Mines Maths 2 PC 2008

Thème de l'épreuve Stabilité d'un polynôme trigonométrique
Principaux outils utilisés fonctions usuelles, développements limités, calcul intégral, théorème de Parseval
Mots clefs Lemme de Van der Corput, Intégrales oscillantes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A 2008 MATH. II PC
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES
DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS,
DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,
DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2008
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le signale sur
sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il est amené à prendre.

Stabilité d'un polynôme trigonométrique
Définition 1. On appelle polynôme trigonométrique toute fonction c de la 
variable
réelle x de la forme
c(x) =

X

cn einx

n=-

où les cn sont des nombres complexes, tous nuls sauf un nombre fini d'entre 
eux. On
appelle degré de c, noté deg c, le plus petit entier K tel que cj = 0 pour tout 
|j| > K.
On désigne par E l'ensemble des polynômes trigonométriques ; on tiendra pour 
acquis
que E est un C-espace vectoriel stable par la multiplication des fonctions.
Pour un nombre complexe z, (z) représente sa partie réelle et (z) sa partie
imaginaire.

I

Stabilité d'un polynôme trigonométrique
1. Montrer que l'on définit une norme sur E en posant
kck =

X

|cn |

n=-

pour tout c  E.

2. Soit c  E, établir pour tout entier p de {- deg c, · · · , deg c}, l'identité
1 Z
cp =
c(x)e-ipx dx.
2 -
3. Montrer que pour tout c  E, on a
sup |c(x)| 6 kck 6 (2 deg c + 1) sup |c(x)|.
xR

xR

Définition 2. On dira que le polynôme trigonométrique c est stable lorsque la 
suite
kck k des normes de ses puissances successives est bornée quand k décrit N.
4. Montrer que s'il existe x0  R tel que |c(x0 )| > 1 alors c n'est pas stable.
Le but de la suite de ce problème est de montrer que la condition |c(x)| 6 1 
pour
tout réel x n'est pas suffisante pour que c soit stable.
2

II

Un polynôme trigonométrique particulier

Dorénavant,  désigne une constante réelle telle que 0 <  < 1 et a désigne le
polynôme trigonométrique
a(x) = 2 cos x - i sin x + 1 - 2 .
Pour tout entier k > 2, on note ak,n les nombres complexes tels que la 
puissance k-ième
de a(x) s'écrive
ak (x) =

k
X

ak,n einx .

n=-k

5. Établir, pour tout réel x, l'identité
x
|a(x)|2 = 1 - 4(2 - 4 ) sin4 ·
2
En déduire que a vérifie les propriétés a(0) = 1 et |a(x)| < 1 pour tout x
appartenant à ]0, ].

6. Donner les développements limités à l'ordre 4 au voisinage de 0 des 
fonctions g et
h définies par
!

(a(x))
g(x) = ln(|a(x)| ) et h(x) = arctan
.
(a(x))
2

7. En déduire que l'on a, au voisinage de 0, la relation suivante :

a(x) = exp -i x + i

 - 3 3 2 - 4 4
x -
x + o(x4 ) .
6
8

Il existe donc trois réels ,  et  strictement positifs et une fonction  : [-, ] 
 C,
tendant vers 0 quand x tend vers 0 tels que l'on ait, pour tout x dans un 
voisinage de 0,

a(x) = exp -ix + i x3 - x4 (1 + (x)) .
On admet que la fonction  est définie et de classe C 1 sur [-, ]. Dans toute la 
suite,
on posera

d(x) = exp -ix + i x

3

et b(x) = exp -x (1 + (x)) ,

de sorte que a(x) = d(x)b(x) et |a(x)| = |b(x)|.
3

4

III

Majoration des coefficients de ak

Soit [r, s] un segment de longueur non nulle de R, soit f une fonction de 
classe C 2
sur R à valeurs réelles. On suppose qu'il existe K > 0 tel que |f  (t)| > K 
pour tout
t  [r, s] et que de plus f  (t) > 0 pour tout t  [r, s].
8. Montrer l'inégalité
Z s
r

f  (t)
2
dt 6 ·

2
(f (t))
K

9. En intégrant par parties l'intégrale
Z s
r

1
f  (t) cos f (t) dt,

f (t)

établir que
Z s

cos f (t) dt 6

r

4
·
K

Dans les question 10 à 12, [u, v] désigne un segment de longueur non nulle de R
et f une fonction de classe C 2 sur [u, v], à valeurs réelles. On suppose cette 
fois que
f  (t) > M > 0 pour tout t appartenant à [u, v].

10. On suppose que f  (u) > 0. Établir, sur [u + 2/ M , v], l'inégalité suivante

f  (t) > 2 M .

11. En déduire que
Z v
u

4
cos f (t) dt 6  ·
M

On admettra que le résultat est identique lorsque f  (v) 6 0.

12. On suppose que f  (u)f  (v) < 0. Montrer qu'il existe un unique réel w de 
]u, v[ tel
que f  (w) = 0. En déduire que
Z v
u

8
cos f (t) dt 6  ·
M
4

Dans les questions 13 et 14 ,  désigne un nombre réel, k un entier naturel non 
nul
et Jk, la fonction définie par
Jk, (x) =

Z x

cos(t + kt3 ) dt,

0

où  est le nombre réel non nul défini après la question 7.
13. Montrer, pour tout x appartenant à [k -1/3 , ], l'inégalité :
8k -1/3
·
cos(t + kt3 ) dt 6 
6
k-1/3

Z x

14. En déduire qu'il existe une constante C1 > 0, indépendante de  et k, telle 
que
pour tout x de [0, ] on ait la relation
|Jk, (x)| 6 C1 k -1/3 .
On admet que l'on peut démontrer de la même manière qu'il existe une constante
C2 , indépendante de k et , telle que pour tout x de [0, ] on ait la relation 
suivante :
Z x

sin(t + kt3 ) dt 6 C2 k -1/3 .

(1)

0

15. Montrer qu'il existe une constante  > 0 telle que pour tout x de [-, ], on 
ait
|b(x)| 6 exp(-x4 ).
16. Montrer qu'il existe une constante C3 > 0 telle que pour tout x de [-, ], 
on ait
|b (x)| 6 C3 |x3 |.
17. À l'aide d'une intégration par parties et en utilisant les résultats 
précédents,
montrer qu'il existe une constante C4 indépendante de n et de k telle que pour
tout entier non nul k et pour tout entier relatif n, on ait l'inégalité :
Z 

-

Jk,k+n
(x)(b(x))k dx 6 C4 k -1/3 .

5

18. En déduire qu'il existe une constante C5 > 0 indépendante de k et n telle 
que
pour tout k  N et pour tout n  {-k, · · · , k}, on ait l'inégalité
|ak,n | 6 C5 k -1/3 .
On admet dorénavant l'existence d'une constante C6 > 0 telle que, pour tout 
entier k
non nul,
Z 
|a(x)|2k dx > C6 k -1/4 .
-

19. Montrer qu'il existe C7 > 0 tel que, pour tout entier k,
kak k > C7 k 1/12 ,
c'est-à-dire que a n'est pas stable !

Fin du problème

6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 PC 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par David Lecomte (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Benoît Landelle (Doctorant) et Guillaume Dujardin (ENS Cachan).

Cette épreuve des Mines est à la fois passionnante et frustrante. Sous couvert
d'estimer les coefficients de Fourier des puissances d'une fonction 2-périodique
particulièrement simple, elle fait démontrer au candidat un fameux et difficile 
lemme
dû à Van der Corput. Ce théorème est l'un des outils
Z fondamentaux, en analyse
v

eif (x) dx.

harmonique, pour l'estimation d'intégrales oscillantes

u

Somme toute, sa démonstration n'utilise que des connaissances de première année
de CPGE, mais elle est assez subtile et c'est en ce sens que le problème est 
intéressant :
il guide le candidat de manière très claire.
Le sujet s'articule en trois parties, de longueurs inégales :

· La première établit quelques propriétés élémentaires des polynômes 
trigonométriques.
· La deuxième fait une étude rapide du polynôme trigonométrique
a : t 7- 1 - 2 (1 - cos t) + i sin t

avec

 ]0 ; 1[

· Enfin, on démontre une partie du lemme de Van der Corput : si f est deux fois
dérivable sur [ u ; v ], telle que f  > M > 0 sur cet intervalle, alors
Z

v
u

8
cos f (t) dt 6 
M

Celui-ci est enfin appliqué à l'estimation des coefficients de Fourier de ak .
L'auteur a dû faire des choix pour rendre cette épreuve faisable en trois 
heures et
de nombreux résultats admis jalonnent l'énoncé. Bien que la plupart d'entre eux 
ne
soient pas très difficiles, leur accumulation peut être déstabilisante pour le 
candidat.
Mais, et cela est plus gênant, on doit admettre à la fin une minoration d'une 
certaine
intégrale ; et celle-ci est loin d'être triviale. Enfin, il semble que pour 
pouvoir terminer
le sujet, il soit nécessaire de modifier légèrement la question 17 et d'ajouter 
(encore)
un résultat à admettre. Tout ceci est expliqué au cours du corrigé.
En résumé, cette épreuve constitue un problème d'analyse difficile, calculatoire
par moments, mais très intéressant. Mis à part quelques résultats élémentaires 
sur
les séries de Fourier, elle n'utilise que des outils de première année et 
serait théoriquement faisable par un élève de mathématiques supérieures. Il 
s'agit d'un excellent
entraînement pour tester son aisance en analyse, où la capacité à estimer des 
quantités est l'objectif principal du programme de CPGE.

Indications
Première partie
3 Utiliser le résultat de la question 2.
4 Montrer que kck k > |c(x0 )|k à l'aide de la question 3.
Deuxième partie
5 Utiliser les formules trigonométriques de l'angle moitié.
6 Les formules à établir sont
 - 3 3
2 - 4 4
x + o(x4 )
et
h(x) = -x +
x + o(x4 )
4
6
La fonction h est impaire ; les termes non nuls de ses développements à l'ordre 
3
et à l'ordre 4 sont les mêmes. On se contente donc de développer h à l'ordre 3,
ce qui simplifie les calculs.
g(x) = -

7 Si z  C est de partie réelle strictement positive, on peut écrire

 ln |z|2
 (z) 
 (z) 
z = |z| exp i Arctan
= exp
+ i Arctan
 (z)
2
 (z)
Justifier que  (a(x)) > 0 au voisinage de 0.

Troisième partie
Z t
10 Utiliser le fait que f  (t) = f  (u) +
f  (s) ds.
u

11 Estimer séparément chacune des intégrales
Z u+2M-1/2
Z
cos f (t) dt
et
u

12 Majorer

Z

cos f (t) dt

u+2M-1/2

w

u

v

cos f (t) dt et

Z

v

cos f (t) dt en utilisant la question 11 et le fait

w

que f  (w) est à la fois positif et négatif.

13 Minorer f  par 6k 2/3  sur k -1/3 ;  . Conclure à l'aide des questions 11 et 
12.

14 Il ne reste qu'à étudier le cas où x  0 ; k -1/3 .
15 On rappelle que |b(x)| = |a(x)|. Utiliser les estimations classiques
h  i
2|x|
x  - ;
| sin x| >
2 2

et

1 - x 6 e-x

x  R

pour majorer d'abord |b(x)|2 .

17 Démontrer le résultat plus général : il existe C4 > 0 tel que
Z 

  R k  N
Jk, (x) b(x)k dx 6 C4 k -1/3
-

en procédant à une intégration par parties, comme le propose l'énoncé. Majorer b
et b à l'aide des questions 15 et 16.

18 Il est nécessaire d'admettre que
Z 
  R k  N
sin(x + kx3 ) b(x)k dx 6 C4 k -1/3
-

Utiliser la question 2 et le fait que a(x) = b(x)d(x) pour obtenir
Z

1 
cos(x + kx3 ) + i sin(x + kx3 ) b(x)k dx
ak,n =
2 -
Z

P
1 
19 Justifier que
|ak,n |2 =
|a(x)|2 dx.
2 -
n=-
|ak,n |2
Minorer |ak,n | à l'aide de l'identité |ak,n | =
et de la question 18. Conclure
|ak,n |
en utilisant le dernier résultat admis par l'énoncé.

Les conseils du jury
Dans son rapport, le jury conseille aux candidats d'aborder une épreuve avec
patience. Tout d'abord, il recommande aux candidats « de lire en entier le
sujet avant de commencer » afin d'avoir « une vision plus claire des buts
poursuivis » ce qui peut apporter de « précieuses indications » pour répondre
à certaines questions. Ensuite, il juge « souhaitable d'avoir une idée précise 
de
la solution avant de commencer à rédiger. » Cette façon de procéder « permet
de se concentrer sur la rédaction et de faire apparaître les éléments clefs de
la démonstration. » Enfin, il constate que la précipitation des candidats a
tendance à leur « faire écrire n'importe quoi » (changement d'une inégalité,
disparition discrète d'un terme ou tout autre « procédé surprenant [...] pour
aboutir au résultat »).

I. Stabilité d'un polynôme trigonométrique
1 Vérifions que k k définit une norme sur E. On rappelle que toutes les sommes
faisant intervenir les coefficients de polynômes trigonométriques, bien que 
s'étendant
de - à +, sont en fait finies.

P
· Si c un polynôme trigonométrique, on a par définition kck =
|cn | qui est
n=-
positif, puisqu'un module l'est.
· Supposons que kck = 0. Une somme de nombres positifs est nulle si, et 
seulement si, chacun d'eux l'est. Par suite, tous les (|cn |)nZ sont nuls et c 
= 0.

c  E
kck = 0 = c = 0
· Soient c un polynôme trigonométrique et  un complexe. Alors

P
P
P
kck =
|cn | =
|| |cn | = ||
|cn | = || kck
n=-

n=-

n=-

On s'est ici servi du fait que |zz | = |z| |z | si
Pz et z sont deux complexes, et de
manipulations élémentaires de la notation .
· Étant donnés deux polynômes trigonométriques c et d,

P
P
P
kc + dk =
|cn + dn | 6
|cn | +
|dn | = kck + kdk
n=- | {z }
n=-
n=-
6|cn |+|dn |

ce qui établit l'inégalité triangulaire.

Conclusion :

k k est une norme sur E.

Soyez très précautionneux dans la rédaction des premières questions faciles
d'un problème. D'après le rapport du jury, « beaucoup de candidats ont
oublié de vérifier une ou deux propriétés. »
2 Soit c  E, dont on note N le degré. De sorte que
x  R

N
P

c(x) =

cn einx

n=-N

Étant donné un entier relatif p  {-N, . . . , N},
Z 
Z  N
Z

N
P
P
-ipx
i(n-p)x
c(x) e
dx =
cn e
dx =
cn
- n=-N

-

Or,

Z

n  Z n 6= p
Z

d'où

n=-N

ei(n-p)x dx =

-

c(x) e-ipx dx = cp

-

On a bien

p  {-N, . . . , N}

1
2

Z

Z

ei(n-p)x dx

-

ei(n-p) - e-i(n-p)
=0
n-p

dx = 2cp
-

c(x) e-ipx dx = cp

-

Il est aisé de vérifier que cette formule est également valide pour |p| > N + 1.
Dans ce cas, cp = 0.