X Maths PC 2004

ECOLE POLYTECHNIQUE
ECOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2004 FILIÈRE PC

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

*fik*

Polynômes unitaires de norme minimale

Pour tout entier d > 0, on désigne par &; l'espace vectoriel complexe des 
polynômes
à coefficients complexes de degré { d et par Md le sous--ensemble des polynômes 
unitaires

de degré d.

Première partie

Soit n E N* et soient 501, . . . ,oen des nombres complexes distincts. On 
considère le polynôme
'F«)():= :[I ()('--:Bk)a
1PI--w

&) Montrer que cette expression définit un polynôme Pj de degré n -- 1.

b) Calculer Pj(æk), pour 1 { k < n, et montrer que, pour tout polynôme F, le polynôme TL L F = 2 F(oej) Pj prend la même valeur que F en tous les points æ1,. . . ,oen. j=1 n c) Montrer que 2 P]- = 1. j=1 d) Les polynômes Pj, 1 < j < n, forment--ils une base de £n_1 ? 2. Pour 1 < j < 71, on pose P,-(X =;î; b ,j X', où b...-- E C. Soient V et B les matrices complexes n >< 71 dont les éléments à la ie ligne (1 { i < n) et à la je colonne (1 { j < n) sont (oe,)j 1 et bi_1,j, respectivement. Montrer que V est inversible, et que V et B sont inverses l'une de l'autre. 3.a) Montrer que bn_1 - = 1 . Déterminer la valeur de z (oek)j pour 0 < j { n -- 1. ,J P'(oej) =1 P'(oek) n (X -- OEk)n_1 b) En déduire que 2 --ÎÏ(----)-- est un polynôme constant que l'on calculera. *"*'* Dans toute la suite du problème, et EUR N* est un entier fixé, et K est une partie compacte du plan complexe, contenant au moins d + 1 éléments. On pose p = Sup |z|. Pour tout polynôme zEK Q EUR Sd, on pose _ HQIIK = SUP IQ(Z)I - zEURK Deuxième partie Pour tout polynôme Q EUR &, défini par Q( X ) z a, X ' ,on pose N(Q) = sup laîl-- 0 N (Q) et Q r----> ||QHK sont des normes sur &; et 
qu'elles sont équiva--
lentes. '

b) La fonction Q 1--> HQHK est--elle continue sur l'espace vectoriel normé (Ed, 
|| HK) ?
-- HQHK .
5.a Ma30rer sup en fonct1on de .
) QEUR5d N (Q) P
62350
b) On choisit n = d+ 1 points distincts dans K, oe1, . . . ,a:d+1, et l'on 
reprend les notations
de la première partie. On pose 5 = sup |b...--|. En utilisant les résultats de 
la question 2.,

0. |Q(zo)l. [On pourra considérer le 
module et l'argu--
ment de ck et de z -- zo.]

8. Plus généralement, soit Q EUR 801 et soit zo E C. On suppose que Q(zo) = 1 
et que Q n'est
pas constant.

&) Montrer qu'il existe un entier k 2 1, un nombre complexe ck, ck # O, et un 
polynôme
R tels que
Q(X) = 1 + Ck(X -- 743)" + Ck(X -- Zo)k+1R(X) -

b) Montrer que, pour tout réel 7' > 0, il existe 2 E C tel que |z -- 20] = r et

Q = 1 + |Ckl |z -- Zol'° + lc.| |z'-- Zol'"(Z -- ..)R 0, il existe 2 E C tel que |z -- Z()| < r et IQ(Z)I > |Q(Zo)| -

9.a) Montrer que la propriété démontrée àla question 8.0) est satisfaite pour 
tout polynôme
non constant Q EUR Ed et pour tout point zo EUR C. '

b) En déduire que, pour tout Q EUR Ed,
sup lQ(Z)I = SUP IQ(Z)I -

Iz|<1 |z|=1 c) Montrer que, pour tout Q EUR Ed, Q(Z) zd sup [2|21 = sup IQ(Z)I - IZI=1 (1) Dans cette question, on choisit K = {2 EUR Cl |z| { 1}. Montrer que le polynôme QO(X ) = X " satisfait HQOHK = m - Cinquième partie 10. Soient zo et 21 deux nombres complexes non nuls. Montrer que |z0 + z1| = |z0| + |zl| si et seulement s'il existe un réel A > 0 tel que 21 = À zo.

Pour Q EUR Sd, on pose

M(Q) = {Z EUR KI IQ(Z)I = llQllxl-

11. On suppose qu'il existe des polynômes distincts QD EUR Hd et Q1 EUR Ud 
vérifiant

||QollK = l|Q1HK = m .

Pour tout t EUR]0, 1[, on pose
Qt =tQ1 + (1 =t)Qo.

&) Montrer que, pour tout t E [O, 1], ||QtHK = m.

b) Soit 15 EUR]O, 1[ et soit 2 EUR M(Qt). Montrer que 2 EUR M(Qg) et z EUR 
M(Q1), puis montrer
que Qo(z) = Q1(z).

c) En déduire que, pour tout t EUR]O, 1[, Card (M(QÜ) < d. 12. On suppose qu'il existe Q EUR Md tel que HQHK= m et tel que Card (M (Q)) { d. &) Montrer qu'il existe un polynôme L E £d_1 tel que, pour tout 2 EUR M(Q), L(z) = Q(z). 1 b) Soit Q,, = Q ---- 1--9L, pour 19 E N *. Montrer que, pour chaque 19 E N *, il existe zp E K tel que lQp(zp)l > IIQIIK-

On admettm le résultat suivant : il existe une suite strictement croissante de 
nombres entiers,
p +----> np, telle que la suite p l--> znp converge vers un élément EUR de la 
partie compacte K de C,
quand p tend vers +00.

0) Montrer que |Q(Ê)l = HQ||K. En déduire que Q(Ê) = L(Æ).

d) Montrer que Q(znp) = Q(Ê)(l + sp) et L(znp) = Q(£)(l + ep)(1 + EUR£,), où 
EUR,, et 52

sont des suites de nombres complexes, définies pour p assez grand, telles que 
lir_|n sp = 0 et
p--+ 00

Il + EPI < 1, et lim 82, = 0. En déduire que, pour p assez grand, |an (%,,)l < HQHK. p--> oo ,

13. Y a--t--il unicité du polynôme Qg EUR % tel que ||Qg|lK = m ?