Mines Maths 2 PC 2013

Thème de l'épreuve Le rayon de Bohr
Principaux outils utilisés séries entières, théorèmes d'interversion série/intégrale

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2013 MATH II PC

ECOLE DES PONTS PARISTECH.

SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH
MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC).
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2013

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : trois heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.

Sujet mis a la disposition des concours :
Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE--EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQ UES II _ PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des
initiatives qu'il est amené à prendre.

Le rayon de Bohr

On note C l'ensemble des nombres complexes, N l'ensemble des nombres entiers,
R l'ensemble des nombres réels, et R+ l'ensemble des nombres réels positifs. On 
note
fie (Z) la partie réelle du nombre complexe z.

(HI) On dit que la fonction g : C --> C vérifie l'hypothèse (HI) si elle 
possède un
développement en série entière au voisinage de l'origine, de rayon de 
convergence
supérieur ou égal à I.

1 Séries entières

Soit ZnEURN a,,z" une série entière, où ?: ainsi que les coefficients on sont 
complexes.
On pose

h (71) = 2 a,,z" et HT (EUR) = h (re'9) , où r : lzl et 9 : Argz. (I)

nEURN

On suppose désormais que la fonction h vérifie l'hypothèse (HI).

Soit r EUR ]0, Il.

Question 1 Déterminer les coefiîcients de Fourier de H, et É en fonction de r et
des al,.

Question 2 En fonction du signe de n, en déduire les dijÏérentes eæpressions de
1 +" . .
-- fie (h (re'9)) e_m9d9. (2)

71-- --7T

On suppose que, outre (HI), la fonction h vérifie l'hypothèse suivante :

(H2) le coefficient ao du développement en série entière de h est réel, positif 
ou
nul.

Question 3 Montrer que

1 +"

ao : % fie (h (re'9)) d9. (3)

--7T

On pose on : la,,l e'90", et on choisit T E ]O, I[.

Question 4 Montrer que

2 'an' 7_n,rn : %/_ 7Tfie (h (T6i9)) (à --|-- ZT" (COS (719 --l-- fin))> d(9

n21

2

On choisit maintenant T E 10, 1/3]

Question 5 Déterminer le signe de 1/2 + Én21 r" (cos (n9 + mn)) . Montrer que

% lanl r"r" S _rÏrËaÔÊW lfie (h (rei9))l .
nEUR

(H3) On dit que la fonction g : C --> C vérifie l'hypothèse (H3) si, Vr EUR 
[0,1[,
maX_fl-SQS7T lfie (g (refi))l S 1.

Question 6 En admettant que n vérifie les hypothèses (H1), (H2) et (H3), montrer
que ZnEURN lanl lzl" S 1, dès que 1711 S 1/3.

2 Le rayon de Bohr

On considère maintenant la fonction f (71) : znEURN bnz", vérifiant l'hypothèse
(HI) ainsi que

 1-

Question 11 En déduire que la constante 1/3 obtenue à la question 7 ne peut être
améliorée sans hypothèse supplémentaire sur f.

3

3 Au--delà de |z| : 1/3

Nous venons de démontrer que? sous les hypothèses (HI) et (H4) l'estimation
(4) est optimale. Dans ce paragraphe on établit une estimation plus générale, 
valable
au--delà du rayon de Bohr r = 1/3.

Question 12 Montrer que si f et g vérifient (HI), où

f (71) = 2 bnz" et g (71) = 2 cnz", (5)

nEURN nEURN

alors Vr EUR ]0, 1[

Z bnOEr2" : à] f (row) g (rei9)d9.

nEURN

On pose

1/2
: su bn2r2" 6
mm (OlD> est positive. En 
déduire que
bg S 1 et que les valeurs propres de A sont positives ou nulles.

Question 18 En déduire que lbnl £ 1--bä. On pourra s'aider du calcul du 
déterminant

de A.

Pour 0 £ r < 1, on pose

M(r) : sup 
			

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 PC 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Antoine Sihrener (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Christophe Fiszka (ENS Cachan) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE).

Ce sujet a pour but d'étudier le rayon de Bohr d'une série entière, défini de la
manière suivante :
« Soient les deux fonctions f et h définies respectivement par les séries 
entières
P

+

f (z) =

k=0

P

+

bn z n

et h(z) =

|bn ||z|n

k=0

Si le rayon de convergence de f est supérieur ou égal à 1 et si |f | est 
inférieur ou
égal à 1 sur la boule ouverte de centre O de rayon 1, le rayon de Bohr de la 
série
entière est le plus grand réel  tel que h(z) 6 1 pour tout |z| 6 . »
· La première partie étudie le problème sous une hypothèse plus forte : le terme
constant de f est supposé réel positif. On suppose de plus la partie réelle de f
majorée par 1 sur le disque de centre O de rayon 1. On montre enfin que le
rayon de Bohr de la fonction f est 1/3.
· La deuxième partie se replace dans le cas général et n'utilise que les deux
hypothèses données dans le préambule. On montre que l'on peut se ramener à
la partie précédente avec une rotation bien choisie et on termine avec le fait 
que
la constante 1/3 est optimale en étudiant une famille de fonctions dépendant
d'un paramètre.
· La troisième partie utilise des résultats d'algèbre linéaire (assez peu 
cependant,
l'analyse est vraiment le thème général de cette épreuve) pour généraliser le
résultat de la partie précédente : le module de z est pris quelconque inférieur
à 1 et on borne h par une fonction m. On montre que m(|z|) = 1 si |z| 6 1/3,
ce qui est bien une généralisation des parties précédentes.
Les questions de la première partie sont assez techniques et les calculs de 
sommes
peuvent prendre beaucoup de temps. Il faut de plus faire attention à bien 
justifier les
interversions de sommes et d'intégrales, omniprésentes. La deuxième partie est 
un peu
moins technique que la précédente, mais les premières questions sont assez 
difficiles
sans indication, et indispensables pour traiter les questions suivantes, plus 
faciles.
Les questions présentes dans la troisième partie demandent moins de rédaction 
que
celles des deux premières, et certaines sont d'un niveau très abordable. Par 
contre,
la dernière question demande beaucoup de rédaction et une certaine culture 
mathématique. Néanmoins, peu de candidats ont dû arriver jusque là.
En conclusion, c'est un problème intéressant qui approfondit de manière 
exhaustive la notion de rayon de Bohr, mais il est assez long (surtout pour une 
épreuve de
trois heures), assez difficile, et on peut regretter que les questions plus 
abordables
soient à la fin de l'épreuve. Il pourra cependant être utilisé avec profit 
pendant l'année pour vérifier que les hypothèses des théorèmes d'analyse sont 
connues, et pour
devenir vraiment à l'aise avec le maniement des sommes.

Indications
Partie I
1 Penser à intervertir la somme et l'intégrale et à distinguer les cas selon 
les valeurs
de k.
2 Appliquer la question précédente.
4 Voir le cosinus comme une partie réelle, se souvenir que pour tout réel  et 
tout
complexe z, Re(z) = Re(z) et intervertir la somme et l'intégrale !
5 Minorer  n cos(n + n ) par -1/3n. Pour la deuxième partie, se souvenir que si 
f
est positive, |f | = f .
6 Ne pas oublier que dans la question précédente, r  ] 0 ; 1 [ et   ] 0 ; 1/3 ] 
et
regarder les cas limites.
Partie 2
7 Se ramener à une fonction h vérifiant (H1), (H2) et (H3) à l'aide d'une 
rotation
pour éliminer l'argument de b0 .
8 Pour (H1), développer f en série entière. Pour (H4), poser z = a + ib.
9 Étudier les variations sur [ 0 ; 1/ [ de
 : x 7  +

(1 - 2 )x
1 - x

Partie 3
12 Appliquer le résultat sur le produit de Cauchy de deux séries numériques 
absolument convergentes.
13 Appliquer la question précédente avec f = g.
14 Comparer |Af ()| et || et utiliser la relation entre la série et l'intégrale 
de la
question 12. Comparer ensuite |||Pn (g)||| et |||g||| pour g vérifiant (H1).
17 Calculer explicitement |||Pn  Af ()||| et ||||||.
18 Diagonaliser A, calculer son déterminant et factoriser pour en déduire que 
les
quantités 1 - b0 2 - bn et 1 - b0 2 + bn sont de même signe.
19 Majorer |bn | par 1 - b0 2 .
20 Voir où la fonction r définie sur [ 0 ; 1 ] par
r (t) = t + (1 - t2 )

r
1-r

atteint sont maximum. Ne pas oublier de vérifier s'il est atteint sur [ 0 ; 1 ].
21 Supposer que |z| < 1 -  et appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz sur un 
espace
bien choisi, puis reconnaître |||f ||| et prendre la borne inférieure sur .

1. Séries entières
c (n)
cr (n) le coefficient de Fourier d'ordre n de Hr et H
1 Soit n  Z. Notons H
r
le coefficient de Fourier d'ordre n de Hr . Alors,

Z
Z  
1 
1  +P
-in
k i(k-n)
c
Hr (n) =
Hr ()e
d =
ak r e
d
2 -
2 - k=0

Il s'agit maintenant d'intervertir la somme et l'intégrale. Appliquons le 
théorème
d'interversion série/intégrale sur un segment. Définissons, pour tout k 
appartenant
à N, la fonction Uk par Uk () = ak rk ei(k-n) .
· Uk est continue sur [ - ;  ] pour tout k.

P k
· Par hypothèse, h vérifie (H1 ). En conséquence, la série numérique
ak r
converge absolument puisque r < 1, et comme on a |Uk ()| 6 |ak |rk pour
k
tout   [ - ;  ], il vient
P||Uk || 6 |ak |r . Cela assure la convergence normale
de la série de fonctions Uk sur l'intervalle [ - ;  ].

On peut par conséquent intervertir la somme et l'intégrale :
Z 
Z 
+

1 +P
cr (n) = 1 P
ak rk ei(k-n) d =
ak r k
ei(k-n) d
H
2 k=0 -
2 k=0
-
Z

· Si k = n

e

i(k-n)

d =

-

· Si k 6= n

Z

Z

1d = 2

-

ei(k-n) d =

-

ei(k-n)
k-n

=

-

ei(k-n) - e-i(k-n)
=0
k-n

Pour écrire cela de façon moins fastidieuse, on utilise le symbole de Kronecker 
: on rappelle que ij = 1 si i = j et 0 sinon. Ce qui précède peut ainsi
être écrit sous la forme plus synthétique suivante :
Z 
ak rk ei(k-n) d = kn 2an rn
-

On utilisera cette notation dans la suite.
En particulier, si n < 0, k est toujours différent de n, et par suite toutes 
les intégrales
sont nulles. Il vient
n < 0

cr (n) = 0
H

Si n > 0, il ne reste plus que le terme de la somme pour k = n, qui vaut 2an rn 
,
ce qui donne, en n'oubliant pas le 1/2 au début de l'expression,
n > 0

cr (n) = an rn
H

Calculons maintenant le coefficient de Fourier d'ordre n de Hr . Il est donné 
par
Z
1 
c
Hr (n) =
Hr ()e-in ()d
2 -

c (n) = H
cr (-n). En effet,
Prouvons que H
r
Z 
Z
1 
c (n) = 1
cr (-n)
H
Hr ()e-in d =
Hr ()ein d = H
r
2 -
2 -

ce qui permet de conclure que
n > 0

c (n) = 0
H
r

et n 6 0

cr (n) = a-n r-n
H

Il ne fallait pas confondre les an avec les coefficients de Fourier réels : ceux
de l'énoncé sont a priori complexes et par suite il ne fallait pas oublier de 
les
conjuguer aussi.
2 Notons In , pour n appartenant à Z quelconque, l'intégrale suivante :
Z

1 
In =
Re h rei e-in d
 -

Comme Re(z) = (z + z)/2,

In =

1
2

Z

-

Hr () + Hr () e-in d

et en utilisant les notations de la question précédente il vient
c (n) + H
cr (n)
In = H
r

Il y a ainsi trois cas à distinguer :

I = a0 + a0 = 2Re(a0 )

 0
n > 0
In = a n r n

n < 0
In = a-n r-n
3 D'après la question précédente,
Z

1 
I0 =
Re h rei d = 2Re(a0 )
 -

Comme h vérifie l'hypothèse (H2), a0 est réel, et par suite 2Re(a0 ) = 2a0 . 
Ainsi,
Z

1 
a0 =
Re h rei d
2 -
4 Montrons tout d'abord que l'intégrale de droite a un sens (on partira ensuite 
de
cette intégrale pour arriver au membre de gauche).
· Il faut montrer que la série de fonctions du membre de droite converge bien,
pour que l'intégrande soit bien défini.
· Il suffit ensuite de montrer que cette même série converge normalement sur
l'intervalle [ - ;  ] et qu'elle y définit une fonction continue ; l'intégrale 
sera
ainsi bien définie car on aura une fonction continue sur un compact.
Pour tout n supérieur ou égal à 1, notons Un la fonction définie sur [ - ;  ] 
par
Un () =  n cos(n + n )