Mines Maths 2 PC 2007

Thème de l'épreuve Étude d'une série trigonométrique
Principaux outils utilisés intégrales généralisées, séries de fonctions

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2007 MATH. II PC

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2007
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC

(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :
ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la
copie :

MATHÉMATIQ UES II _ PC.

L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives
qu'il est amené à prendre.

Étude d'une série trigonométrique

On rappelle que pour tout réel 3: > 0,

+00
l'(a:) : / toe_1e_t da:.
0

Par ailleurs, pour tout réel t,

et e_t
cht : +--

On pose, pour tout réel 3: et tout 04 EUR]O, + oo[,

Sa(a:) : Z sinqîgæ). (1)

L'objectif de ce problème est d'étudier différentes propriétés de cette 
fonction.
Dans tout le problème, u représente un réel de ] -- 1,1[.

I Deux représentations de Sa

D 1 -- Prouver que pour tout oz > 1, la fonction Sa est continue sur R.

Cl 2 -- Étudier, en fonction du paramètre v E R, l'intégrabilité sur ]0, + oo[,
de la fonction

t"_1
J : tl--> .
et -- u
Soit t 2 0. On pose,
u N--1
_ --t --t n oz--1
RN(t,u) -- (et _ u -- ue â(ue ) )t .

D 3 -- Simplifier l'expression de RN, en l'écrivant sous forme d'une fraction.

D 4 -- Prouver que pour tout u 6] -- 1,1[,

+oo

II

Exprimer, en fonction de l'(oz), la constante K (oz) EUR R+ telle que pour
tout oz > O,

'n

+OOutOA--l +OOu
dt=K -- t t e-1,1. 2
/0 ZW ... ou u l [ <>

et--u

n=1

On admet que l'identité (2) reste vraie aussi pour u = e":" où a: EUR]0,27T[.
En déduire pour a: E R \ 27TZ, l'identité suivante:

sina: +°° tO'_1
Sa = -- _ dt.
(a:) 2F(d) /0 ch t -- cosa:

Montrer, pour tout M > O, pour tout u 6] -- l, 1[, l'égalité suivante:

M toc--1 +OO M toc--1
dt = "-- dt
[@ cht -- u Z/O u (cht)"+1

n=0

Établir, pour tout u 6] -- l, 1[, l'identité
+oo

M toc--1 +OO +OO toc--1
l° "' _ dt = "" _ dt.
Mig--100 ; u /0 (ch t)"+1 g u /0 (ch t)"+1

0

Pour a: E R \ 7TZ, exprimer Sa(a:) en fonction de fonctions trigonomé--
triques et de Ga où

+oo
Ga(u) = Zanu" pour u 6] -- 1,1[
n=0
avec
+00 toc--1 d 3
n = _ t.
CL /0 (Ch t)n+1 ( )

Comportement asymptotique

Soit B :]O,--l--oo[--> R une fonction continue telle que:

/0 00 lB(s)l ds < +00. (4)

B(s) = asÀ_1(l --l-- 0(1)), 8 --> 0+, & > 0, À EUR]0, + oo[. (5)

10--

11--

12--

13--

Prouver que pour tout 6 > 0, il existe 5 > 0 tel que, pour tout n 2 1,

5
|/ (B(s)e_ns -- asÀ_1e_ns) ds < 6 & Î(À).
0

n)\
Prouver que pour tout 5 > 0, il existe une constante C(5) > 0 ( que

vous exprimerez sous la forme d'une intégrale indépendante de n ) telle
que pour tout n > 1

+00
| / (B(s)e_ns -- asÀ_1e_ns) ds 5 Ce_("_1)ô.
5

Prouver que, sous ces hypothèses,

+oo _ r()\)
B(s)e "3 ds : & À (1 --l-- o(1)), quand n --> +00.
0 n

Montrer que pour tout entier n, on peut écrire

&" = /... °" (63 + "623_--1>>a--1

623--1

e_"3 ds,

où an est défini dans (3).

On pose dorénavant, pour tout s > O,

D 14--

Ü15--

(m (as + «2-- -- 1>>"5

623--1

B(s) :

Donner un équivalent de la fonction B au voisinage de O+.

Déterminer la limite de anna/2 quand n tend vers l'infini.

FIN DU PROBLÈME

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Mines Maths 2 PC 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Landelle (Doctorant en mathématiques) ; il a 
été
relu par Tristan Poullaouec (ENS Cachan) et Paul Pichaureau (Professeur en 
CPGE).

Ce sujet d'analyse porte sur l'étude de certaines propriétés de la série de 
fonctions
S (x) =

+
P sin(nx)

n=1

n

avec

>0

Il est constitué de deux parties indépendantes.
· L'enjeu de la première partie est d'établir une nouvelle écriture de S à 
l'aide
d'une série entière et de fonctions trigonométriques élémentaires. On emploie
des résultats de continuité pour les séries de fonctions, ainsi que des 
techniques
habituelles sur les intégrales généralisées : méthodes de comparaison et 
théorèmes d'interversion série/intégrale et limite/série. Les cinq premières 
questions
sont très classiques et ne présentent pas de grandes difficultés. La mise en 
oeuvre
des théorèmes d'interversion est plus délicate et impose de bien comprendre le
comportement des suites de fonctions pour cibler les contraintes satisfaites et
choisir les théorèmes à employer.
· La seconde partie propose d'étudier le comportement asymptotique des 
coefficients intervenant dans la nouvelle écriture de S . On travaille les 
relations
de négligeabilité, l'usage des quantificateurs, les méthodes de changement de
variable et les équivalents. Cette partie est sans doute moins intuitive que la
première. Le maniement des quantificateurs est toujours quelque peu aride mais
l'énoncé constitue un bon fil conducteur. Les transformations d'intégrales par
changement de variable sont très classiques et la partie se termine par des
questions sur les équivalents qui sont tout à fait abordables.
Ce sujet est de taille et de difficulté raisonnables. Il présente un large 
éventail des
techniques autour du calcul intégral et des séries de fonctions. Les deux 
parties de
l'énoncé forment un ensemble cohérent et amènent à des résultats intéressants 
sur la
série S . Il s'agit d'un très bon entraînement pour l'épreuve d'analyse.

Indications
I. Deux représentations de S
1 Vérifier que la série de fonctions S converge normalement.
2 Utiliser le critère des équivalents aux bornes de l'intervalle ] 0 ; + [.
3 Identifier dans l'expression de RN la somme des termes d'une suite 
géométrique.
Z +
5 Développer l'expression de
RN (t, u) dt et faire apparaître () par un
0
changement de variable.
6 Calculer les parties imaginaires dans l'égalité (2) évaluée en u = eix .
1
7 Faire apparaître la fraction
u et écrire son développement en série.
1-
ch t
Z M
t-1
8 Considérer la norme infinie de hn (M) = un
.
n+1
0 (ch t)

II. Comportement asymptotique
10 Traduire la condition (5) avec des quantificateurs.
11 Utiliser l'inégalité triangulaire et faire apparaître les termes e-(n-1) .
12 Additionner les relations établies aux questions 10 et 11. Traduire avec des
quantificateurs le fait que
C()  -(n-1)
n e
----- 0
n+
a()
13 Utiliser les changements de variable x = ch t, puis x = es .
14 Écrire le développement limité de es à l'ordre 1 et l'appliquer à 
l'expression
de B(s).

I. Deux représentations de S
1 Soit  > 1. Introduisons la suite de fonctions (un )nN définie par
n  N

x  R

Vérifions la convergence normale de la série

un (x) =

sin(nx)
.
n

P
un pour la norme infinie sur R.

1
On a la relation
n  N
kun k =  .
n
P
La série
1/n est la série de référence
dite
de
Riemann qui est convergente
P
pour tout  > 1. Ainsi, la série
un est normalement convergente. Comme la
suite (un )nN est une suite de fonctions continues, d'après le théorème de
P continuité d'une série de fonctions continues normalement convergente, la 
série un est
continue, c'est-à-dire
Pour tout  > 1, la fonction S est continue sur R.
Il est fondamental de connaître la nature de la série
paramètre . On rappelle ce résultat majeur :

P 1
en fonction du
n

P 1
converge   > 1

n>1 n

2 Pour tout t > 0, on a et > 1. Comme u est un réel de ] -1 ; 1 [, il s'ensuit
que et - u est strictement positif ce qui assure que J(t) = t-1 /(et - u) est 
bien
définie et clairement positive. Par ailleurs, J est une fonction continue sur ] 
0 ; + [
comme produit de fonctions continues. Elle est donc intégrable sur tout segment
strictement inclus dans ] 0 ; + [. Il reste à étudier son comportement en 0 et 
+.
La fonction J est intégrable sur ] 0 ; + [ si et seulement si elle est 
intégrable sur ] 0 ; 1 ]
et sur [ 1 ; + [.
· En 0 : on a l'équivalent J(t)  t-1 /(1-u) et par suite J est intégrable sur ] 
0 ; 1 ]
si et seulement si  - 1 > -1, c'est-à-dire  > 0.
· En + : on a J(t)  t-1 e-t = o(e-t/2 ), ce qui implique que J est intégrable
sur [ 1 ; + [ quelque soit .
Ainsi, on conclut que
La fonction J est intégrable sur ] 0 ; + [ si et seulement si  > 0.
3 Signalons une petite erreur dans l'énoncé : vu que  > 0, la quantité RN (t, 
u) est
définie pour t > 0 et non pour t > 0.
Soit N  N . Pour t > 0, on identifie, dans l'expression de RN (t, u), la somme 
des
termes d'une suite géométrique de raison ue-t qu'on peut écrire sous la forme
N-1
P

(ue-t )n =

n=0

N -Nt
1 - (ue-t )N
t 1-u e
=
e
1 - ue-t
et - u

Il en découle

RN (t, u) =

et par suite

t > 0

u
1 - uN e-Nt
-
u
et - u
et - u

t-1

uN+1 e-Nt t-1
et - u

RN (t, u) =

4 D'après le résultat de la question 3 et comme on a l'inégalité
e-Nt 6 1

t > 0
en fixant  = , on obtient la majoration
t > 0

|RN (t, u)| 6

t-1
|u|N+1 = J(t) |u|N+1
et - u

Puisque  > 0, on déduit de la question 2, d'une part, que la fonction t 7 RN 
(t, u)
est intégrable sur ] 0 ; + [ et d'autre part, l'inégalité
Z +

Z +
RN (t, u) dt 6
J(t) dt |u|N+1
0

0

Enfin, comme le réel u appartient à l'intervalle ] -1 ; 1 [, on a lim |u|N+1 = 
0 et
N+

par encadrement

u  ] -1 ; 1 [

lim

N+

Z

+

RN (t, u) dt = 0

0

5 Par définition de RN (t, u), on peut écrire

Z +
Z +  -1
N-1
P
ut
-t
-t k -1
(ue ) t
dt
RN (t, u) dt =
- ue
et - u
k=0
0
0

Les différents termes sous l'intégrale de droite sont intégrables sur ] 0 ; + 
[. En effet,
le premier terme est l'application t 7 u J(t) avec  =  > 0 qui est intégrable
d'après le résultat de la question 2. Le second terme est la différence u J(t)- 
RN (t, u),
qui est intégrable en tant que différence de fonctions intégrables. Ensuite, 
par linéarité
de l'intégrale, il vient
Z + -1
Z +
Z +
N-1
P
ut
-t
RN (t, u) dt =
dt
-
ue
(ue-t )k t-1 dt
t-u
e
k=0
0
0
0
Z + -1
Z
N-1
P k+1 + -(k+1)t -1
ut
=
dt
-
u
e
t
dt.
et - u
k=0
0
0
C'est une erreur classique d'appliquer la linéarité de l'intégrale sans avoir
vérifier l'intégrabilité des différents termes.
Le changement d'indice n = k + 1 dans la somme amène à l'égalité suivante
Z +
Z + -1
Z +
N
P
ut
n
RN (t, u) dt =
dt
-
u
e-nt t-1 dt
et - u
n=1
0
0
0
Puis, le changement de variable s = nt permet d'obtenir
Z +
Z +
 s -1 ds
()
n  [[ 1 ; N ]]
e-nt t-1 dt =
e-s
= 
n
n
n
0
0