Mines Maths 2 PC 2015

Thème de l'épreuve Étude des suites de Lucas et de Fibonacci
Principaux outils utilisés suites réelles, calcul matriciel, déterminants, probabilités

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2015 MATH. II PC
ÉCOLES DES PONTS PARISTECH,
SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY,
TÉLÉCOM BRETAGNE, ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
CONCOURS D'ADMISSION 2015
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle international, ENSTIM, TÉLÉCOM INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC.

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Suites de Lucas

Résultats admis
Dans tout ce qui suit, C = {  R, 2 +  - 1 #= 0} et l'on suppose que 
appartient à C. Pour simplifier la rédaction, le candidat pourra utiliser la 
notation
 = 2 +  - 1.
Les suites de Fibonacci (Fn , n  Z) et de Lucas (Ln , n  Z) généralisées sont
définies respectivement par
F0 () = 0, F1 () = 1,
Fn+1 () = (1 + 2)Fn () + (1 -  - 2 )Fn-1 (), pour tout n  1,

(1)

L0 () = 2, L1 () = 1 + 2,
Ln+1 () = (1 + 2)Ln () + (1 -  - 2 )Ln-1 (), pour tout n  1.

(2)

Pour tout entier naturel n  1,
-Fn ()
+  - 1)n
Ln ()
L-n () = 2
·
( +  - 1)n
F-n () =

(2

et

(3)
(4)

Elles vérifient les propriétés admises suivantes pour tout entier n :
Fn+1 () + (1 -  - 2 )Fn-1 () = Ln (),
Ln+1 () + (1 -  - 2 )Ln-1 () = 5Fn ().

(5)
(6)

a) I représente la matrice identité dans R2 ,
b) M2 (R) est l'ensemble des matrices carrées 2 × 2 à coefficients réels,
c) J  M2 (R) représente une matrice non multiple de I et vérifiant J 2 =
1
d) On note R() la matrice définie par R() = J + ( + ) I.
2
2

5
I,
4

Comme d'habitude, R()n représente la puissance n-ième de la matrice R().
A tout moment, le candidat peut utiliser la formule admise suivante, dite « 
formule
de Moivre », valable pour tout entier naturel n :
1
R()n = Fn () J + Ln () I .
2

(7)

L'objectif de ce problème est d'utiliser les propriétés des matrices R() pour en
déduire des propriétés des suites de Fibonacci et Lucas.

I

Préliminaires
1. Calculer F2 (), L2 ().
2. Exhiber une infinité de matrices J qui satisfassent c).
3. Montrer que les matrices I et J sont linéairement indépendantes sur M2 (R).

Dans tout ce qui suit, J désigne une matrice quelconque vérifiant J 2 = 54 I.

II

Formule de Moivre généralisée

4. Trouver deux polynômes Q et T de R[X] tels que
1
5
(X +  + )2 = (X 2 - )Q(X) + T (X).
2
4
5. En déduire que R() vérifie l'équation suivante :
R()2 = (1 + 2)R() + (1 -  - 2 ) I .

(8)

6. Montrer que R() est inversible et montrer que
R()-1 = -

(2

1
1 1 + 2
J+
I.
+  - 1)
2 (2 +  - 1)

(9)

7. En utilisant la formule de Moivre, établir que pour n  1,
2Fn+1 () = Ln ()F1 () + L1 ()Fn ()
2Ln+1 () = 5Fn ()F1 () + Ln ()L1 ().

(10)

8. Montrer que la formule de Moivre reste valable pour tout entier négatif.
3

TSVP

III

Quelques identités remarquables

9. Montrer l'identité suivante :
R()2 + (1 -  - 2 ) I = 2 J R().

(11)

10. Soit W () = (2 +  - 1)R()-2 . Montrer que
I - W () = 2JR()-1

2
(I - W ())-1 = JR().
5

et

11. Montrer alors que pour tout entier n  0,
n
!

(2 +  - 1)k R()n-2k = Fn+1 () I .

k=0

12. En déduire, pour n  0, les valeurs de
n
!

(2 +  - 1)k Fn-2k ()

et

k=0

n
!

(2 +  - 1)k Ln-2k ().

k=0

Pour k  1, on introduit
"

L ()
k () = det k-1
Lk ()

#

Lk ()
.
Lk+1 ()

On définit le polynôme P de R[X] par
P (X) = (1 -  - 2 ) X 2 + (1 + 2) X - 1.

13. Montrer que (k (), k  1) est une suite géométrique dont on précisera le
premier terme et la raison.
Indication : on pourra utiliser la linéarité du déterminant par rapport à ses
colonnes.
14. En déduire, pour k  1, la valeur de
Lk ()2 P (
4

Lk-1 ()
).
Lk ()

On pose, pour tout n  Z,
Fn = Fn (0) et Ln = Ln (0).
On a aisément les propriétés admises suivantes :
F0 = 0, F1 = 1 et Fn+1 = Fn + Fn-1
L0 = 2, L1 = 1 et Ln+1 = Ln + Ln-1
Fn+1 + Fn-1 = Ln , Ln+1 + Ln-1 = 5Fn

15. Montrer que, pour tout k  1,
R(

Lk-1
2
)=
J R(0)k .
Lk
Lk

(12)

16. Déduire des questions précédentes la propriété suivante : pour tout n  Z,
pour tout k  1,
Lk-1
5n
) = 2n F2nk ,
F2n (
Lk
Lk
(13)
n

L2n (

Lk-1
5
) = 2n L2nk .
Lk
Lk

Une démarche similaire permet de démontrer les identités suivantes que l'on 
admettra.
F2n+1 (

Lk-1
5n
) = 2n+1 Lk(2n+1) ,
Lk
Lk
(14)
n

L2n+1 (

Lk-1
5
) = 2n+1 Fk(2n+1) .
Lk
Lk
5

TSVP

IV

Une touche de probabilités

Soit i un entier impair et n  0, on pose
pk =

Li L2i(n-k)
pour k  {0, 1, 2, . . . , 2n}.
2 Li(2n+1)

17. Montrer que la suite (pk , k  {0, 1, 2, . . . , 2n}) définit une 
probabilité.
Indication : on pourra chercher à exprimer Li(2n+1) en utilisant les questions
12, 13 et les identités (14).

Fin du problème

6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 PC 2015 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Juliette Brun Leloup (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Kévin Destagnol (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Le but du sujet est d'étudier les suites de Fibonacci (Fn ())nZ et de Lucas
e = 2 +  - 1 6= 0. Elles vérifient
(Ln ())nZ généralisées où  est un réel tel que 
sur N une même relation de récurrence linéaire d'ordre 2 donnée par
n > 0

e un
un+2 = (1 + 2) un+1 - 

Elles diffèrent par leurs deux premiers termes dans N et sont définies dans Z\N 
par
n > 1

e-n
F-n () = -Fn () 

et

e-n
L-n () = Ln () 

On retrouve les suites de Fibonacci (Fn )nZ et de Lucas (Ln )nZ lorsque  = 0.
· La première partie établit quelques résultats sur les matrices J réelles 
carrées
de taille 2, non multiple de l'identité, et vérifiant J2 = (5/4)I. On fixe une 
telle
matrice J dans toute la suite.
· La deuxième partie a pour but de généraliser à Z la « formule de Moivre »
admise par l'énoncé sur N :

1
1
n  Z
R()n = Fn () J + Ln () I où R() = J +  +
I
2
2

Pour cela, on montre que R() est inversible et on calcule R()-1 , puis on
établit deux nouvelles relations de récurrence où sont imbriqués les termes des
suites (Fn ())n>1 et (Ln ())n>1 .

· Dans la troisième partie, on établit des identités remarquables sur les suites
de Fibonacci et de Lucas généralisées. Dans un premier temps, des calculs
matriciels fournissent les formules sommatoires
n
n
P
ek Fn-2k () = 0 et P 
ek Ln-2k () = 2 Fn+1 ()
n  N

k=0

k=0

Dans un second temps, on fait le lien avec les suites de Fibonacci et de Lucas
standard via les formules

n
Lk-1
5 2 
n  Z k > 1
Un
=
Unk avec U = F ou L
Lk
Lk n

· Enfin, dans l'unique question de la dernière partie, on utilise les identités 
remarquables précédentes pour démontrer que la famille de réels
pk =

Li L2i(n-k)
2 Li(2n+1)

pour k  {0, 1, . . . , 2n}

définit une probabilité.
Ce sujet très calculatoire fait intervenir les suites mais aussi un peu 
d'algèbre
linéaire et un soupçon de probabilités. Il fait essentiellement appel au 
programme de
première année.

Indications
Partie I

5
a
2 Résoudre l'équation matricielle J2 = I en posant J =
c
4
quatre inconnues réelles.

b
où a, b, c, d sont
d

3 Revenir à la définition pour démontrer que la famille (I, J) est libre : 
considérer 
et µ deux réels tels que  J + µ I = 0 et montrer que  = µ = 0.
Partie II

1 2
5
4 Effectuer la division euclidienne de X +  +
par X2 - .
2
4
5 Ne pas tenir compte de l'indication de l'énoncé « en déduire » et faire le 
calcul
directement.
6 Comme  est un élément de C, isoler la matrice I d'un côté de l'égalité à 
partir
de la relation (8) et mettre en facteur R() de l'autre côté de l'égalité.
7 Calculer de deux façons différentes R()n+1 et conclure en utilisant 
l'indépendance de la famille (J, I) sur M2 (R).
8 Démontrer le résultat par récurrence en utilisant les formules obtenues aux 
questions 6 et 7 et les formules (3) et (4) données par l'énoncé.
Partie III
10 Utiliser le résultat de la question 9 en remarquant que J et R() commutent.
11 Faire apparaître W() dans la somme que l'on cherche à calculer puis montrer
n

P
que I - W()
W()k = I - W()n+1 et conclure en utilisant la question 10.
k=0

12 Utiliser le résultat établi à la question 11, la formule de Moivre et la 
liberté de la
famille (J, I) pour obtenir les valeurs des deux sommes.

13 Suivre l'indication de l'énoncé en exprimant, à l'aide de la formule (2), 
Lk+1 ()
et Lk+2 () en fonction de Lk-1 (), Lk () et Lk+1 () dans la deuxième colonne
de k+1 (). Conclure en utilisant les propriétés du déterminant pour faire 
apparaître k ().
14 Revenir à la formule de la définition du déterminant d'une matrice de M2 (R)
pour faire apparaître la formule demandée dans le calcul de k ().
15 Transformer la partie droite de l'égalité en utilisant la formule de Moivre 
ainsi
que les propriétés admises par l'énoncé. Obtenir alors la partie gauche de 
l'égalité.
16 Partir de l'égalité établie à la question 15 mise à la puissance 2n. 
Utiliser la
formule de Moivre pour transformer la partie gauche de l'égalité. Remarquer la
commutativité des matrices J et R(0) pour transformer celle de droite. Conclure
avec la liberté de la famille (J, I) dans M2 (R).
Partie IV
17 Suivre l'indication de l'énoncé pour démontrer que

2n
P

pk = 1. Écrire Li(2n+1)

k=0

sous forme de somme à l'aide de la formule (14) puis du résultat de la question 
12. Utiliser les propriétés démontrées à la question 14 et la relation (13) pour
transformer les termes sommés et faire apparaître le résultat demandé.

I. Préliminaires
1 Soit   C. Appliquons les formules (1) et (2) données par l'énoncé à n = 1 :
F2 () = (1 + 2) F1 () + (1 -  - 2 ) F0 ()
L2 () = (1 + 2) L1 () + (1 -  - 2 ) L0 ()

  C
F2 () = 1 + 2
et
L2 () = 22 + 2 + 3

a b
2 Posons J =
où a, b, c, d sont quatre inconnues réelles. On a
c d
 2

a + bc ab + bd
2
J =
ca + dc cb + d2
 2

 a + bc = 5/4

5
b(a + d) = 0
2
donc
J = I

c(a
+ d) = 0

4

 2
d + cb = 5/4

d'où

Considérons le cas où a + d = 0. Le système est équivalent à
(
5
a2 + bc =
4
d = -a

En particulier, si l'on choisit a = d = 0 la première équation devient bc = 5/4 
et on
trouve une infinité de solutions possibles.
!
0 b
Les matrices J = 5
pour b  R satisfont la condition c).
0
4b
Il est inutile dans cette question de donner la forme générale de toutes les
matrices vérifiant J2 = (5/4) I. Il suffit d'en donner une infinité qui 
convient,
ce qui est plus simple. Géométriquement, on peut penser à toutes les symétries 
par rapport à unedroite dans le plan. Il y en a une infinité. Il suffit de
rajouter un coefficient 5/2 en facteur pour avoir une matrice J.
3 Montrons que les matrices I et J sont linéairement indépendantes sur M2 (R).
Soient  et µ deux réels tels que
J + µI = 0
µ
Si  6= 0, alors J = - I. Comme J n'est pas multiple de I d'après la condition 
c),

nécessairement  = 0. Il ne reste que µ I = 0 puis µ = 0 :
Les matrices I et J sont linéairement indépendantes sur M2 (R).

II. Formule de Moivre généralisée
4 Soit   C. Effectuons la division euclidienne du polynôme (X +  + 1/2)2 par
le polynôme X2 - 5/4. Le reste de la division doit ainsi être un polynôme de 
degré
inférieur ou égal à 1. On a

X++

1 2
1
= X2 + (2 + 1)X + 2 +  +
2
4
5
3
2
2
= X - + (2 + 1)X +  +  +
4
2

3
En posant Q = 1 et T = (2 + 1)X + 2 +  + , on a trouvé
2
deux polynômes Q et T de R[X] tels que

1 2  2 5 
X++
= X -
Q(X) + T(X)
2
4
5 Soit   C. On a R() = J + ( + 1/2) I. Comme les matrices J et I commutent
et comme J2 = 5/4 I,

1
R()2 = J2 + (2 + 1) J + 2 +  +
I

 4
3
= (2 + 1) J + 2 +  +
I
2

1
3
= (1 + 2) R() - (1 + 2)  +
I + 2 +  +
I
2
2
R()2 = (1 + 2) R() + (1 -  - 2 ) I

L'énoncé voudrait en fait que l'on utilise ici les polynômes de matrices,
mais ils sont hors programme en PC. Pour vous présenter ce que le concepteur du 
sujet attendait (mais pas les correcteurs !), voici d'abord un bref
n
P
complément. Si P =
ak Xk est un polynôme de R[X] et M une matrice de
k=0

M2 (R), alors on définit P(M) par

P(M) =

n
P

ak Mk

k=0

où les puissances de matrices sont définies par récurrence par
M0 = I et pour tout entier k > 0, Mk+1 = Mk M
Pour répondre à la question 5, on applique à la matrice J la formule
obtenue à la question 4 :

1  2  2 5 
3
J+ +
I = J - I + (2 + 1) J + 2 +  +
I
2
4
2
Par définition de R() et d'après le choix de la matrice J, il s'ensuit que

3
R()2 = (2 + 1) J + 2 +  +
I
2
= (1 + 2) R() + (1 -  - 2 ) I
en reprenant le même calcul que précédemment.