X Maths PC 2012

Thème de l'épreuve Systèmes différentiels autonomes
Principaux outils utilisés équations différentielles, espaces vectoriels normés, réduction
Mots clefs linéarisation, lemme de Gronwall

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

FILIÈRE

CONCOURS D'ADMISSION 2012

PC

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES ­ (XEULC)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
 
Ce sujet porte sur l'étude qualitative des solutions des systèmes d'équations 
différentielles
autonomes y  = f (y) avec f : Rn  Rn de classe C 1 . On s'intéressera en 
particulier au comportement asymptotique de ces solutions.
Notations, définition, rappel
Dans tout le sujet, Rn est muni de son produit scalaire canonique noté h , i et 
de la norme
euclidienne associée, notée k k, c'est-à-dire que pour
Ö

x=

x1
..
.
xn

è

Ö

et y =

y1
..
.

è

 Rn ,

hx, yi =

n
X

xi yi et kxk =

»

hx, xi .

i=1

yn

L'ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients dans R est noté Mn 
(R). L'ensemble des
matrices inversibles de taille n à coefficients dans R est noté GLn (R). 
L'ensemble des matrices
orthogonales de taille n à coefficients dans R est noté On (R). La matrice 
identité de taille n est
notée In .
L'ensemble des fonctions de classe C 1 de Rn dans Rn sera noté C 1 (Rn ).
Soient f : R  R et  : R ]0, +[ deux fonctions. On note f = o+ () si
 > 0 M > 0 x  [M, +[

|f (x)|  (x).

Les lettres I et J désigneront toujours un intervalle de R.
Définition (Solution maximale). Soit I 6= . Une solution y : I  Rn de
(E) y  = f (y)

1

est une solution maximale si y est une fonction de classe C 1 et si pour toute 
autre fonction de
classe C 1 z : J  Rn solution de (E) avec z = y sur I  J 6=  on a J  I.
On pourra utiliser le résultat suivant que l'on ne demande pas de démontrer :
Théorème 1. Soit f : Rn  Rn de classe C 1 . Pour tout t0  R et pour tout y0  Rn 
, il existe
une unique solution maximale du problème de Cauchy
(

y  = f (y)
y(t0 ) = y0

et cette solution maximale est définie sur un intervalle ouvert de R qui 
contient t0 . Si f (y) est
linéaire en y, alors la solution maximale est définie sur R.
Préliminaire
Pour une matrice A  Mn (R), on note
|||A||| =

sup

kAxk.

xRn ,kxk1

1. Montrer que ||| ||| définit une norme sur Mn (R).
2. Montrer que pour tous A et B dans Mn (R), on a |||AB|||  |||A||| |||B|||.
Première partie : un exemple en dimension 1
On considère le problème de Cauchy suivant

ã
Å

y  = ay 1 - y

b

(P )

y(0) = y
0

où a > 0, b > 0 et y0  R.

3. Montrer que (P ) admet une unique solution maximale y : I  R.
4. Soit y0  ]0, b[.
a) Montrer que pour tout t  I, y(t)  ]0, b[.
b) Montrer que pour tout t  I, on a
Z

y(t)

y0

du
 = at .
u 1 - ub

c) En déduire que I = R et donner y(t) pour t  R en fonction de y0 , a et b.
d) Donner les limites de y(t) pour t  + et pourt  -.
2

Deuxième partie : le cas linéaire
Dans cette partie, on étudie le problème

Y  = AY

(L)

où A  Mn (R) et Y0  Rn .

Y (0) = Y0

On définit A : R × Rn  Rn par A (t; Y0 ) = Y (t) où Y est la solution maximale 
de (L).
5. Montrer que pour tout t  R, Y0 7 A (t; Y0 ) est linéaire injective. En 
déduire qu'il existe
eA : R  GLn (R) tel que pour tout (t, Y0 )  R × Rn , A (t; Y0 ) = eA (t)Y0 .
6.a) Montrer que eA est de classe C 1 sur R et que pour tout t  R, eA (t) = AeA 
(t).
b) Montrer que eA (0) = In et que pour tout (t, s)  R2 , eA (t+s) = eA (t)eA 
(s) = eA (s)eA (t).
c) Montrer que pour tout t  R, eA (-t) = eA (t)-1 .
7.a) Soit P  GLn (R). Montrer que eP -1 AP (t) = P -1 eA (t)P .
b) Montrer que si A est une matrice diagonale dont les coefficients sont notés 
1 , . . . , n
alors eA (t) est une matrice diagonale dont les coefficients sont et1 , . . . , 
etn .
c)Dans le cas où A =

Ç

å

4 -2
, calculer eA (t) pour tout t  R.
1 1

8.a) Soit  et  des constantes positives dans R. Soit  : [0, +[ R une fonction 
continue
qui vérifie
Z
t

t  [0, +[ (t)   + 

(s)ds .

0

Montrer que pour tout t  [0, +[, on a (t)  et .
R
Indication : On pourra étudier la fonction F (t) = ( +  0t (s)ds)e-t .
b) Montrer que pour tout t  R, |||eA (t)|||  e|||A||||t| .

9. Soit g : R  Rn une fonction C 1 . Soit Z0  Rn . On considère le problème de 
Cauchy
(U )

(

Z  (t) = AZ(t) + g(t),
Z(0) = Z0 .

a) Montrer que pour tout t  R,
Ç

Z(t) = eA (t) Z0 +

Z

0

est bien défini et solution du problème (U ).
3

t

eA (-s)g(s)ds

å

b) Montrer que si Z : I  Rn est une solution de classe C 1 de (U ) sur un 
intervalle ouvert
contenant 0, alors Z(t) = Z(t) pour tout t  I.
10.a) Soit a > 0. Soit  ] - , -a[. Soit g : R  R une fonction de classe C 1 
telle que
g(t) = o+ (e-at ). Soit y : R  R une fonction de classe C 1 qui vérifie y  = y 
+ g. Montrer que
y(t) = o+ (e-at ).
b) On suppose dans cette question que A est une matrice triangulaire supérieure 
de
coefficients diagonaux 1 , . . . , n . On suppose qu'il existe a > 0 tel que 
pour tout i  {1, . . . , n},
i < -a. Montrer que kY (t)k = o+ (e-at ) où Y est la solution maximale du 
problème (L).
c) On suppose ici que le polynôme caractéristique de A est scindé sur R. On 
suppose de
plus que toutes les valeurs propres de A sont strictement négatives. Montrer 
qu'il existe a > 0
tel que |||eA (t)||| = o+ (e-at ).
11. On suppose que A est dans On (R) et que A2 + In = 0.
a) Donner les valeurs propres de A dans C et montrer que n est pair.
b) Montrer que pour tout t  R, |||eA (t)||| = 1.
Troisième partie : linéarisation
Soit f  C 1 (R2 , R2 ). Dans cette partie, on s'intéresse à la solution de
(S)

(

Y  = f (Y )
Y (0) = Y0

pour Y0  R2 .
12. Soit Y : [0, +[ R2 une solution de (S). On suppose que lim Y (t) = l  R2 
existe.
t+

On souhaite montrer que f (l) = 0. On suppose donc par l'absurde f (l) 6= 0.
a) Montrer qu'il existe M > 0 tel que
1
t  [M, +[ hY  (t), f (l)i  kf (l)k2 .
2
b) Montrer que
t  [M, +[ hY (t), f (l)i  (t - M )

kf (l)k2
+ hY (M ), f (l)i .
2

c) En conclure que f (l) = 0.
13. Dans cette question, on suppose que
2
f : Ç Rå2  R
Ç
å
y
z + y(y 2 + z 2 )
7
z
-y + z(y 2 + z 2 )

4

où   R. Soit Y : I  R2 la solution maximale de (S).
a) Si  = 0, montrer que I = R et identifier la solution maximale. Quelle est la 
nature de
la courbe t 7 Y (t) ?
b) On admet dans cette question que [0, +[ I lorsque  < 0. Montrer que pour  < 
0,
on a lim Y (t) = 0.
t+

Indication : On pourra étudier la fonction t 7 kY (t)k2 .
c) On suppose Y0 6= 0,  > 0 et on pose T = 2kY1 0 k2 . Montrer que, si Y est 
définie sur
[0, T [, alors lim kY (t)k = +. En déduire I ] - , T [.
tT

14. Dans cette question, on suppose qu'il existe une matrice A  M2 (R) dont le 
polynôme
caractéristique est scindé sur R, dont toutes les valeurs propres sont 
strictement négatives et telle
que kf (x) - Axk = o(kxk) quand x  0.
a) Montrer que A est la matrice jacobienne de f en 0.
b) Soit Y : I  R2 la solution maximale de (S). On supposera que [0, +[ I.
Montrer qu'il existe a > 0 et K  0 tels que pour tout  > 0 et tout t > 0 on a
-ta

kY (t)k  Ke

Ç

kY0 k +

Z

t
sa

e kY (s)kds
0

å

dès que
s  [0, t]

kf (Y (s)) - AY (s)k  kY (s)k .

c) En déduire qu'il existe b > 0,  > 0 et C > 0 tels que pour Y0  R2 avec kY0 k 
 , on
a
t  [0, +[ kY (t)k  Ce-bt .
d) Soit y : [0, +[ R et z : [0, +[ R des fonctions de classe C 1 qui vérifient

y = zy (1 - y)

z = y - z

où y0  R et z0  R.

y(0) = y ,
0

z(0) = z0

Montrer qu'il existe  > 0 tel que si |y0 - 1|2 + |z0 - 1|2  2 , alors y(t) et 
z(t) tendent vers
1 lorsque t tend vers +.

5

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths PC 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Jules Svartz (ENS Cachan) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE).

Le problème de l'École Polytechnique porte cette année sur les équations 
différentielles autonomes dans Rn , c'est-à-dire les équations différentielles 
de la forme
Y = f (Y)

avec f de classe C 1

Le traitement est progressif avec un exemple en dimension 1, puis le cas des 
applications linéaires, et enfin le cas général avec notamment l'utilisation 
des méthodes
de linéarisation, qui permettent d'établir le comportement des solutions au 
voisinage
de points d'équilibre Y0  Rn (définis par f (Y0 ) = 0).
· Le préliminaire introduit la notion de norme matricielle subordonnée et 
conduit
à démontrer qu'il s'agit de normes d'algèbres, c'est-à-dire de normes sur Mn (R)
vérifiant
A, B  Mn (R)

|||AB||| 6 |||A||| · |||B|||

· La première partie est consacrée à l'étude d'un exemple d'équation 
différentielle
autonome non linéaire, mais à variables séparables, ce qui permet un calcul
explicite de la solution.
· La deuxième partie fait manipuler sans le dire la notion d'exponentielle de
matrices, qui est hors-programme en PC. Il faut par conséquent commencer par
établir toutes ses propriétés classiques. On démontre ensuite des propriétés des
solutions des systèmes linéaires Y = AY suivant certaines conditions satisfaites
par la matrice A.
· La dernière partie commence par justifier qu'une solution d'une équation 
autonome ne peut avoir pour limite en + qu'un point d'équilibre de f . On traite
ensuite un nouvel exemple de système autonome. Enfin, on utilise la technique
de linéarisation pour établir que lorsque f présente en 0 un point d'équilibre
et une jacobienne dont le spectre est inclus dans R- , les solutions convergent
toutes vers 0, lorsque les conditions initiales sont proches de ce point. Le 
sujet
s'achève sur un dernier exemple.
Le sujet est long et sa difficulté n'est pas progressive. Il est en effet 
parsemé de
questions relativement simples, que l'on peut parfaitement résoudre en admettant
certains résultats. L'intervention régulière d'exemples est notamment appréciée 
pour
se reposer les méninges.
On ne peut cependant que regretter le fait que ce sujet ne soit pas 
particulièrement
adapté à la filière PC. L'exponentielle de matrices par exemple, qui n'est pas 
au
programme de PC, est manipulée tout au long du sujet, sans que son nom soit
mentionné un instant. Là où un élève de MP aurait sûrement reconnu et utilisé
facilement cet outil, il y a fort à parier que bon nombre de candidats de PC 
cette
année ont dû s'arracher les cheveux devant la mystérieuse quantité eA (t).

Indications
Préliminaire
1 Ne pas oublier de justifier que ||| · ||| est bien définie.
2 Commencer par justifier que kAXk 6 |||A||| · kXk pour tout X  Rn .
Partie I
3 Utiliser simplement le théorème 1 admis.
4.a Raisonner par l'absurde en supposant l'existence d'un réel t tel que y(t) 
/ ] 0 ; b [.
Démontrer qu'alors, y prend soit la valeur 0, soit la valeur b. En déduire que y
est constante à l'aide d'un problème de Cauchy bien choisi.
4.b Utiliser la question précédente pour séparer les variables dans l'équation 
différentielle, puis intégrer.
4.c Calculer l'intégrale de la question 4.c à l'aide d'une décomposition en 
éléments
simples.
Pour démontrer que I = R, justifier que si ce n'est pas le cas, on peut 
prolonger y
et contredire sa maximalité.
4.d Immédiat si vos calculs du 4.c sont corrects.
Partie II
5 User et abuser du théorème 1.
6.a Exprimer les vecteurs colonnes de eA (t) comme des solutions de (L) pour des
conditions initiales bien choisies.
6.b On pourra considérer le problème de Cauchy
( 
Z = AZ
Z(0) = Y(s)

où Y est l'unique solution maximale de (L).
6.c Utiliser la question précédente avec s = -t.
7.a Introduire le problème de Cauchy
( 
Z = P-1 APZ

Z(0) = P-1 Y0

7.b Remarquer que lorsque A est diagonale, le système (L) se résout 
immédiatement.
7.c La matrice A est diagonalisable. Combiner les résultats des question 7.a et 
7.b.
8.a Vérifier que la fonction suggérée par l'énoncé est décroissante.
8.b Pour la majoration sur R+ , intégrer l'égalité eA = AeA entre 0 et t puis 
appliquer
le lemme précédent.
Pour la majoration sur R- , considérer t 7- eA (-t).
9.a Calculer Z et Z(0).
9.b Utiliser le théorème 1.
10.a Exprimer y en fonction de g. On pourra travailler avec  > 0 et se placer 
sur
un intervalle sur lequel |g(t)| 6 e-at .

10.b Pour A triangulaire supérieure, écrire le système sous la forme de n-1 
équations
différentielles de la forme de celle de la question précédente, et d'une 
dernière
équation de résolution immédiate.
10.c Se ramener au cas où A est triangulaire supérieure à l'aide des question 2 
et 7.a.
Utiliser ensuite la question précédente. On pourra démontrer que pour toute
matrice M de vecteurs colonnes C1 , . . . , Cn
|||M||| 6

n
P

kCi k

i=1

11.a Appliquer le cours sur les polynômes d'endomorphismes (ne pas oublier que A
est réelle !).
11.b Commencer par démontrer que A est antisymétrique, puis que X et AX sont
orthogonaux pour tout X  Rn . Démontrer ensuite que la norme de eA (t)X0
est indépendante de t, quel que soit le vecteur X0 choisi.
Partie III
12.a Utiliser la composition des limites.
12.b Intégrer la minoration précédente.
12.c Vérifier que hY (t) | f ()i est à la fois bornée et de limite + en +.
13.a Étudier q = y + iz.

13.b Remarquer que kYk2 = 2hY | Yi et calculer cette quantité pour obtenir une
équation à variables séparables satisfaite par kY2 k.
Pour résoudre cette équation, justifier que  est identiquement nulle ou ne
s'annule jamais à l'aide d'un problème de Cauchy.
13.c Reprendre les calculs précédents et constater cette fois une divergence de 
kYk
en T.
14.a Revenir à la définition de Jf (0) à l'aide des dérivées suivant un vecteur.
14.b Écrire (S) sous la forme
(

Y = AY(t) + g(t)
Y(0) = Y0

puis appliquer 9.a et 10.c.
14.c C'est la question la plus délicate du sujet. Fixer  > 0 pour lequel
X  Rn ,

kXk 6  = kf (X) - AXk 6 kXk

Prendre ensuite kY0 k inférieure à /2 et utiliser la continuité de Y pour 
appliquer la question 14.b. Utiliser ensuite 8.a pour aboutir à une majoration 
de la
forme souhaitée au voisinage de 0. Il ne reste plus qu'à vous débrouiller pour
choisir  et  de façon à ce que la majoration reste valable sur R+ tout entier.
14.d Faire un changement de variable pour se ramener en (0, 0) puis appliquer 
14.c.

Préliminaire
1 Pour toute matrice A, l'application A : X 7- kAXk est la composée de
( n
( n
R - Rn
R - R+
A:
et
k · k:
X 7- AX
Z 7- kZk
La première fonction (notée A par abus de notation) est linéaire entre deux 
espaces vectoriels de dimension finie, la seconde est une norme donc une 
application
1-lipschitzienne. Il s'agit ainsi de deux applications continues, et leur 
composée A
l'est également.
Par ailleurs, la boule unité fermée est un ensemble fermé et borné de Rn , donc 
un
compact. Il s'ensuit que A est bornée sur cette boule, et que l'image A (B(0, 
1)),
partie non vide majorée de R, a une borne supérieure. L'application ||| · ||| : 
A 7- |||A|||
est donc bien définie (et clairement à valeurs dans R+ ). Vérifions les trois 
propriétés
qui interviennent dans la définition d'une norme.
· Pour toute matrice A et tout réel , on a
{k(A)Xk, kXk 6 1} = || {kAXk, kXk 6 1}
En particulier, en passant aux bornes supérieures, il vient |||A||| = || 
|||A|||.
L'application ||| · ||| vérifie donc la propriété de positive homogénéité.
· Si A est une matrice telle que |||A||| = 0, alors notamment kAXk = 0 pour
tout vecteur de Rn de norme inférieure ou égale à 1. Par linéarité, cette 
égalité
s'étend à Rn tout entier et Ker A = Rn donc A est la matrice nulle. Ainsi, ||| 
· |||
vérifie la propriété de séparation.
· Soient A et B deux éléments de Mn (R). Pour tout vecteur X de norme inférieure
ou égale à 1, on a par inégalité triangulaire pour k · k
k(A + B)Xk 6 kAXk + kBXk 6 |||A||| + |||B|||
En passant à la borne supérieure sur X, il vient
|||A + B||| 6 |||A||| + |||B|||
Par conséquent, ||| · ||| vérifie l'inégalité triangulaire.
L'application ||| · ||| est une norme sur Mn (R).
Une norme définie de cette manière s'appelle une norme matricielle subordonnée. 
Elle dépend bien entendu du choix de la norme choisie sur Rn .
Pour les trois exemples usuels suivants
n

n
P
P 2 1/2
kxk1 =
|xi |
kxk2 =
xi
et
kxk = max |xi |
i=1

16i6n

i=1

on obtient par cette définition les trois normes suivantes sur Mn (R)
|||A|||1 = max

n
P

16j6ni=1

|Ai,j |

|||A||| = max

n
P

16i6nj=1

|Ai,j |

et enfin pour la norme euclidienne (norme k · k2 ), c'est-à-dire celle de 
l'énoncé,
|||A|||2 =

max

Sp(t AA)

||