X Maths PC 2009

Thème de l'épreuve Matrices à déterminant positif et matrices orthogonales
Principaux outils utilisés déterminants, algèbre bilinéaire, fonctions de plusieurs variables
Mots clefs Matrices positives

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 2009

FILIÈRE

PC

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Sur certaines matrices à déterminant positif et sur les matrices orthogonales
Pour n un entier > 1, on note Mn l'espace vectoriel des matrices carrées n × n 
à coefficients
dans R. On note t M la matrice transposée d'une matrice M  Mn . On note In la 
matrice
identité et Dn l'ensemble des matrices diagonales n × n à coefficients 
diagonaux dans l'ensemble
{-1, 1}. On identifiera un vecteur de Rn avec la matrice colonne à n lignes 
correspondante, et
une matrice M  Mn avec l'application linéaire Rn  Rn , X 7 M X.
Soit M = (mij ) une matrice de Mn . Soit  un sous-ensemble de 1, n . On note M 
() la
sous-matrice obtenue en supprimant la i-ème ligne et la i-ème colonne de M pour 
tout i  .
Par convention, M () = M . On note M+
n l'ensemble des matrices M dans Mn telles que, pour
toutes les parties  de 1, n , les déterminants des matrices M () sont 
strictement positifs.

Soient X = t (x1 , . . . , xn ), Y = t (y1 , . . . , yn )  Rn . On note X  Y 
(resp., X  Y ) si pour
tout i  1, n , xi > yi (resp., xi > yi ).

Première partie
t
+
1.a) Montrer que si M  M+
n , alors M  Mn .

1.b) Montrer que pour toute matrice M  Mn , pour toute matrice diagonale D  Dn 
et pour
tout sous-ensemble  de 1, n , M () D() = (M D)() .

+
1.c) Montrer que pour tout M  M+
n et pour toute matrice diagonale D  Dn , DM D  Mn .

2. Montrer que, pour tout X  Rn , il existe D  Dn tel que DX  0.

1

Ç

3. Soit M =

å

a b
c d

 M+
2.

3.a) Soit X = t (x1 , x2 )  R2 tel que 0  M X. Montrer que si X  0 alors b 6 0 
et c 6 0.
3.b) Montrer que X  0 et 0  M X impliquent X = 0.
3.c) Montrer qu'il existe X  R2 , X  0, tel que M X  0. [On pourra distinguer 
les cas b > 0
et b < 0.]

Deuxième partie
Soit k > 1 un entier. On considère la série de fonctions d'une variable 
complexe z,

X

1
z kn+1 .
kn
+
1
n=0
4. Montrer que cette série converge pour tout z  O, où O est le disque ouvert 
de centre 0 et de
rayon 1 dans C. Soit f (z) sa somme.
On identifie C à R2 en posant z = x1 + i x2 et f (z) = u(x1 , x2 ) + i v(x1 , 
x2 ), où u = Re(f )
et v = Im(f ). On considère l'application F : O  R2 , définie par
Ç

X=

x1
x2

å

Ç

7 F (X) =

å

u(x1 , x2 )
.
v(x1 , x2 )

5.a) Montrer que l'application F est de classe C 1 et préciser ses dérivées 
partielles que l'on pourra
exprimer en fonction du nombre complexe  = (x1 + i x2 )k .
5.b) Soit JF la matrice jacobienne de F . Montrer que, pour tout X  O, JF (X)  
M+
2.

Troisième partie
On se propose de démontrer par récurrence sur l'entier n > 1 la propriété (Qn ) 
suivante :
n
Si P  M+
n et X  R sont tels que X  0 et 0  P X, alors X = 0.

On fixe n > 2 et l'on suppose que la propriété (Qn-1 ) est satisfaite. Soit P  
M+
n et
t
n
X = (x1 , . . . , xn )  R tels que X  0 et 0  P X.
à

6.a) On considère l'équation linéaire P

u1
u2
..
.

í

à í

=

1
0
..
.
0

un
2

. Montrer que u1 > 0.

6.b) Soit C = t (c1 , . . . , cn ) la première colonne de P -1 . Montrer que c1 
> 0 et que
ß

xi
m = inf
| ci > 0, i  1, n
ci
existe et est positif ou nul. On note j un entier tel que m =

TM

xj
.
cj

6.c) On pose Y = X - mC. Montrer que Y  0 et que 0  P Y .
< = P ({j})  Mn-1 et soit Y
<  Rn-1 le vecteur obtenu à partir de Y en supprimant
6.d) Soit P
< = 0 et en déduire que Y = 0.
la j-ème ligne. Montrer que Y

6.e) En déduire que P X  0.
6.f ) Conclure.

Quatrième partie
On se propose de démontrer par récurrence sur l'entier n > 1 la propriété (Pn ) 
suivante :
Pour toute matrice orthogonale M  O(n), il existe X  0 dans Rn et une matrice 
diagonale
D  Dn tels que M X = DX.
Un tel couple (D, X) sera appelé une solution pour M .
7. Étudier (Pn ) pour n = 1 et pour n = 2. [Pour n = 2, on pourra supposer 
d'abord que
2
M est laÇmatrice
å d'une rotation d'angle , 0 6  < 2, et chercher un vecteur X  R de
cos 
la forme
.]
sin 
8. Soient X1 et X2  Rn tels que X1  0 et X2  0. Montrer que si D  Dn satisfait
t X DX = t X X , alors D = I . En déduire que si (D , X ) et (D , X ) sont deux 
solutions
1
2
1 2
n
1
1
2
2
pour M  O(n), alors D1 = D2 .
On fixe n > 2 et l'on suppose que laÇpropriété
å (Pn-1 ) est satisfaite. On fixe une matrice
W U
où W  Mn-1 , U, V  Rn-1 et   R.
orthogonale M  Mn que l'on écrit M = t
V 
9.a) Écrire les relations entre W , U , V et  qui expriment que M est une 
matrice orthogonale.
Montrer que || 6 1.
9.b) Lorsque || = 1, montrer que W est orthogonale et construire une solution 
pour M à partir
d'une solution pour W .
On suppose désormais que || < 1 et l'on pose M1 = W +
10. Démontrer que M1 et M2 sont orthogonales.
3

1
1-

U t V et M2 = W -

1
1+

U tV .

11. Soit (D1 , X1 ) (resp., (D2 , X2 )) une solution pour M1 (resp., M2 ).
11.a) Montrer que
t

X2 D2 D1 X1 = t X2 X1 -  (t V X1 )(t V X2 ) ,

où  est une constante positive que l'on déterminera en fonction de .
11.b) On suppose que D1 6= D2 . Montrer que les réels t V X1 et t V X2 sont non 
nuls et de même
signe. Montrer
que l'on
Ç
å peut
Ç construire
å une solution (D, X) pour M telle que X est l'un des
X2
X1
ou
.
vecteurs
1 t
1 t
-
V
X
1
1-
1+ V X2
11.c) On suppose que D1 = D2 . Montrer que l'un des réels t V X1 ou t V X2 est 
nul. En déduire
qu'il existe une matrice D  Dn et un vecteur X  0 tel que xi > 0 pour i  1, n-1 
satisfaisant
M X = DX.

11.d) On suppose encore que D1 = D2 . Montrer qu'il existe une matrice D   Dn 
et un vecteur
X   0 tel que xi > 0 pour i  2, n satisfaisant M X  = D X  .

12.a) Construire une solution pour M . [On pourra considérer l'égalité M (X + X 
 ) = DX + D X 
et utiliser le fait que M est orthogonale pour montrer que l'on peut se ramener 
au cas où D = D  .]
12.b) Conclure.
13. Soit N  Mn (R) une matrice antisymétrique.
13.a) Montrer que 0 est la seule valeur propre réelle de N parmi toutes les 
valeur propres
complexes. En déduire que In + N est inversible.
13.b) On pose M = (In + N )-1 (In - N ). Montrer que M est orthogonale.
13.c) Soit (D, X) une solution pour M . Montrer que Y = X + DX satisfait Y  0, 
N Y  0 et
Y + N Y  0.
14. Soit P une matrice de Mn . En considérant une matrice antisymétrique de M2n 
adaptée,
montrer qu'une des propriétés suivantes est vraie :
- soit les inégalités larges 0  t P Y et Y  0 ont une solution non nulle dans 
Rn ,
- soit les inégalités strictes P X  0 et X  0 ont une solution dans Rn .
15. Soit P une matrice de M+
n . Montrer que les inégalités strictes P X  0 et X  0 ont une
solution dans Rn .

4

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths PC 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Lévy (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Nicolas Weiss (Docteur en mathématiques) et Paul Pichaureau (Professeur en 
CPGE).

Ce sujet traite de l'ensemble Mn+ des matrices inversibles de Mn (R) dont tous 
les
déterminants extraits en position symétrique sont strictement positifs. En 
particulier,
on établit le théorème suivant :
Pour toute matrice P  Mn+ , il existe un vecteur X, dont tous les
coefficients sont strictement positifs, tel que les coefficients de PX
soient eux aussi tous strictement positifs.
Le sujet est constitué de quatre parties, qui sont indépendantes à l'exception 
de
la dernière question du sujet. Les questions étant très liées les unes aux 
autres au
sein de chaque partie, il faut les traiter dans l'ordre.
· La première partie établit quelques résultats simples sur Mn+ ; en 
particulier,
on démontre le théorème ci-dessus dans le cas n = 2. Elle permet de se 
familiariser avec les matrices de Mn+ et avec la manipulation des vecteurs à 
coefficients
positifs ou strictement positifs.
· La deuxième partie est totalement déconnectée du reste du sujet et permet
de tester ses connaissances sur les séries entières et les fonctions à plusieurs
variables.
· La troisième partie démontre que pour toute matrice P de Mn+ , il n'existe
aucun vecteur X non nul à coefficients positifs tel que les coefficients de PX
soient négatifs.
· Enfin, dans la dernière partie, on démontre le théorème annoncé en étudiant 
les
équations du type MX = DX d'inconnues D et X, où D est une matrice diagonale à 
coefficients diagonaux dans {-1, 1} et X un vecteur ; M est une matrice
orthogonale donnée. En particulier, on montre que ces équations admettent
toujours une solution pour laquelle le vecteur X est à coefficients strictement
positifs.
C'est un sujet de difficulté moyenne pour l'École Polytechnique. Comme souvent,
il ne fait appel qu'à très peu de théorèmes du cours. Cependant, il nécessite 
d'être à
l'aise en algèbre linéaire et dans la manipulation des matrices, tout 
particulièrement
dans l'usage des matrices par bloc. Toutes les questions sont faisables ; la 
difficulté
est essentiellement de toutes les traiter, ou du moins le plus possible, dans 
le temps
imparti.

Indications
t

t

1.a Comparer (M() ) et ( M)() .
1.c Utiliser les résultats des questions 1.a et 1.b.
2 Exprimer les coefficients de DX en fonction de ceux de X et des éléments
diagonaux de D. Choisir ensuite convenablement les coefficients de la matrice D.
3.a Exprimer les conditions M  Mn+ , X  0 et 0 < MX sous forme d'inégalités sur
des réels.
3.b Raisonner par l'absurde et reprendre les calculs de la question 3.a pour 
obtenir
M 6 Mn+ .
t

3.c Chercher X sous la forme ( 1, y). Dans le cas b < 0, utiliser le fait que M
appartient à Mn+ .
4 Utiliser la règle de d'Alembert.
5.a Montrer que u et v admettent des dérivées partielles en déterminant les 
limites
des taux d'accroissement.
5.b Comparer Re  et ||.
6.a Quel est le rapport entre les solutions d'un système linéaire et les 
déterminants ?
6.b Que vaut PC ?
6.c Utiliser la question 6.b.
6.d Que vaut le j-ième coefficient de Y ?
6.e Utiliser la question 6.d.
6.f Utiliser les questions 6.d et 6.e.
7 Interpréter géométriquement la propriété (Pn ).
8 Calculer explicitement t X2 X1 - t X2 DX1 .
Pour la deuxième question, commencer par montrer que D1 D2 = In .
t

9.a Que peut-on dire du signe de U U ?
9.b Utiliser les relations obtenues à la question précédente pour montrer que U 
et V
sont nuls. En déduire que W est orthogonale. Que vaut alors M ?
10 Calculer t M1 M1 et t M -2M - 2 avec les relations obtenues à la question 
9.a.
t

t

t

11.a Calculer M2 M1 . Quelle est la taille de la matrice X2 V ? et de V X1 ?
11.b Utiliser la question précédente.
11.c Que vaut D1 D2 ?
11.d Quelle autre décomposition de M aurait-on pu considérer ?

12.a Calculer de deux façons différentes le produit t X t M MX.
t

13.a Calculer de deux façons différentes X NX, où X est un vecteur propre.
Que sait-on de  si N - In n'est pas inversible ? et réciproquement ?
13.b Il existe plusieurs caractérisations des matrices orthogonales.
13.c Calculer la matrice NY en faisant apparaître la matrice M.
14 Se servir du résultat de la question 13.c et « découper » le vecteur obtenu 
de
taille 2n en deux vecteurs de taille n. Que vérifient ces deux vecteurs ?
15 Utiliser la question précédente et le résultat de la troisième partie.

Première partie
1.a Commençons par remarquer que pour toute matrice A  Mn et pour toute
partie   [[ 1 ; n ]], on a
t
t
( A)() = ( A() )
t

En effet, si A  Mn et   [[ 1 ; n ]], la matrice ( A)() est la sous-matrice 
obtenue en
t
supprimant la i-ème ligne et la i-ème colonne de A pour tout i  , ie la 
transposée
de la sous-matrice obtenue en supprimant la i-ème colonne et la i-ème ligne de A
pour tout i  . On en déduit l'égalité ( t A)() = t ( A() ).
t
Soit M  Mn+ . Montrons que M  Mn+ . Fixons donc   [[ 1 ; n ]] et mont
trons que le déterminant de ( M)() est strictement positif. On vient de voir que
( t M)() = t ( M() ). Comme le déterminant d'une matrice est égal au déterminant
t
de la transposée et que M est dans Mn+ , on obtient det( M)() > 0. Ceci étant 
vrai
pour tout sous-ensemble  de [[ 1 ; n ]], on conclut que
t

M  Mn+

L'énoncé n'est pas parfaitement clair sur la définition des matrices de Mn+ .
En effet, s'il précise que dans le cas  = , on pose M() = M, que se passet-il 
si  = [[ 1 ; n ]] ? La matrice M([[ 1 ; n ]]) est la matrice sans ligne ni 
colonne.
Que vaut son déterminant ? Nous passerons donc sur ce détail dans tout ce
corrigé.
1.b Soient M  Mn , D  Dn et   [[ 1 ; n ]]. Les matrices M() , D() et (MD)()
sont des matrices carrées de taille n - Card .
e 1, . . . , C
e n ) les colonnes obtenues en
Notons (C1 , . . . , Cn ) les colonnes de M et (C
supprimant les coefficients d'indice i de toutes les colonnes de M pour tout i  
.
e k pour k  [[ 1 ; n ]] et k 6 .
Les colonnes de M() sont alors les C
Notons maintenant (d1 , . . . , dn ) les coefficients diagonaux de D. La 
matrice D()
est la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les dk pour k  [[ 
1 ; n ]]
et k 6 . Calculons le produit MD avec ces notations :

 d

0
1

..
MD = C1 · · · Cn  × 
 = d1 C1 · · · dn Cn 
.
0
dn
En effectuant le produit M() D() de la même manière, on constate que les coe k 
pour k  [[ 1 ; n ]] et k 6 . Ce sont les mêmes colonnes de M() D() sont les dk C
lonnes que si l'on supprime les i-ème lignes et i-ème colonnes de MD pour tout 
i  .
Conclusion :
M() D() = (MD)()
Il est important de savoir interpréter le produit de deux matrices carrées en
fonction des lignes et colonnes de celles-ci. En particulier, étant donné deux
matrices carrées A et B de taille n, si on note (C1 , . . . , Cn ) les colonnes 
de B,
alors le produit AB vaut

AB = A × C1

· · · Cn  = AC1

· · · ACn 

De plus, si on note (E1 , . . . , En ) la base canonique de Rn , on obtient pour
tout i  [[ 1 ; n ]]

BEi = C1

· · · Cn  × E i = Ci

Ce sont ces deux résultats qui permettent d'obtenir l'égalité précédente.
1.c Soient M  Mn+ et D  Dn . Fixons   [[ 1 ; n ]] et montrons que le déterminant
de (DMD)() est strictement positif. En appliquant le résultat de la question 
1.b aux
matrices DM  Mn et D  Dn , on obtient l'égalité
((DM)D)() = (DM)() D()
Montrons maintenant que (DM)() = D() M() en utilisant la transposée pour
se ramener au résultat de la question 1.b. On a établi à la question 1.a 
l'identité
t
t
( A() ) = ( A)() pour toute matrice A  Mn . On en déduit
t

t

t

t

t

((DM)() ) = ( ( DM))() = ( M D)() = ( M D)()

Le résultat de la question 1.b donne alors
t

((DM)() ) = ( t M)() D()
t

t

t

(DM)() = ( D() ) (( M)() )

soit

t

Comme D est diagonale, D() l'est aussi et ( D() ) = D() . De plus, d'après le
t t
résultat de la question 1.a, (( M)() ) = M() . Il vient
(DM)() = D() M()
et finalement

(DMD)() = D() M() D()

Comme le déterminant d'un produit de matrices carrées est égal au produit de
leurs déterminants,
det((DMD)() ) = det(D() M() D() )
= det D() det M() det D()
det((DMD)() ) = det M() (det D() )2
Comme D() est une matrice diagonale à coefficients diagonaux dans l'ensemble
{-1; 1}, son déterminant est non nul. De plus, comme M  Mn+ , le déterminant de
M() est strictement positif. On en déduit l'inégalité
det((DMD)() ) > 0
Conclusion :

DMD  Mn+

Pour montrer que det((DMD)() ) > 0, on peut aussi dire que le déterminant
de D() vaut 1 ou -1, ce qui entraîne
det((DMD)() ) = det M() (det D() )2 = det M() > 0