Mines Maths 2 PC 2009

Thème de l'épreuve Autour du noyau de Poisson
Principaux outils utilisés continuité, théorèmes d'intégration, développement en série entière

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé complet

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A 2009 MATH. II PC
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES
DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS,
DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,
DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2009
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de
la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Autour du noyau de Poisson

Définitions et notations
­ On note F l'ensemble des nombres réels positifs non entiers ;
­ On note D l'ensemble des nombres complexes de module inférieur strictement à 
1.
­ Si Z est un nombre complexe, on note Re(Z) sa partie réelle et Im(Z) sa partie
imaginaire.
­ Dans tout le problème, on désigne par g la fonction réelle de variable réelle 
définie
par :
g : [0, 1] - R
u-
7 

I

1
·
1+u

Question préliminaire
1) Soit x un réel. Montrer que l'intégrale :
I(x) =

Z 1
0

ux-1 + u-x
du
1+u

existe si et seulement si x ]0, 1[.

L'objet du problème est de calculer la valeur de cette intégrale.

II

Une identité intégrale

Soit f une fonction à valeurs réelles, définie et développable en série entière 
sur [0, 1[.
On note (an )nN les coefficients de son développement.

2) Montrer que l'expression

Z 1

v x-1 f (yv) dv

0

a un sens pour tout x > 0 et tout y ]0, 1[.

2

Pour x > 0, on pose
Z 1

v x-1 f (yv)

 0

S[f ](x, y) = 

dv

pour y ]0, 1[,

f (0)

pour y = 0.

x

3) Montrer que pour tout x > 0, la fonction y 7 S[f ](x, y) est continue sur 
[0, 1[.

4) Montrer que pour tout x  F , la fonction y 7 S[f ](x, y) est développable en
série entière sur [0, 1[, et donner les coefficients de son développement en 
série
entière.

On considère la fonction f~ définie sur D par la relation :
z  D : f~(z) =

+
X

an z n .

n=0

Pour tout x  F et tout y  [0, 1[, on considère l'expression :

Re
J[f ](x, y) =
sin(x)

Z 1

ixt

e

f~(-yeit ) dt .

0

5) Calculer, pour tout x  F et tout n  N :
In (x) =

(-1)n  Z 1
cos((n + x)t) dt.
sin(x) 0

6) Montrer que pour tout x  F , la fonction y 7 J[f ](x, y) est développable en
série entière sur [0, 1[, et donner les coefficients de son développement en 
série
entière. En déduire que S[f ](x, y) = J[f ](x, y) pour tout x  F et tout y  [0, 
1[.

Pour tout x ]0, 1[ et tout y  [0, 1[, on pose :
C[f ](x, y) = S[f ](x, y) + S[f ](1 - x, y).
3

7) Établir l'identité suivante pour tout x ]0, 1[ et tout y  [0, 1[ :
(1 - y) Z 1 cos((1 - x)t) + cos(xt)
dt.
C[g](x, y) =
sin(x) 0
1 - 2y cos(t) + y 2

III

Noyau de Poisson

Pour tout y  [0, 1[ et tout t  [0, 1], on définit le noyau de Poisson P par :
P (t, y) =

1 - y2
.
1 - 2y cos(t) + y 2

8) Établir l'identité suivante pour tout y  [0, 1[ et tout t  [0, 1] :
1 + yeit
.
P (t, y) = Re
1 - yeit
#

"

9) Montrer que pour t  [0, 1] fixé, la fonction y 7 P (t, y) est développable 
en série
entière sur [0, 1[, et calculer les coefficients de son développement en série 
entière.

10) Établir que pour tout y  [0, 1[ on a :
Z 1
0

P (t, y) dt = 1.

Dans les questions 11) et 12) ci-dessous, on désigne par  une fonction définie 
et continue
sur [0, 1], à valeurs réelles.
11) Montrer que pour tout  ]0, 1[, on a :
lim

Z 1

y1 

et

Z 
0

P (t, y)(t) dt = 0

P (t, y)(t) dt 6 sup |(t)| .
t[0,]

4

12) En déduire que l'on a :
lim

Z 1

P (t, y)(t) dt = (0).

y1 0

On pourra commencer par traiter le cas où (0) = 0.

IV

Application à un calcul d'intégrale

Pour tout x ]0, 1[ et tout y  [0, 1[, on pose :
A(x, y) =

Z 1

P (t, y) cos(xt) dt.

0

13) Pour tout x ]0, 1[ et tout y  [0, 1[, exprimer C[g](x, y) en fonction de 
A(x, y)
et de A(1 - x, y).

14) Pour x ]0, 1[ fixé, déterminer la limite de C[g](x, y) quand y tend vers 1 
par
valeurs inférieures.

15) En déduire la valeur de I(x) pour tout x ]0, 1[.

Fin du problème

5

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 PC 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Batog (ENS Cachan) ; il a été relu par
Julien Lévy (Professeur en CPGE) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Le problème se propose de calculer l'intégrale :
Z 1 x-1
u
+ u-x
I(x) =
du
1+u
0
en faisant apparaître un noyau de Poisson dont on étudie quelques propriétés. 
Il comporte quatre parties, dont les trois premières sont indépendantes.
· La première partie ne comporte qu'une seule question, préliminaire au 
problème. Il s'agit de déterminer le domaine de définition de I(x).
· La deuxième partie considère des intégrales généralisant I(x) en y 
introduisant
un paramètre et une fonction développable en série entière. Très peu de 
propriétés sont utilisées concernant les séries entières. En revanche, les gros 
théorèmes
d'analyse portant sur les intégrales sont appliqués à de nombreuses reprises.
Un petit calcul dans le corps des complexes fournit une expression intégrale qui
sera utile dans la dernière partie.
· La troisième partie est consacrée à l'étude du noyau de Poisson. On y utilise
les mêmes techniques qu'à la partie précédente, parfois même plus facilement.
En revanche, les deux dernières questions sont les plus difficiles du problème.
On y prouve un comportement limite, spécifique aux « bons » noyaux, à l'aide
de raisonnements classiques d'analyse.
· La quatrième partie ne présente pas de difficulté particulière ; il s'agit 
essentiellement d'appliquer les principaux résultats des parties précédentes. 
On y détermine la valeur de I(x).
Le niveau de ce sujet se situe dans la moyenne de ceux proposés au concours des
Mines : les techniques sont très classiques en analyse mais nécessitent de 
l'expérience
dans leur utilisation. Bien que le thème du problème soit le calcul d'une 
intégrale,
très peu de calculs sont nécessaires pour répondre aux questions.

Indications
1 Calculer un équivalent de l'intégrande au voisinage de 0.
2 Même indication qu'à la question 1. Conclure alors à l'intégrabilité de la 
fonction
sous l'intégrale.
3 Prouver la continuité en y sur [ 0 ; 1 [ de l'intégrale définie à la question 
2 à l'aide
du théorème de continuité sous le signe intégrale.
4 Appliquer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions 
avec
le développement en série entière de f .
5 Calculer directement l'intégrale.
6 Appliquer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions 
avec
le développement en série entière de fe donné dans l'énoncé puis calculer la 
partie
réelle du résultat obtenu.
7 Utiliser l'égalité S[f ](x, y) = J[f ](x, y) obtenue à la question 6.
8 Calculer directement la partie réelle du membre de droite pour obtenir P(t, 
y).
9 Développer en série entière l'application
1 + y e i t
1 - y e i t
10 Appliquer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions en
utilisant la série obtenue à la question 9.
11 Appliquer le théorème de convergence dominée pour établir la limite. On 
considérera un intervalle de la forme [  ; 1 [ pour y, avec  convenablement 
choisi.
Pour la majoration, faire apparaître l'intégrale de la question 10.
12 Pour le cas (0) = 0, établir la limite en raisonnant avec des  : majorer 
l'intégrale
sur les intervalles respectifs [ 0 ;  ] et [  ; 1 ] avec  bien choisi, à l'aide 
des résultats
de la question 11. Montrer en particulier que Sup || --- 0.
y 7-

[ 0 ; ]

0

Pour le cas général, considérer l'application t 7- (t) - (0) et utiliser 
l'égalité
de la question 10.
13 Faire apparaître A(x, y) et A(1 - x, y) dans l'expression de C[g](x, y) 
obtenue à
la question 7.
14 Utiliser les résultats des questions 12 et 13.
15 Montrer que lim C[g](x, y) = I(x) en écrivant la définition
y1

C[g](x, y) = S[f ](x, y) + S[f ](1 - x, y)

Utiliser le résultat de la question 14 pour conclure.

Les conseils du jury
Le rapport du jury donne de nombreux conseils sur la manière de bien rédiger
afin « d'être récompensé par le barème ». Les candidats se contentant de
citer ou d'énoncer un théorème du cours « sont toujours très pénalisés et
souvent éliminés ». Il faut absolument « vérifier ses hypothèses dans le cadre
du sujet » « avec justification précise de toutes les étapes », ce qui ne 
signifie
pas d'en écrire des pages : « Le correcteur cherche des arguments clés, formulés
de manière précise et concise. Pour cela, souvent quelques lignes suffisent.
Les meilleures copies sont brèves. »

I. Question préliminaire
1 La fonction hx : u 7- (ux-1 + u-x ) g(u) est continue sur ] 0 ; 1 ] comme 
produit
de fonctions continues sur ] 0 ; 1 ]. Elle y est de plus positive.
Calculons un équivalent de hx en 0 pour décider son intégrabilité sur ] 0 ; 1 ].
Celui-ci dépend de l'ordre des puissances x - 1 et -x intervenant dans 
l'expression
de hx . En effet pour deux réels  < , u = o(u ) au voisinage de 0 donc u +u  u
au voisinage de 0. Puisque g est continue en 0 et g(0) = 1, on obtient les 
équivalents
suivants :

u-x si x > 1/2

2/ u si x = 1/2
hx (u) 
u0 

 x-1
u
si x < 1/2

Or la fonction puissance u 7- u est intégrable sur ] 0 ; 1 ] si et seulement si 
 > -1.
D'après le théorème de comparaison des intégrales de fonctions positives,
· pour x > 1/2, hx est intégrable sur ] 0 ; 1 ] si et seulement si x < 1 ;
· h1/2 est intégrable sur ] 0 ; 1 ] ;

· pour x < 1/2, hx est intégrable sur ] 0 ; 1 ] si et seulement si x > 0.

Finalement, hx est intégrable sur ] 0 ; 1 ] si et seulement si x  ] 0 ; 1 [.

Comme hx possède une symétrie en 1/2 pour x (h1-x = hx ), on peut restreindre 
l'étude de l'intégrabilité de hx pour x > 1/2.
Puisque hx est positive, son intégrale (impropre) sur ] 0 ; 1 ] converge si et 
seulement
si hx est intégrable sur ] 0 ; 1 ], d'où
I(x) existe si et seulement si x  ] 0 ; 1 [.
Une autre méthode pour prouver l'existence de I(x) consiste à décomposer la 
fonction positive hx comme la somme des deux fonctions positives
u 7- ux-1 g(u) et u 7- u-x g(u). La première est intégrable sur ] 0 ; 1 ] si et
seulement si x > 0 et la seconde l'est si et seulement si x < 1. Ainsi hx est 
intégrable sur ] 0 ; 1 ] si et seulement si x  ] 0 ; 1 [ grâce à la propriété 
suivante :
deux fonctions positives f1 et f2 continues définies sur un intervalle A sont
intégrables sur A si et seulement si leur somme f = f1 + f2 est intégrable
sur A. En effet,
· si f1 et f2 sont intégrables, on conclut à l'intégrabilité de f grâce à
l'inégalité triangulaire |f | 6 |f1 | + |f2 | (qui est vérifiée pour toutes les
fonctions, qu'elles soient positives ou non) ;
· si f est intégrable, on conclut à l'intégrabilité de fi puisque 0 6 fi 6 f
(la positivité des fonctions est primordiale ici).
En revanche, cette équivalence est fausse si on ne suppose pas que les
deux fonctions sont positives. Par exemple, u 7- u-2 - u-1 et u 7- u-1
sont non intégrables sur [ 1 ; + [ mais leur somme u 7- u-2 est intégrable
sur [ 1 ; + [.

II. Une identité intégrale
2 Soient x > 0 et y  ] 0 ; 1 [ fixés. La fonction h : v 7- v x-1 f (yv) est 
continue
sur ] 0 ; 1 ] comme produit de fonctions continues sur ce domaine. En effet, 
|yv| < 1
pour tout v dans ] 0 ; 1 ] et f est continue sur [ 0 ; 1 [ car elle y est 
développable en
série entière, donc la composée v 7- f (yv) est continue sur ] 0 ; 1 ].
Étudions à présent le comportement de h au voisinage de 0 pour montrer que
h est intégrable sur ] 0 ; 1 ]. D'abord, si f est identiquement nulle, alors h 
aussi et
l'intégrale est nulle. Sinon, posons p = Min {n  N | an 6= 0}. Celui-ci existe 
car
c'est le minimum d'un ensemble non vide d'entiers naturels (si tous les an sont 
nuls,
alors f est nulle). Comme

P
P
f (v) =
an v n = ap +
an+p v n v p
n>p

n>1

f (v)
--- ap
v p v0
f (yv)  ap y p v p

on obtient
Ainsi

v0

d'où

h(v)

et même

|h(v)|

ap y p v p+x-1

|ap | y p v p+x-1

v0
v0

La fonction puissance obtenue est intégrable sur ] 0 ; 1 ] puisque p+x-1 > -1. 
Comme
la fonction |h| est continue positive sur ] 0 ; 1 ], |h| est intégrable sur ] 0 
; 1 ] d'après le
théorème de comparaison des intégrales de fonctions positives. Puisque la 
convergence
absolue d'une intégrale implique sa convergence, l'intégrale de h sur ] 0 ; 1 ] 
est bien
définie.
Z 1
L'intégrale
v x-1 f (yv) dv est bien définie pour tout x > 0 et tout y  ] 0 ; 1 [.
0

Il n'est pas nécessaire de calculer précisément un équivalent pour étudier le 
comportement local d'une fonction : de grosses approximations suffisent 
parfois. Ici, comme f est continue en 0, f = O(1) au voisinage de 0
(c'est-à-dire qu'il existe  > 0 tel que f soit bornée sur le segment [ 0 ;  ])
donc h(v) = O(v x-1 ). L'intégrabilité de h s'en déduit comme précédemment.
Le rapport du jury signale que « beaucoup deZcandidats se sont mis à
P
développer f en série entière, à permuter les signes
et
et à aboutir à la

valeur de l'intégrale en terme de an , en anticipant sur la question 4. Cette 
démarche superflue n'a été récompensée que lorsqu'elle a été faite correctement
avec justification précise de toutes les étapes. »
L'intégrale est bien définie lorsque y = 0 puisqu'on obtient
Z 1
f (0)
f (0) v x-1 dv =
x
0
mais elle ne l'est pas forcément lorsque y = 1 car le comportement de f au
voisinage de 1 n'est pas connu.