Mines Maths 2 PC 2002

Thème de l'épreuve Étude d'une fonction définie comme somme d'une série entière ; quelques propriétés de la transformation de Laplace
Principaux outils utilisés séries numériques, séries de fonctions, intégrales à paramètre, théorèmes d'interversion d'une limite et d'une intégrale, notations de Landau
Mots clefs équations différentielles, méthode de variation de la constante, théorème de Cauchy-Lipschitz, norme d'opérateur, formules de Taylor, suites récurrentes linéaires, séries entières, transformation de Laplace

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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12075

A 2002 Math PC 2

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUS SÉES.
ECOLES NATIONALES SUPÉROEURES DE L'AÉRONAUÏIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMÜNÏCA"HONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE
ÉCOLE POLYTECI--lNÏQÜE ( Filière TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2002

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
DEUXIEME EPREUVE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis àla disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, 
TPE--ENR

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES 2-Filière PC.

Cet énoncé comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Dans tout le problème, 1 est le segment [O, 1], fest une fonction réelle 
définie et continue sur le
segment I, p est une fonction définie et continue sur le segment I, positive 
(pour tout réel x de I,

1700 Z 0)-
L'objet du problème est l'étude et l'approximation des solutions réelles, 
définies sur le

segment [ , deux fois confinûment défivables (de classe C 2) des équations 
différentielles suivantes :

EO -- u"(x) +p(x) u(x) : O,

E -- u"(X) +P(X) "(X) =f(X)_
vérifiant, en outre, les conditions suivantes aux extrémités du segment I :
C u(0) : O, u(l) = 0.

Une fonction u, de classe C2, définie sur le segment I, vérifiant les 
conditions C, est dite
solution du problème Po si elle est solution de l'équation différentielle EO, 
respectivement solution
du problème P si elle est solution de l'équation différentielle E.

Tournez la a eS.V.P.
- 1/6 - p g

Première partie
Exemples, résultats généraux.

1--1. Exemples :

Déterminer toutes les solutions de l'équation difiérenfiefle E vérifiant les 
conditions C dans les
deux cas suivants :

a. La fonction p est nulle et la fonction f constante et égale à 1 :

P(X) = 0: f(x) = 1.

b. La fonction p est constante et égale à l ; la fonction f est la fonction x 
l----+ e" " où a est un
réel donné :

P(x) = 1, f(x) = 6"-

1--2. Unicité des solutions :

a. Soit u une fonction solution de l'équation EO vérifiant les conditions C ; 
démontrer que cette
solution u vérifie la relation :

1
[ [:u'(x)2 +p(x) u(x)2 ] dx = O.
o
En déduire que la seule solution du problème Po est la solution nulle.

b. Démontrer que, pour des fonctions p et f données, il existe, au plus, une 
solution du
problème P.

1--3; Existence d'une solution :
a Etant données deux fonctions u1 et m; solutions de l'équation différentielle 
EO, soit g la
fonction définie sur l'intervalle ] par la relation suivante :

806) = u1(0) u2(X) --uz(0) u1(X)--

Démontrer que, si la fonction g s'annulle au point 1 (g(l) = 0), la fonction g 
est nulle sur
l'intervalle I.

En déduire une condition nécessaire et suffisante sur les deux solutions ul et 
uz pour que la
fonction g ne s'annulle pas en 1 (g(l) $ 0).

Soient ul et u2 deux solutions de l'équation difl'érenfiefle EO, v une solution 
de l'équation E et
11 et ,a deux scalaires. Soit u etX la fonction et le vecteur définis par les 
relations suivantes :

u(x) = À u1(x) +pu2(x) +v(x) ; X= .
u

b. Démontrer que, pour que la fonction u soit solution du problème P, il faut 
et il suffit que le
vecteur X vérifie la relation matricielle suivante :

UX=B,

où U est une matrice carrée d'ordre 2 et B un vecteur qui seront précisés.

c. Démontrer que le problème P admet une solution unique.

--2/6-

Deuxième partie
Quelques propriétés de certaines matrices de M ,,(R).

I] est admis que l'application de l'espace R" dans R+ :

X= (xi)15i5n *"" "X" = SUP lxil,
'-r=l,2,...,n

est une norme. Il est admis que l'application de l'espace des matrices carrées 
d'ordre n,
M,,(R) dans R+ :

A H N(A) =SUP "AX",

HXHSI

est une norme. Un vecteurX : (x,--) 1991 de R" est dit positif si toutes ses 
coordonnées x ,-- sont
positives ou nulles (x,-- z 0). Cette propriété s'écrit :

X20.

Une matrice A : (":--;) 19'Sfl, 1__ O) :

2-10...0 h100...0
-12-1...0 0h20...0
A= 0--12 0 ,H= 00113 0
000 2 000 h,,

a. SoitX un vecteur de R1rl de coordonnées x,-, i = 1, 2, ..., n, tel que le 
vecteur (A +H)X soit
positif. .

Démontrer que le vecteurX est positif à l'aide d'un raisonnement par l'absurde, 
par exemple,
en complétant la suite (x,--)ISËn par des termes xo et x,... nuls (xo = x... = 
O), et en considérant
l'entier k pour lequel le réel xk est égal au plus petit des réels x,--, 0 5 z" 
5 n + 1 :

xk = min x,--.
05î£n+l

b. Déduire du résultat précédent que les deux matrices A + H et A sont 
inversibles.

II--3. Norme de la matrice (A +H "1 :
Soit Vet Wles deux vecteurs définis par les relations suivantes :

V = (A +H)"1E, W = A"'E.

a. Démontrer que ces vecteurs sont positifs ainsi que le vecteurA(W-- V).

b. Comparer les normes des deux vecteurs Vet W; en déduire : pour tout vecteurX 
de R",

II(A+H)'IX|| S "WII |le|-

--4/6 _

11.4. Une majoration de la norme du vecteur W:
Soit S l'ensemble des suites réelles infinies (xk) kZO vérifiant, pour k > 0, 
la relation de

récurrence suivante :

--xk_1+2xk--xk+l = 1.

Soit So l'ensemble des suites réelles (xk) kZO vérifiant, pour k > 0, la 
relation de récurrence
suivante :

--xk_1+2xk--xk+l = 0.

a. Déterminer les suites qui appartiennent à l'espace So.

b. Déterminer une suite (yk) 120 appartenant à l'espace S qui soit un monome du 
deuxième
degré :

Yk = ak2.

c. Déterminer les suites qui appartiennent à l'espace S ; en particulier celles 
qui vérifient les
deux conditions suivantes :

d. Déterminer les coordonnées du vecteur W : A"1E ; en déduire que la norme de 
ce vecteur
vérifie l'inégalité suivante :

"WII s %--(n+1)2.

Troisième partie

Approximation de la solution du problème P.

Dans toute la suite l'entier n est supérieur ou égal à 3 (n 2 3 ). Soit h et 
tk, k = O, 1, 2,
n + 1, les réels définis par les relations suivantes :

h= 1 , tk=h.k= " , k=0,1,2,...,n+1.
n+l n+1

III--1 Une approximation de la dérivée seconde :
Soit u une fonction quatre fois confinûment défivable sur le segment I. Soit M 
le maximum de

la valeur absolue de la dérivée quatrième :

M =sup |u...(x)|.
xe]

Soient tet h des réels tels que les réels t -- h et t + h appartiennent au 
segment I . Démontrer
l'existence d'une fonction R des réels t et h qui vérifient les relations 
suivantes :

u(t+h) +u(t--h) -2 u(t) = h2 u"(t) +R(t,h) , LR(t,h)| 5 %M.

Tournez la page S.V.P.
- 5/6 --

III--2. Problème P discréfisé :

a. Démontrer que, si les deux fonctions p et f sont deux fois confinûment 
dérivables, la solution
u du problème P est quatre fois confinûment défivable.

SoientX et Y les vecteurs de R" et H la matrice diagonale de M,,(R) définis par 
les relations
suivantes :

"(") f(ï1)h2 p(t1) h2 0 0
X___ u(tz) , Y= f(t2)h2 , H: 0 p(tz)hz 0
u(tn) f(t,,) h2 o o p...) ,,2

b. Déterminer, en désignant toujours parA la matrice définie à la question 
11--2, un majorant de
la norme du vecteur Z = (A + H )X -- Y , au moyen des réels M et h.

SoitÎ le vecteur défini par la relation suivante :
35 = (A + H) -1 Y.
c. Démontrer la majoration :

"X--3Ë" s Kh2,

où K est une constante ; en donner une valeur à l'aide de M.
Donner une signification du vecteurX. Préciser comment ce vecteur se calcule.

FIN DU PROBLÈME

--6/6--

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 PC 2002 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thomas Chomette (ENS Ulm) ; il a été relu par
Sébastien Gadat (ENS Cachan) et Éric Ricard (agrégé de mathématiques).

Ce problème est composé de trois parties, les deux premières étant indépendantes
l'une de l'autre. La troisième partie, en revanche, utilise les résultats de la 
deuxième.
Dans l'ensemble, cette épreuve est assez accessible, en dépit de quelques 
questions
un peu plus difficiles.
Le thème central est l'étude des équations différentielles linéaires d'ordre 2 
sur
[ 0 ; 1 ] du type :
-u (x) + p(x)u(x) = f (x)
où les fonctions p et f sont données, avec p positive. Les solutions cherchées 
doivent
satisfaire en outre les conditions au bord u(0) = u(1) = 0.
· La première partie commence par quelques cas particuliers, applications 
directes de méthodes du cours, avant d'aborder l'étude générale d'existence et
d'unicité de solutions pour ce problème différentiel. Une bonne maîtrise du
théorème de Cauchy et de ses conséquences est nécessaire pour les dernières
questions.
· La deuxième partie a pour but l'estimation de la norme d'une certaine 
application linéaire. On y introduit la norme « infinie » sur Rn et une notion 
de
positivité sur Mn (R). En dehors de quelques résultats de cours (norme induite
sur Mn (R), suite récurrente linéaire d'ordre 2), les questions sont assez 
détaillées
et très liées les unes aux autres.
· La troisième partie fait le lien entre les deux premières. Le problème initial
est discrétisé sur un réseau régulier de [ 0 ; 1 ] ; on compare alors les 
solutions
obtenues sur ce réseau. La majoration de l'erreur repose sur la formule de 
Taylor
et les estimations de la seconde partie.
En conclusion, ce problème, d'une longueur très raisonnable, ne devrait pas 
poser
trop de difficultés techniques et constitue un bon entraînement.

Indications
Partie I
I.1.b Chercher une solution particulière de la forme P(x)ex (avec P un polynôme
de degré adapté), en distinguant les cas  = 1 et  = -1 des autres cas.
I.2.a Utiliser le fait que u = pu.
I.3.a Montrer que si g(1) = 0, alors g est solution du problème P0 .
I.3.c Utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz.
Partie II
II.1.d Prendre deux vecteurs X1 et X2 de même image par A. Montrer qu'alors
X1 - X2 et X2 - X1 sont positifs, et donc que X1 = X2 .
II.2.a Utiliser l'indication de l'énoncé. En outre, prendre le plus petit 
indice k tel
que xk soit minimal (ou bien à l'inverse le plus grand indice).
II.3.a Exprimer A(W - V) en fonction de V uniquement.
II.4.d Pour majorer la suite, majorer le trinôme.
Partie III
III.1 Définir la fonction R par la première relation et montrer qu'elle vérifie 
la
deuxième grâce à la formule de Taylor-Lagrange.
III.2.b Calculer les coordonnées de Z et les majorer, grâce aux formules 
établies à la
question III.1.

III.2.c Exprimer la différence X - X en fonction de Z.

I.

Exemples, résultats généraux

I.1.a Lorsque p = 0 et f = 1, l'équation E devient -u = 1. En intégrant deux 
fois
de suite, il apparaît que les solutions de E sont les fonctions de la forme :
x2
u : x 7- - + ax + b
2
où a et b sont deux constantes.
Pour vérifier les conditions C (u(0) = u(1) = 0), il faut que ces constantes 
vérifient
le système :
(
b
=0
1
- +a+b = 0
2
1
et b = 0
2
La solution du problème P est donc ici la fonction :
soit

a=

u : x 7- -

x (1 - x)
2

I.1.b On prend cette fois p = 1 et f : x 7- ex , avec  un réel fixé. E est ici 
une
équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, son 
équation
homogène E0 associée est alors -u + u = 0.
La solution générale de E0 est donc de la forme Aex + Be-x , avec A et B deux
constantes. Pour trouver toutes les solutions de E, il nous suffit par 
conséquent d'en
trouver une solution particulière.
· Lorsque  est différent de 1 et de -1, cherchons cette solution particulière
sous la forme u(x) = ex . En dérivant deux fois ce terme, on obtient
u (x) = 2 ex , et donc

-u (x) + u(x) =  1 - 2 ex
u est alors solution de E si et seulement si la constante  vérifie la condition 
:

 -2 + 1 = 1
1
ex est ici une solution particulière de E. La solution
1 - 2
générale de E est donc de la forme
1
x 7- Aex + Be-x +
ex
1 - 2
Les conditions C nous donnent alors le système

1

=0
 A+B+
1 - 2
B
e

 Ae + +
=0
e
1 - 2
La fonction x 7-

On obtient

A=

e+1 - 1
(e2 - 1) (2 - 1)

et

B=

e2 - e+1
(e2 - 1) (2 - 1)

Donc, si  6= 1 et  6= -1, la solution de P est la fonction
 +1

 +1

1
e
-1 x
e
- e2
-x
x
u : x 7- 2
e +
e -e
( - 1)
e2 - 1
1 - e2

· Lorsque  = 1 ou  = -1, on peut chercher la solution particulière de E sous
la forme u(x) = xex .
En fait, on cherche cette solution particulière sous la forme d'un polynôme de 
degré 1 fois ex , mais ici le terme constant peut être éliminé
car il correspond à la solution générale de l'équation homogène.
De la même façon, on dérive deux fois cette fonction pour obtenir

u (x) =  2 x + 2 ex
donc

-u (x) + u(x) = 

1 - 2 x - 2 ex

(car ici 2 = 1)

= 2ex

Pour que cette fonction soit solution de E, on obtient la condition sur ,
2 = -1

soit

=-

1
2

La solution générale de E est donc de la forme
x 7- Aex + Be-x -

1 x
xe
2

Ensuite, pour trouver la solution du problème P, les conditions C nous donnent
ici le système

A+B
=0

B
e

 Ae + -
=0
e
2

d'où

A=

(e2

e+1
- 1) (2)

et

B=

(e2

-e+1
- 1) (2)

La solution de P est donc
pour  = 1

pour  = -1

1
u : x 7-
2

u : x 7-

1
2

-

ex+2
e-x+2
-
- xex
e2 - 1 e2 - 1

ex
e-x
+ 2
+ xe-x
2
e -1 e -1

Lorsque le second membre d'une équation différentielle linéaire à coefficients 
constants est comme ici une « exponentielle polynôme », on recherche
toujours une solution particulière sous cette forme. En effet, le membre de
gauche est alors encore une « exponentielle polynôme », ce qui permet de
simplifier l'équation en enlevant l'exponentielle et d'obtenir des équations
sur les coefficients du polynôme.