X Maths 2 PC 2001

Thème de l'épreuve Matrices et formes symplectiques
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, norme euclidienne, réduction des endomorphismes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE .
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2001 FILIÈRE PC

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

Les propriétés démontrées dans ce problème ont des applications à la mécanique 
classique
et quantique et a l'optique géométrique.

***

Pour tout entier p > 1, on désigne par Mp l'espace vectoriel des matrices 
réelles a p lignes et p
Colonnes, et l'on désigne par Ip la matrice unité de Mp. Si M EUR Mp, on note M 
l'endomorphisme
| de Rp de matrice M dans la base canonique. La transposée d'une matrice M est 
notée "M . On

' note ( | ) le produit scalaire canonique et || || la norme euclidienne de RJD 
.

Pour tout entier pair n : 2m, on considère la matriceèJ EUR M2... définie par 
blocs par
J = 0 --I...
I... 0 '

Première part ie
Matrices symplect iques

1. On fixe l'entier pair n : 2m. On appelle matrice symplectique toute matrice 
M EUR M2...

telle que
tMJM=J.

&) Que peut-on dire du déterminant d'une matrice symplectique ?
b) L'ensemble des matrices symplectiques est--il un groupe pour la 
multiplication ?
c) La matrice J est--elle symplectique ?

d) La transposée d'une matrice symplectique est--elle symplectique ?

AB

2. On écrit toute matrice M EUR M2... par blocs, M = (C' D

),où A,B,C,DEM....

a) Montrer que la matrice M est symplectique si et seulement si les matrices A, 
B, C, D
vérifient les conditions
1'AC et tBD sont symétriques ,

1'AD-- 'CB : I... .

b) Montrer que si D est inversible, il existe Q E M... telle que M : (lan IQ ) 
(A _CQC [D]) .
m

En déduire que, si M est symplectique et D inversible, alors det M = 1.

0) Soient B, D E M... telles que "BD est symétrique. On suppose qu'il existe 
31, 32 E R,
31 # 32, et vl,v2 E R'" tels que (_D_ -- 31_B_)v1 : O et (Q -- 32fi)Ug : 0. 
Montrer que le produit
scalaire (Qv1 |Qv2) est nul.

d) On suppose que M est symplectique. Montrer que tout 7) E R'" tel que QU = 0 
et
fiv : 0 est nul. Montrer qu'il existe 3 E R tel que D ---- SB est inversible. 
En déduire que
I 0

det M = 1. [On pourra introduire la matrice m
--sIm [...

) et vérifier qu'elle est symplectique]

3. Soit M une matrice symplectique et soit P son polynôme caractéristique.
a) Montrer que, VÀ E C, /\ # O, P(À) : À2mP (à).

1 _ 1
b) Montrer que si À0 E C est valeur propre de M, de multiplicité d, alors --, 
À0, _-- sont

AG /\0
valeurs propres de M, chacune de multiplicité d.

0) Que peut--on dire de l'ordre de multiplicité de --1 et de 1 ?

d) On suppose dans cette question que m = 2. Donner des exemples de matrices 
symplec-
tiques 6 M4, diagonalisables sur C et ayant

( 1) une seule valeur propre;

(2) deux valeurs propres doubles distinctes;

(3) une valeur propre double et deux valeurs propres simples;

(4) quatre valeurs propres distinctes non réelles et de module # 1.

Dans chaque cas, dessiner les valeurs propres dans le plan complexe, sur lequel 
on tracera
d'abord le cercle de centre 0 et de rayon 1.

e) Toute matrice symplectique est--elle diagonalisable sur C ?

Deuxième partie
Formes symplectiques et endomorphismes symplectiques

Soit n un entier _} 1. On appelle forme symplectique sur R" une application w : 
R" >< R" --> B
qui est

. bilinéaire : Vy E R", :1: EUR R" &--> w(oe,y) EUR Rest linéaire et Va: E R", 
y E R" l----> w(oe,y) E R
est linéaire; '

. antisymétrique : Væ,y E R", w(oe,y) = --w(y,£fi);

. non dégénérée : la condition « w(a:, y) = 0 pour tout y E R" >> implique a: = 
O.

4.a) Soit 77 un endomorphisme de R" tel que

*

77=_77

où 77* est l'adjoint de 77 par rapport au produit scalaire euclidien. On pose

Voe,yEURRn , _w(oeay)=(n(w)ly)- (1)

Montrer que w est une forme symplectique sur R" si et seulement si 77 est 
inversible.

b) Soit au une forme symplectique sur R'". Montrer qu'il existe un 
endomorphisme 77 de
R" tel que la relation (1) soit vérifiée. Montrer que 77* = ----77 et que 77 
est inversible.

5. Montrer que s'il existe sur R" une forme symplectique, alors n est pair.

6. On suppose dans cette question que n : 2m. On pose
Væ,y E R% , wo(æ,y) = (J_OE | y)--

a) Montrer que wo est une forme symplectique sur R2m.
b) Soit (EURk)1gkg2... la base canonique de R2m. Calculer w0(ek, BE), 1 { k { 
2m, 1 { EUR < 2m.

c) Soit cp un endomorphisme de R2m, et M sa matrice dans la base canonique. 
Montrer
que les propriétés suivantes sont équivalentes :

w) = wo<æ,y),

(ii) la matrice M est symplectique.

Un endomorphisme de R2... qui vérifie la propriété (i) ci--dessus est appelé 
endomorphisme
symplectique.

7. Un endomorphisme cp de R" est dit stable si, pour tout :D E R'", la suite 
(||fi(æ)l|) N
196
est bornée, où gap désigne la composée de l'application g0 avec elle-même p 
fois.

&) Montrer que si un endomorphisme 90 de R" a toutes ses valeurs propres 
distinctes et de
module 1 dans C, alors 90 est stable.

b) Donner une condition nécessaire et suffisante sur 9 E M... pour que 
l'endomorphisme
0 --Q

2m °
de R de matr1ce (Q 0

) dans la base canonique soit symplectique et stable.

0) Montrer que si un endomorphisme symplectique go de R2..." possède une valeur 
propre
dans C de module # 1, alors cp n'est pas stable.

8. On note 5121, . .. ,æ2m les coordonnées de a: E R2m dans la base canonique. 
On considère

2m
les ensembles B = {a: E R2m | Z(oek)2 { 1},
k=1

CR={OEER2m|OEi+OEËÉR2} et FR={OEER2m|oeÎ+OEÏn+1 2. Montrer que pour tout R > 0, il existe un endomorphisme 
sym-
plectique cp de R2... tel que g0(B) C CR.

b) Soit cp un endomorphisme symplectique de R2m et soit g0* l'adjoint de go par 
rapport
au produit scalaire euclidien. Montrer que ou bien ||go*(eflll ; 1, ou bien 
||90* (em+1)|l ; 1.

En déduire que, si R < 1, il n'existe aucun endomorphisme symplectique @ de R2m 
tel que
90(B ) C PR.

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X Maths 2 PC 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thomas Chomette (ENS Ulm) ; il a été relu par Vincent
Beck (ENS Cachan) et David Lecomte (ENS Cachan).

Ce problème, composé de deux parties, est difficile par endroits car il fait 
appel
à des techniques assez subtiles.
· La première partie traite des matrices symplectiques. On y montre, en 
utilisant
la structure de groupe de leur ensemble, que leur déterminant est toujours égal
à 1. On s'intéresse ensuite aux valeurs propres de ces matrices et à leur 
multiplicité : si  est valeur propre d'une matrice symplectique M, de 
multiplicité d,
alors il en est de même pour , 1/ et 1/.
On s'intéresse enfin à quelques exemples de matrices symplectiques ayant des
réductions particulières, ainsi qu'à un exemple de matrice symplectique non
diagonalisable.
· Dans la deuxième partie, on s'intéresse aux formes symplectiques, montrant
qu'elles ont quelques propriétés communes : elles n'existent qu'en dimension
paire et s'écrivent sous la forme :
(x, y) 7 ( (x) |y)
où  est un endomorphisme vérifiant   = -.
Puis on s'intéresse aux endomorphismes symplectiques, faisant le lien avec les
matrices. Enfin on démontre quelques résultats de stabilité des endomorphismes
symplectiques, ainsi qu'un résultat sur l'image de la boule unité de la norme
euclidienne par un endomorphisme symplectique.

Indications

Première partie
1.a Passer au déterminant dans la relation t M JM = J.
1.b Penser à vérifier que les matrices sont bien inversibles avant de parler 
d'inverse.
1.d Passer par les inverses.
t

2.a Calculer par blocs le produit M JM.
2.b Utiliser le déterminant par blocs et les relations introduites à la 
question 2.a.
2.c Montrer que (Dv1|Dv2) = s1(Dv1|Bv2) = s2(Dv1|Bv2).
2.d En raisonnant par l'absurde, construire un vecteur non nul de Ker M. 
Utiliser
le fait qu'une famille orthogonale dans Rm a au plus m éléments non nuls, pour
montrer qu'il y a au plus m réels tels que D - sB non inversible.
3.a Montrer d'abord que det (xIn - M) = det (In - xM).
3.b Conjuguer une égalité polynomiale pour avoir 0 valeur propre. Utiliser la 
ques1
tion 3.a pour avoir
.
0
3.c Montrer en utilisant des arguments de degré que m1 + m-1 est pair. Montrer
que m1 est pair en utilisant le déterminant de M.
3.d Pour la question (iv), penser aux similitudes dans R2 .
3.e Utiliser la question 2.d.

Deuxième partie
4.b Caractériser la forme linéaire y 7  (x, y) sous forme d'une produit 
scalaire.
5 Penser au déterminant de   .
7.a Travailler dans Cn et non dans Rn .
7.b Raisonner en terme de conditions nécessaires. Montrer ensuite qu'alors la 
matrice
M est idempotente, donc stable.
7.c Travailler là encore dans Cn .
8.b Utiliser le fait que  est aussi symplectique. Penser au fait que J conserve 
la
norme euclidienne.

I.

Matrices symplectiques

t

1.a Soit M une matrice symplectique. Par définition M JM = J, donc, en passant
au déterminant dans cette égalité :
 
t
det M det (J) det (M) = det (J)
Or la matrice Jétant
 inversible, elle est de déterminant non nul. Et l'on sait par
t
ailleurs que det M = det (M). Par conséquent, après simplification, on obtient :
2

(det (M)) = 1

Enfin

det (M) = 1 ou - 1

1.b D'après la question précédente, les matrices symplectiques sont 
inversibles. Il
nous suffit alors de montrer que l'ensemble des matrices symplectiques est 
stable
par multiplication et par passage à l'inverse, et qu'il est non vide 
(c'est-à-dire qu'il
contient la matrice In , ce qui est évident).
Soient M1 et M2 deux matrices symplectiques. On a
t

t

t

t

(M1 M2 ) J (M1 M2 ) = M2 M1 JM1 M2 = M2 JM2 = J

et le produit M1 M2 est encore symplectique.
De même, si M est symplectique, on a :
t

t

t

M-1 JM-1 = M-1 M JMM-1 =

t

et M-1 est également symplectique.

MM-1 J MM-1 = J

L'ensemble des matrices symplectiques est un groupe pour la multiplication.
1.c On calcule le produit t J J par blocs.

0
Im
0 -Im
I
t
JJ =
= m
-Im 0
Im
0
0
d'où

t

0
Im

= In

J JJ = In J = J

J est elle-même symplectique.
Tout au cours du problème, nous avons à manier des matrices par blocs. Il est
donc important de se persuader, si nécessaire, que les opérations matricielles
effectuées par blocs correspondent bien aux opérations matricielles classiques.
Il s'agit essentiellement du produit par blocs et de la transposition. Pour la
transposition par blocs, il faut transposer les blocs diagonaux et permuter
les autres deux à deux tout en les transposant également. Il suffit, pour voir
cela, d'indicer correctement les matrices et de faire les calculs !
1.d Soit M une matrice symplectique. Alors M-1 est symplectique d'après la quest
tion 1.b, c'est-à-dire que M-1 JM-1 = J. Donc, en passant aux inverses,
t

MJ-1 M = J-1

t

Mais nous avons vu que J J = In , donc J-1 =
M (-J) t M = (-J) et alors :
t

t

J = -J. De ceci on obtient

M est symplectique.

2.a On calcule le produit par blocs :
t

t 
A
C
0 -Im
A B
t
M JM = t
t
Im
0
C D
B
D
 t

t
t
t
- AC + CA - AD + CB
=
t
t
t
t
- BC + DA - BD + DB
t

Ainsi, la matrice M est symplectique si et seulement si M JM = J, c'est-à-dire :
 t
t

 - t A C + tC A = 0

- A D + C B = -Im
t
t

- B C + D A = Im

 t
- B D + tD B = 0

t
t
t
t

A
C
=
C
A
=
A
C

t
t
t
t
B
D
=
D
B
=
B
D

t
A D - t C B = Im

soit

En effet, les deux systèmes sont équivalents puisque les deuxième et troisième 
lignes
du premier sont obtenues par transposition l'une de l'autre et sont donc 
redondantes.
On a bien M symplectique si et seulement si les matrices A, B, C, D vérifient 
les
conditions :
(t
t
A C et B D sont symétriques
t

A D - t C B = Im

2.b Soit Q une matrice carrée d'ordre m. On calcule le produit par blocs :

Im Q
A - QC 0
A QD
=
0 Im
C
D
C D
La matrice M peut donc s'écrire sous la forme voulue si l'on peut trouver Q 
telle que
QD = B. Lorsque D est inversible, il suffit de poser Q = BD-1 pour avoir :

Im BD-1
A - BD-1 C 0
M=
0
Im
C
D
d'où
Soit, comme

det (M) =
Im
0

Im
0

BD-1
A - BD-1 C
×
Im
C

0
D

BD-1
= 1:
Im

det (M) = det A - BD-1 C det (D)
 
Et comme det (D) = det t D , on obtient :