X Maths PC 2008

Thème de l'épreuve Répartition modulo 1 de suites de réels
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, calcul intégral, séries de Fourier
Mots clefs périodique (fonction), réduction

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 2008

FILIÈRE

PC

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Répartition modulo 1 de suites de nombres réels
Première partie
Ö

On considère la matrice M =

è

0 0 -1
0 1 1
1 1 -1

. On désigne par I la matrice identité de M3 (R).

1. Montrer que M possède une unique valeur propre réelle , et que  est comprise
entre 1 et 2.
2. Soit  une valeur propre complexe, non réelle, de M . Calculer  ||2 et 
comparer les réels
1
||, 1 et  .
2
3.a) Montrer que I, M et M 2 sont linéairement indépendants dans l'espace 
vectoriel M3 (R).
3.b) Calculer M 3 et l'exprimer comme combinaison linéaire à coefficients 
entiers de I et M .
3.c) En déduire qu'il existe deux entiers  et  tels que, pour tout entier n > 0,
M n+3 = M n+1 + M n . (Par convention M 0 = I et M 1 = M .)
Pour tout entier n > 0, on pose un = Tr(M n ) et vn = cos(un ).
4.a) Pour 0 6 n 6 10, calculer un et vn .
4.b) Montrer que la suite (vn )nN est périodique, et préciser sa période.
4.c) Montrer que la suite (wk )kN définie par wk =

1

Pk

n=0 vn

n'est pas bornée.

5.a) Exprimer un en fonction de ,  et n.
5.b) La suite (yk )kN définie par yk =

Pk

n
n=0 cos( )

est-elle bornée ?

Dans la suite du problème, on note  la fonction périodique de période 1 qui à 
tout nombre
réel x  ] - 12 , 21 ] associe |x|.

Deuxième partie
6.Z Soient  et  deux nombres réels tels que 1 6  < . Pour n > 1, on pose

In =

cos(2xn ) dx.

6.a) On suppose dans cette seule question 6.a) que, pour tout x de l'intervalle 
[ , ], on a
limn+ ((xn )) = 0. Montrer que limn+ In =  - .
6.b) À l'aide d'un changement de variable et d'une intégration par parties, 
déterminer la
limite de la suite (In )nN quand n tend vers l'infini.
6.c) Que peut-on déduire des deux questions précédentes ?

Troisième partie
7.a) Calculer les coefficients de Fourier (cq ())qZ de la fonction .
7.b) En déduire que, pour q > 0, on a |cq ()| 6
On note
Sp ()(x) =

p
X

1
.
2q(q + 1)

cq ()e2iqx

q=-p

la somme partielle d'indice p de la série de Fourier de la fonction .
8. Montrer que pour tout réel x et tout entier p > 1, on a
|(x) - Sp ()(x)| 6

1
.
p

9. Montrer que le réel  défini dans la question 1 n'appartient pas à Q. [On 
pourra utiliser
le fait que si u est un nombre rationnel positif non entier, on peut écrire u 
comme quotient de
deux entiers strictement positifs a et b tels qu'aucun facteur premier de b ne 
divise a.]
10. Soit  le réel défini dans la question 1. Montrer que pour tout entier q 6= 
0 et tout entier
N > 1, on a
N
X
1
e2iqn | 6
|
.
| sin(q)|
n=1
2

11. Déduire des questions précédentes que, pour tout entier p > 1 et tout 
entier N > 1, on a
N
1 X
1
1
1
1
sup
.
(n) -
6 +
N n=1
4
p N 16q6p | sin(q)|

12. Déduire de ce qui précède que la suite (

N
1 X
(n))N N a une limite que l'on précisera.
N n=1

13. Le résultat de la question 12 reste-t-il valable si l'on remplace  par un 
nombre irrationnel
quelconque ?

3

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths PC 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) ; il a été 
relu
par Jérôme Gärtner (ENS Cachan) et Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE).

Ce sujet traite de la répartition modulo 1 de suites de nombres réels par le 
biais de
problèmes de sommation et d'intégrabilité, agrémentés d'un zeste d'algèbre 
linéaire.
Il est constitué de trois parties pouvant être abordées indépendamment les unes
des autres ; cependant, il est nécessaire d'avoir traité la question 1 avant de 
pouvoir
répondre à la question 9.
· Dans la première partie, on étudie une matrice carrée d'ordre trois à 
coefficients
entiers. Elle s'avère diagonalisable et l'on s'intéresse alors à ses valeurs 
propres,
ainsi qu'à la parité de la suite des traces de ses puissances successives. Il 
n'y a
dans cette partie aucune réelle difficulté avant la question 4.c.
· Dans la deuxième partie, on fixe d'abord deux réels  et  tels que 1 6  < ,
puis on étudie le comportement asymptotique de la suite de terme général
Z 
In =
cos(2xn ) dx

Ceci permet de prouver par l'absurde que la suite de fonctions n : x 7 (xn )
ne converge pas simplement vers 0 sur l'intervalle [  ;  ], où  désigne la 
fonction 1-périodique coïncidant avec la valeur absolue sur l'intervalle ] -1/2 
; 1/2 ].
· Enfin, dans la troisième partie, on étudie la série de Fourier de la fonction
P  de
la partie précédente et l'on établit un équivalent de la série numérique (n)
pour tout  
/ Q. Comme toute étude de série de Fourier qui se respecte,
cette partie nous gratifie de quelques questions calculatoires, combinant 
joyeusement divers découpages et autres majorations de sommes. On notera que le
lien avec la partie I est tout à fait artificiel et que la question 9 eût été 
plus à
sa place dans cette dernière partie.
C'est un sujet plutôt facile et rapide à traiter. Il fait appel à peu de « gros 
»
résultats et nécessite essentiellement des manipulations élémentaires et très 
classiques. Par contre, l'énoncé ne fournit aucun résultat intermédiaire, ce 
qui risque de
bloquer le candidat qui « sèche » sur une question. Mais, vu le niveau de 
difficulté,
ceci ne devrait pas gêner outre mesure un candidat correctement préparé.

Indications
Première partie
1 Étudier les variations du polynôme caractéristique de la matrice M.
2 Utiliser les relations entre les coefficients et les racines de ce polynôme.
3.a Considérer les images du premier vecteur de la base canonique de R3 par
ces matrices.
4.a Déduire du résultat de la question précédente la relation de récurrence 
vérifiée
par la suite (un )nN .
4.b Deviner la période en observant les premiers termes de la suite (un )nN .
4.c Pour tout N  N, calculer w7N+6 en regroupant les termes sept par sept.

5.a Justifier d'abord que la matrice M est diagonalisable dans C.

5.b Utiliser l'inégalité des accroissements finis, puis l'inégalité 
triangulaire, afin de
majorer |cos(n ) - cos(un )| pour n  N puis |yk - wk | pour k  N.
Deuxième partie
6.a Commencer par montrer que cos(2x) = cos(2(x)) pour tout réel x. Ensuite,
faire usage du théorème de convergence dominée.
6.b Poser u = xn . Abaisser, à l'aide de l'intégration par parties, le degré de 
la
puissance de u sous le signe intégral. Conclure avec le théorème des gendarmes.

Troisième partie
8 Pour tout réel x et pour tout entier n > p, majorer |Sn ()(x) - Sp ()(x)| à 
l'aide
du résultat de la question 7.b. Passer ensuite à la limite pour conclure.
9 À l'aide de la définition de  (cf. question 1), prouver que b2 divise a3 , où 
a et b
sont les nombres introduits par l'énoncé.
 
1
1 
11 Écrire
(n) - = (n) - Sp ()(n) + Sp ()(n) -
4
4
Utiliser la question 8 pour majorer la première partie des termes, et les 
questions 7.b et 10 pour le reste des termes.
12 Appliquer le résultat de la question 11 et la définition de la limite ; on 
choisira
d'abord p suffisamment grand, puis N.

I. Première partie
1 Le polynôme caractéristique de la matrice M est
P = det(XI - M) =

X
0
0 X-1
-1
-1

1
-1
X+1

En développant ce déterminant selon la première ligne, on obtient alors
P=X

X-1
-1
0 X-1
+
-1
X+1
-1
-1

= X [(X - 1)(X + 1) - 1] + X - 1

P = X3 - X - 1

3
Étudions maintenant les variations sur R de la fonction polynomiale

 P: x 7 x
 -x-1.
Elle admet pour dérivée la fonction P : x 7 3x2 - 1 = x 3 + 1 x 3 - 1 , qui est

négative sur -1/ 3; 1/ 3 et positive en dehors. Enfin, elle a les mêmes limites 
que
la fonction x 7 x3 en - et +, si bien que lim P(x) = - et lim P(x) = +.
x-

Voici son tableau de variations :
x
P (x)

-

P(x)
-

+

-1/ 3
0  
P -1/ 3

-

x+

1/ 3
0

+

+
+

P 1/ 3

1
1
1
2
P -
=-  +  -1=  -1<0
3
3 3
3
3 3

On peut donc déjà affirmer que P(x) < 0 pour tout x  - ; 1/ 3 . Par ailleurs,

sur l'intervalle 1/ 3 ; + :
De plus

· la fonction P est dérivable donc continue ;
· la fonction P est strictement croissante ;
 
· P 1/ 3 < 0 et lim P(x) = +.
x+

D'après le théorème de la bijection, il existe un unique  
que P() = 0. C'est donc la seule racine réelle de P, si bien que

1/ 3 ; + tel

La matrice M possède une unique valeur propre réelle .
Enfin, P(1)
 = 1 - 1 - 1 = -1 et P(2) = 8 - 2 - 1 = 5, soit P(1) < P() < P(2).
Comme 1/ 3 < 1, on en déduit que 1 <  < 2 par stricte croissance de P sur [ 1 ; 
2 ].
En conséquence,
1<<2

2 Le polynôme à coefficients réels P admet une seule racine réelle : comme il 
est de
degré 3, il possède deux autres racines complexes conjuguées  et . De ce fait,
P = X3 - X - 1 = (X - )(X - )(X - )

et l'on obtient en identifiant les coefficients constants
2

 || = 1
Or, on sait que 1 <  < 2 d'où ||2 <  ||2 < 2 ||2 , soit ||2 < 1 < 2 ||2 et donc
1
 < || < 1
2
3.a Considérons un triplet de réels (, , ) tel que
I + M + M2 = 0

(1)

Notons i, j et k les vecteurs colonnes de la base canonique de R . Par 
définition de la
matrice M, on a M · i = k et M2 · i = M · k = -i + j - k. De ce fait, la 
multiplication
à droite de chaque membre de la relation (1) par le vecteur i nous conduit à
3

i + k +  (-i + j - k) = 0
soit

( - ) i + j + ( - ) k = 0

d'où

- =0

=0

- =0

comme la famille (i, j, k) est libre. Ainsi  =  =  = 0, ce qui montre que
Les matrices I, M et M2 sont linéairement indépendantes dans M3 (R).
2 

0 0 -1
-1 -1 1
2 0
M2 = 0 1 1  =  1
1 1 -1
-1 0 1

0 0 -1
-1 -1 1
M3 = 0 1 1   1
2 0
1 1 -1
-1 0 1

3.b On a

puis

1
3

M = 0
1

soit

On observe alors que

0 -1
2 1
1 0

M3 = M + I

Ce résultat est en fait une conséquence du théorème de Cayley-Hamilton,
qui stipule que P(M) = 0 pour toute matrice carrée M de polynôme 
caractéristique P.
3.c Soit n  N : alors Mn+3 = Mn · M3 = Mn (M + I) = Mn+1 + Mn . Ainsi
Pour tout n  N, on a Mn+3 = Mn+1 + Mn .