X Maths PC 2003

Thème de l'épreuve Étude d'une équation différentielle paramétrée
Principaux outils utilisés réduction d'endomorphisme, équations différentielles, intégrales à paramètres, séries de fonctions
Mots clefs Équations différentielles paramétrées, stabilité forte, escarpolette

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2003 _ FILIÈRE PC

ï_\

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

\

Résonance paramétrique

Ce problème propose une première approche mathématique de la résonance 
paramétrique,
phénomène physique que l'on rencontre aussi bien dans les recherches sur le 
mouvement de la
lune que dans la manière de faire démarrer une escarpolette, ou dans l'étude 
des matériaux
semi--conducteurs.

, Soit q une fonction réelle de la variable réelle t, continue et périodique de 
période T > O,
VtEUR R, q(t+T) =q(t) .
Soit A un nombre complexe. On considère l'équation différentielle du second 
ordre
oe" + @ -- q>æ = o. ' (1)

où a: est une fonction complexe, de classe CZ,. de la variable réelle t.

Première partie ,

1. Soit 5 l'ensemble des solutions de l'équation (1). Montrer que 5 est un 
espace vectoriel
complexe; '

2. Soient :E1 et 5132 deux solutions de (1). On pose W(oe1,oe2) : oe1oe'2 -- 
oe'1æ2. Montrer que
W(oe1,oe2) est indépendant de t. '

3. Soit T l'opérateur de translation par T qui, à une fonction complexe f, 
associe la fonction
T ( f ) telle que .
We R, T(f)(t) =f(t+T) .

a) Montrer que, si f EUR 8, alors T(f) EUR 5.

b) On désigne par 7' la restriction de T à EUR . Est--ce un isomorphisme de 8 
sur 8 ?

4.a) Montrer qu'il existe une unique solution 5121 de (1) telle que

et une unique solution 5132 de (1) telle que
OE2(Û) = O, OEê(0) = 1 .

b) Montrer que 5131 et 332 forment une basede EUR . _

5. On désigne par M la matrice de l'endomorphisme 7' de 8 dans la base 
(331,132).
&) Évaluer les coefficients de M en fonction de an,-(T), æf,-(T) (i = 1, 2).

b) Évaluer Det(M )

1

On pose A = 2

TÉrM , où Tr désigne la, trace.

c) Évaluer A en fonction de a:,(T), oe;(T ) (z' = 1,2).

6. Montrer que les. valeurs propres de l'endomorphisme 7' de 5 sont racines du 
trinôme
P(p) = p2 -- 2Ap + 1.

Soit 93 EUR EUR . On dit que a: est stable si là:] est bornée sur R+. On dit 
que a: est fortement stable
si lim oe(t) = O.

t--++oo

7. On suppose A réel et |A| # 1.
a) Montrer que 5 est somme directe des sous-espaces propres de 7'.

b) Montrer que, si |A] < 1, toutes lesqsolutions de (1) sont stables. Les 
fonctions propres
de T sont-elles fortement stables dans ce cas ?

c) Montrer que, si |A| > 1, il existe une solution de (1) fortement stable. 
Est--elle unique?
Existe--t--il dans ce cas des solutions stables mais non fortement stables ?

8. On suppose que A = 5, où 5 = +1 ou 5 = --1.

EUR CL

' aest
0 ) ....

&) Montrer qu'il existe une base de EUR dans laquelle la matrice de 7' est (

un nombre complexe.

b) On suppose a # 0. Montrer que, dans ce cas, il existe une solution de (1) 
stable mais
non fortement stable. Existe--t--il des solutions fortement stables ?

Deuxième partie
Dans cette partie, on fixe T = 7r et l'on suppose À réel. Pour indiquer la 
dépendance par
"rapport au paramètre A et au choix de la fonction q, on note Aq(À) la quantité 
A définie à la
question 5.

9. Dans cette question, on choisit q identiquement nulle, q = 0.

a) Calculer Ag(À) en distinguant les cas suivant le signe de À. La fonction À 
l----> Ag(À)
est-- elle de classe Cl ?

b) Tracer le graphe de la fonction À +--+ AO(À), pour À EUR R.
c) Déterminer la matrice M lorsque q = 0 et À = 712, n E N.

On va maintenant montrer que Aq(À) est proche de Ag(À) lorsque À' tend vers 
+oo. On
suppose A > 0 et l'on pose w = \/Ï. On note Q le maximum sur R de la fonction 
|q|.

sin wt

On pose u0(t,w) = cos cat, v0(t,w) = et l'on définit par récurrence

w

un(t,w) = ]: ËËËl--S--Ù q(s) un_1(s,w) ds , n > 1,

vn(t,w)=/O1t s_11_1(c3_(£_--3_)) q(s) vn_1(s,w) ds , n > 1.

10. Montrer par récurrence sur 77. E N que

Vt E R, [un(t,w)| <

w"n!

11. On pose *
1(t (,w)= z un(t, w) et oe2(t, w) =Î vn( (t ,ou).

n=0 n=0

Le paramètre w étant fixé, montrer que l'on définit ainsi des fonctions 
continues de la variable

t E R.
12. On note uÇ...L et vÇL les dérivées par rapport à t de un et 'un.

&) Calculer uâ(t,w) et vâ(t,w) sous forme d'intégrales contenant un_1 et vn_1 
respecti--
vement. '

b) Montrer que, pour n > 1,

can--ln!

intln

w"n!

Vt & R, |ufn(t,w)l < et Ivî.(t,w)l <

0) En déduire que 331 et 5162 sont des fonctions de classe C1 de la variable t.

13. Montrer que 5131 et 5132 satisfont les équations

æ1(t7w) = coswt + /t s_i_n_(w_(_t_:s_))

d
0 w Q(S) OE1(S,ü)) 37

æ2(t,w) ___ sinwt + [: sin(w(t -- s))

au - q(s) oe2(s,w) ds .

Les fonctions 5131 et OE2 sont--elles toujours des fonctions de classe 600 de 
la variable t ? ,

14.a) Montrer que 5131 et 1132 sont solutions de (l) pour À : «22.

b) Montrer que, si À > 0, A = w2,

A. = %(OE1(mw) + æa(w,w)) .

15. Montrer que, pour /\ > O,

7TQ

|Aq(,\{)ÿ --. A0(À)l < exp (7Î) _ 1 .

. 7T
16. Dans cette question, on suppose de plus que / q(t)dt : O.
0 ,

&) Montrer que
u1(7r,w) + vî(7r,w) = 0 .

b) En déduire que, pour À --> +00,

1
17. On appelle intervalle d'instabilité un intervalle de R+ sur lequel |Aq(À)| 
> 1. Montrer
que, pour tout a > 0, il existe À0 > 0 assez grand pour que tout intervalle 
d'instabilité contenu
dans [A... +oo[ soit contenu dans un intervalle [(n -- a)2, (n + a)2], pour un 
entier n. Que peut-on
dire de la position des intervalles d'instabilité quand A ----> +oo ?

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X Maths 1 PC 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Walter Appel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Sattisvar Tandabany (ENS Lyon) et Thomas Chomette (Professeur en CPGE).

Ce sujet, de longueur moyenne et bien construit, propose d'étudier 
rigoureusement
quelques aspects d'une équation différentielle paramétrique :

x +  - q(t) x = 0
(1)
Ce type d'équations intervient en physique, par exemple lorsque, pour amplifier 
les
oscillations d'une balançoire, une demoiselle élève ou abaisse successivement 
son
centre de gravité, modifiant ainsi le coefficient q(t) dans l'équation du 
pendule.
(voir Les hasards heureux de l'escarpolette de Jean-Honoré Fragonard.)
Il est composé de deux parties relativement indépendantes.

· Dans la première, on introduit un opérateur de translation dans le temps.
En fonction du spectre de cet opérateur, on étudie la stabilité des solutions de
l'équation, c'est-à-dire le fait qu'elles soient ou non bornées (stabilité) et 
le fait
qu'elles tendent ou non vers 0 (stabilité forte).
· Dans une seconde partie, on suppose la constante  réelle et on construit 
explicitement, par un procédé itératif, une base des solutions de l'équation 
différentielle (1). Dans un deuxième temps, on montre que la trace de 
l'opérateur de
translation s'approche asymptotiquement de celle de l'opérateur de l'équation
x + x = 0 lorsque  tend vers l'infini. On en déduit finalement des indications
sur la stabilité d'une solution.

Indications
Première partie
2 Dériver la fonction W(x1 , x2 ) et utiliser le fait que x1 et x2 sont 
solutions
de l'équation (1).
3.b Vérifier que  est linéaire et trouver son inverse.
4.a Citer précisément le « bon » théorème du cours.
5.a Évaluer  (x1 ) et  (x2 ), ainsi que leur dérivée, au point 0.
7.a Montrer que  est diagonalisable.
7.b Montrer que les valeurs propres de  sont de module 1 et que, si u est une
fonction propre, alors |u| est périodique.
7.c Montrer qu'il existe une valeur propre dans l'intervalle ] -1 ; 1 [ et une 
autre
dans ] - ; -1 [  ] 1 ; + [.
8.a Choisir une fonction propre u et la compléter en une base (u, v).
8.b Montrer que u est 2T-périodique et que v n'est pas bornée.
Deuxième partie
P
P
11 Montrer que les séries de fonctions un ( · , ) et vn ( · , ) convergent 
normalement sur tout compact.
Z t
h(t, s) ds, où h est une fonction
12 Montrer que la dérivée de la fonction t 7-
0
de classe C 1 , est
Z t
h
(t, s) ds + h(t, t)
t 7-
0 t
13 Montrer que l'on peut, dans l'intégrale du membre de droite, intégrer terme à
terme la série de fonctions.
14.b Vérifier que x1 et x2 sont bien les fonctions définies à la question 4.a.
15 Développer en série et utiliser une inégalité triangulaire.
16.b Noter que le premier terme de la majoration de la question 15 a disparu.
17 Faire un grand dessin et, pour 0 <  < 1, chercher la forme des intervalles I
de R vérifiant :
x  I

|cos x| > 1 - 

Première partie
1 L'équation (1) est une équation différentielle linéaire, du second ordre, 
homogène,
et écrite sous forme canonique (c'est-à-dire que le coefficient devant le terme 
« x »
est égal à 1). Le cours indique que l'ensemble des solutions de cette équation 
est un
espace vectoriel complexe, cependant il est aisé de le redémontrer :
· la fonction nulle est solution de (1) : 0  E ;
· si u et v sont solutions de (1) et si µ  C, alors la combinaison linéaire µu 
+ v
est solution de (1).
E est un espace vectoriel complexe.

Le cours affirme même que, la fonction q étant continue, cet espace est de
dimension 2. L'énoncé propose de redémontrer ce résultat à la question 4.b.
2 Les fonctions x1 et x2 étant continues ainsi que q, leurs dérivées secondes, 
obtenues
par l'équation (1), sont de classe C 0 . Leurs dérivées premières x1 et x2 sont 
donc
de classe C 1 . On en déduit que la fonction W(x1 , x2 ) est également de 
classe C 1 .
Dérivons cette fonction :
W (x1 , x2 ) = x1 x2 + x1 x2 - x1 x2 - x1 x2
= x1 (q - )x2 - (q - )x2 x1
W (x1 , x2 ) = 0

ce qui montre que

W(x1 , x2 )(t) est indépendante de t.

On aura reconnu en W(x1 , x2 ) le wronskien des fonctions x1 et x2 . Rappelons
que, dans le cas d'une équation différentielle linéaire et homogène du second
ordre
x + a(t) x + b(t) x = 0
le wronskien de deux solutions x1 et x2 vérifie l'équation W + aW = 0 et
s'annule en un point si et seulement si il est identiquement nul.
3.a Remarquons que l'opérateur de translation T et l'opérateur de dérivation 
commutent et que, pour toute fonction deux fois dérivable, T (f ) = T (f  ). 
Soit maintenant f une solution de l'équation (1). Notons g = T (f ). Alors, 
pour tout t  R :

g  (t) +  - q(t) g(t) = f  (t + T) +  - q(t) f (t + T)

= f  (t + T) +  - q(t + T) f (t + T)

g  (t) +  - q(t) g(t) = 0
Si f  E, alors T (f )  E.

3.b Tout d'abord, notons que, T étant linéaire,  l'est aussi et définit donc un
endomorphisme de E. Par ailleurs, l'opérateur

E - E

(
R - R
:

 f 7- g :
t 7- f (t - T)

est, pour les mêmes raisons que celles vues à la question 3.a, un endomorphisme 
de E
et vérifie    =    = Id E , ce qui prouve que  est inversible.
 est un isomorphisme de E.

Puisque l'on sait que E est un C -espace vectoriel de dimension finie, on aurait
pu se contenter de montrer que  est injective, ce qui est immédiat.
4.a Pour répondre à cette question et, sans les exhiber (on les construira plus 
tard,
à la question 11, dans le cas où  est un réel strictement positif), montrer 
l'existence
des fonctions x1 et x2 demandées, il suffit d'invoquer le théorème de 
Cauchy-Lipschitz,
véritable « baguette magique » de la théorie des équations différentielles.
Le théorème de Cauchy-Lipschitz est tellement important que nous le rappelons 
intégralement.
Soit I un intervalle ouvert de R. Soient a, b, et c trois fonctions
continues sur I à valeurs dans K = R ou C, telles que a ne s'annule pas sur I. 
L'ensemble E des solutions à valeurs dans K de
l'équation différentielle linéaire du second ordre
a(t) x (t) + b(t) x (t) + c(t) x(t) = 0
est un K-espace vectoriel de dimension 2. De plus, si t0  I,
l'application
(
E - K2
t0 :

u 7- u(t0 ), u (t0 )
est un isomorphisme ; autrement dit, si (, )  K2 , il existe une
et une seule solution au problème de Cauchy
 
a x + b x + c x = 0
x(t0 ) = 
et
x (t0 ) = .

Puisque la fonction t 7 -q(t) est continue, les hypothèses du théorème sont bien
vérifiées. L'existence et l'unicité des foncions x1 et x2 en découlent 
immédiatement.
4.b Montrons dans un premier temps que la famille (x1 , x2 ) est libre. Soient  
et 
deux complexes tels que  x1 +  x2 = 0. En évaluant cette expression en t = 0,
on obtient  = 0. En évaluant la dérivée de cette expression en t = 0, on trouve
 = 0. La famille (x1 , x2 ) est donc libre.