X Maths PC 2001

Thème de l'épreuve Polynômes de Legendre et harmoniques sphériques
Principaux outils utilisés polynômes à une ou plusieurs indéterminées, endomorphismes en dimension finie, espaces préhilbertiens, intégration par parties, fonctions de plusieurs variables

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2001 FILIÈRE PC

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

Les polynômes de Legendre, fonctions de Legendre et harmoniques sphériques 
étudiés dans ce
problème ont des applications à la détermination des équilibres de température 
et des distribu--

tions de char es électri ues ainsi u'à la mécani ue uanti ue.
7

***

Les fonctions considérées sont à valeurs dans R. On identifie une fonction 
polynomiale avec le
polynôme associé.

Première partie

Pour tout n E R, on considère la fonction polynomiale P... définie par

pour :D E R. Il résulte des conventions habituelles que P0 (33) = 1 pour a: E R.

La) Montrer que le polynôme Pn est de degré n. Quel est le coefficient du terme 
de degré n
dans Pn ?

b) Pour quelles valeurs de n la fonction Pn est--elle paire ? impaire ?
c) Calculer Pn(1) et Pn(--1).

2. Soit n > 1. Montrer que pour tout m E N tel que 0 < m { n ---- 1,

1
/ Pn(oe) oemdæ : 0 .4
--1

3. On désigne par 8 l'espace préhilbertien réel des fonctions continues sur 
[--1,1] muni du
produit scalaire

(u | v) = /11u<æ>v<æ>dæ ,

pour u, ?) EUR 5 .
a) La famille (Pn)nEURN est--elle une famille orthogonale dans 8 ?

b) Calculer (Pn | Pn) pour chaque n E N.

. d 2
4.21) 801t n > 1. Montrer que Æ((æ

dPn

-- 1 d--(oe)) est orthogonal a :L'm pour tout m E N
cc

telque0 2, A(ÏN) C ÎN_2. En déduire que
dimHN } 2N + l'.

b) On pose ,,...2 = 513% + 33% + 33%. Soit [EUR E N, 0 < 21EUR < N, et soit g E 
ÎN_2k. Calculer
A(r2kg) en fonction de g, Ag,r, N, le.

10. Soit f E HN, N > 2. On suppose qu'il existe g E ÎN_2 tel que f = 729.

&) Montrer qu'il existe une fonction h de classe 62 sur R3 telle que f = 7°2Kh, 
où K est

N 2
la partie entière de ; .

b) Montrer que f = 0.
11.31) Montrer que, si N > 2, dim HN { dimfN -- dim ÎN_2.

b) Quelle est la valeur de dim H N ?

Quatrième part ie

On conserve les notations de la troisième partie. On introduit les coordonnées 
sphériques
(7°, 9, go) sur R3 définies par
fil = rsin6'cosgo
5122 = rsin9sincp
5133 = 7° cos 6

pour ,,. EUR]O,+oo[, 9 EUR]0,7r[, @ EUR]0,27r[. On négligera le fait que ces 
coordonnées ne sont pas
définies pour les points d'un demi--plan de R3. On écrira

N

f(ælaoe27oe3) : f(T797 (70)

(expression de f en coordonnées sphériques). Soit
S = {(£C1,ZIZ2,OE3) E R3 |oeÎ +:13â +:câ = 1}

la sphère de centre 0 et de rayon 1. On pose

A 82 + c t 9 8 + 1 82
= ---- 0 an -- --
S 392 39 sin29 8g02
et l'on admettra que
N 62 2 a 1
A = -- + ---- + --2AS

N

A(f) = A(f)-

Soit 77. E N et m EUR N. On considère les fonctions sur S définies par
0 { m < n , Y......(9, 90) = cos(mgo)f......(cos @)

0 < m { n , Yn,_m(9, 90) = sin(mgo)f......(cos @)

où les fn,... sont les fonctions étudiées dans la deuxième partie.

12. Montrer que pour tout n E N et m EUR Z tel que --n { m < n,
AS Y")... : --n(n + 1)Y...... .

13. Soit n EUR N et m EUR Z tel que --n { m < n. Soit H...... la fonction sur 
R3 telle que

N

Hn,m(ra 97 90) : Tn Yn,m(97 90) '
&) Montrer que ÂÏ-Ïnm = O.

N

b) Montrer, en regroupant dans Hmm les termes en rsinâcos go, rsin9sing0 et 
rcos9,
que H...... est un polynôme homogène harmonique sur R3 de degré n.

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X Maths 1 PC 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par David Lecomte (ENS Cachan) ; il a été relu par Thomas
Chomette (ENS Ulm) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).

Ce sujet porte sur les polynômes à une ou plusieurs indéterminées et se compose
de quatre parties.
· Les deux premières parties sont consacrées à l'étude de deux familles de 
polynômes orthogonaux pour le produit scalaire
Z
(f |g) =
fg
[-1,1]

sur l'espace des fonctions continues sur [-1, 1]. Mis à part quelques calculs
d'intégrales, on utilise des méthodes essentiellement algébriques pour obtenir
des équations différentielles dont ces polynômes sont solutions.
· Dans la troisième partie, on étudie l'action de l'opérateur laplacien sur 
l'ensemble des polynômes à trois indéterminées, homogènes de degré n : plus 
précisément, on donne la dimension de l'espace vectoriel des polynômes homogènes
de degré n de laplacien nul. Cette partie est plutôt orientée vers l'algèbre 
linéaire, même si l'on y utilise quelques résultats d'analyse.
· Enfin, la dernière partie introduit des fonctions appelées harmoniques 
sphériques et s'attache à montrer, à l'aide des résultats obtenus dans les deux 
premières parties, qu'elles sont de laplacien nul.
Il s'agit d'un problème résolument algébrique. On est bien forcé de faire appel 
à de
l'analyse dans les calculs d'intégrales et dans la seconde partie, lorsqu'on 
travaille sur
les polynômes à trois indéterminées et sur lesquels on n'a aucun résultat 
structurel en
classe de PC, puisque leur étude est hors programme. Ce sujet est difficile, 
notamment
à cause des calculs qu'il exige parfois.
Enfin, la question 10.a a été légèrement modifiée dans ce corrigé. Sa nouvelle
formulation est donnée en indication et les raisons de ce changement sont 
exposées
en détail au début de la correction de cette question.

Indications

Première partie
n
1.c Écrire la formule de Taylor pour x2 - 1 en 1 pour trouver Pn (1).

2 Intégrer successivement
n par parties, en utilisant le fait que 1 et -1 sont racines
d'ordre n de x2 - 1 .

3.a Traduire la propriété montrée à la question 2 en termes d'orthogonalité.

3.b Utiliser la question précédente pour montrer que (Pn |Pn ) vaut an ( xn | 
Pn ), où
an est le coefficient dominant de Pn calculé à la question 1.a. Trouver une
relation entre
Z 1
(xn |Pn ) et In =
(t2 - 1)n dt
-1

4.a Calculer le produit scalaire en intégrant deux fois par parties.
4.b Montrer, à l'aide
 de la question
 précédente et par des considérations d'orthogodPn
d
2
(x - 1)
est proportionnel à Pn .
nalité, que
dx
dx

Deuxième partie
5.b Intégrer judicieusement par parties.

Troisième partie
f
qui est homogène de degré N, trouver une expression de f
x1
comme somme d'un polynôme homogène de degré N + 1 et d'une fonction g des
deux variables x2 et x3 . Recommencer avec g. . .

6.a En considérant

6.b Montrer le résultat par récurrence sur N, en utilisant la question 6.a.
7 Montrer le résultat pour les monômes homogènes de degré N et utiliser le fait
que tout polynôme homogène est combinaison linéaire de monômes homogènes
pour conclure.
8 Trouver une base naturelle de FN et compter ses éléments.
9.b Un conseil : calculer petit à petit, il est facile de faire des erreurs.
10.a Montrer par récurrence et à l'aide de la formule obtenue à la question 
9.b, que
la propriété :
h  FN-2k
f = r2k h

N
N+2
est vraie jusqu'au rang K =
(et non pas
).
2
2
P(k) :

10.b Utiliser la propriété P(K) obtenue à la question 10.a ; puis appliquer la 
formule
obtenue à la question 9.b et montrer, en raisonnant sur le degré, que h est de
laplacien nul. Conclure.

11.a Montrer que l'application :
FN-2  FN
g 7 r2 g
est injective. En déduire la dimension de son image et montrer qu'elle est en
somme directe avec HN . Conclure.
Quatrième partie
12 Il est conseillé de poser
Y n,m = Yn,m + iYn,-m
de manière à traiter en même temps les cas de Yn,m et de Yn,-m .
13.b De même, poser
e
e
e
H
n,m = Hn,m + iHn,-m

permettra de traiter deux cas à la fois. Ensuite, il faut se lancer dans les 
calculs
et procéder comme le conseille l'énoncé.

Première partie

L'énoncé comporte une légère erreur, dans l'introduction : il considère un réel
n et le polynôme Pn est défini comme dérivée ne d'un autre polynôme. Il est
possible de donner un sens à la notion de dérivée ne avec n réel, mais cela
dépasse largement le cadre du programme de classes préparatoires. Il faut
donc comprendre que n est entier.
1.a Soit n un entier. On sait que lorsqu'on dérive un polynôme, on fait baisser 
son
n
degré d'une unité. Comme Pn est le polynôme dérivé ne de x2 - 1 qui est de degré
2n, il vient que :
Pn est de degré n.
En outre, le terme de degré
n de Pn est donné par le polynôme dérivé ne du terme
n
2
de degré 2n de x - 1 , qui est x2n . Compte tenu de

dn x2n
(2n)! n
= (2n) × (2n - 1) × · · · × (n + 1) × xn =
x
dxn
n!
on obtient, après calcul, que le coefficient du terme de degré n de Pn est
(2n)!
1
1
×
= n Cn2n
2n n!
n!
2

1.b On sait que lorsqu'on dérive une fonction paire (resp. impaire), on obtient 
une
fonction impaire (resp. paire). Dès lors, pour tout entier k et pour toute 
fonction f
d2k+1 f
d2k f
paire et suffisamment régulière,
sera
paire
et
sera impaire.
dx2k
dx2k+1

n
Puisque le polynôme x2 - 1 est pair et qu'on le dérive n fois pour obtenir Pn ,
ce qui précède montre que Pn est pair (resp. impair) si et seulement si n est 
pair
(resp. impair).
Pn a la même parité que n.
Rappelons rapidement la démonstration du résultat énoncé en début de question à 
propos des dérivées des fonctions paires et impaires. Donnons-nous f
une fonction définie, continue et dérivable sur R, telle que :
x  R

f (-x) = f (x)

avec  valant -1 ou 1 suivant la parité qu'on souhaite donner à f . Alors, en
utilisant le théorème de dérivation des fonctions composées, on obtient :

ou encore

x  R

- f  (-x) = f (x)

x  R

f  (-x) = -f  (x)

ce qui établit le résultat : f  est de parité opposée à celle de f .
1.c Étant donné un polynôme P et une racine  de P, on sait que si l'ordre de 
est k, alors  est racine également de