CCP Physique 1 PC 2001

Thème de l'épreuve Formation de neige artificielle. Étude d'une turbine Pelton.
Principaux outils utilisés thermodynamique, changement d'état, hydrodynamique, théorème du moment cinétique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2001 PCOO5

A

CONCOURS (OMMUNS POlYTE(HNIOUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

PHYSIQUE 1

DURÉE : 4 heures

L'utilisation des calculatrices est autorisée - Les deux problèmes sont 
indépendants

PROBLEME I - FORMATION DE NEIGE ARTIFICIELLE

Certains hivers, il faut améliorer l 'enneigement des pistes de ski en 
utilisant de la neige artificielle.
Elle est produite à l'aide de canons à neige. La qualité de la neige produite 
dépend principalement
des conditions atmosphériques et de la façon dont sont générées les gouttes 
d'eau à l'intérieur du

canon. On se propose ici de traiter quelques points relatifs à la 
thermodynamique et aux transferts
thermiques mis en jeu lors de la production de neige artificielle.

Quelques données thermodynamiques de l'eau sont disponibles à la fin de 
l'énoncé.

1- Changement de phase solide-liquide des corps

1- 1. D'après le diagramme présenté sur la figure 1 :
-- Situer les zones solide, liquide, et vapeur.
-- Définir les points X et Y et décrire brièvement ce qui s'y passe.
- Comment s'appellent les courbes SY, Yf et XY ?

Figure 1

On appelle chaleur latente massique de transition de phase, de la phase 1 vers 
la phase 2, le

transfert thermique L;2 nécessaire pour réaliser de façon réversible à la 
température T sous la
pression P, la transition de l'unité de masse d'un corps pur, tel que : qu2 : 
h2 ---- h1
où h 1 et h; sont les enthalpies massiques des phases 1 et 2.

Tournez la page S.V.P.

I- 2. Montrer que la transition de phase est associée à une discontinuité de 
l'entropie telle que :
L12 : TAS : T(sz ---- sl)

où SI et 32 sont les entropies massiques respectives des phases 1 et 2 et T la 
température de
changement de phase à la pression P.

L 3. Montrer que le changement de phase réversible d'un corps pur se fait à 
enthalpie libre
constante.

I- 4. En déduire la relation de Clapeyron qui donne au point (PO,To) la pente 
de la courbe de
changement de phase dans un diagramme (P,T) en fonction de L12, T0 et des 
volumes massiques vl
et v2 des phases 1 et 2.

I- 5. Calculer la pente de la courbe d'équilibre solide--liquide de l'eau dans 
un diagramme (P,T) à
T : O°C. On donne d la densité de la glace : d = 0.917. Pourquoi le diagramme 
de la figure 1 n'est--il
pas celui de l'eau '?

I- 6. Donner l'équation de la courbe d'équilibre solide--liquide de l'eau 
assimilée à une droite.

1- 7. On considère l'échauffement isobare de la glace prise à T = - 5°C sous 
500 bars. Quelle est la
température de changement de phase de la glace '? Que se passe--t--il si 
l'échauffement a lieu à une
pression inférieure à P,, ?

I- 8. Soient g;(T) l'enthalpie libre massique de l'eau liquide et gS(T) 
l'enthalpie libre massique de
l'eau solide calculées à pression constante. Leurs variations en fonction de la 
température au
voisinage de la température de changement de phase Tf sont représentées sur la 
figure 2. Montrer
que l'entropie diminue lorsque le degré d'organisation de la matière augmente.

g(T)

Tf T
Figure 2 : variations en fonction de la température, au voisinage de la 
température de changement
de phase Tf, des enthalpies libres massiques des phases liquide et solide

I- 9. Qu'appelle-t-bn surfusion '?

II- Germination : Modèle de Volmer

Le processus de changement de phase liquide-solide repose sur le concept de 
germination. La
germination est définie comme la formation d'une nouvelle phase dans une région 
distincte séparée
de ce qui l'entoure par une limite bien définie : l'interface liquide-solide. 
L'énergie interfaciale
O'(N. m"), à la température T et à la pression P est définie à partir du 
travail ÔÎ/V qu'il est
nécessaire de fournir au système pour former une interface d'aire dA :
ôW : odA

Ainsi, la prise en compte d'une interface d 'aire A entre deux phases, revient 
à ajouter le terme
O'A à [ 'enthalpie libre.

En évaluant la variation d 'enthalpie libre associée à la formation d'un germe 
sphérique solide dans
un volume donné de liquide, le modèle de VOLMER montre que le changement de 
phase liquide--
solide des corps purs ne peut avoir lieu que si la température du système est 
inférieure à la
température thermodynamique de changement de phase à la pression considérée.

ETAT 1 ETAT 2

Germe solide sphérique de rayon r

Soit m la masse totale du système dans l'état 1 et 2, et vs le volume massique 
de la phase solide
contenue dans le germe sphérique de rayon r du système dans l'état 2.

II. 1- Calculer l'enthalpie libre G1 du système dans l'état 1.

II. 2- Calculer en fonction des enthalpies libres massiques g; du liquide et g, 
du solide, de 0", vs, m et
r l'enthalpie libre GZ du système dans l'état 2.

II. 3- En déduire la variation d'enthalpie libre AG 12 correspondant au passage 
du système de l'état 1
à l'état 2.

II. 4- Donner l'allure de AG 12(r) pour T = T; et T< 7}. Montrer que l'état 2 
ne peut être stable que si
T < T_;-- et que la nouvelle phase ne peut continuer à se développer que si le 
rayon du germe est

supérieur à une valeur minimale re...--tique que l'on calculera en fonction de 
gl, g,, oet D,.

II. 5- En utilisant les données de la figure 2, montrer que la germination est 
d'autant plus facile que
la surfusion est importante.

Tournez la page S.V.P.

111- Fabrication de neige artificielle -- Canon à neige

La neige artificielle est obtenue en pulvérisant, à l'aide de canons à neige de 
fines gouttes d'eau
liquide à Ti : 10°C dans l'air ambiant & la température Te : --15 °C. On 
propose de calculer le
temps mis par une goutte d'eau pour passer de l'état liquide à l'état solide.

On suppose que la goutte d'eau est sphérique de rayon R = 0.2 mm et que sa 
température à tout
instant est uniforme.

A l'interface eau-air, le flux thermique dû à travers une surface dS dans le 
sens de la normale

extérieure n est donnée par la loi des transferts convecto-diflùsifs :

dOE= h [T(t)-- Te] dS

où T( t) est la température de la goutte, supposée uniforme, & l'instant t. h 
est une constante que l'on
prendra égale à h = 65 W. m'2 IC]. '

III- 1. En utilisant le premier principe de la thermodynamique, en supposant la 
goutte indéf0rmable,
en équilibre mécanique avec le milieu ambiant, établir que l'équation qui régit 
la variation
temporelle de la température T(t) de la goutte d'eau liquide est :

pc,R £ =-3h[T(t)--Te]

dt

où c; est la capacité thermique massique de l'eau liquide et p sa masse 
volumique supposée
constante.

III- 2. Montrer que la variation temporelle de la température de la goutte 
liquide est régie par :
T(t)--Te =6--%
Tl --Te

Exprimer T en fonction de h, ,o, c, et R. Calculer le temps ta mis par la 
goutte d'eau liquide pour
atteindre la température de surfusion T(l0) : --5°C.

III- 3. Lorsque la goutte atteint la température ' de --5°C, il y a rupture de 
la surfusion : la
température est alors égale à 0°C et la goutte est partiellement solidifiée. 
Calculer la fraction x de
liquide restant à solidifier après la rupture de la surfusion. On admettra pour 
cela la transformation

adiabatique car très rapide. On néglige également la variation de volume due au 
changement de
masse volumique.

III- 4. Calculer le temps nécessaire à la solidification du reste de l'eau 
liquide.

111- 5. A son arrivée au sol, le rayon de la goutte solide est inférieur à 
celui de la goutte liquide

injectée par le canon à neige (on néglige la variation de masse volumique avec 
la température) : la
glace s'est sublimée. Quel est le mécanisme physique responsable de cette 
sublimation '?

Quelques données thermodynamiques de l'eau

Point triple : T,, = 0.01 °C
Ptr : 06113 kPa

Point critique : Pc : 22.09 MPa
Tc : 374.14 °C

Chaleur latente de changement de phase solide-liquide (P = 105 Pa)

L,(273K) : 333 k]. kg"

Capacité thermique massique (à 0°C) : de l'eau liquide : cl: 4.18 l
			

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CCP Physique 1 PC 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) et Yannick Alméras
(professeur en CPGE) ; il a été relu par Florent Tournus (ENS Lyon) et 
Jean-David
Picon (École Polytechnique).

Ce sujet comporte deux problèmes indépendants. Le premier traite de la 
production de neige artificielle pour les pistes de ski. Le second s'intéresse 
à la conversion
de la puissance hydraulique d'une cascade en puissance mécanique par le biais 
d'une
turbine Pelton.
· Après avoir réétabli quelques résultats importants concernant les transitions 
de
phase liquide-solide, le premier problème s'intéresse à l'étude de la surfusion
avec le modèle de germination de Volmer, puis à la solidification des gouttes
d'eau après leur éjection du canon à neige.
· Après quelques rappels de mécanique des fluides, le second problème aborde la
question de la conversion de la puissance hydraulique en puissance mécanique.
Il se termine sur une étude dynamique du démarrage et de l'arrêt de la turbine.
Ce sujet permet de revoir les transitions de phase solide-liquide, ainsi que les
bases de la mécanique des fluides. Il propose en outre, pour chaque problème, 
une
application amusante ou utile.

Indications

Problème I
I.I.2 Appliquer le second principe, à pression et température fixées.
I.I.3 Utiliser un potentiel thermodynamique.
I.I.4 Démontrer dans un premier temps l'égalité à l'équilibre des enthalpies 
libres
massiques de chaque phase.
Dans un deuxième temps, en déduire la relation de Clapeyron en utilisant
l'égalité précédente pour deux points de la courbe d'équilibre infiniment
proches.
I.I.5 Choisir un point simple pour les calculs ultérieurs.
I.I.8 s est donnée par l'opposé de la pente de g(T).
I.II.4 Le système avec un germe est favorisé thermodynamiquement par rapport
au système liquide pour G12 < 0.
rcritique correspond au rayon où G2 (r) devient décroissant.
I.II.5 Calculer la barrière énergétique G12 (rcritique ) et conclure.
I.III.1 Exprimer la chaleur reçue pendant dt.
I.III.2 Poser (t) = T(t) - Te pour l'intégration.
I.III.3 D'où provient la chaleur permettant le passage de -5  C à 0  C ?

Problème II
II.I.3 Intégrer sur une ligne de courant pour l'écoulement irrotationnel.
II.II.1 Faire un petit dessin.
II.II.2.3 Ne pas se laisser impressionner par l'erreur d'énoncé.
II.II.2.5 Pour un couple  et une vitesse angulaire , la puissance vaut P =  .

-
II.II.4 Regarder l'expression initiale de C .
II.III.2 Poser  =  m -  pour l'intégration.
II.III.4 Que penser du rendement dans le régime de fonctionnement choisi ?

Problème I
Formation de neige artificielle

I.

Changement de phase solide-liquide des corps

I.I.1 Le point X, limitant la courbe d'équilibre liquide-gaz, est le point 
critique : au-delà
de ce point, il est impossible de distinguer les
phases liquide et gaz. Si l'on contourne le point
critique, il n'est plus possible d'observer une coexistence entre les deux 
phases car les propriétés
physiques du corps pur, qui permettent de les
distinguer, évoluent continûment.

P

f

solide

Y
s

liquide

X

gaz
T

Au-delà du point critique (T > Tc et P > Pc ), le système porte le nom
de « fluide supercritique », pour traduire l'impossibilité de différencier les
phases liquide et gaz.
Il existe une définition mathématique du point critique : c'est le point
d'inflexion de l'isotherme critique dans le diagramme (p, V, T).
Le point Y est le point triple, seule combinaison de pression et de température
permettant aux trois phases d'exister simultanément en équilibre.
La courbe sY est appelée courbe de sublimation (ou, parfois, de condensation).
La courbe Yf est appelée courbe de fusion (ou, parfois, de solidification). La 
courbe
XY est appelée courbe de vaporisation (ou, parfois, de liquéfaction).
I.I.2 Soit T la température de la transition de phase à la pression P ; T et P 
sont
fixés. La transition 1 -
 2 étant une transformation réversible, le second principe
donne
S =
On en déduit

QP
H
m L12
=
=
T
T
T

L12 = T(s2 - s1 )

Lorsque L12 est non nul, il existe bien une discontinuité de l'entropie au 
changement de phase.
En réalité, L12 n'est pas nul pour une transition de phase de première espèce. 
Il existe d'autres transitions de phase, dites de deuxième espèce, pour
lesquelles L12 = 0. Dans le problème présent, en dehors du point critique,
toutes les transitions sont de première espèce et il y a bien discontinuité de
l'entropie massique.

I.I.3 Soit le système fermé constitué du corps pur dont on étudie la transition 
de
phase. La transformation est réversible, à T et P fixés. Par conséquent, le 
potentiel
thermodynamique adapté au problème posé est l'enthalpie libre G. On sait alors 
que
l'équilibre est obtenu lorsque G est minimal, d'où dG = 0.
L'enthalpie libre est constante lors du changement de phase d'un corps pur.
I.I.4 On reprend le système fermé précédent constitué du corps pur en 
transition de
phase. D'après l'extensivité de G et en posant les enthalpies libres massiques 
g1 (P, T)
et g2 (P, T) de chacune des phases de masses respectives m1 et m2 , on peut 
écrire au
cours de la transformation
G(P, T) = m1 g1 (P, T) + m2 g2 (P, T)
L'extensivité de G n'est utilisable que lorsque les phases sont non miscibles,
c'est-à-dire lorsque le système est la simple réunion des deux sous-systèmes
{phase 1} et {phase 2}, ce qui est le cas envisagé dans le programme de
physique de Spé PC. Dans le cas de mélanges, il est nécessaire d'introduire
le potentiel chimique (cf cours de chimie).

Alors

dG = dm1 g1 (P, T) + dm2 g2 (P, T)

Comme le système considéré est fermé, sa masse m = m1 + m2 est constante, donc
on peut écrire dm = dm1 = -dm2 . Ainsi,
dG = dm (g1 (P, T) - g2 (P, T))
En utilisant la question précédente, dG = 0 lors de la transition de phase 1 -
 2 . On
en déduit un résultat intermédiaire important, méritant d'être encadré.
La condition d'équilibre des phases à T et P est g1 (P, T) = g2 (P, T).

C'est cette égalité qui fixe l'équation P(T) de la courbe d'équilibre entre les
phases 1 et 2 et il est, par conséquent, légitime de l'utiliser pour déterminer
la pente de cette courbe.

Considérons deux points, de coordonnées (P0 , T0 ) et (P0 + dP, T0 + dT), se 
trouvant sur la courbe de changement de phase et infiniment proches. Le 
résultat intermédiaire précédent donne
g1 (P0 , T0 ) = g2 (P0 , T0 )

et

g1 (P0 + dP, T0 + dT) = g2 (P0 + dP, T0 + dT)

Par différence de ces deux équations, on trouve qu'au voisinage de (P0 , T0 ) 
sur la
courbe de changement de phase, on a
dg1 = dg2
Par conséquent,

-s1 dT + v1 dP = -s2 dT + v2 dP