Mines Maths 2 PC 2000

Thème de l'épreuve Résolution d'une équation différentielle linéaire du second ordre ; localisation des zéros des solutions
Principaux outils utilisés équations différentielles, séries entières, séries de fonctions

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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00 MATH. ]] - PC

, ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏIÛNS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMÜNIÇAÏIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURDS D'ADMISSION 2000
MATHÉMATIQUES

DEUXIÈME ÉPREUVE
FILIERE PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)

Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE--BNP.

L'emploi dela calculette est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première 
page de la copie :
MATHEMATIQUES ]] -- PC.
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, 
comporte 5 pages.

Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, ille signale 
sur sa copie et
poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est 
amené à prendre.

Le but de ce problème est d'étudier quelques propriétés de certaines équations 
différentielles du
type suivant :

(E) y"(t) + (P(1)J'(l) = 0-

Première partie

L'objet de cette partie est l'étude de l'équation différentielle :

(Er) y"(t) +e"y(t) : 0.

I.]. Caractérisation d'une solution périodique :

Démontrer qu'une fonction jÇ définie sur toute la droite réelle, solution de 
l'équation différentielle
(E), est 2n--péfiodique si et seulement si elle prend, ainsi que sa dérivée f 
', mêmes valeurs en 0 et en
2" :

f(0) =f(2fl), f'(Ô) =f'(2fl)

1.2. Construction d'une solution périodique :
Soit f une fonction 2n-péfiodique solution de l'équation difi'érenfielle (El) ; 
soit c,,(f),n & Z, ses

-l/5-

coefficients de Fourier.

1 27!

pour tout entier relatif n : c,,(/) = î
0

a. Démontrer que la fonction f est la somme de sa série de Fourier, 
c'est--à--dire que, pour tout réel

f(t) = ch(f>ef"f.

n=--oe

b. Exprimer les coefficients de Fourier de la fonction dérivée seconde f " de f 
en fonction de ceux
de f En déduire, à l'aide de l'équation différentielle, la relation de 
récurrence qui lie c,,(f) à C,... U).

c. Préciser la valeur du coefficient de Fourier c_1(f) ', en déduire la valeur 
de tous les coefficients
de Fourier de rang strictement négatif. Calculer les coefficients de Fourier de 
rang positif en fonction
de COU). En déduire l'expression de la fonction f.

1.3. Inégalité vérifiée parla fonction f et sa dérivéef ' :
3... Soit h un réel strictement positif ; établir une majoration du module des 
deux nombres
complexes C et D, définis ci--dessous par les relations :

C=f(î+h)--f(t)--hf'(1) ; D=f(î--h)--f(l)+hf'(t)

en fonction de la norme de la convergence uniforme de la fonction f : Hfll w = 
sup 1i(t)|.
!'

b. Déduire des deux inégalités obtenues la relation :

Hf'll... S 2 le
Deuxième partie

Soit (un ),,=0,1,2w la suite des fonctions définies sur la droite réelle par la 
relation suivante :

une) = <--l>" (à")2.

Soit g la fonction somme dela série entière de terme général u,,(x), définie 
dans l'intervalle de
convergence de cette série par la relation suivante :

__ °° __ n X"
g(x>--ê< 1) ç...)2'

Le but de cette partie est l'étude de la fonction g.

Ill. Rayon de convergence :
Déterminer le rayon de convergence R de la série de terme général un(x).

--2/5-

H.2. Signe dela fonction g :

Quelle est le signe de la fonction dérivée g', sur le segment [O, 2] ? En 
déduire qu'il existe un réel
xo tel que la fonction g est positive sur l'intervalle semi--ouvert [O,xo [ et 
négative sur l'intervalle
semi--ouvert ]xo,2]. Démontrer l'inégalité xo >JÏ (prendre JÎ = 1,41).

Troisième partie
Le but de cette partie est d'étudier les zéros des solutions de l'équation 
différentielle suivante :
(E:) y"(t) + et y(t) = 0.
Dans toute cette partie y désigne une solution réelle de l'équation 
différentielle (EZ).

III.1. Zéros de la fonction y :

3... Préciser la fonction y lorsqu'il existe un réel et tel que la fonction y 
et sa dérivée sont nulles en ce
point a :y(a) = O, y'(a) = 0 .

b. Soient a et b deux réels (a < b), 2 une solution réelle de l'équation 
différentielle suivante :
(F) z"(t) + e" z(t) = 0.

La foncfionz est supposée s'annuler en deux points a et 5 de l'intervalle [a,b] 
(a S a < [? 5. b) et
être strictement positive sur l'intervalle ouvert ]a, B [. Soit y une solution 
de l'équation difi'érentielle
(E2).

Soit H l'hypothèse : "la fonction y est strictement positive sur l'intervalle. 
[a, ,B ]".

Soit Wla fonction définie sur l'intervalle [a, [3 ] par la relation suivante :

WO") = y(l') Z'(û --y'(t) Z(Ù-

Etudier les variations de la fonction Wsur l'intervalle [a, 5 ] ; en déduire 
que l'hypothèse H
formulée ci--dessus estfausse.

En conclure que, pour toute solution réelle z de l'équation différentielle (F), 
entre deux zéros
consécutifs de la fonction z se trouve au moins un zéro de la fonction y.

c. Déduire des résultats précédents que, pour tout réel 1, toute solution y 
réelle de l'équation
différentielle E; a au moins un zéro dans l'intervalle

[r, 1: +7: exp(----â--) ].

IH.2. Espacement des zéros de la fonction y :
Soit y une solution réelle de l'équation différentielle E2, différente de la 
solution nulle.

a. Soit f un zéro de la fonction y ; démontrer qu'il existe un intervalle 
ouvert ]1, T + c[, où 0 est un
réel strictement positif sur lequel la fonction y n'est pas nulle.

b. Soient deux zéros consécutifs a et ,B de la fonction y. Démontrer, en 
considérant une solution

-3/5--

réelle 2 de l'équation différentielle suivante :

(G) z"(t) + e" z(t) : O,
que les réels et et B vérifient l'inégalité suivante :

5--0: 2 7r exp(--%).

Quatrième partie

L'objet de cette partie est de construire une fonction 'P solution de 
l'équation différentielle E2. Soit
(Vn)n=o,l,2,...> une suite de fonctions définies sur la droite réelle par la 
relation :

_ (--1)"e
Vn(t )" (n!)2e

Lorsque la série de fonctions de terme général v,, est convergente, soit '? la 
fonction somme de
cette série :

%) = >": <--_---};;

IV. 1 La fonction '--P est solution de l'équation différentielle_Ez :
a. Etablir que, pour tout réel a, la série de terme général v,,(t) est 
uniformément convergente sur la
demi--droite ]--oo, a].

b. Démontrer que la fonction 'P est une solution de l'équation différentielle 
(E2) définie sur toute la
droite réelle. '

IV.2. Zéros de la fonction 'P :
Démontrer, en utilisant des résultats des deuxième et troisième parties, que 
les zéros de la fonction
'? constituent une suite monotone croissante (t")n=0,1,2,...' de réels :

to-->oo ...
Cinquième partie

Le but de cette partie est d'établir des majorations des fonctions solutions de 
l'équation
différentielle :

(E) y"(t) + (PC) y(t) = 0-

V.1.Une inégalité :
SoientM un réel strictement positif (M > O) et a un réel. Soient f et g deux 
fonctions positives,

-4/5-

définies et continues sur la demi- droite [a, oe[, telles que, pour tout réel 
tde la demi- droite [a, oe[,
l'inégalité ci--dessous ait lieu:

fil) 5 M + Jlf(x) g(x) dx.
Etablir, en considérant par exemple la fonction F, définie sur la demi--droite 
[a, oe[ par la relation :
F dx,
la propriété :
fil) 5 Mexp([ig dx).

Dans la suite le réel a est strictement positif (a > O) ; soit y une fonction 
réelle, définie et continue
sur la demi--droite [a, oe[, vérifiant l'équation différentielle (E) :

(E) y"(t) +(P(l)Y(l) = 0,

où (p est une fonction réelle, définie et continue sur la demi- droite [a, 00[, 
telle que la fonction
t r--> t.(p(t) est intégrable sur la demi- droite [a, oo[ (l'intégralefl° 
t|rp(t)| dt existe)

V.2. Majorafion de la fonction ly(t)|/t :
a. Déterminer une fonction afiine A : t v--> A(t), définie sur la demi-droite 
[a,oe[, telle que, pour
tout réel t de cette demi-droite, la relation ci-dessous ait lieu :

y(t) = A(t) -- [la --x)y(x> «p dx.

b. Démontrer que la fonction j définie par la relation

est bomée lorsque le réel t croît vers l'infini. C'est-à--dire : il existe deux 
réels strictement positifs
C et D tels que, pour tout t supérieur ou égal à C (t 2 C), il vienne : bz(t)| 
5 D t.

V.3. Limites de y'(t) et de y(t)/t :
Démontrer, en utilisant les résultats précédents que la fonction dérivée y' : t 
l--> y'(t) a une limite
lorsque le réel t croît vers l'infini ; soit 0 cette limite :

0 : lim y'(t).

r-->oe

b. En déduire que l'expression j(t) -- y(--') a pour limite 0 lorsque le réel t 
croît vers l'infini.

FIN DU PROBLÈME

-5/5-

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 PC 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thomas Chomette (ENS Ulm) ; il a été relu par Brice
Goglin (ENS Lyon) et Codrin Nichitiu (ENS Lyon).

Ce problème traite de l'étude des solutions de l'équation différentielle 
linéaire :
y  (t) + (t)y(t) = 0
· Dans la première partie, on calcule la solution générale (sous la forme d'une
série de Fourier) de cette équation dans le cas où (t) = eit .
· Les trois parties suivantes sont consacrées au cas (t) = et .
On y calcule là encore la solution générale, sous forme de série, puis l'on 
s'intéresse à la structure de l'ensemble des zéros de cette solution (théorie 
de Sturm).
· La cinquième partie, quant à elle, traite du comportement asymptotique des
solutions de l'équation générale.

Indications
Première partie

I.1 Penser au théorème de Cauchy.
I.2.a Penser au théorème de Dirichlet.
I.3.a Faire deux intégrations par parties successives.

Deuxième partie

II.1 Penser au critère d'Abel.
II.2 Utiliser le critère de Leibniz et l'optimiser en traitant parfois les 
premiers
termes de la série à part.

Troisième partie

III.1.b Obtenir une contradiction par l'étude des variations de W.
III.2.a Conduire un raisonnement par l'absurde rigoureux.
III.2.b Raisonner comme à la question III.1.b.

Quatrième partie

IV.1.a Utiliser le critère de Cauchy uniforme.
IV.2 Montrer les résultats dans l'ordre où ils sont énoncés, en utilisant ceux 
déjà
obtenus.

Cinquième partie

V.2.a Partir à l'aventure en utilisant des raisonnements du type :
Z x
f  (u) du
f (x) = f (a) +
a

(Ne pas oublier de justifier la validité de cette expression.)
V.3.b Revenir à la définition de la limite.

Première partie
I.1 Si une solution f de l'équation (E1 ) est 2-périodique, il en est de même 
pour
sa dérivée (qui existe, la fonction étant nécessairement 2 fois dérivable). On 
a alors
clairement
f (0) = f (2)

f  (0) = f  (2)

et

Inversement, si f (0) = f (2) et f  (0) = f  (2), alors alors la fonction g : t 
7 f (t+2)
est solution du problème de Cauchy :
(
y(0) = f (0)

it
y (t) + e y(t) = 0
avec
y  (0) = f  (0)
Le théorème de Cauchy assure l'unicité de la solution à ce problème ; en 
conséquence,
les fonctions f et g coïncident, c'est-à-dire que l'on a
t

f (t) = f (t + 2)

En d'autres termes, f est 2-périodique.
I.2.a f est une solution 2-périodique de l'équation (E1 ). En particulier, elle 
est
2 fois dérivable, donc de classe C 1 . Par le théorème de Dirichlet, f est donc 
limite
simple de sa série de Fourier, et on a bien
+

t

f (t) =

P

cn (f )eint

n=-

I.2.b Pour toute fonction f 2-périodique dérivable, on a cn (f  ) = i n cn (f ) 
(si l'on
ne connaît pas ce résultat, il s'agit d'une simple intégration par parties).
cn (f  ) = -n2 cn (f )

On obtient donc

Par ailleurs, l'expression intégrale de cn (f  ) est
Z 2
1

cn (f ) =
f  (t)e-int dt
2 0
Mais comme f  (t) = -eit f (t), il vient
Z 2
1
cn (f  ) =
-eit f (t)e-int dt
2 0
Z 2
1
=
-f (t)e-i(n-1)t dt.
2 0
cn (f  )

= -cn-1 (f ).

De ces deux expressions de cn (f  ), on tire alors
n2 cn (f ) = cn-1 (f )

(1)

I.2.c La relation (1) appliquée à n = 0 donne
02 c0 (f ) = c-1 (f )
En particulier,

c-1 (f ) = 0

Par récurrence, la relation n2 cn (f ) = cn-1 (f ) donne immédiatement
n < 0

cn (f ) = 0

Pour ce qui est des coefficients positifs, nous allons montrer, toujours par 
récurrence,
que
n > 0

cn (f ) =

1
c0 (f )
(n!)2

· Le résultat est immédiat au rang 0.
· Supposons-le vrai au rang n. On a
(n + 1)2 cn+1 (f ) = cn (f )
donc

cn+1 (f ) =

cn (f )
1
1
c0 (f )
=
c0 (f )
=
(n + 1)2
(n!)2
(n + 1)2
((n + 1)!)2

grâce à l'hypothèse de récurrence.
· Le principe de récurrence permet de conclure que :

1
n > 0
cn (f ) =
c0 (f )
(n!)2
On peut alors exprimer la fonction f , solution de l'équation (E1 ), par
1 int
e
2
(n!)
n=0
+

f (t) = c0 (f )

P

C = f (t + h) - f (t) - hf  (t)

I.3.a

On reconnaît dans C le début du développement de Taylor de f (t + h). f étant
solution de (E1 ), elle est 2 fois dérivable, donc continue, et comme f  (t) = 
-eit f (t),
f  est continue. En conséquence, f est de classe C 2 (et même C  par une facile
récurrence), et par suite f  est primitive de f  , tout comme f est primitive 
de f  .
On peut donc écrire :
Z t+h
Z t+h Z u
C=
(f  (u) - f  (t)) du =
f  (v) dv du
t

t

t

On majore alors brutalement |f (v)| par kf k . Comme de plus f  (t) = -eit f 
(t),
on remarque alors que kf  k = kf k . Il vient
 2
Z t+h
h
|C| 6
(u - t) kf k du 6
kf k
2
t