Mines Maths 2 PC 2001

Thème de l'épreuve Étude des solutions d'une équation différentielle
Principaux outils utilisés développement en série entière, dérivation sous les signes somme et intégrale, calcul différentiel

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2001 Math PC 2

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÊES.
ÉCOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRÇNAUÏÏQUÈ ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNIÇAÏIÛNS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTOENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏÏONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNÏQUE (Filière STI).

CONCOURS D'ADMISSION 2001

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
DEUXIEME EPREUVE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, 
TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES 2--Filière PC.

Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

L'objet de ce problème est l'étude de l'équation différentielle suivante :
El: xy"+(l--x)y'--Ày=0.

Où la fonction y est une fonction inconnue deux fois confinûment dérivable de 
la variable x et À un
réel donné.

PREMIÈRE PARTIE

I--1. Solution de l'équation différentielle définie sur toute la droite réelle :

Il est admis qu'il existe une fonction fa, somme d'une série entière de rayon 
de convergence R,
strictement positif, prenant la valeur 1 en O, (f1(0) : 1), solution dans 
l'intervalle ]--R,R[ de
l'équation différentielle E 1-- Cette fonction est définie par la relation : '

f, (x) = 1 + Z a,,x".
n=l

a. Déterminer les coefficients a... n 2 l, en fonction de l'entier n et du réel 
À. Préciser les
foncüonsfl , fo, f_1 , f_2.

Tournez la page S.V.P.
- 1/4 -

b. Pour quelles valeurs du réel il la fonction fz_ est--elle un polynôme '? 
Préciser son degré en
fonction de la valeur ----p donnée au réel À et le coefficient du terme de plus 
haut degré (le terme
dominant).

0. Quel est le rayon de convergence R de la série entière de terme général a,, 
x", n 2 1, lorsque
le réel A est différent des valeurs obtenues précédemment ?

Il est admis, dans la suite, que la fonction fg, est la seule fonction, 
développable en série entière
sur toute la droite réelle, qui soit solution de l'équation différentielle E a 
et qui prenne la valeur 1 en
0.

1--2. Solution de l'équation différentielle E 1 :
Dans cette question le réel À est égal à l :

El: xy"+(l---x)y'--y=0.

a. Déterminer la solution générale fl de l'équation différentielle E 1 sur la 
demi-droite ]0, oo [,
exprimer cette solution à l'aide de fonctions usuelles et de la fonction 
définie sur la demi--droite
]O,oo[, par la relation

x --2'
x r-----> J --e----dt.
1 l

b. Déterminer de même la solution générale de l'équation différentielle E 1 sur 
la demi--droite
]--°°, 0 [-

c. Déterminer enfin les fonctions solutions sur R de l'équation différentielle 
E 1.

1--3. Relation entre les fonctions fg, : ,
Etant donné un réel À, soit g 3_ la fonction. définie sur la droite réelle R 
par la relation suivante :

ga(x) = 6" fa(--X)-

a. Déterminer une équation différentielle linéaire du second ordre vérifiée par 
la fonction g 1.

b. En déduire, en admettant que le produit de deux fonctions réelles 
développables en série
entière sur la droite réelle R est encore une fonction développable en série 
entière sur la droite
réelle R, que, pour tous réels À et x, il vient :

fl--À(x) = exfz(--x)--

0. Préciser, lorsque p est un entier strictement positif, les fonctions fp. En 
déduire les fonctions

f2 CÎf3.

d. Soit p un entier donné supérieur ou égal à 1 (p _>_ 1) ; quelle est, lorsque 
le réel x croît
indéfiniment, la limite de l'expression ci--dessous :

j};+1(X) ?
XJ}(X)

- 2/4-

1--4. Application à une équation aux dérivées partielles :
Soit Q le sous-ensemble ouvert de R3 , rapporté à un repère Oxyz, obtenu en 
retranchant de R3
le plan Oxy :

Q : {(x,y,Z) | (x7yaz) EUR R3 9 2 $ 0}

Soit F une fonction inconnue, définie dans l'ouvert Q, vérifiant l'équation aux 
dérivées
partielles (P) suivante :

2 2 2
( ) 6x2 ôy2 822

Il a été posé dans cette relation :

r = ,/x2 +y2 +22.

Comment y a--t--il lieu de choisir le réel 2. pour que la fonction F définie 
dans l'ouvert Q par la
relation suivante

F = ----1fi--fa(r),

soit solution del' équation aux dérivées partielles (P) ?

SECONDE PARTIE

L'objet de cette seconde partie est l'étude de certaines propriétés de la 
fonction fl @. Dans ce
but soit (p la fonction, définie pour tout réel x, par la relation suivante :

15/2 _ 2
(p(x) = ! ex S'" 9a'9.
o
Étant donné un entier naturel p, soit Ip l'intégrale définie par la relation 
suivante :

1C/2
]p = [ sin2P6 dB.

0

lI--1. Détermination de l'intégrale IP :
Etablir une relation entre les intégrales Ip et I }... . En déduire la valeur 
de l'intégrale Ip.

II-2. Relation entre les fonctions (0 et fl @ :
a. Démontrer que la fonction (p est définie et continue sur toute la droite 
réelle R. Est--elle
plusieurs fois confinûment dérivable ?

b. Déterminer le développement en série entière de la fonction (p sur un 
intervalle ]---R, R [. En
déduire qu'elle est proportionnelle àla foncfionf 1/2. Préciser le coefficient 
de proportionnalité.

Tournez la page S.V.P.
-- 3/4 -

lI-3. Encadrements de (p(x) :
a. Démontrer que, pour tout réel u strictement inférieur à 1 (u < 1), 
l'inégalité ci-dessous

existe :

b. Soit x un réel strictement inférieur à l (x < 1 ) ; soit J(_x) l'intégrale 
définie par la relation
suivante :

1r/2
619
J = ----------------.
(x) "0 1----x sin29

Calculer l'intégrale J (x).

c. Déduire des résultats précédents que, pour tout réel x strictement inférieur 
à 1 (x < 1), la

fonction (p vérifie l'encadrement suivant :
0 _<_ «10: 5 £- ---4---1-----.
. ) 2 r----1 __ x

(1. Démontrer l'existence d'une constante A strictement positive telle que pour 
tout réel x
inférieur ou égal à '--l (x _<_ -----1 ), la fonction (p vérifie la minoration 
suivante :

A.
JÎ--Î'

e. Démontrer que la fonctionfuz admet une limite lorsque le réel x tend vers 
--00. Préciser cette
limite. Est--ce que la fonctionf... est intégrable sur la demi--droite 
]--oe,--l] ?

W) Z

II--4. Étude d'une fonction h :
Soit h la fonction définie sur la droite réelle par la relation :

h(x) = e--x/2f1/2(XÎ).

a. Démontrer que la fonction h est paire et que la valeur de h(x) est donnée 
par la relation
suivante :

h(x) : k jZ" ch (x 00259 ) de.

où k est une constante qui sera déterminée.

b. Déterminer, lorsque le réel x croît indéfiniment, les limites des deux 
expressions suivantes :

h(x) et h(;) .

c. Étudier les variations de la fonction h et tracer la courbe représentative, 
lorsque le réel x
varie sur la droite réelle R.

FIN DU PROBLÈME

.-4/4--

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 PC 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par David Lecomte (ENS Cachan) et Alexander Gewirtz
(ENS Lyon) ; il a été relu par François Michel (École Polytechnique) et Olivier
Bertrand (ENS Lyon).

Ce problème comporte deux parties. Son objet est l'étude de l'équation 
différentielle
E :

xy  + (1 - x)y  - y = 0

· Dans la première partie, on commence par étudier les solutions de cette 
équation
qui sont développables en série entière. Puis on se place dans le cas 
particulier
 = 1 et on essaie d'exprimer ces solutions de manière plus explicite à l'aide de
fonctions usuelles. Enfin, on applique les résultats précédents à l'étude d'une
équation aux dérivées partielles.
· Dans la seconde partie, on se place dans le cas particulier  = 1/2 et on 
étudie
les propriétés de la solution développable en série entière f 21 .
Il s'agit là d'un problème assez classique, qui ne présente pas de grosses 
difficultés.
Sa résolution permet de tester ses connaissances sur les développements en série
entière et sur l'utilisation des intégrales dépendant d'un paramètre.

Indications

Première partie
I-1.c Penser à la règle de D'Alembert.
I-2.a On connaît déjà une solution de E1 ; utiliser la méthode de variation de 
la
constante.
I-2.c Donner l'expression d'une solution de E1 (sur R) sur chacun des 
intervalles
] - , 0[ et ]0, [, puis étudier le « raccord » en 0 par continuité.
I-3.b Bien utiliser les résultats admis aux questions I-1.c et I-3.b.
I-3.d Utiliser le résultat des questions I-1.b et I-3.c.

Seconde partie
II-1 Chercher une relation de récurrence entre les (Ip )pN à l'aide d'une 
intégration
par parties.
II-2.a Utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégrale dans sa 
version la plus
simple.
II-2.b Montrer que  vérifie la même équation différentielle que f 21 . En 
déduire qu'elle
lui est proportionnelle.
II-3.a Utiliser la convexité de la fonction exponentielle inverse 1/exp.
II-3.b Faire le changement de variable u = tan , puis reconnaître la dérivée 
d'une
fonction connue.
II-3.c Utiliser la question II-3.a et la valeur de J(x).
h i
II-3.d Montrer que 0 6 sin u 6 u sur l'intervalle 0 ;
et appliquer la croissance
2
de l'intégrale.
II-3.e Utiliser les résultats des questions II-3.c et II-3.d pour obtenir un 
encadrement
de  sur ] - , -1]. En déduire les limites demandées.
II-4.a La parité de h s'obtient à l'aide de la relation obtenue à la question 
I-3.b,
1
dans le cas  = .
2
Pour obtenir la représentation intégrale de h, utiliser la propriété du cosinus
hyperbolique comme partie paire de l'exponentielle. Puis faire des changements
de variables judicieux pour faire apparaître .
II-4.b Déterminer d'abord la limite de h en - en utilisant les encadrements des
questions précédentes. Conclure en utilisant la parité de h.
II-4.c Utiliser la parité de h et le théorème de dérivation sous le signe 
intégrale.

Première partie
I-1

Solution de l'équation différentielle définie sur toute la droite réelle

I-1.a D'après l'énoncé, il est admis qu'il existe une fonction f , somme d'une
série entière de rayon de convergence R, strictement positif, prenant la valeur 
1
en 0 (f (0) = 1), solution dans l'intervalle ] -R ; R [ de l'équation 
différentielle E .
Cette solution est définie par la relation :
+
P
x ] - R, R[
f (x) = 1 +
an xn
n=1

Détermination des coefficients (an )n>1
f étant somme d'une série entière sur l'intervalle ] -R ; R [, elle est C  sur 
cet
intervalle et ses dérivées première et seconde sont obtenues en dérivant terme 
à terme.
Ainsi,
+

f (x) =

x  ] -R ; R [

nan xn-1

P

f (x) =

x  ] -R ; R [

n=1
+
P

n(n - 1)an xn-2

n=2

Par suite, pour x  ] -R ; R [,
+
P
· xf (x) =
n(n - 1)an xn-1
n=1

+

· (1 - x)f (x) =

P

+

nan xn-1 -

n=1

P

nan xn

n=1

Ainsi f est solution de E si et seulement si, pour tout x  ] -R ; R [,
+

P

+

n(n - 1)an xn-1 +

n=1

P

+

nan xn-1 -

n=1

P

+

nan xn -  -

n=1

P

an xn = 0

n=1

Soit, en modifiant les indices de sommation,
+

P

+

n(n + 1)an+1 xn +

n=0

P

+

(n + 1)an+1 xn -

n=0

P

+

nan xn -  -

n=1

P

an xn = 0

n=1

Or une série entière est nulle si et seulement si chacun de ses coefficients 
est nul.
On en déduit donc que f est solution de E si et seulement si
a1 = 
soit encore

et

n > 1

n(n + 1)an+1 + (n + 1)an+1 - nan - an = 0

n > 1

an+1 =

n+
an
(n + 1)2

D'où l'on déduit l'expression des an :
n > 1

an =

1
(n !)2

n-1

 (k + )

k=0

Calcul effectif de f1 , f0 , f-1 et f-2
· Pour  = 1, on a alors
n > 1
donc

an =

1
n!

f1 (x) = ex

x  R

· Pour  = 0, on a
n > 1
par suite

an = 0
f0 (x) = 1

x  R

· Pour  = -1, on a a1 = -1 et
n > 2
Ainsi

f-1 (x) = 1 - x

x  R

· Pour  = -2, on a a1 = -2, a2 =

an = 0

1
et
2

n > 3
Par conséquent

x  R

an = 0

f-2 (x) = 1 - 2x +

x2
2

Il est très important d'ajuster les indices de sommation de façon à ce que
toutes les expressions aient le même indice en puissance de x. Sinon on a de
grandes chances d'oublier de compter un terme constant, voire de se tromper
dans les indices de la suite (c'est-à-dire remplacer an par an+1 par exemple).
I-1.b Déterminons les valeurs de  pour lesquelles f est un polynôme. On sait que
c'est le cas si et seulement si tous les coefficients de la série entière 
définissant f sont
nuls, sauf éventuellement un nombre fini.
Or

n  N

an+1 =

n+
an
(n + 1)2

et dès qu'un coefficient est nul, tous les suivants le sont. Ainsi,
f est un polynôme  n  N
 n  N
 n  N
D'où

an = 0
1
(n !)2

n-1

 (k + ) = 0

k=0

 = -n

f est un polynôme si et seulement si  est un entier négatif.