A 2013 MATH II PC
ECOLE DES PONTS PARISTECH.
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH
MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC).
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2013
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC
(Durée de l'épreuve : trois heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis a la disposition des concours :
Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE--EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQ UES II _ PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons
des
initiatives qu'il est amené à prendre.
Le rayon de Bohr
On note C l'ensemble des nombres complexes, N l'ensemble des nombres entiers,
R l'ensemble des nombres réels, et R+ l'ensemble des nombres réels positifs. On
note
fie (Z) la partie réelle du nombre complexe z.
(HI) On dit que la fonction g : C --> C vérifie l'hypothèse (HI) si elle
possède un
développement en série entière au voisinage de l'origine, de rayon de
convergence
supérieur ou égal à I.
1 Séries entières
Soit ZnEURN a,,z" une série entière, où ?: ainsi que les coefficients on sont
complexes.
On pose
h (71) = 2 a,,z" et HT (EUR) = h (re'9) , où r : lzl et 9 : Argz. (I)
nEURN
On suppose désormais que la fonction h vérifie l'hypothèse (HI).
Soit r EUR ]0, Il.
Question 1 Déterminer les coefiîcients de Fourier de H, et É en fonction de r et
des al,.
Question 2 En fonction du signe de n, en déduire les dijÏérentes eæpressions de
1 +" . .
-- fie (h (re'9)) e_m9d9. (2)
71-- --7T
On suppose que, outre (HI), la fonction h vérifie l'hypothèse suivante :
(H2) le coefficient ao du développement en série entière de h est réel, positif
ou
nul.
Question 3 Montrer que
1 +"
ao : % fie (h (re'9)) d9. (3)
--7T
On pose on : la,,l e'90", et on choisit T E ]O, I[.
Question 4 Montrer que
2 'an' 7_n,rn : %/_ 7Tfie (h (T6i9)) (à --|-- ZT" (COS (719 --l-- fin))> d(9
n21
2
On choisit maintenant T E 10, 1/3]
Question 5 Déterminer le signe de 1/2 + Én21 r" (cos (n9 + mn)) . Montrer que
% lanl r"r" S _rÏrËaÔÊW lfie (h (rei9))l .
nEUR
(H3) On dit que la fonction g : C --> C vérifie l'hypothèse (H3) si, Vr EUR
[0,1[,
maX_fl-SQS7T lfie (g (refi))l S 1.
Question 6 En admettant que n vérifie les hypothèses (H1), (H2) et (H3), montrer
que ZnEURN lanl lzl" S 1, dès que 1711 S 1/3.
2 Le rayon de Bohr
On considère maintenant la fonction f (71) : znEURN bnz", vérifiant l'hypothèse
(HI) ainsi que
1-
Question 11 En déduire que la constante 1/3 obtenue à la question 7 ne peut être
améliorée sans hypothèse supplémentaire sur f.
3
3 Au--delà de |z| : 1/3
Nous venons de démontrer que? sous les hypothèses (HI) et (H4) l'estimation
(4) est optimale. Dans ce paragraphe on établit une estimation plus générale,
valable
au--delà du rayon de Bohr r = 1/3.
Question 12 Montrer que si f et g vérifient (HI), où
f (71) = 2 bnz" et g (71) = 2 cnz", (5)
nEURN nEURN
alors Vr EUR ]0, 1[
Z bnOEr2" : à] f (row) g (rei9)d9.
nEURN
On pose
1/2
: su bn2r2" 6
mm (OlD> est positive. En
déduire que
bg S 1 et que les valeurs propres de A sont positives ou nulles.
Question 18 En déduire que lbnl £ 1--bä. On pourra s'aider du calcul du
déterminant
de A.
Pour 0 £ r < 1, on pose M(r) : sup
