Mines Maths 2 PC 2005

Thème de l'épreuve Construction d'une racine carrée de l'opérateur dérivation
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, réduction des endomorphismes, intégration terme à terme, séries entières, transformation de Fourier

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES
NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE
L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES
TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE
SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES
TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ECOLE
POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2005

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
DEUXIÈME ÉPREUVE
Filière PC

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENST IM, EN SAE (Statistique), INT, TPE--EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première
page de la copie :
MATHEMATIQUES 2 -- Filière PC.

Cet énoncé comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant

les raisons des initiatives qu'il est amené à. prendre.

Racine carrée d'endomorphisme

Pour toute fonction f continue intégrable sur IR, on considère Î, dite trans--

formée de Fourier de f, définie sur IR par:

A +oe .
f (y) = f (OE)EUR""'"" da"-
--00
D'après le théorème de convergence dominée, on sait que f est continue et
on admet que si, de plus, fest intégrable alors l'égalité suivante est vérifiée

pour tout réel ::::
+oo

A

27Tf(SL') = f (y)e'æy dy-

--00
On note 8 , l'ensemble, appelé espace de Schwartz, des fonctions f définies
sur IR à valeurs complexes, de classe C°° sur IR et telles que pour tous les
entiers j 2 0 et k 2 0, la fonction f " ) soit négligeable devant la fonction
(y l-----> (l + lylk)'1) quand [y] tend vers l'infini: pour tout j et tout k 
entiers,

lf(j)(y)|(l + ly|k) tend vers 0 quand |y| tend vers l'infini.

On admet que la transformation de Fourier est une bijection de 5

dans lui-même.
Soient 1 un intervalle de IR et E un sous--espace vectoriel de l'espace

des fonctions définies et indéfiniment dérivables sur IR, à valeurs réelles ou

complexes. On appelle dérivation dans E l'application d qui à tout f de E
associe sa dérivée f'. On suppose que d est un endomorphisme de l'espace
vectoriel E. L'objet du problème est de chercher s'il existe un endomorphisme

5 de E tel que 5 o 5 = d: on dira alors que 5 est une racine carrée de d.

I. Préliminaires

On suppose, dans cette partie seulement, que 5 existe.
1) Quelle relation d'inclusion existe--t-il entre le noyau de d et le noyau de 
5?
2) Quelle relation d'inclusion existe--t--il entre l'image de d et l'image de 5?

3) Montrer que 5 est un automorphisme de E si et seulement si d est un

automorphisme de E.

4) Montrer que tout sous--espace propre de d est stable par 5.

Il. Dimension finie

On désigne par E le IR--espace vectoriel des fonctions définies sur IR, à

valeurs réelles, dont une base est (cos a:, sin a:).

5) Montrer que la dérivation dans E est un automorphisme d de E.

6) Écrire la matrice D de d dans la base (cos a:, sin 33). Montrer que D est
diagonalisable dans M2 (C).

7) Qu'est-ce que cela implique pour 5?

8) Pour diagonaliser D, prenons la matrice de passage

Quelles sont les valeurs possibles de la matrice A de 6 dans cette base?

9) Déterminer, par leur matrice dans la base (cos :1:, sin cc), tous les auto--
morphismes du IR--espace vectoriel E dont le carré est égal à. d.

111. Espace de Schwartz

Désormais, on considère l'espace vectoriel E = 8 défini dans l'introduc-
tion. Dans ce qui suit, on considère un élément donné f de E. Pour tout

nombre réel y, on note

si > 0
T(y) = { '/ÿ . y '
z,/--y 81 y < 0.

On définit la fonction 6 ( f ) par:

1+z' +°°

27Ï\/-2- --00

10) À quelle condition sur le réel À, la fonction 
			

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Mines Maths 2 PC 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Walter Appel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Jean Starynkévitch (Professeur en CPGE) et David Lecomte (Professeur en CPGE).

Le sujet des Mines de cette année est extrêmement progressif : si les premières
questions se résolvent en quelques minutes et ne devraient poser aucune 
difficulté, les
dernières sont beaucoup plus délicates et demandent une maîtrise parfaite de 
tout ce
qui a été démontré ou admis dans les questions précédentes. Il porte sur la 
recherche
d'une application qui serait la « racine carrée » de la dérivation, 
c'est-à-dire d'une
application telle que    = d où d est la dérivation. Deux cas sont étudiés, l'un
en dimension finie -- avec des outils provenant essentiellement de l'algèbre 
linéaire
et de la théorie de la réduction des endomorphismes, l'autre en dimension 
infinie --
avec l'utilisation d'une transformation intégrale appelée transformation de 
Fourier.
· Un préambule établit quelques relations entre les noyaux, images et 
sous-espaces
propres de d et de .
· Une seconde partie propose de limiter le problème à un espace vectoriel de
dimension 2, engendré par les fonctions sinus et cosinus. La recherche de 
l'endomorphisme  se fait uniquement à partir de diagonalisation de matrices et
de considérations algébriques.
· Dans la troisième partie, on se propose de construire un opérateur  en 
dimension infinie, mais sur un espace de fonctions bien choisi. On y introduit 
la
transformation intégrale de Fourier, ainsi que sa transformation inverse.
On part ensuite du constat que la dérivation d'une fonction correspond, pour
la transformée de Fourier, à une multiplication par (iy). Ainsi, pour dériver
une fonction f , il suffit de calculer sa transformée de Fourier fb, de la 
multiplier
pour obtenir y 7 (iy) fb(y), puis de prendre la transformée de Fourier inverse.
De même, si l'on veut la dérivée cinquième, il suffit de prendre la transformée
de Fourier inverse de y 7 (iy)5 fb(y). L'idée, maintenant, est de définir (f )

comme la transformée
de Fourier inverse de « iy fb(y) », où les guillemets

rappellent que iy n'est pas un complexe défini de manière univoque. L'énoncé
nous donne donc une fonction dont on vérifie sans peine que r2 (y) = y pour
tout y réel, et définit (f ) comme la transformée inverse du produit rfb (à une
constante multiplicative près).
Ce problème offre l'intérêt de faire intervenir de nombreux outils d'algèbre 
linéaire
et d'analyse : intégrales dépendant d'un paramètre, intégration terme à terme, 
séries
entières.
Il est à noter qu'il souffre malheureusement de quelques imprécisions et de 
passages flous, qui peuvent dérouter ou gêner le candidat. Cependant, pour la 
beauté
du sujet, il vaut la peine d'être étudié.

Indications
5 Montrer que l'image de la base (cos, sin) est une base de E.
6 Calculer le polynôme caractéristique de D.
7 L'énoncé comporte ici une erreur ; une solution est de se placer dans le 
C-espace
vectoriel engendré par (cos, sin), puis de montrer qu'une base diagonalisant d
diagonalise également .
8 Montrer que  est diagonale, calculer 2 et en déduire les valeurs possibles de 
.
9 Ne garder que les matrices réelles.
(j) (y) = iy f\
(j-1) (y) à l'aide
11 Si j est un entier strictement positif, montrer que fd
d'une intégration par parties proprement justifiée.
13 Développer l'exponentielle se trouvant à l'intérieur de l'intégrale 
définissant fb.
Intervertir sommation et intégration à l'aide du théorème de convergence 
normale.

15 Intégrer par parties en se ramenant tout d'abord à un intervalle du type [  
; M ],
puis prendre les limites   0+ et M  +.

16 Utiliser le résultat précédent pour montrer que (f )(x) =

O (1/x2 ).

x+

18 Utiliser la formule admise donnant une fonction à partir de sa transformée de
d) = (1 + i)/2 r fb. Noter que fb  S.
Fourier pour montrer que (f

19 Se limiter aux fonctions vérifiant les hypothèses de la question 10, et 
utiliser le
fait que la transformée de Fourier de f  est y 7 (iy)fb(y).
d) = rfb est dévelop20 Montrer que, si (f ) s'annule en dehors d'un segment, 
alors (f
pable en série entière. Trouver une contradiction avec le fait que fb est 
également
développable en série entière.

I.

Préliminaires

1 On suppose ici que  et d sont des endomorphismes
de E. Pour tout x  Ker (),

on a (x) = 0 et par conséquent d(x) =  (x) = 0, c'est-à-dire que x  Ker (d).
Ainsi,
Ker ()  Ker (d)
L'énoncé demande « quelle relation d'inclusion existe-t-il [...] » au singulier 
; le résultat attendu est sans doute celui-là, et c'est le seul qui sert dans
la suite. Cependant, il est possible de montrer qu'il y a, en réalité, égalité
entre les noyaux.
Tout d'abord, remarquons que, pour tout f  E, on a d(f ) = f  ; or les
éléments de E sont des fonctions définies et dérivables sur R. Par conséquent,
tout élément du noyau de d est une fonction constante.
Deux cas sont alors à considérer :
· Si E ne contient pas les fonctions constantes sur R (autres que la fonction 
nulle), alors Ker (d) = {0}. On en déduit que {0}  Ker () 
Ker (d) = {0} et donc Ker () = Ker (d).

· Si E contient les fonctions constantes, alors le noyau de d est précisément 
la droite vectorielle des fonctions constantes, donc est de dimension 1. Si 
l'on avait une inclusion stricte entre les deux noyaux, cela
impliquerait que Ker () = {0}, donc que  est injective ; on en déduirait 
l'injectivité de d =   , et une contradiction. Par conséquent,
Ker () = Ker (d).
Au total,

Ker () = Ker (d)

2 Soit x  Im (d). Alors il existe y  E tel que x = d(y) =  2 (y) =  (y) , ce qui
montre que x appartient à l'image de . Ainsi,
Im (d)  Im ()
3 Supposons que  soit un automorphisme de E. Puisque le produit de deux 
automorphismes de E est encore un automorphisme, on en déduit que d =    est un
automorphisme de E.
Réciproquement, supposons que d soit un automorphisme de E.
· d est injectif, donc son noyau est réduit à {0} et la question 1 permet d'en 
déduire que le noyau de  est également réduit à {0}, c'est-à-dire que 
est injectif.
· De plus, d est surjectif, ainsi son image est E tout entier ; d'après la 
question 2,
l'image de  est également E, donc  est surjectif.
En conséquence,  est un automorphisme de E.
 est un automorphisme de E si et seulement si d l'est.

4 Cette question est très proche du cours, nul doute que tous les candidats 
l'ont
déjà abordée en cours d'année.
Le programme ne traite en principe que les vecteurs et valeurs propres en
dimension finie. Il n'y a ici aucune difficulté : un scalaire  est appelé valeur
propre de d si et seulement si Ker (d -  Id E ) 6= {0}, c'est-à-dire si et 
seulement si d -  Id E n'est pas injective (au lieu de « n'est pas inversible 
»).
On appelle alors vecteur propre associé à  tout vecteur f non nul
tel que d(f ) = f .
Soit  une valeur propre de d. Montrons que le sous-espace E = Ker (d -  Id )
est stable par . Soit f un élément de E . Alors d(f ) = f . Or, d et  commutent
puisque   d =  3 = d   donc

(d -  Id ) (f ) = d (f ) - (f ) =  d(f ) - (f ) = (f ) - (f ) = 0
d'où

(f )  E

Ceci étant vrai pour tout f dans E , on en déduit que ce sous-espace est stable 
par .
Tout sous-espace propre de d est stable par .

II.

Dimension finie

5 La dérivation est bien une opération linéaire ; de plus, l'image de la base 
(cos, sin)
par d est (- sin, cos), qui est une base de E. On en déduit :
· que E est stable par dérivation, c'est-à-dire que la dérivation définit un 
endomorphisme d de E ;
· que cet endomorphisme transforme une certaine base en une base.
Par conséquent

La dérivation est un automorphisme de E.

6 Puisque d(cos) = - sin et d(sin) = cos, on

0
D=
-1

en déduit que

1
0

Cette matrice D peut être vue comme un élément de M2 (C). On cherche ses valeurs
propres complexes en calculant son polynôme caractéristique D :
D = det (D - XI2 ) =

-X
1
= X2 + 1 = (X - i)(X + i)
-1 -X

Les valeurs propres de D sont donc i et -i, distinctes, chacune de multiplicité 
égale
à 1. Par suite,
D est diagonalisable dans M2 (C).