CCINP Physique 1 PC 2002

 

SESSION 2002 A PCPIOOS
CONCOURS (OMMUNS POLYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices est autorisée. Les deux problèmes sont 
indépendants

***

N. B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
dénoncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été 
amené à prendre.

***

PROBLEME I - CIRCULATION D'AIR DANS L'ATMOSPHERE TERRESTRE

La circulation des masses d'air dans l'atmosphère terrestre est entre autre 
influencée par les
différences de pression atmosphérique ainsi que par le mouvement de rotation de 
la terre sur elle

même.
Dans tout le problème, on considérera que l'accélération de la pesanteur ;? 
prend en compte
les effets de la force d'inertie d'entraînement liée au mouvement de rotation 
propre de la

&
terre. On prendra g = 9,81 ms .

De plus, l'air sera assimilé ici à un fluide incompressible. La masse volumique 
de l'air sera notée ,o
et on se placera dans des conditions isothermes.

On prendra dans tout le problème ,0 = 1,225 kg/m3 .
L'ensemble de l'étude sera menée, sauf précisions contraires, dans l'hémisphère 
nord du

globe terrestre.

articule fluide soumise à un radient de ression

uestions réliminaires :

On ne tiendra pas compte du mouvement de rotation de la terre et des eflèts de 
la pesanteur dans
cette partie préliminaire.

Dans l'atmosphère terrestre, à une altitude considérée comme suffisante pour 
pouvoir négliger
l'influence du relief, coexistent des zones de hautes pressions (anticyclones) 
et des zones de basses

pressions (dépressions).
Entre une zone anticyclonique et une zone dépressionnaire, il s'établit une 
circulation d'air. Cet

écoulement sera supposé parfait, irrotationnel et stationnaire.

Soit l'axe 5% orienté dans le sens de l'opposé du gradient de pression }/ : 
--%£ (avec y> O), 9339
x

l'on suggosera constant.

A la position x, la vitesse de l'air vaut V(x) et la pression P(x) et à la 
position x+ôx, cette même
vitesse vaut V(x+ôx) et la pression P(x+ôx).

Tournez la page S.V.P.

Hautes pressions

P(x)

P(x+ôx)

Basses pressions

..........................................................................................................................

-Figure ]-

I-1- Soit une masse d'air (% considérée à l'échelle mésoscopique de la 
particule fluide, se déplaçant
dans le gradient de pression décrit précédemment. Soit 5Ë = 5F Ü x la force de 
pression à laquelle la

particule est soumise à la position x (Üx est le vecteur unitaire de l'axe Ox).

Montrer que :
5F _ y
5m _ p
On se propose maintenant d'estimer la vitesse de la circulation d'air en x, ou 
x désigne la distance

au point de plus haute pression de la zone anticyclonique, au niveau duquel 
l'air peut être
considéré comme immobile.

I-2- Montrer que la vitesse V de la particule à la position x est donnée par :

v: /Ë_Y_X
p

Calculer sa valeur numérique en prenant y= 1,9 Pa/km, pour x = 100 km et x = 
500 km.
Que penser de ce modèle ?

II- Vent géostatigue

On désire maintenant prendre en compte l'influence de la rotation de la terre 
sur le mouvement des
particules fluides dans le gradient de pression. Les e ets de la esanteur 
seront ris en com te

dans cette partie.
Dans cette première partie, les li nes isobares de l'atmos hère dans un lan 
hori ontal seront

considérées comme rectilignes.

*

Soit Flo un référentiel lié à la terre, non galiléen. On considère maintenant 
un oint 0 situé à la
Ë/x,Üy,ÜZ). Uzest

surface de la terre et un repère L lié à ce point, défini par les vecteurs 
unitaires --
radial et définit la verticale ascendante au point 0, Ü y est orthoradial dans 
le plan méridien passant

par O et Üx complète la base tel que : Üx : ÜY AÜZ (voir figure 2).

On notera R le rayon de la terre de centre C et À l'angle de latitude au point 
0.
Soit à) le vecteur rotation de la terre sur elle même, défini dans le 
référentiel géocentrique supposé
galiléen.

--Figure 2--

Soit une particule d'air M de masse m, dont la position peut être décrite par 
OM : xÜx + yÜy +zÜZ

ou (x,y,z) sont les coordonnées cartésiennes locales de M définies dans le 
repère L. On utilisera
pour les composantes de la vitesse et de l 'accélération les notations du type 
fc, x'.

La partie de la force de pression subie par la particule M, dûe à la 
coexistence de zones

----o

anticycloniques et dépressionnaires, que l'on supposera dans le plan (O,ÜX,Uy 
), peut donc s'écrire

de la manière suivante :

ou Fx et F y sont des constantes.

---o

II-1-- Exprimer la force de Coriolis FC subie par cette même particule. Donner 
son expression

analytique dans la base (ÜX,Ûy ,Ü ).

.,
&.

II-2- Calculer numériquement la vitesse cuangulaire de la terre.

_.

II-3- En notant a l'accélération de la particule M dans le référentiel Fig, 
écrire sous forme
vectorielle l'expression du principe fondamental de la dynamique appliqué à la 
particule M.

II-4- Ecrire les projections de cette équation vectorielle dans le repère L.

II-5- Dans l'équation en projection sur Ü Z, montrer brièvement que le terme de 
Coriolis peut être

négligé devant le terme de pesanteur, en prenant une vitesse du vent V = 50 
km/h.
Ecrire l'équation d'équilibre vertical de l'atmosphère en statique, c'est à 
dire sans circulation d'air.

Tournez la page S.V.P.

En ne considérant aucune variation de la masse volumique de l'air et de 
l'intensité du champ de
pesanteur avec l'altitude, estimer la valeur du gradient vertical de pression 
en statique, que l'on

8P
notera ----

Z statique
En utilisant la carte météorologique représentée sur la figure 3, estimer la 
valeur du gradient de
pression horizontal.

En utilisant les calculs précédents, montrer par un raisonnement précis que les 
vents soufflent
quasiment dans le plan horizontal (Ü_,,Ùy ).

II-6- Dans le plan (Ü,,Ü ), ), former le rapport entre le module de la force de 
Coriolis ËC et le module

de la force de pression Ë subie par la particule M en faisant intervenir y.

En prenant une latitude X : 30° nord, et pour vitesse du vent V = 50 km/h, 
calculer numériquement
ce rapport. En déduire que la force de Coriolis et la force de pression ont le 
même ordre de grandeur
et qu'il est donc impossible de négliger l'une par rapport à l'autre.

On suppose maintenant que la particule M a atteint une vitesse constante, 
appelée vitesse du vent
/ ' / _. .X.: \ - - . -. _.
geostatzque, notee Vg _ ou x et y sont les composantes du vecteur vitesse sur 
les axes U x et U y .
i Y

II-7- Déterminer les composantes de Yg en fonction de E,, Fy, m et aoù &: 
2.w.sinÀ.

II-8- Montrer que le module de la vitesse du vent géostatique peut s'écrire de 
la façon suivante :
" _ _Z_
Calculer la valeur numérique de Vg en prenant toujours y= 1.9 Pa/km et À : 30°.

II-9- Montrer que Ë et Yg sont deux vecteurs perpendiculaires.

Représenter schématiquement dans le plan (O,Üx,Üy) la particule M, une série de 
lignes isobares, la

_.

direction de la force de pression F , la direction du vent géostatique ainsi 
que la direction de la
force de Coriolis FC .

Sur quelles lignes se déplacent les particules fluides ?

Qu'advient-il de la force de Coriolis dans l'hémisphère sud du globe terrestre 
par rapport à la
situation dans l'hémisphère nord ?

Refaire le schéma précédent pour une particule fluide évoluant dans 
l'hémisphère sud.

II-10- En prenant appui sur la carte météorologique donnée figure 3 et à partir 
des résultats
précédents, décrire la direction approximative du vent soufflant sur la France 
en justifiant la
réponse. Estimer la vitesse du vent sur la capitale.

2 O°W 10°W D' 10°E 20"E

80°"

40°

1°°W , 1000km ,°" "E:--ÿ

-Figure 3 --
(Les valeurs de la pression sont données en hPa, hectoPascal )

III- Détermination des trajectoires exactes.

On se propose maintenant de déterminer la trajectoire exacte de la particule 
fluide M, sans faire
l'hypothèse d'une vitesse constante, en résolvant les équations du principe 
fondamental dans le

plan (O,ÜX,ÜV).

Pour simplifier la résolution, on se placera dans le cas particulier ou F" : 
FXÜX (FX > 0), c'est--à--dire
Fy : 0.

On adopte pour les équations du principe fondamental dans le plan (O,Üx,Üy) la 
variable

complexe X : x+iy.

III-l- Donner l'équation générale vérifiée par X.
Tournez la page S.V.P.

III-2- Résoudre l'équation en X en adoptant les conditions initiales: t = 0, OM 
: Ô et \7g : Ô.

Donner les expressions de x et y en fonction du temps. On utilisera également 
la notation
a=2.amink.

III-3-- Représenter l'allure de la trajectoire de la particule M dans le plan 
(O,Üx,Üy). A quelle

courbe mathématique correspond cette trajectoire '?

III-4- Montrer qu'il existe un mouvement périodique suivant Ü ,.

Donner l'expression de cette période ainsi que sa valeur numérique pour une 
latitude À : 30°.
Calculer la distance parcourue selon l'axe Ü}, par la particule fluide en une 
période et l'amplitude

maximum du mouvement selon l'axe Ü ,.

IV- Vent de gradient : cas de l'anticyclone

Dans la réalité, ainsi que l'on peut le constater sur les cartes 
météorologiques, les lignes isobares
ne sont pas rectilignes mais courbes. On peut estimer, avec une assez bonne 
approximation, que
dans un système anticyclonique ou dépressionnaire (mais on se limitera ici au 
cas anticyclonigue )
les lignes isobares sont des cercles concentriques de rayon r centrés sur le 
point 0 de plus haute
pression, dans le cas d'un anticyclone, si on se trouvedans une zone 
suflisamment proche du centre
de [ 'anticyclone. Le gradient de pression est donc radial.

Les particules fluides soumises à l'action combinée des forces de pression et 
de la force de

Coriolis sont astreintes a se déplacer sur les lignes isobares circulaires a 
vitesse angulaire
constante. Soit M l'une de ces particules de masse m dont la vitesse de 
déplacement sur une ligne

isobare circulaire est Vh. Vh est alors appelée vitesse du vent de gradient. 
Soit vÎ2 le vecteur unitaire

radial centrifuge et u le vecteur unitaire orthoradial. On écrira Vh = --th .

Lignes
isobares

--Figure 4--

IV-1- Ecrire l'expression de l'accélération a de la particule M en fonction de 
V... r et iÎ/.
Ecrire l'expression de la force de Coriolis exercée sur la particule fluide en 
fonction de m, &, Vh .
et vλ. Compte tenu de la partie II, quel est le signe de Vh '?

IV-2- Reporter sommairement sur votre copie le diagramme de la figure 4 on y 
ajoutant les
indications suivantes :

-- direction de la force de pression F

--->

- direction de la force de Coriolis FC

-- direction de l'accélération a
-- direction de la vitesse du vent Vh

IV-3-- En utilisant l'expression de la vitesse du vent géostatique Vg 
déterminée à la question II--8,
montrer que l'expression du principe fondamental en projection sur vλ 
s'exprime par :

v;--
--------vh +vg =() (1)
CZ)"

Retrouver le cas limite des lignes isobares rectilignes et donner la borne 
inférieure de la vitesse du
vent de gradient.

IV-4- Montrer simplement que la vitesse du vent est sous--estimée si l'on ne 
prend pas en compte

l'effet de courbure des lignes isobares.
Quelle est la seule solution acceptable de l'équation (l) ?
Montrer que la vitesse du vent de gradient Vh est bornée supérieurement et 
donner cette borne en

fonction de Vg en discutant sur l'équation (l).

IV-5- Qu'advient--il de la force de Coriolis au voisinage de l'équateur ? '
Pourquoi un système anticyclonique stable ne peut-il pas subsister au voisinage 
de l'équateur ?

IV-6- Quels sont les phénomènes non pris en compte par les modèles développés 
précédemment
et qui peuvent également fortement influencer la direction du vent et la 
vitesse du vent ?

Tournez la page S.V.P.

PROBLEME II -- ETUDE ET PRODUCTION DU VIDE

Les techniques d'élaboration de produits et de matériaux qui font appel au « 
vide » sont de plus en
plus nombreuses. Les basses pressions couvrent un très large domaine allant du 
vide grossier ( 10"1 à
10'3 fois la pression atmosphérique), jusqu'au vide extrême (10°13 à 10"17 fois 
la pression
atmosphérique). Le choix du matériel à utiliser pour atteindre et maintenir le 
vide dépend du niveau
de pression. Ainsi, les pompes à transfert assurant l'extraction du gaz ou des 
vapeurs du réservoir et
capables de refouler directement à la pression atmosphérique sont appelées 
pompes primaires : elles
permettent d'atteindre le vide grossier ou moyen. Pour l'obtention d'un vide 
plus poussé, elles
doivent être suivies de pompes dites à fixation, qui piègent par condensation 
les molécules à
extraire. On trouve également les pompes dites à dilution permettant de 
diminuer la pression
partielle d'un des constituants indésirable d'un mélange gazeux.

On propose dans le cadre de ce problème d'étudier quelques dispositifs 
d'obtention du vide

n'utilisant pas d'organe mécanique mobile.

1- L'air et sa pression

I-1- Donner les trois principaux composants de l'air et leur proportion dans 
les conditions
habituelles de l'atmosphère.

I-2- Donner la valeur de la pression atmosphérique normale P...... dans le 
système 8.1. que l'on
précisera et dans deux autres systèmes d'unités.

I-3- Dans le cas où leur pression est faible, les gaz peuvent être considérés 
comme parfaits : justifier
cette hypothèse.

I-4-- Combien y a--t--il de molécules dans 1 mm3 d'air, assimilé à un gaz 
parfait, dans les conditions
normales de température et de pression ? Combien en reste-t--il lorsque la 
pression est diminuée
d'un facteur 106 à température constante '? Quelle remarque peut-on faire ?

I-S-- Que suppose la notion de mélange idéal de gaz '? Définir la pression 
partielle P,- du constituant i
d'un mélange idéal de g gaz parfaits à la température T et à la pression P.

H- Définition statistique de la pression dans la théorie cinétique des gaz

II-1-- A quoi est due la pression cinétique des gaz ?

II-2- Soit n la densité volumique moléculaire à la température T d'un gaz 
supposé parfait. Montrer
que la pression du gaz est donnée en fonction de n, T et k la constante de 
Boltzmann, par la relation
P = n k T. Calculer k.

II-3- Distribution statistique des vitesses.
Un gaz parfait, en équilibre thermique dans une enceinte à la température T est 
constitué de N
molécules de masse m. Les chocs moléculaires se traduisent par une répartition 
aléatoire des

vitesses des molécules suivant la distribution de Maxwell.

Ainsi, le nombre de molécules de l'enceinte dont le module de la vitesse est 
compris entre v et
v + dv est donné par :

27sz 2kT

Que représente la quantité f(v)dv '? Donner, sans faire de calcul, l'allure de 
la fonction flv).

3/2 2
de = N (------nÎ----] exp ------IÏL----Y---- 47Z v2 dv= N f(v) dv

II-4- Calculer la vitesse moyenne ? et la vitesse quadratique moyenne 170 d'une 
molécule de ce

gaz. On donne :

°° ? 1 7r 1 k--l
_ --ar k __ _ = :

Donner la valeur numérique de v et vq

température et de pression. Quelle remarque peut--on faire ?

pour du diazote dans les conditions normales de

II-5- En déduire l'énergie cinétique moyenne d'une molécule en fonction de k et 
T.

II-6- En utilisant la loi des gaz parfaits, montrer que la pression est donnée 
par :

1 ------2
P=înqu

Il-7-- Le trajet en ligne droite effectué par une molécule de gaz entre deux 
chocs s'appelle le libre
parcours moyen. Il est donné par la relation suivante :

1
lm : ----2
7: 2 O' 11
où 0' est, en mètre, le diamètre des molécules.

Exprimer [... en fonction de P et T. On donne 0"... : 3,77.1(T10 m. Calculer 
l... pour du diazote dans
les conditions normales de température et de pression. Que devient cette valeur 
si la pression est
réduite d'un facteur 108 ? Pourquoi dit--on qu'à très basse pression, les 
phénomènes de paroi sont
prépondérants '?

III- Pompe à condensation

\

Parmi les différents types de pompe à fixation, on trouve les pompes a 
condensation. Par
abaissement de la température d'une partie de la paroi de l'enceinte à vider, 
on condense le gaz ou
la vapeur à éliminer. Le produit condensé est ensuite éliminé.

Soit une enceinte sphérique de diamètre D = 20 cm, maintenue à une température 
constante
T = 273 K sauf au niveau d'un élément de surface s représentant 0,1% de la 
surface totale, maintenu
à une température T, inférieure à T et permettant la condensation du diazote. 
Cette enceinte est
initialement remplie d'air dans les conditions normales de température et de 
pression. L'air et ses
constituants sont supposés se comporter comme des gaz parfaits.

D'après la théorie cinétique des gaz, le nombre de molécules qui frappent 
l'unité de surface pendant

. , , 1 _ \ . , . , ..
l'unité de temps est donne par: N S =--n v ou il est la den51te volumique de 
molecules, v leur

4
vitesse moyenne.

Tournez la page S.V.P.

10

III-1- En admettant que les molécules de diazote qui frappent la surface s y 
restent collées, montrer
que la variation temporelle du nombre de molécules de ce gaz contenues dans 
l'enceinte est donnée
par une relation du type :

NN, =N£,) exp(--£)
" ' 2"

où t est le temps en seconde et N 2 le nombre de molécules de diazote dans le 
réservoir à l'instant

initial. On exprimera T en fonction de D et de la vitesse îN° d'une molécule de 
diazote.

III-2- En déduire la relation donnant la variation temporelle de la pression 
d'air P(t) dans
l'enceinte. On posera PO la pression dans l'enceinte à t = O.

III-3- Calculer le temps nécessaire pour diminuer d'un facteur 3 la pression 
dans l'enceinte .

III-4- Sachant que la chaleur latente de vaporisation du diazote est égale à 
5590 J mole", calculer le
transfert thermique échangé au cours de la variation de pression précédente. 
Donner la signification
du signe trouvé pour ce transfert.

IV- Pompe à dilution

Parmi les procédés industriels utilisant les techniques du vide, on cherche non 
pas à faire le vide
mais à extraire d'un mélange gazeux une espèce chimique limitant le 
fonctionnement de
l'installation, la pression totale restant constante. On évite ainsi 
l'utilisation longue et coûteuse d'un
pompage sous vide poussé.

Deux compartiments C1 et C2 de volumes V1 et V2, aux parois adiabatiques et 
indéformables,
renferment respectivement N1 molécules d'un gaz G1 et N2 molécules d'un gaz G2 
dans les mêmes
conditions de température T0 et de pression PO. Ces deux gaz sont supposés se 
comporter comme
des gaz parfaits. L'ouverture de la vanne R qui sépare les deux compartiments 
permet le mélange
par diffusion des deux gaz.

Compartiment C1 Compartiment C2

gaz G1 gaz (32
N1 molécules N2 molécules

Po To ' PO TO

IV-1- Déterminer la température Tf et la pression Pf finales du système.

IV-2- La transformation est-elle réversible ?

11

D'après le théorème de GIBBS, l'entropie d'un mélange idéal de gaz parfaits est 
égale à la somme
des entropies de ses constituants, à la même température, occupant tout le 
volume sous une pression
égale à leur pression partielle.

Calculer la variation d'entropie AS du système en fonction de la constante de 
Boltzmann k de M et
N2.
Pourquoi observe-t--on une augmentation de l'entropie ?

IV-3- Que devient ce résultat si les gaz G1 et G2 sont identiques ?

IV-4- Calculer, en fonction de Pf, N 1 et N2 , la pression partielle P... du 
gaz G1 après mélange.

\

Le mélange gazeux du compartiment C1 est isolé par fermeture de la vanne R puis 
a nouveau
connecté au compartiment C2 contenant N2 molécules du gaz G2 pur, à la pression 
PO et à la
température TO.

IV-5- Calculer la pression partielle P12 du gaz G1 après le nouveau mélange, 
puis P... après m
V1
V1 + V2
réduire la pression en gaz G1 d'un facteur 10 '? 100 '? Conclusion.

opérations de mélange. On posera r = . Combien de fois faut--il répéter cette 
opération pour

Fin de l'énoncé