Mines Maths 2 PC 2015

A 2015 MATH. II PC
ÉCOLES DES PONTS PARISTECH,
SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY,
TÉLÉCOM BRETAGNE, ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
CONCOURS D'ADMISSION 2015
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle international, ENSTIM, TÉLÉCOM INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC.

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Suites de Lucas

Résultats admis
Dans tout ce qui suit, C = {  R, 2 +  - 1 #= 0} et l'on suppose que 
appartient à C. Pour simplifier la rédaction, le candidat pourra utiliser la 
notation
 = 2 +  - 1.
Les suites de Fibonacci (Fn , n  Z) et de Lucas (Ln , n  Z) généralisées sont
définies respectivement par
F0 () = 0, F1 () = 1,
Fn+1 () = (1 + 2)Fn () + (1 -  - 2 )Fn-1 (), pour tout n  1,

(1)

L0 () = 2, L1 () = 1 + 2,
Ln+1 () = (1 + 2)Ln () + (1 -  - 2 )Ln-1 (), pour tout n  1.

(2)

Pour tout entier naturel n  1,
-Fn ()
+  - 1)n
Ln ()
L-n () = 2
·
( +  - 1)n
F-n () =

(2

et

(3)
(4)

Elles vérifient les propriétés admises suivantes pour tout entier n :
Fn+1 () + (1 -  - 2 )Fn-1 () = Ln (),
Ln+1 () + (1 -  - 2 )Ln-1 () = 5Fn ().

(5)
(6)

a) I représente la matrice identité dans R2 ,
b) M2 (R) est l'ensemble des matrices carrées 2 × 2 à coefficients réels,
c) J  M2 (R) représente une matrice non multiple de I et vérifiant J 2 =
1
d) On note R() la matrice définie par R() = J + ( + ) I.
2
2

5
I,
4

Comme d'habitude, R()n représente la puissance n-ième de la matrice R().
A tout moment, le candidat peut utiliser la formule admise suivante, dite « 
formule
de Moivre », valable pour tout entier naturel n :
1
R()n = Fn () J + Ln () I .
2

(7)

L'objectif de ce problème est d'utiliser les propriétés des matrices R() pour en
déduire des propriétés des suites de Fibonacci et Lucas.

I

Préliminaires
1. Calculer F2 (), L2 ().
2. Exhiber une infinité de matrices J qui satisfassent c).
3. Montrer que les matrices I et J sont linéairement indépendantes sur M2 (R).

Dans tout ce qui suit, J désigne une matrice quelconque vérifiant J 2 = 54 I.

II

Formule de Moivre généralisée

4. Trouver deux polynômes Q et T de R[X] tels que
1
5
(X +  + )2 = (X 2 - )Q(X) + T (X).
2
4
5. En déduire que R() vérifie l'équation suivante :
R()2 = (1 + 2)R() + (1 -  - 2 ) I .

(8)

6. Montrer que R() est inversible et montrer que
R()-1 = -

(2

1
1 1 + 2
J+
I.
+  - 1)
2 (2 +  - 1)

(9)

7. En utilisant la formule de Moivre, établir que pour n  1,
2Fn+1 () = Ln ()F1 () + L1 ()Fn ()
2Ln+1 () = 5Fn ()F1 () + Ln ()L1 ().

(10)

8. Montrer que la formule de Moivre reste valable pour tout entier négatif.
3

TSVP

III

Quelques identités remarquables

9. Montrer l'identité suivante :
R()2 + (1 -  - 2 ) I = 2 J R().

(11)

10. Soit W () = (2 +  - 1)R()-2 . Montrer que
I - W () = 2JR()-1

2
(I - W ())-1 = JR().
5

et

11. Montrer alors que pour tout entier n  0,
n
!

(2 +  - 1)k R()n-2k = Fn+1 () I .

k=0

12. En déduire, pour n  0, les valeurs de
n
!

(2 +  - 1)k Fn-2k ()

et

k=0

n
!

(2 +  - 1)k Ln-2k ().

k=0

Pour k  1, on introduit
"

L ()
k () = det k-1
Lk ()

#

Lk ()
.
Lk+1 ()

On définit le polynôme P de R[X] par
P (X) = (1 -  - 2 ) X 2 + (1 + 2) X - 1.

13. Montrer que (k (), k  1) est une suite géométrique dont on précisera le
premier terme et la raison.
Indication : on pourra utiliser la linéarité du déterminant par rapport à ses
colonnes.
14. En déduire, pour k  1, la valeur de
Lk ()2 P (
4

Lk-1 ()
).
Lk ()

On pose, pour tout n  Z,
Fn = Fn (0) et Ln = Ln (0).
On a aisément les propriétés admises suivantes :
F0 = 0, F1 = 1 et Fn+1 = Fn + Fn-1
L0 = 2, L1 = 1 et Ln+1 = Ln + Ln-1
Fn+1 + Fn-1 = Ln , Ln+1 + Ln-1 = 5Fn

15. Montrer que, pour tout k  1,
R(

Lk-1
2
)=
J R(0)k .
Lk
Lk

(12)

16. Déduire des questions précédentes la propriété suivante : pour tout n  Z,
pour tout k  1,
Lk-1
5n
) = 2n F2nk ,
F2n (
Lk
Lk
(13)
n

L2n (

Lk-1
5
) = 2n L2nk .
Lk
Lk

Une démarche similaire permet de démontrer les identités suivantes que l'on 
admettra.
F2n+1 (

Lk-1
5n
) = 2n+1 Lk(2n+1) ,
Lk
Lk
(14)
n

L2n+1 (

Lk-1
5
) = 2n+1 Fk(2n+1) .
Lk
Lk
5

TSVP

IV

Une touche de probabilités

Soit i un entier impair et n  0, on pose
pk =

Li L2i(n-k)
pour k  {0, 1, 2, . . . , 2n}.
2 Li(2n+1)

17. Montrer que la suite (pk , k  {0, 1, 2, . . . , 2n}) définit une 
probabilité.
Indication : on pourra chercher à exprimer Li(2n+1) en utilisant les questions
12, 13 et les identités (14).

Fin du problème

6