X Maths PC 2014

Thème de l'épreuve Comportement asymptotique d'intégrales à paramètre
Principaux outils utilisés analyse, calcul intégral, équations différentielles, séries de Fourier

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYTECHNIQUE -- ECOLES NORMALES SUPÉRIEURES

ECOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2014 FILIÈRE PC

COMPOSITION DE MATHEMATIQUES -- (XEULC)

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
* * *

Ce sujet est consacré a l'étude de propriétés asymptotiques de certaines 
intégrales a para--
mètre.

NOTATIONS, DÉFINITIONS, RAPPELS.

Nombres. On note N = {O, 1, 2, . . .} l'ensemble des entiers naturels, N* 
l'ensemble des entiers
naturels non nuls, Z l'ensemble des entiers relatifs et Z* l'ensemble des 
entiers relatifs non nuls.

Fonctions numériques. Si 1 est un intervalle de R, on note CO(I ) 
(respectivement CO(I , C)),
l'ensemble des fonctions continues sur I a valeurs réelles (respectivement a 
valeurs complexes).
Pour lc E N*, on note C'""(I ) {respectivement C'""(I , (C)), l'ensemble des 
fonctions de classe C'" sur I
a valeurs réelles {respectivement a valeurs complexes). On note C °°(I ) 
{respectivement C °°(I , C))
l'ensemble des fonctions de classe C °° sur I a valeurs réelles {respectivement 
a valeurs complexes).

Si g est une fonction bornée sur I , on note HgHOO,I (ou simplement HgHOO) la 
valeur
ll9lloo.l = SUP lÿ(âî)l-
oeEURI
Si 1 est un intervalle ouvert, on dit qu'une fonction f : I --> R est a support 
compact dans 1
s'il existe oz,fi EUR [, 04 < fi, tels que pout tout a: E [\ [or,fi], f(a3) : 0.

Séries indexées par Z. Pour une famille de nombres réels ou complexes (an)nez, 
on dit que
la série 2 an est convergente si les deux séries

+OED --Hw
E G.,, et E a_n
n=0 n=1

sont convergentes, et on pose alors

+OED %æm +OED %æm
E an=E a...,+E a_n, E an=E a...,+E a_n.
n=0 n=1 n=1 n=1

nEURZ nEURZ*

Coefficients de Fourier. Si çb EUR CO(R,ÇC) est périodique de période 271", et 
si n EUR Z, le
n--ième coefficient de Fourier de çb est

27r _
cn = à /0 5%(æ>dæ

Dans tout le sujet, a et b sont deux nombres réels tels que a < (9.

Les trois parties du sujet sont indépendantes.

I - INTÉGRALES À PHASE RÉELLE

1. Dear cas particuliers. Soit d > 0. Soit g E CO([O, dl) telle que g(0) # 0.

(a) Montrer que
d
0
/ e_toeg(oe)doe ... _g( ).

Indication. Pour t > 0, on pourra construire une fonction gt continue par 
morceaux
sur [D, +oo[, bornée, telle que

d 1 +00
/ e_toeg(oe)doe : --/ e_oegt(oe)doe.
0 0

t

(10) Montrer de même que
g(0)

cÂ
&.
Çb|
%"
NJ
&
Èî
&
t
+2
8
l°|>1
®}--

Soit f E C0([a, b]) telle que f(a) # 0 et 90 EUR C1([a, b]). Pour tout 
paramètre t E R, on note

b
F(t) = / e--tr f(oe)dgc.

2

Les deux cas étudiés a la question 1) correspondent a g0(a:) : a: et 90(a7) : 
a: , respectivement,

lorsque a = 0 et b = d.

2. Cas Où la phase @ n'a pas de point critique dans [a, b]. On suppose que 
90'(a:) > 0 pour tout
a: E [a, b].

(a) Montrer que (I) : a: |--> g0(a:) -- ga(a) réalise une bijection de [a, b] 
sur un intervalle de la
forme [O, 6], et qu'elle est de classe C1.

(lo) Montrer que
e_w<")f(a)
t-->--l--oo gp'(a)t '

F(t)

Indication. On se ramènera au cas traité a la question la) a l'aide d'un 
changement
de variable.

3. Cas ou la phase gc a un point critique en a. On suppose maintenant que gc 
EUR C2([a,b]),
gc'(a) : O, gc"(a) > O, et gc'(a:) > 0 pour tout a: EUR]a, b].
(a) Montrer que la formule 1t(a:) : Vgc(a:) -- gc(a) définit une fonction de 
classe C1 sur
la, [9]. Calculer rt'(a).

(lo) Montrer que 1t réalise une bijection de la, b] sur un intervalle de la 
forme [O, 6].

if e_t°f'(a)f(a)
F(')Hïoevw «% '

Indication. On se ramènera au cas traité a la question Ib) a l'aide d'un 
changement
de variable.

(0) Montrer que

On admettra que le résultat se généralise de la façon suivante :

Résultat 1. Soit f E CO(]O, --l--ooD et go EUR C2(]0, --l--ooD. On suppose 
qu'il eriste un unique
c > 0 tel que gc'(c) : 0. On suppose de plus que f(c) # 0 et g0"(c) > 0. On 
suppose
finalement que fO+OO e_fp(oe)lf(aÿ)ldoe converge. Alors,

+OO 27T e_t°f'(C)f(c)
--t--l--oo

Indication. On re'e'crira d'abord F(n + 1) sous la forme

+oo
F(n --l-- 1) = nn+1/ e_n(oe_lnoe)daÿ.
0

II - FONCTIONS PÉRIODIQUES

5. Séries de Fourier. Soit çb : R --> (C une fonction périodique de période 
27r, de classe C1.

* _ Cn(Çbl)
(a) Montrer que pour tout n EUR Z , cn(çb) _ _--.
in

(10) Montrer que la série z lcn(çb)l converge. Indication. Utiliser la formule 
de Parseval

nEURZ
pour la fonction çb'.

(c) Montrer que HçbHoe S 2 lcn(çb)
nEURZ

Soit w : R --> R une fonction continue, périodique de période 27r. Soit f : 
[a,b] --> R une
fonction de classe C1 sur [a, b]. Pour tout paramètre EUR > 0, on pose

J. = ] bw (î) f(OE)dæ-

6. Premier cas. Dans cette question, on suppose de plus que (b est de classe C1 
sur R et que
f est a support compact dans la, b[.

(a) Montrer que pour tout 5 > O,

J.--codæ)|'>>f>>oeî'%Ï()'

nEURZ*

277

Indication. On pourra se ramener au cas où OE(y) dy : O.
0

(b) En déduire la limite de J O.

7. Deuxième cas. On suppose maintenant seulement que w EUR COUR) est périodique 
de période
27r et f E C1([a bl). Soit 5 > 0. On définit une subdivision de l'intervalle 
[a, b] de la façon
suivante. On note NEUR la partie entière deâ-- .On définit alors

a:Ê : a + 2k7re, pour tout entier k tel que 0 £ k £ Ng.
(a) Montrer que lim a:ÊV : b.
5-->0 8
(b) En déduire que
lim a (£) f(oe)doe = 0.

EUR-->Û ÇC8 8

(c) Montrer que pour tout entier k tel que 0 £ k S N.; -- 1, pour tout a: EUR 
(56%, a:Ê+1],

lf(OE) -- f(OEî)l £ 27T8Hf'lloe-

(d) Montrer que

ÎÏg ]? «> (î) f(wî)doe = (U 0 dy) (Nî(æEURf >.)

(EUR) Montrer que

Ng--1

2 ];W (f<æ> -- f<æä>>dæ s e>>f'>>oe ( ]0 2" >w>dy) .

71" b
(f) En déduire que l1--I>IË> JEUR : (EUR)(à : OE(y)dy) (/ f(oe)doe).

4

8. Application. Soit 5 > 0. Soit oz E R. Soit g : R --> R une fonction 
continue. On considère
l'équation différentielle suivante

u"(t) + u(t) : g (£) , ( 1)
u(O) : oz, u'(0) : 0.

(a) Justifier l'existence et l'unicité d'une solution de (1), définie pour t E 
R.

(lo) Calculer cette solution au moyen de la méthode de variation des 
constantes. On notera
cette solution ne.

(c) On suppose que g est 2n--périodique. Montrer que pour tout t E R, u5(t) 
admet une
limite quand 6 --> 0+7 limite que l'on calculera.

III - INTÉGRALES OSCILLANTES

Dans cette partie) 90 : [a,b] --> R et f : [a,b] --> R sont deux fonctions de 
classe COO. On
s'intéresse maintenant a des intégrales de la forme

b
[(A) = / eWf(oe)doe
a
où À est un paramètre réel strictement positif.

Dans toute la suite) on fixe À > O.

9. Cas d'une phase non stationnaire. On suppose dans cette question que 90' 
(a:) # 0 pour tout
a: E [a, b].

(a) On définit L : Coe([a,b],C) --> Coe([a,b],C) et M : Coe([a,b],C) --> 
Coe([a,b],C) par:
pour tout g E Coe([a, b],CC), tout a: E [a, b],

1 g /
L = _ / M = _ _ -
g<æ> W<æ)g (oe). g<æ> (w) (sc)
i. Déterminer les fonctions g E Coe([a, [9], (C) telles que Lg : g.

ii. Soit g,h EUR Coe([a,b],C). On suppose que n est a support compact dans 
]a,b[.
Montrer que

19 b
/ h(oe)Lg(oe)doe= %] g(oe)Mh(oe)doe.

(lo) Montrer que si f est a support compact dans la, b[, alors pour tout N E 
N*, il existe
une constante WN indépendante de À telle que

lÏ(À)l £ 'YNÀ_N-

10. (a) On suppose que \g0'(oe)\ 2 1 pour tout a: E [a,b] et que 90' est 
monotone sur [a,b].
Montrer qu'il existe une constante c1 > O, indépendante de À, 90 et de a, b, 
telle que

b
/ eZÀfi(oe)doe
a
Indication. On pourra écrire

b b
. . 1
/ eZÀfi(oe)doe=/ iÀga'(oe)eMfi(oe) 'À ,( )da:
@ a Z 90 $

$ C1À_l.

et intégrer par parties.

(10) Soit 5 > 0. On suppose que \g0'(oe)\ 2 5 pour tout a: E [a,b] et que 90' 
est monotone

sur [a, [9]. Montrer que
I)
/ eiÀfi(oe)doe

11. Cas où la phase peut être stationnaire. Dans toute cette question, on 
suppose que
\g0"(oe)\ 2 1 pour tout a: E [a,b].

S C1 (À5)_1.

(a) Montrer que 90' est strictement monotone sur [a,b] et qu'il existe un 
unique point
C E [a,b] tel que \ga'(c)\ : inf \ga'(oe)\.
oeEUR[a,b]

(b) Si a: E [a,b], montrer que \g0'(oe)\ Z \a: -- c\.
(c) Montrer que pour tout 5 > 0,

b
/ eWÛ(OE) da:

(d) En déduire qu'il existe une constante c2, indépendante de À, 90, a et b 
telle que

b
/ eWÛ(OE) da:

S 201(À5)_1 --|-- 25.

S CQÀ_1/2.

(e) Montrer que

19
/ eiÀfi(oe)f(oe)doe

a

S 02À_1/2 (1f(b)i +/ab1f'(OE)idOE) -

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X Maths PC 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Simon Billouet (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Pauline
Tan (ENS Cachan) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE).

Ce sujet d'analyse est consacré à des propriétés asymptotiques d'intégrales à 
paramètre. Il est composé de trois parties indépendantes.
· La première partie s'intéresse au comportement quand t tend vers + 
d'intégrales du type
Z b
e -t(x) f (x) dx
a

à l'aide d'une technique appelée méthode de Laplace, et présente en application
une démonstration de la formule de Stirling.
· La deuxième partie établit l'égalité
!
 Z 2
 Z b
Z b  
x
1
lim

f (x) dx =
(y) dy
f (x) dx
0 a

2 0
a
lorsque  est une fonction continue 2-périodique, et f de classe C 1 . Une 
application est proposée dans le cadre des équations différentielles.
· La troisième partie étudie le comportement quand  tend vers + d'intégrales
du type
Z b
e i(x) f (x) dx
a

selon une méthode dite de la phase stationnaire.
Les parties sont de difficulté croissante, les dernières questions étant même 
particulièrement ardues. Toutes les connaissances en calcul intégral sont 
sollicitées : convergence dominée, intégration par parties, changement de 
variable. Les première et troisième parties forment un excellent sujet 
d'entraînement ; à l'exception de la dernière
question, la dernière partie ne fait appel qu'au programme de sup.
La disparition des séries de Fourier et de l'intégrale double du programme des
classes préparatoires scientifiques rend la deuxième partie hors-programme, 
ainsi que
la dernière question du sujet. Les indications sur ces questions doivent 
permettre de
les traiter en admettant les résultats sortis du programme.

Indications
Partie I
1.a Utiliser la caractérisation séquentielle de la limite et le théorème de 
convergence
dominée.
1.b Reprendre le même raisonnement
qu'à la question 1.a après avoir effectué le

changement de variable u = tx.
3.a Pour montrer que  est de classe C 1 en a, écrire des formules de Taylor au
voisinage de a pour  et  .
3.b Utiliser le théorème de la bijection.
4.a Montrer que (n) = (n + 1)/n à l'aide d'une intégration par parties.
Partie II
P
2
5.b [HP] Admettre le théorème de Parseval, qui assure que la série
|cn ( )|
nZ

converge. Utiliser ensuite l'inégalité x y 6 x2 + y 2 /2.
P
5.c [HP] Admettre que  est égale à la somme de la série
un sur R, où un est
nZ

6.a
7.c
7.e
7.f

définie par un : x 7- cn ()e inx .
[HP] Admettre que la convergence de la série de la question précédente est
normale sur R, afin d'intervertir la somme et l'intégrale.
Utiliser l'inégalité des accroissements finis.
Appliquer l'inégalité triangulaire et utiliser la question 7.c.
Utiliser la variante du résultat sur les sommes de Riemann pour des subdivisions
Z b
NP
 -1

non régulières. Précisément :
(xk+1 - xk )f (xk ) ---
f (x) dx.
0

k=0

a

8.b [HP] La méthode de variation des constantes fait l'objet d'une remarque en
introduction de la réponse de ce corrigé.
8.c Appliquer le résultat de la question 7.f avec  = g et f = sin(t - ·).

Partie III
!
Z b
1
N
9.b Montrer par récurrence que I() = N
g(x)M f (x) dx pour tout N  N.

a

10.a La fonction  étant monotone,  est de signe constant sur [ a ; b ] : par 
suite,
Z b 
Z b 
| (x)|
 (x)
dx
=
dx
2
2
(x)
a
a (x)

11.a Discuter suivant les signes possibles de  et  sur [ a ; b ].
11.b Utiliser l'égalité des accroissements finis et traiter les 5 cas de la 
question 11.a.
11.c Découper l'intervalle de sorte à pouvoir appliquer le résultat de la 
question 10.b
sur certains des morceaux.
11.d Minimiser la fonction  7- 2c1 ()-1 + 2 sur R+ .
11.e [HP] Utiliser le théorème fondamental de l'analyse pour f  . Utiliser 
ensuite le
résultat suivant (théorème de Fubini sur un triangle) : si h est une fonction à
valeurs réelles continue sur le carré [ a ; b ] × [ a ; b ],
!

Z b Z b
Z b Z t
h(x, t) dt dx =
h(x, t) dx dt
a

x

a

a

I. Intégrales à phase réelle
1.a Soit t > 0. Effectuons le changement de variable linéaire u = tx :
Z d
Z
1 td -u  u 
-tx
e
g(x) dx =
e g
du
t 0
t
0

 [ 0 ; + [ - R
u
Définissons la fonction gt :

u
7- g
1[ 0 ;td ]
t
où 1[ 0 ;td ] désigne la fonction indicatrice de l'intervalle [ 0 ; td ]. La 
fonction gt est
continue par morceaux (comme produit de deux fonctions continues par morceaux)
sur [ 0 ; + [ et
Z d
Z
1 + -u
-tx
e
g(x) dx =
e gt (u) du
t 0
0
Z +
Déterminons lim
e -u gt (u) du en utilisant la caractérisation séquentielle de la
t+

0

limite. Soit (tn )nN une suite à valeurs dans [ 0 ; + [ tendant vers +. Montrons
Z +
que lim
e -u gtn (u) du existe en utilisant le théorème de convergence dominée.
n+

0

Soient n  N et

(

fn :

[ 0 ; + [ - R
u

7- e -u gtn (u)

· La fonction fn est continue par morceaux sur R+ .

· Soit u  [ 0 ; + [. Par hypothèse, il existe un entier N tel que u 6 tn d dès
que n > N. Pour n > N, on a donc fn (u) = e -u g (u/tn ). Par continuité de g
en 0, lim fn (u) = e -u g(0) : ainsi, la suite (fn )nN converge simplement vers
n+

la fonction u 7- e -u g(0) sur [ 0 ; + [.

· L'inégalité |fn (u)| 6 e -u kgk est valable pour u  [ 0 ; + [, et la fonction 
de
domination u 7- e -u kgk est intégrable sur R+ .

D'après le théorème de convergence dominée,
Z +
Z
-u
lim
e gtn (u) du =
n+

0

+

e -u g(0) du = g(0)

0

Cette égalité étant vraie pour toute suite (tn )nN tendant vers +, on en déduit 
que
Z +
lim
e -u gt (u) du = g(0)
t+

0

La quantité g(0) étant non nulle, on peut affirmer que
!
Z +

Z d
t
1
-tx
-u
lim
e
g(x) dx ×
= lim
e gt (u) du ×
=1
+
t+
t
g(0)
g(0)
0
0
Ainsi, on a bien montré que
Z

0

d

e -tx g(x) dx 

t+

g(0)
t

1.b Soit t > 0. Le changement de variable linéaire u = tx donne l'égalité
 
Z d
Z td
1
u
2
-tx2
-u
e
g(x) dx = 
e
g 
du
t 0
t
0

 [ 0 ; + [ - R

On pose
gt :

u
7- g u/ t 1[ 0 ;td ]
2

(t, u)  R2+

2

e -u gt (u) ---- e -u g(0)

2

t+

et

2

2

e -u gt (u) 6 e -u kgk

avec u 7- e -u kgk intégrable sur R+ . En utilisant la caractérisation 
séquentielle
de la limite combinée au théorème de convergence dominée, on montre comme à la
question 1.a que

Z +
Z td
u

2
2
du = g(0)
e -u du = g(0)
e -u g 
lim
t+ 0
2
t
0

Z
 d -tx2

On en déduit que
lim
t e
g(x) dx = g(0)
t+
2
0

Z d
 g(0)
2

Par conséquent,
e -tx g(x) dx 
+
t
2
t
0
2.a La fonction , en tant que somme d'une fonction de classe C 1 et d'une 
fonction
constante, est de classe C 1 , et  =  est une fonction strictement positive sur 
[ a ; b ].
La fonction  est donc strictement croissante sur [ a ; b ] ; comme elle y est 
de plus
continue, elle réalise une bijection de [ a ; b ] sur [ (a) ; (b) ]. Or, (a) = 
0. En notant
 = (b), on obtient que
 réalise une bijection de [ a ; b ] sur [ 0 ;  ], de classe C 1 .
2.b La question précédente montre que  est une bijection de classe C 1 . Puisque
sa dérivée ne s'annule pas sur [ a ; b ], sa réciproque -1 est également de 
classe C 1 .
Le changement de variable x = -1 (u) est donc admissible :

1
dx = -1 (u) du =  -1
du
 ( (u))
Z 
1
On a donc
F(t) = e -t(a)
e -tu f (-1 (u))  -1
du
 ( (u))
0

 [ 0 ;  ] - R
Soit
g:
1

 u 7- f (-1 (u))  -1
 ( (u))
En tant que quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule 
pas,
la fonction g est continue sur [ 0 ;  ]. De plus, g(0) = f (a)/ (a) = f (a)/ 
(a) 6= 0
puisque f (a) 6= 0. D'après le résultat de la question 1.a,
Z 
1
f (a)
e -tu f (-1 (u))  -1
du 
+  (a)t
t

(
(u))
0
Puisque t 7- e -t(a) ne s'annule pas sur un voisinage de +, on en déduit enfin 
que
e -t(a) f (a)
t+
 (a)t

F(t)