X Maths PC 2011

Thème de l'épreuve Matrices infiniment divisibles
Principaux outils utilisés calcul intégral, réduction des endomorphismes, algèbre bilinéaire
Mots clefs fonction gamma, diagonalisation, spectre, matrices positives

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
           

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
              

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

FILIÈRE

CONCOURS D'ADMISSION 2011

PC

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES ­ (XEULC)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Matrices infiniment divisibles
Notations :
On désigne par R le corps des nombres réels et par R+ l'ensemble des réels 
positifs ou nuls.
Soit n un entier > 1. On désigne par Mn (R) l'espace vectoriel réel des 
matrices carrées à n
lignes et n colonnes. Si M  Mn (R), on note det(M ) son déterminant. On désigne 
par SMn (R)
le sous-espace vectoriel de Mn (R) des matrices symétriques. On note In  Mn (R) 
la matrice
identité. On identifie Rn et l'espace des matrices à n lignes et 1 colonne.
Première partie : la fonction 
1a. Montrer que
pour réel s > 0, la fonction x 7 e-x xs-1 est intégrable sur [ 0, + [. On
Z +
pose alors (s) =
e-x xs-1 dx.
0

1b. Calculer (m) pour m entier strictement positif.
1c. Montrer que  est continue sur ]0, +[.
Å

2a. Montrer que pour tout entier strictement positif m et pour x  [ 0, m ], 1 -
Montrer que

lim
m+

1-

x
m

Z m

(1 -

Å

ãm

x
m

ãm

6 e-x .

= e-x .

x m s-1
m! ms
) x dx =
, pour tout réel s > 0 et pour
m
s(s + 1) · · · (s + m)
0
tout entier m. (On pourra procéder par intégrations par parties successives).
2b. Montrer que

2c. Montrer que pour tout réel s > 0, (s) =
1

m! ms
.
m+ s(s + 1) · · · (s + m)
lim

Deuxième partie : matrices positives et produit de Hadamard
Soit A = (aij )  Mn (R). On dit que A est positive si A est symétrique et
X = t (x1 , · · · , xn )  Rn ,

hX, AXi = t XAX =

X

aij xi xj > 0

16i,j6n

où h., .i désigne le produit scalaire euclidien standard sur Rn .
3. Soit A =

Ç

å

a b
b d

 SM2 (R). Montrer que A est positive si et seulement si a > 0, d > 0,

det(A) > 0.
4. Soit A = (aij )  SMn (R). Montrer que A est positive si et seulement si ses 
valeurs propres
sont des réels positifs ou nuls.
5. Soit A = (aij )  SMn (R) une matrice positive, et 1 , · · · , n des réels. 
Montrer que,
posant bij = i j aij , la matrice B = (bij ) est positive.
6. Soit H un espace vectoriel préhilbertien réel, pour lequel le produit 
scalaire de deux
éléments x, y  H est noté hx, yi. Soient u1 , · · · , un  H. On pose aij = hui 
, uj i. Montrer que la
matrice A = (aij ) est positive.
Soient A = (aij ), B = (bij )  Mn (R). Leur produit de Hadamard est la matrice 
C = (cij ) 
Mn (R) donné par : cij = aij bij . On désignera cette opération par le signe  : 
C = A  B.
7. Montrer que si A  SMn (R) est une matrice positive et si B est une matrice 
diagonale à
coefficients diagonaux positifs ou nuls, alors A  B est une matrice positive.
8a. Montrer que si A  SMn (R) est une matrice positive, elle peut s'écrire 
comme somme
de matrices de la forme Y t Y = t (y1 , · · · , yn )(y1 , · · · , yn ), où Y = 
t (y1 , · · · , yn )  Rn . On pourra
commencer par le cas où A est diagonale.
8b. Montrer que si A, B  SMn (R) sont des matrices positives, alors A  B est 
une matrice
positive.
Troisième partie : matrices infiniment divisibles
On considère maintenant des matrices A = (aij )  SMn (R) dont les coefficients 
sont des
réels positifs ou nuls. Il résulte de la question 8b. que si A est positive, 
alors pour tout entier
r > 0, la matrice Ar = (arij ) est positive. On dit qu'une matrice symétrique A 
à coefficients aij
positifs ou nuls est infiniment divisible si pour tout réel r > 0, la matrice 
(arij ) est positive. On
désignera encore, lorsque r est un réel strictement positif, par Ar la matrice 
(arij ).
9a. Soit A  M2 (R) une matrice symétrique positive à coefficients positifs ou 
nuls. Montrer
qu'elle est infiniment divisible.

2

Ö

è

1 1 0
9b. Soit A = 1 2 1
0 1 1
lesquelles Ar est positive.

. Montrer que A est positive. Déterminer les valeurs de r > 0 pour

10. Montrer que si A = (aij ) est infiniment divisible et si 1 , · · · , n sont 
des réels strictement
positifs, alors posant bij = i j aij , la matrice B = (bij ) est infiniment 
divisible.
11. Soit A une matrice symétrique à coefficients positifs ou nuls. Montrer que 
si pour tout
1
entier m > 1, A m est positive, alors A est infiniment divisible.
12. Soient 1 , . . . , n des réels strictement positifs. On forme la matrice C 
= (cij ) avec
1
et on se propose de montrer qu'elle est infiniment divisible.
cij =
i + j
Soit H l'espace vectoriel des fonctions continues sur R+ à valeursZ réelles, 
dont le carré est
+

intégrable. On munit H du produit scalaire : pour f, g  H, hf, gi =

f (t)g(t)dt. On pose,

0

pour tout t > 0, ui (t) =

e-i t .

12a. Calculer hui , uj i et en déduire que C est positive.
1
1
12b. Montrer que pour r > 0 et  > 0, r =

(r)

Z +

e-t tr-1 dt.

0

12c. Soit, pour r > 0, Hr l'ensemble des fonctions continues u sur R+ à valeurs 
réelles
telles que la fonction t 7 u(t)2 tr-1 est intégrable Zsur R+ . On admet que 
c'est un espace vectoriel.
+

Montrer que si on pose, pour u, v  Hr , hu, vi =

u(t)v(t)tr-1 dt, on munit Hr d'un produit

0

scalaire.
12d. Montrer que C est infiniment divisible.

13. Soient 1 , · · · , n des réels strictement positifs. Pour 1 6 i, j 6 n on 
pose kij =
(i + j + 1)
. On se propose de montrer que la matrice K = (kij ) est infiniment
(i + 1)(j + 1)
divisible.
13a. Montrer que kij =

Y (i + p)(j + p)
1 m+1
.
m+ m.m!
(i + j + p)
p=1

lim

Ç

13b. Montrer que pour tout entier p > 1, la matrice
divisible. Conclure.

3

(i + p)(j + p)
(i + j + p)

å

est infiniment
16i,j6n

Quatrième partie : matrices conditionnellement positives
On dit qu'une matrice A = (aij ) de Mn (R) est conditionnellement positive si 
elle est symétrique et si pour tout X = t (x1 , · · · , xn )  Rn tel que

n
P

xi = 0, on a

i=1
t

XAX =

X

aij xi xj > 0 .

16i,j6n

14. Soient 1 , · · · , n des réels strictements positifs. Posons aij = - ln(i + 
j ). Montrer que
A = (aij ) est conditionnellement positive. (Pour X = t (x1 , · · · , xn )  Rn 
tel que

f (r) =

xi xj

16i,j6n

xi = 0, on

i=1

pourra introduire la fonction définie sur R+ par :
X

n
P

Ç

1
i + j

år

et utiliser les résultats de la question 12.).
15. Notons J la matrice de Mn (R) dont tous les coefficients sont égaux à 1. 
Soit B 
SMn (R). Considérons les deux conditions suivantes :
( i) B est conditionnellement positive.
( ii)  > 0,  > 0 tel que la matrice B +  In + J est positive.
Montrer que ( ii) implique ( i).
On admettra dans la suite que ces deux conditions sont en fait équivalentes.
16a. On suppose que A = (aij ) est infiniment divisible et que tous les 
coefficients de A sont
strictement positifs. Montrer que la matrice (ln aij ) est conditionnellement 
positive.
16b. Réciproquement, supposons que la matrice B = (bij ) est conditionnellement 
positive.
En considérant pour tout  > 0 une matrice C = (cij ) = B + In + J comme au 15., 
montrer
que pour tout r > 0, la matrice (exp(rcij )) est positive. En déduire que la 
matrice (exp(rbij ))
est positive.
2

17a. Soient z1 , · · · , zn des nombres complexes. Montrer que la matrice 
(e-|zi -zj | ) est infiniment divisible.
17b. Soient z1 , · · · , zn des nombres complexes. Montrer que pour tout t > 0, 
la matrice de coZ +
2
1
- 12 |zi - zj |
efficients
est
positive,
puis
que
la
matrice
de
coefficients
-
t
dt
t + |zi - zj |2
t + |zi - zj |2
0
est conditionnellement positive.
17c. Montrer que la matrice (e-|zi -zj | ) est infiniment divisible.

4

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths PC 2011 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) ; il a été 
relu
par Florian Metzger (ENS Cachan) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).

Le but de ce sujet est de caractériser et étudier les matrices infiniment 
divisibles,
c'est-à-dire les matrices réelles symétriques à coefficients positifs ou nuls 
dont les
puissances positives (au sens du produit de Hadamard) sont des matrices 
positives.
Le problème s'articule en quatre parties dépendantes les unes des autres, mais 
qui
peuvent malgré tout être abordées séparément puisque les résultats utiles sont 
explicitement donnés dans l'énoncé.
· La première partie propose de retrouver les propriétés fondamentales de la
fonction , comme la relation classique (m) = (m - 1)! pour tout m  N ,
que la plupart des candidats avaient sûrement déjà croisée en cours d'année,
ou la moins classique
s > 0

m! ms
m+ s(s + 1) · · · (s + m)

(s) = lim

· La deuxième partie est consacrée à la caractérisation des matrices positives 
et
à la stabilité de cet ensemble de matrices par le produit de Hadamard.
· Dans la troisième partie, on étudie les matrices infiniment divisibles et 
l'on en
profite pour examiner quelques exemples au passage.
· Dans la quatrième et dernière partie, on se sert de la notion plus faible de
matrice conditionnellement positive pour dégager des familles plus générales de
matrices infiniment divisibles.
Les deux premières parties présentent peu de difficultés et doivent être 
traitées
soigneusement, mais rapidement, par un candidat correctement préparé. Cela se 
complique dans la partie III, mais les questions, progressives et bien 
détaillées, guident
fermement la démarche. Les dernières questions de la partie IV sont délicates.
Au final, cela donne un problème intéressant et varié, qui mélange calcul 
intégral, réduction des endomorphismes et algèbre bilinéaire, sans toutefois 
requérir une
connaissance pointue de ces différentes parties du programme.

Indications

Première partie
1.a Étudier séparément l'intégrabilité sur ] 0 ; 1 ] et sur [ 1 ; + [.
1.b Une intégration par parties conduit à une relation de récurrence permettant 
de
conclure sans trop d'efforts.
1.c Il suffit de montrer que  est continue sur tout segment de ] 0 ; + [.
2.a Commencer par démontrer que ln(1 - x) 6 -x pour tout x  [ 0 ; 1 [.
2.b Effectuer une récurrence portant sur m, en utilisant un changement de 
variable
et une intégration par parties pour établir l'hérédité.
2.c Invoquer le théorème de convergence dominée et les deux questions 
précédentes.
Deuxième partie
4 Utiliser une base de vecteurs propres de la matrice A.
5 Pour cette question et les suivantes, ne pas oublier de montrer que les 
matrices
étudiées sont symétriques.
7 Afin de montrer que les termes diagonaux de A sont positifs, penser à utiliser
les vecteurs de la base canonique de Rn .
8.a Utiliser la question 4 et la diagonalisabilité de A.
8.b Se servir des résultats des questions 8.a et 5.
Troisième partie
9.a Ne pas oublier d'utiliser les résultats de la question 3.
9.b Déterminer les signes des valeurs propres des matrices A et Ar et conclure à
l'aide de la question 4.
10 Montrer, à l'aide de la question 5, que la matrice B est symétrique et que 
toutes
les matrices Br sont positives.
11 Se servir de la question 8.b et de la densité de Q dans R.
12.a Après le calcul de hui , uj i, utiliser le résultat de la question 6.
12.d Calculer hui , uj i pour le produit scalaire défini à la question 12.c. 
Montrer alors
que Cr est positive à l'aide de la question 6.
13.a Utiliser le résultat de la question 2.c.
13.b Appliquer d'abord la question 12 aux réels 1 + p/2, . . . , n + p/2, puis 
celui de
la question 10 aux réels 1 + p, . . . , n + p. Montrer à l'aide de la question 
13.a
que K est la limite d'une suite de matrices infiniment divisibles et conclure.

Quatrième partie
14 Montrer, à l'aide de la question 12, que la fonction f proposée est positive
sur R+ , puis s'intéresser au signe de sa dérivée en 0.
n
P
t
15 Pour un vecteur X = (x1 , . . . , xn ) tel que
xi = 0, utiliser la propriété (ii)
i=1

afin de minorer t X BX.

16.a S'inspirer de la question 14.
16.b Se servir du développement en série entière de la fonction exponentielle 
et de
passages à la limite.
2

17.a Commencer par montrer que la matrice B de coefficients bij = - |zi - zj | 
est
conditionnellement positive.
Z +
1
2
17.b Observer que
e -(t+|zi -zj | )r dr
2 =
t + |zi - zj |
0
puis utiliser la définition d'une matrice positive. Noter ensuite que

1
2
t- 2 |zi - zj |
t
1

-
2 =
2 -
t
t + |zi - zj |
t + |zi - zj |
puis utiliser la définition d'une matrice conditionnellement positive.
17.c Calculer l'intégrale proposée dans la question 17.b et appliquer le 
résultat de la
question 16.b à la matrice obtenue.

I. La fonction 
2

1.a Définissons sur ] 0 ; + [ la fonction f : (s, x) 7 e -x xs-1 . Elle est de
classe C  en tant que composée et produit de fonctions usuelles de classe C  .
Soit un réel s > 0. La fonction f (s, ·) : x 7 e -x xs-1 est alors positive et 
continue
sur ] 0 ; + [.
· Notons que lim e -x = 1 par continuité de l'exponentielle, d'où f (s, x)  
xs-1 .
x0

x0

Comme s - 1 > -1, le critère de Riemann assure que la fonction x 7 xs-1 est
intégrable sur ] 0 ; 1 ]. Par comparaison de fonctions positives, il en découle 
que
la fonction f (s, ·) est également intégrable sur ] 0 ; 1 ].

· Pour tout x > 1, on a f (s, x) = e -x xs+1 × x-2 . D'après
 les croissances comparées, lim e -x xs+1 = 0 donc f (s, x) = o
x-2 . D'après le critère de
x+

x+

Riemann, la fonction x 7 x-2 est intégrable sur [ 1 ; + [. Il s'ensuit par 
comparaison de fonctions positives que f (s, ·) est également intégrable sur [ 
1 ; + [.

On a ainsi établi que
Pour tout s > 0, la fonction f (s, ·) : x 7 e -x xs-1 est intégrable sur ] 0 ; 
+ [.
1.b Examinons déjà le cas m = 1 : on calcule directement
Z +
h
i+
(1) =
e -x dx = - e -x
=1
0

0

Soit maintenant m  N . D'après la question précédente, les fonctions f (m, ·)
et f (m + 1, ·) sont intégrables sur ] 0 ; + [ et admettent des limites finies 
en 0 et
en +, ce qui permet de procéder à l'intégration par parties suivante. Comme

d
- e -x xm = e -x xm - m e -x xm-1
dx

alors, pour tout X > 0, on a
h

-e

-x m

x

iX
0

=

Z

X

e

-x m

0

x dx - m

X

Z

e -x xm-1 dx

0

et, passant à la limite quand X tend vers +,
h
soit
d'où

- e -x xm

i+
0

=

Z

+

0

e -x xm dx - m

Z

+

e -x xm-1 dx

0

-0 + 0 = (m + 1) - m (m)
(m + 1) = m (m)

Ainsi, (1) = 1 et (m + 1) = m (m) pour tout m  N . On en déduit, à l'aide
d'une récurrence immédiate, que
 m  N

(m) = (m - 1)!