X/ENS Maths PC 2015

Thème de l'épreuve Valeurs propres de matrices symétriques réelles
Principaux outils utilisés bornes sup et inf, topologie, valeurs propres

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYTECHNIQUE ­ ECOLES NORMALES SUPERIEURES
ECOLE SUPERIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 2015

FILIERE PC

COMPOSITION DE MATHEMATIQUES ­ (XEULC)
(Duree : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisee pour cette epreuve.
Toute affirmation doit etre clairement et completement justifiee.

Dans ce probleme, n est un entier strictement positif. L'espace vectoriel reel 
Rn est muni
du produit scalaire canonique h·, ·i et de la norme euclidienne associee k · k 
; on l'identifie a
l'espace Mn,1 (R) des vecteurs colonnes a n coordonnees. Ainsi, pour deux 
vecteurs x et y de
Rn , hx, yi = t xy.
Mn (R) est l'algebre des matrices n × n a coefficients reels et Sn (R) est le 
sous-ensemble de
Mn (R) compose des matrices reelles symetriques. On notera t M la matrice 
transposee de M et
In la matrice identite. Par abus de notation, on identifiera hx, yi au vecteur 
a une ligne et une
colonne t x y.
Les coordonnees d'un n-uplet m de reels (considere comme vecteur ligne) seront 
notees
m1 , . . . , mn .
Si m est un n-uplet de reels, m est le n-uplet obtenu a partir de m par 
permutation de ses
coordonnees de sorte que m1 > m2 > · · · > mn . Autrement dit, il s'agit du 
n-uplet obtenu en
ordonnant dans l'ordre decroissant les coordonnees de m. Par exemple, si m = 
(3, 2, -1, 6, 2, 9),
m = (9, 6, 3, 2, 2, -1).
L'ensemble des valeurs propres d'une matrice M de Mn (R) sera appele, comme a 
l'habitude,
spectre de M . On notera s l'application de Sn (R) dans Rn qui a une matrice M 
symetrique
associe le n-uplet (appele spectre ordonne) de reels dont les cordonnees sont 
les elements ordonnes
dans l'ordre decroissant du spectre de M (repetes autant de fois que leur ordre 
de multiplicite).
Ainsi, par exemple, si le spectre de la matrice M  S4 (R) vaut {-1, 3, 3, 7}, 
on a s (M ) =
(7, 3, 3, -1).
Pour M  Mn (R), on pose
kM k = sup kM xk.
kxk=1

On admet qu'il s'agit d'une norme sur Mn (R).

Premiere partie
1a. Rappeler pourquoi Sn (R) est un espace vectoriel reel et quelle est sa 
dimension. Pourquoi
l'application s est-elle bien definie sur Sn (R) ?
1b.

L'application s est-elle lineaire ? Justifier votre reponse.

1c.

Si M  Sn (R), exprimer s (-M ) en fonction des coordonnees (m1 , . . . , mn ) 
de s (M ).
1

1d.

Soit M =

 h
h µ

une matrice de S2 (R). Calculer s (M ).

2a. Soit M  Sn (R), on note m = s (M ) son spectre ordonne. Montrer qu'il 
existe une base
orthonormee (v1 , . . . , vn ) de Rn telle que
M=

n
X

mi vi t vi .

i=1

Une telle decomposition de M sera appelee dans la suite resolution spectrale de 
M .
2b.

Calculer
sup hx, M xi
kxk=1

en fonction des coordonnees de m. Cette borne superieure est-elle atteinte ? 
(On pourra
decomposer x et M x sur la base orthonormee (v1 , . . . , vn ) de la question 
2a).
2c. Les notations sont celles de la question 2a. Soit j un entier, 1 6 j 6 n. 
On note Vj le
sous-espace vectoriel de Rn engendre par (v1 , . . . , vj ), et Wj celui 
engendre par (vj , vj+1 , . . . , vn ).
Montrer les egalites
inf

xVj , kxk=1

3a.

hx, M xi =

sup

hx, M xi = mj .

xWj , kxk=1

Soient U et V deux sous-espaces vectoriels de Rn tels que
dim U + dim V > n.

Montrer que U  V ne se reduit pas a {0}.
3b. Soit M  Sn (R), on note m = s (M ). Soient j un entier, 1 6 j 6 n, et V un 
sous-espace
vectoriel de Rn de dimension j. Montrer que
inf

hx, M xi 6 mj .

xV, kxk=1

(On pourra utiliser les questions 2c et 3a, en choisissant U = Wj .)
3c.

En reprenant les notations de la question 3b, en deduire que
sup
VRn , dim V=j

inf

xV, kxk=1

hx, M xi = mj .

Cette borne superieure est-elle atteinte ?
4.

Soient m et  deux n-uplets de reels. On note
4m

si et seulement si, pour tout entier j, 1 6 j 6 n,

j 6 mj .

Soient L, M  Sn (R) telles que (0, . . . , 0) 4 s (M - L). Montrer que s (L) 4 
s (M ).

4b. Montrer que pour toute matrice M  Sn (R), (0, . . . , 0) 4 s kM kIn - M .
4a.

4c.

Soit L, M  Sn (R), on note m = s (M ) et  = s (L). Montrer que
max |j - mj | 6 kL - M k.

16j6n

2

4d.

Conclure que la fonction s : Sn (R)  Rn est continue.

5. On note Sn (R) l'ensemble des matrices symetriques n × n dont toutes les 
valeurs propres
sont simples.
5a. Soit M  Sn (R). Determiner un reel r > 0 tel que la boule ouverte de Sn (R) 
centree en
M et de rayon r soit incluse dans Sn (R). En deduire que Sn (R) est un ouvert 
de Sn (R).
5b. Montrer que la premiere composante s1 de s est de classe C 1 sur S2 (R), 
mais pas sur
S2 (R). (On pourra utiliser la question 1d.)

Deuxieme partie
Dans toute cette partie, on considere deux matrices symetriques reelles A, B  
Sn (R) et leur
somme C = A + B. On note a = s (A), b = s (B) et c = s (C).
6a.

Montrer que

n
X

ci =

i=1

n
X

ai +

i=1

n
X

bi .

i=1

6b.

Montrer que a1 + b1 > c1 .

6c.

Montrer que an + bn 6 cn .

7a.

Soient U , V et W trois sous-espaces vectoriels de Rn tels que
dim U + dim V + dim W > 2n.

Montrer que U  V  W ne se reduit pas a {0}.
7b. En utilisant des resolutions spectrales de A, B et C, montrer que si les 
entiers strictement
positifs j et k verifient j + k 6 n + 1, on a
cj+k-1 6 aj + bk .
En deduire pour tout entier j, 1 6 j 6 n,
aj + bn 6 cj .
8.
8a.

On note aii pour 1 6 i 6 n les elements diagonaux de A.
Demontrer que a11 6 a1 .

8b. Soient j et k des entiers positifs tels que 1 6 j < k et s1 > s2 > · · · > 
sk des reels. On
definit Dj,k = {(t1 , . . . , tk )  [0, 1]k | t1 + · · · + tk = j} et f la 
fonction de Dj,k dans R definie par
f (t1 , . . . , tk ) =

k
X

s i ti .

i=1

Demontrer que pour tout (t1 , . . . , tk )  Dj,k ,
j
X

si - f (t1 , . . . , tk ) >

i=1

j
X
i=1

3

(si - sj )(1 - ti ).

En deduire que
j
X

sup f =
Dj,k

8c.

i=1

Montrer que, plus generalement qu'en 8a, on a pour tout entier 1 6 j 6 n
j
X

aii 6

i=1

8d.

si .

j
X

ai .

i=1

En deduire que pour tout entier 1 6 j 6 n
j
X

ai =

j
X

sup

(x1 ,...,xj )Rj i=1

i=1

hxi , Axi i,

ou Rj est l'ensemble des familles orthonormales de cardinal j dans Rn .
8e.

En conclure que l'on a pour tout entier 1 6 j 6 n
j
X
i=1

ci 6

j
X

ai +

j
X

bi .

i=1

i=1

Troisieme partie
Dans toute cette partie, on etudie le cas n = 2. Pour deux reels u et v tels 
que u > v, on
note :
S(u, v) = {M  S2 (R) | s (M ) = (u, v)}.
On fixe a1 > a2 et b1 > b2 , quatre reels verifiant la relation
a1 - a2 > b1 - b2 .
On cherche a identifier l'ensemble
 = {s (A + B) | A  S(a1 , a2 ), B  S(b1 , b2 )},
autrement dit, l'ensemble des spectres possibles de somme de deux matrices 
symetriques reelles
de spectres respectifs donnes.

9. Montrer que  est inclus dans un segment de droite L de longueur 2(b1 - b2 ), 
et dont on
precisera les extremites. On pourra etudier d'abord le cas ou A et B sont 
diagonales.
10a.

Montrer que

a1 0

, B  S(b1 , b2 ) .
 = s (A + B) | A =
0 a2

10b.

Determiner une fonction continue definie sur [-, ] dont l'image vaut S(b1 , b2 
).

10c.

Montrer que  = L.

4

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Maths PC 2015 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par François Lê (ENS Lyon) ; il a été relu par Tristan
Poullaouec (Professeur en CPGE) et Benjamin Monmege (ENS Cachan).

Le sujet s'intéresse à des propriétés vérifiées par les valeurs propres de 
matrices
symétriques réelles. Il est partagé en trois parties dépendantes (ce que ne 
signale pas
l'énoncé) et de proportions inégales.
· Un des objectifs de la première partie est d'établir plusieurs formules 
faisant le
lien entre les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle M et des bornes
supérieures ou inférieures de produits scalaires du type hx, Mxi. Grâce à ces
formules, on démontre également la continuité de l'application qui associe à
une matrice symétrique réelle son spectre ordonné.
· La deuxième partie considère deux matrices symétriques réelles A et B, dont
les valeurs propres sont notées a1 > · · · > an et b1 > · · · > bn 
respectivement.
Si c1 > · · · > cn sont les valeurs propres de la somme C = A + B, le résultat
final de la partie est que c1 + · · · + cj 6 a1 + · · · + aj + b1 + · · · + bj 
pour
tout j  [[ 1 ; n ]]. On démontre aussi au passage le théorème de Schur, qui
énonce que a1 + · · · + aj > a11 + · · · + ajj pour tout entier 1 6 j 6 n, où 
les aii
sont les coefficients diagonaux de A.
· Pour la troisième partie, on se place dans le cas n = 2. Quatre réels a1 , a2 
, b1 , b2
étant fixés, on cherche à déterminer les spectres possibles des sommes de deux
matrices symétriques réelles données ayant pour spectres (a1 , a2 ) et (b1 , b2 
).
C'est un segment de droite dont on explicite les extrémités.
Ce sujet est fondé sur un thème d'algèbre linéaire, mais d'autres parties du 
programme y sont mobilisées. Ainsi, les questions 4d, 5a et 5b se rapportent à 
la topologie
et au calcul différentiel, et les questions 9 et 10c nécessitent d'être au 
point sur la géométrie élémentaire du plan. En outre, presque l'intégralité des 
questions font appel à
des manipulations sur des bornes inférieures ou supérieures. Il faut être 
extrêmement
vigilant dans ces calculs et rédiger calmement les solutions.

Indications
1b Trouver une matrice diagonale M et un réel  tels que s (M) 6= s (M).
2a Utiliser le théorème spectral pour trouver P orthogonale telle que t P MP 
soit
égale à la matrice diagonale diag(m1 , . . . , mn ), puis considérer les 
colonnes de P.
2b Commencer par majorer hx, Mxi par une quantité indépendante de x, puis 
montrer que cette majoration est atteinte pour un vecteur x particulier.
2c Montrer séparément que les bornes inférieure et supérieure proposées sont 
égales
à mj . Pour cela, effectuer des calculs analogues à ceux de la question 2b.
3a Penser à la formule de Grassmann.
4a Remarquer que hx, Mxi = hx, (M - L)xi + hx, Lxi. Montrer ensuite que pour
tout x normé, hx, (M - L)xi > 0, puis utiliser le résultat de la question 3b 
pour
lier hx, Lxi et hx, Mxi à j et mj .
4c Appliquer la question 4b à la matrice L - M puis utiliser la question 4a pour
montrer que j 6 kL - Mk + mj .
5a D'après la question 4c, on a |j - mj | < r dès que kL - Mk < r. Sachant que
les mi sont tous distincts, utiliser cette remarque pour définir un r > 0 tel 
que,
si kL - Mk < r, alors les j sont aussi tous distincts.
5b Pour clarifier
la situation, identifier S2 (R) à R3 et montrer que S2 (R) s'identifie

alors à (, µ, h)  R3 |  6= µ ou h 6= 0 .
6b Utiliser la question 2b et l'égalité hx, Cxi = hx, Axi + hx, Bxi.
6c Se servir de la question 2c ou appliquer la question 6b en remplaçant A et B
par -A et -B.
7a Appliquer d'abord la formule de Grassmann aux sous-espaces U  V et W.
7b Pour la première partie de la question, trouver, grâce à la question 2c, des 
sousespaces U, V, W associés respectivement à aj , bk et cj+k-1 , et partir 
ensuite de
l'égalité hx, Cxi = hx, Axi + hx, Bxi. Pour la seconde partie, s'appuyer sur le
résultat de la première en remplaçant A et B par -A et -B.
8a Se souvenir que hx, Axi 6 a1 pour tout vecteur x normé.
8b Développer les facteurs du membre de droite de l'inégalité proposée et faire
apparaître f (t1 , . . . , tk ).
t
8c Grâce à une écriture A = PD P avec P orthogonale, montrer qu'il existe un
j
P
n-uplet (t1 , . . . , tn )  Dj,n tel que
aii = f (t1 , . . . , tk ). Conclure à l'aide de la
i=1

8d

9

10b
10c

question 8b.
Étant donnée une famille (x1 , . . . , xj )  Rj , la compléter en une base 
orthonormée de Rn . Considérer alors la matrice de passage de la base canonique 
à cette
base pour trouver une relation de la forme hxi , Axi i = hei , A ei i.

Dans le cas où A et B sont diagonales, chercher les
 possibilités pour s (A + B) et
mettre ainsi en évidence deux points distants de 2(b1 - b2 ). Dans le cas 
général,
utiliser les relations données par les questions 6a, 6b, 6c et 7b.
Montrer qu'une matrice B  S(b1 , b2 ) peut être diagonalisée avec une matrice de
passage orthogonale directe et paramétrer alors de telles matrices par t  [-, ].
Écrire  comme l'image directe de [ - ;  ] par une application continue. En 
paramétrant le segment L par [ 0 ; 1 ], trouver ensuite une application continue
[ - ;  ] - [ 0 ; 1 ]. Pour conclure, utiliser le fait que l'image d'un 
intervalle
de R par une application continue est un intervalle de R.

I. Première partie
1a L'ensemble Sn (R) est un sous-espace vectoriel de Mn (R). En effet,
· Sn (R) 6=  car la matrice nulle est symétrique.
t

t

t

· Soient   R et M, N  Sn (R). Alors (M + N) =  M + N = M + N, ce qui
montre que M + N  Sn (R).

En tant que sous-espace vectoriel de Mn (R), l'ensemble Sn (R) hérite d'une 
structure
d'espace vectoriel (sur R). Ainsi,
Sn (R) est un espace vectoriel.

Dans la plupart des sujets de concours, pour montrer qu'un ensemble est un
espace vectoriel, on montre qu'il s'agit d'un sous-espace vectoriel d'un espace
vectoriel connu.
On sait par ailleurs, grâce au cours, que la dimension de Sn (R) est égale à
dim Sn (R) =

n(n + 1)
2

Enfin, d'après le théorème spectral, toute matrice symétrique réelle M (de 
taille n)
est diagonalisable donc possède en particulier n valeurs propres (éventuellement
confondues). Il est ainsi possible de parler du n-uplet s (M) de ses valeurs 
propres
ordonnées par ordre décroissant.
L'application s est bien définie sur Sn (R).
Le théorème spectral énonce que toute matrice symétrique réelle est 
diagonalisable et que la diagonalisabilité peut s'effectuer à l'aide d'une 
matrice
de passage orthogonale. Dans cette première question, il suffit d'invoquer la
diagonalisabilité, sans parler de matrices orthogonales.
1b Considérons la matrice diagonale M  Sn (R) dont les éléments diagonaux
sont 1, 2, . . . , n. Puisque les valeurs propres de M sont ses éléments 
diagonaux, on en
déduit que s (M) = (n, n - 1, . . . , 2, 1). Par ailleurs, la matrice -M est 
également
diagonale. Comme ses éléments diagonaux sont -1, -2, . . . , -n, son spectre 
ordonné
est égal à s (-M) = (-1, -2, . . . , -n). Cela montre que s (-M) 6= -s (M) donc 
que
L'application s n'est pas linéaire.
Il est aussi possible de trouver deux matrices symétriques A et B telles
que s (A + B) 6= s (A) + s (B). On vérifie par exemple que si

0 1
0 -1
A=
et B =
1 1
-1 0
alors

s (A) =

 !
1- 5 1+ 5
,
2
2

et

s (B) = (-1, 1)

d'une part, tandis que s (A + B) = (0, 1) 6= s (A) + s (B) d'autre part.

1c Soit M  Sn (R). Comme rappelé dans la question 1a, M est diagonalisable :
il existe une matrice P  GLn (R) telle que P-1 MP soit une matrice diagonale 
dont
les éléments diagonaux sont les valeurs propres m1 , . . . , mn de M. De plus, 
il est
toujours possible de supposer que P vérifie

m1 0 · · · 0
 0 m2
0 

P-1 MP =  .
.. 
..
 ..
.
. 
0

On a alors

0

-m1
 0

P-1 (-M)P =  .
 ..

· · · mn

0
-m2

0

0

···
..

0
0
..
.

.
· · · -mn

ce qui prouve que le spectre de -M est {-m1 , -m2 , . . . , -mn }. Compte tenu 
des
relations m1 > m2 > . . . > mn , on en déduit que -m1 6 -m2 6 . . . 6 -mn . 
Ainsi,
s (-M) = (-mn , -mn-1 , . . . , -m1 )

1d Soit M =
h

h
µ

la matrice proposée. Son polynôme caractéristique vaut
M (X) = X2 - Tr (M)X + det(M)
= X2 - ( + µ)X + µ - h2

Le discriminant de ce polynôme caractéristique est

 = ( + µ)2 - 4(µ - h2 )
= 2 + 2µ + µ2 - 4µ + 4h2
= 2 - 2µ + µ2 + 4h2
 = ( - µ)2 + 4h2
Cette dernière expression montre bien que  est positif donc que M possède
deux valeurs propres (éventuellement confondues) : cela est cohérent avec le
théorème spectral.
Les valeurs propres de M sont les racines de M , c'est-à-dire
p
p
 + µ + ( - µ)2 + 4h2
 + µ - ( - µ)2 + 4h2

=
et  =
2
2
Puisque  >   , on en déduit que
!
p
p
 + µ + ( - µ)2 + 4h2  + µ - ( - µ)2 + 4h2

s (M) =
,
2
2
2a D'après le théorème spectral, il existe une matrice orthogonale P telle que

m1 0 · · · 0
 0 m2
0 

t
M = P .
..  P
..
 ..
.
. 
0

0

· · · mn