Pa. Une étanchéité parfaite est réalisée 
entre le couvercle du
réservoir et le tube plongeur. L'extrémité du tube plongeur est munie d'une 
électrovanne E V,, qui
est initialement fermée (voir figure 1).

Un tube de vidange cylindrique, de longueur L2 et de section $;, est raccordé 
sur le fond du
réservoir , ce tube est muni d'une électrovanne EV; placée a son extrémité, 
débouchant' a la pression
atmosphérique Pa. '

Étanchéité Pa Étanchéité

0%

EV,

A

- Figure 1 -- Etat initial : avant ouverture des vannes

1. Etude préliminaire «
1.1. Les vannes E V; et E V2 étant initialement fermées, calculer la pression 
PB au point B en fonction
de P0 et ha en particulier.

Etanchéité Pa ÉtanChéité

EV2

- Figure 2 -- Après ouverture de la vanne E V;

1.2. A l'instant t = O, l'électrovanne E V, est ouverte brusquement, E V2 
restant fermée.

On supposera que les conditions sont telles que PB > Pa. Le liquide monte donc 
dans le tube
plongeur pour passer de B à B', points séparés d'une hauteur x. Une nouvelle 
pression Pg' s'établit
au dessus du liquide, ainsi qu'une nouvelle hauteur de la surface libre notée 
h' (voir figure 2).

1.2.1. Donner l'expression de P0 ' en fonction de x, h' et Pa en particulier.

. 2 . . . . .
1.2.2. On pose 8 = --. Ecr1re une relatmn tradmsant la conservatmn du volume 
d'eau en fonction

SI
des paramètres ho , h ', x et 8. Que devient l'expression de hg- h ' à l'ordre 
1 en 8 quand 8 << 1 ? Dans toute la suite du problème on utilisera la relation simplifiée à l'ordre 1. 1.2.3. En supposant que la température de l'air emprisonné ne varie pas, écrire une relation faisant intervenir les paramètres H, h ', ho, Po et P0'. 1.2.4. Exprimer la pression Pg' en fonction de Po, & H, ha et x. . x Montrer que cette expresmon peut se mettre sous la forme : P0 ': P,,(1-- 8 H h ) ° "' 0 Donner en fonction de P... x, ha et EUR en particulier, l'expression de la pression P0'. 1.2.5. Déterminer en fonction de P0, P... H, ho, & p et g , l'expression de x en adoptant toujours le premier ordre en EUR. 1.3. On supposera désormais que Pa > PB avant l'ouverture de la vanne E V1.

Que se passe t-il dès l'ouverture de la vanne E V; '?

A l'équilibre, donner la valeur de x et de la pression PB.

Déterminer l'expression de la nouvelle pression d'équilibre Po' au--dessus du 
fluide en fonction de

Pa et ha en particulier.

1.4. On se place toujours dans le cas Pa > PB. La vanne EV; est maintenant 
ouverte. On attend
l'établissement du régime permanent de l'écoulement dans tout le volume de 
fluide. Les répartitions
de vitesse du fluide dans les sections S; et S; sont supposées uniformes. La 
vitesse de la surface
libre sera notée V5, et celle dans la section S2 sera notée VA, A appartenant à 
la section de sortie 52
(voir figure 2). On supposera de plus que le niveau de l'eau reste toujours 
au--dessus du niveau de B.
Ecrire une relation entre les vitesses VA, VE et des données d'ordre 
géométrique.

Ecrire une relation liant VD et VA, où D est un point au même niveau que B.

1/2

' 2 + L
En déduire que la vitesse en A s'exprime sous la forme : VA : 
-------g-£--Ë'S----2--L
1-- --À 5
f( SI ) g ( )

où f et g sont deux fonctions que l'on déterminera.

Que devient cette expression lorsque 8 tend vers zéro et Sg/S] << 1 '? Quel résultat connu retrouve-t-- on ? Il. Vidange du réservoir P > a

°°:

ho(t = 0)

-Figure 3-

La surface libre du réservoir est maintenant directement reliée à l'atmosphère 
(voir figure 3). La
vanne E V2 est ouverte et le régime permanent est supposé atteint 
instantanément. Le volume

instantané de fluide contenu dans le réservoir est désigné par 27, et celui 
contenu dans le tube de
vidange de longueur L2 par 22. On supposera de plus que S 1>> S2.

11.1. En supposant un régime quasi- -statiohnaire, déterminer l'expression de 
la vitesse au point A en
fonction de V,; et h(t).

11.2. Exprimer le rapport Vg/VA.

Quelle condition doit-on appliquer sur les diamètres D2 et D; (diamètres 
reSpectifs des sections 82 et
S ;) pour que VE n'excède pas 1% de VA.

Donner alors l'expression de VA dans ces conditions.

Cette relation sera vérifiée dans toute la suite du pr0blème.

11.3. Pour ho >L 2, écrire l'équation différentielle vérifiée par la hauteur 
h(t).

II. 4. Dans les mêmes conditions que précédemment, donner l'expression de h en 
fonction du temps

et déterminer le temps t; au bout duquel le volume 27 a été vidé.
Calculer VA et t,. Données: S2/Sl= 1/100, L2-- ---- 1 m, hg-- -- 2 m, g= 9 81 
ms'2

111- Théorème de Bernoulli en régime instationnaire.
On rappelle l'équation locale de l'écoulement parfait d'un fluide (équation 
d'Euler) :

%Ë+âgrævz+(r--oæv)A(ÿ)=--ÈgîæP+g

où g désigne le champ de pesanteur, V le vecteur vitesse et P la pression.

Le fluide est, de plus, supposé incompressible et l'écoulement irrotationnel, 
mais l'écoulement est
non permanent. '

III.]. Ecrire, dans ces conditions, l'équation de continuité.
Montrer, en précisant bien toutes les hypothèses, que l'équation d'Euler se 
ramène à :

,o BV2 -- ----
+ V. rad H O
2 81 g (pg ):
P V2
où H désigne la quantité ---- + --2---- + z ,appelée charge du fluide.
Pg g

Cette dernière équation constitue l'expression du théorème de Bernoulli en 
régime non permanent.

III.2. Soit la surface fermée Z(t), de volume T(t), variable dans le temps.

En intégrant l'expression du théorème de Bernoulli en régime non permanent sur 
le volume t(t),
montrer que :

<ÿ£({) ,ogHV.ñd>ï + j [ [[...12'i 8V2 dt = 0

81
___--J
1] 12

On se propoSe d'appliquer la relation précédente à l'établissement du régime de 
vitesse en A.
A l'instant t =0, la vanne E V2 est ouverte de manière instantanée.

Dans toute la suite du problème, le volume T(t) correspond au volume délimité 
par la surface 27(t)
entourant entièrement et exclusivement les volumes T](l) et z2(t).

111.3. Evaluation du terme Il ,

111.3.1. Montrer que l'intégrale bilan I; se ramène à : 11 : IL ngV.ñdZ+ ";: 
ngV.ñdî où 21
et 22 désignent les 2 surfaces libres du fluide (voir figure 3).

En déduire que l] : ,OgV(t)S2 (H (A)--H (E )) où V(t) désigne la vitesse en A 
durant le régime
d'établissement. '

111.3.2. Donner les expressions de la charge du fluide H(E) au niveau de la 
surface libre et H(A) au

niveau de la sortie du tube de vidange.
Montrer que, si la vitesse de descente de la surface libre VE est négligeable 
devant la vitesse en A,

V2 t
l'expression finale de 11 s'écrit :]1 : ng(t)S,( ; )--h(t)].
g

111.4. Evaluation du terme 12
111.4.1. A quelle condition peut-on écrire : % HL%(VZ )dT » ----( _" V 2d2')

111.4.2. Dans toute cette question, la notation [X] désignera l'ordre de 
grandeur de la quantité X.

En admettant que : { " 172d2'] : [V]2 [T] , où rest le volume de fluide 
considéré, montrer que :

ill V dïl= V2(' )('ÊZ'J S (h-- L )+VÎ(1)L,S,_
---1-w----------J (B)

(A)
Toujours en raisonnant sur les ordres de grandeur et en considérant que h et L 
2 sont du même ordre
de grandeur, montrer que (B) >> (A).

8V' t
En déduire que: 1, =--Ê--L,S, ôt( ) .

111.5. Les intégrales ]; et 12 étant exprimées, montrer que l'équation 
différentielle vérifiée par la

. 1 dV dV dt
Vitesse V(t) enA est : ---- + = --
VA VA -- V VA + V L2

où VA est la vitesse en A, déterminée en régime stationnaire àla question 11.2. 
On considérera que la
vitesse VA, correspondant au régime stationnaire, ne varie pas pendant le temps 
d'établissement du

régime de vitesse en A.

111.6. En déduire l'expression de la vitesse V(t) en A en fonction du temps et 
de L 2.
Représenter l'allure de V(t) et dessiner l'asymptote.

III. 7. Soit le temps to, 99 au bout duquel la vitesse du fluide V(t) en A vaut 
99% de la vitesse du
régime stationnaire VA.

aL2
VA
Calculer to,99 en prenant comme vitesse VA la vitesse calculée à la hauteur ho.

Calculer l'évolution de VA durant le régime transitoire. L'hypothèse effectuée 
sur VA en 111.5. paraît-

elle justifiée '?

Montrer que to 99 = où aest une constante que l'on calculera.

Fin de l'énoncé