Mines Maths 2 PC 2002

12075

A 2002 Math PC 2

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUS SÉES.
ECOLES NATIONALES SUPÉROEURES DE L'AÉRONAUÏIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMÜNÏCA"HONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE
ÉCOLE POLYTECI--lNÏQÜE ( Filière TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2002

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
DEUXIEME EPREUVE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis àla disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, 
TPE--ENR

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES 2-Filière PC.

Cet énoncé comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Dans tout le problème, 1 est le segment [O, 1], fest une fonction réelle 
définie et continue sur le
segment I, p est une fonction définie et continue sur le segment I, positive 
(pour tout réel x de I,

1700 Z 0)-
L'objet du problème est l'étude et l'approximation des solutions réelles, 
définies sur le

segment [ , deux fois confinûment défivables (de classe C 2) des équations 
différentielles suivantes :

EO -- u"(x) +p(x) u(x) : O,

E -- u"(X) +P(X) "(X) =f(X)_
vérifiant, en outre, les conditions suivantes aux extrémités du segment I :
C u(0) : O, u(l) = 0.

Une fonction u, de classe C2, définie sur le segment I, vérifiant les 
conditions C, est dite
solution du problème Po si elle est solution de l'équation différentielle EO, 
respectivement solution
du problème P si elle est solution de l'équation différentielle E.

Tournez la a eS.V.P.
- 1/6 - p g

Première partie
Exemples, résultats généraux.

1--1. Exemples :

Déterminer toutes les solutions de l'équation difiérenfiefle E vérifiant les 
conditions C dans les
deux cas suivants :

a. La fonction p est nulle et la fonction f constante et égale à 1 :

P(X) = 0: f(x) = 1.

b. La fonction p est constante et égale à l ; la fonction f est la fonction x 
l----+ e" " où a est un
réel donné :

P(x) = 1, f(x) = 6"-

1--2. Unicité des solutions :

a. Soit u une fonction solution de l'équation EO vérifiant les conditions C ; 
démontrer que cette
solution u vérifie la relation :

1
[ [:u'(x)2 +p(x) u(x)2 ] dx = O.
o
En déduire que la seule solution du problème Po est la solution nulle.

b. Démontrer que, pour des fonctions p et f données, il existe, au plus, une 
solution du
problème P.

1--3; Existence d'une solution :
a Etant données deux fonctions u1 et m; solutions de l'équation différentielle 
EO, soit g la
fonction définie sur l'intervalle ] par la relation suivante :

806) = u1(0) u2(X) --uz(0) u1(X)--

Démontrer que, si la fonction g s'annulle au point 1 (g(l) = 0), la fonction g 
est nulle sur
l'intervalle I.

En déduire une condition nécessaire et suffisante sur les deux solutions ul et 
uz pour que la
fonction g ne s'annulle pas en 1 (g(l) $ 0).

Soient ul et u2 deux solutions de l'équation difl'érenfiefle EO, v une solution 
de l'équation E et
11 et ,a deux scalaires. Soit u etX la fonction et le vecteur définis par les 
relations suivantes :

u(x) = À u1(x) +pu2(x) +v(x) ; X= .
u

b. Démontrer que, pour que la fonction u soit solution du problème P, il faut 
et il suffit que le
vecteur X vérifie la relation matricielle suivante :

UX=B,

où U est une matrice carrée d'ordre 2 et B un vecteur qui seront précisés.

c. Démontrer que le problème P admet une solution unique.

--2/6-

Deuxième partie
Quelques propriétés de certaines matrices de M ,,(R).

I] est admis que l'application de l'espace R" dans R+ :

X= (xi)15i5n *"" "X" = SUP lxil,
'-r=l,2,...,n

est une norme. Il est admis que l'application de l'espace des matrices carrées 
d'ordre n,
M,,(R) dans R+ :

A H N(A) =SUP "AX",

HXHSI

est une norme. Un vecteurX : (x,--) 1991 de R" est dit positif si toutes ses 
coordonnées x ,-- sont
positives ou nulles (x,-- z 0). Cette propriété s'écrit :

X20.

Une matrice A : (":--;) 19'Sfl, 1__ O) :

2-10...0 h100...0
-12-1...0 0h20...0
A= 0--12 0 ,H= 00113 0
000 2 000 h,,

a. SoitX un vecteur de R1rl de coordonnées x,-, i = 1, 2, ..., n, tel que le 
vecteur (A +H)X soit
positif. .

Démontrer que le vecteurX est positif à l'aide d'un raisonnement par l'absurde, 
par exemple,
en complétant la suite (x,--)ISËn par des termes xo et x,... nuls (xo = x... = 
O), et en considérant
l'entier k pour lequel le réel xk est égal au plus petit des réels x,--, 0 5 z" 
5 n + 1 :

xk = min x,--.
05î£n+l

b. Déduire du résultat précédent que les deux matrices A + H et A sont 
inversibles.

II--3. Norme de la matrice (A +H "1 :
Soit Vet Wles deux vecteurs définis par les relations suivantes :

V = (A +H)"1E, W = A"'E.

a. Démontrer que ces vecteurs sont positifs ainsi que le vecteurA(W-- V).

b. Comparer les normes des deux vecteurs Vet W; en déduire : pour tout vecteurX 
de R",

II(A+H)'IX|| S "WII |le|-

--4/6 _

11.4. Une majoration de la norme du vecteur W:
Soit S l'ensemble des suites réelles infinies (xk) kZO vérifiant, pour k > 0, 
la relation de

récurrence suivante :

--xk_1+2xk--xk+l = 1.

Soit So l'ensemble des suites réelles (xk) kZO vérifiant, pour k > 0, la 
relation de récurrence
suivante :

--xk_1+2xk--xk+l = 0.

a. Déterminer les suites qui appartiennent à l'espace So.

b. Déterminer une suite (yk) 120 appartenant à l'espace S qui soit un monome du 
deuxième
degré :

Yk = ak2.

c. Déterminer les suites qui appartiennent à l'espace S ; en particulier celles 
qui vérifient les
deux conditions suivantes :

d. Déterminer les coordonnées du vecteur W : A"1E ; en déduire que la norme de 
ce vecteur
vérifie l'inégalité suivante :

"WII s %--(n+1)2.

Troisième partie

Approximation de la solution du problème P.

Dans toute la suite l'entier n est supérieur ou égal à 3 (n 2 3 ). Soit h et 
tk, k = O, 1, 2,
n + 1, les réels définis par les relations suivantes :

h= 1 , tk=h.k= " , k=0,1,2,...,n+1.
n+l n+1

III--1 Une approximation de la dérivée seconde :
Soit u une fonction quatre fois confinûment défivable sur le segment I. Soit M 
le maximum de

la valeur absolue de la dérivée quatrième :

M =sup |u...(x)|.
xe]

Soient tet h des réels tels que les réels t -- h et t + h appartiennent au 
segment I . Démontrer
l'existence d'une fonction R des réels t et h qui vérifient les relations 
suivantes :

u(t+h) +u(t--h) -2 u(t) = h2 u"(t) +R(t,h) , LR(t,h)| 5 %M.

Tournez la page S.V.P.
- 5/6 --

III--2. Problème P discréfisé :

a. Démontrer que, si les deux fonctions p et f sont deux fois confinûment 
dérivables, la solution
u du problème P est quatre fois confinûment défivable.

SoientX et Y les vecteurs de R" et H la matrice diagonale de M,,(R) définis par 
les relations
suivantes :

"(") f(ï1)h2 p(t1) h2 0 0
X___ u(tz) , Y= f(t2)h2 , H: 0 p(tz)hz 0
u(tn) f(t,,) h2 o o p...) ,,2

b. Déterminer, en désignant toujours parA la matrice définie à la question 
11--2, un majorant de
la norme du vecteur Z = (A + H )X -- Y , au moyen des réels M et h.

SoitÎ le vecteur défini par la relation suivante :
35 = (A + H) -1 Y.
c. Démontrer la majoration :

"X--3Ë" s Kh2,

où K est une constante ; en donner une valeur à l'aide de M.
Donner une signification du vecteurX. Préciser comment ce vecteur se calcule.

FIN DU PROBLÈME

--6/6--