Mines Maths 1 PC 2011

Thème de l'épreuve Inégalité de Prékopa et de Leindler
Principaux outils utilisés convexité, intégration, topologie

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
              

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
     

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A 2011 MATH I PC
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH.
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH
MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY,
TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC).
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2011
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC
(Durée de l'épreuve : trois heures)
L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives
qu'il est amené à prendre.

1

Inégalité de Prékopa et Leindler.
Notations.
On notera R l'ensemble des nombres réels, R+ l'ensemble des nombres réels 
positifs
et R+ l'ensemble des nombres réels strictement positifs. On désignera par N 
l'ensemble
des entiers naturels et par N l'ensemble des entiers naturels strictement 
positifs.
Soit n  N . On notera C 0 (Rn , R+ ) (resp. C 0 (Rn , R+ )) l'ensemble des 
fonctions
continues de Rn dans R+ (resp. dans R+ ).
Soient A et B deux parties non vides de Rn . Pour tous réels a et b on notera 
aA+bB
la partie de Rn définie par
aA + bB = {ax + by, x  A, y  B} .
En particulier pour a = -1, on écrit -A = {-x, x  A}.
Si f désigne une fonction f : R  R bornée sur R alors on pose kf k = sup |f 
(x)|.
xR

Soit I un intervalle non vide de R. On rappelle qu'une fonction g : I  R est 
dite
convexe si:
x, y  I,   [0, 1], g(x + (1 - )y)  g(x) + (1 - )g(y) .
L'opposée d'une fonction convexe est une fonction concave.
On rappelle que si g est de classe C 1 sur I, alors g est convexe si et 
seulement sa
dérivée g  est croissante (au sens large) sur I.
Pour toute fonction f : I  R+ , tous x  I et  ]0, 1[, on écrira f (x) pour
(f (x)) .
Partie I. Une inégalité de Prékopa et Leindler.
1) Soient  un réel dans l'intervalle ]0, 1[, et a et b deux réels positifs. 
Montrer que
a + (1 - )b  a b1- ,
(on pourra introduire une certaine fonction auxiliaire dont on justifiera la 
concavité).
Montrer en outre que pour tout réel u > 1,
(a + (1 - )b)u  au + (1 - )bu .

2) Soient a et b deux réels positifs et  un réel dans ]0, 1[. Montrer que
(a + b)  a + b .
Dans toute cette partie  est un réel appartenant à l'intervalle ]0, 1[ et f, g, 
h sont des
fonctions de C 0 (R, R+ ) intégrables qui satisfont l'inégalité suivante
x  R, y  R,

h(x + (1 - )y)  f (x) g(y)1- .

Le but de cette partie est de montrer l'inégalité suivante, à laquelle on fera 
référence
par "inégalité de Prékopa et Leindler", ou en abrégé "P-L":
Z +
 Z +
1-
Z +
(1)
h(x)dx 
f (x)dx
g(x)dx
.
-

-

-

2

Dans les questions 3), 4) et 5) on supposera de plus que f et g sont strictement
positives, c'est-à-dire pour tout réel x, f (x) > 0 et g(x) > 0.
R +
R +
3) On note F = - f (x)dx et G = - g(x)dx. Montrer que pour tout t dans
l'intervalle ]0, 1[ il existe un unique réel noté u(t) et un unique réel noté 
v(t) tels que
Z
Z
1 v(t)
1 u(t)
f (x)dx = t,
g(x)dx = t .
F -
G -
Ru
(On pourra étudier les variations de la fonction : u 7 F1 - f (x)dx).

4) Montrer que les applications u et v sont de classe C 1 sur l'intervalle ]0, 
1[ et, calculer
pour chaque t ]0, 1[ les nombres dérivés u (t) et v  (t).
5) Montrer que l'ensemble image de l'application w définie sur ]0, 1[ par
t ]0, 1[,

w(t) = u(t) + (1 - )v(t) ,

est égal à R. Puis prouver
R +que w définit un changement de variable de ]0, 1[ sur R. En
utilisant ce dernier et - h(w)dw, montrer que f , g et h satisfont l'inégalité 
"P-L"
(1).
On pose (u) = exp(-u2 ) pour tout réel u.
A partir de maintenant, on suppose que les fonctions f, g et h sont seulement à
valeurs positives ou nulles.
6) Prouver que pour tous x, y  R,
(x + (1 - )y)  (x) (y)1- .
Soit M un réel strictement positif. On suppose dans les questions 7), 8) et 9) 
que
f et g sont nulles en dehors de l'intervalle [-M, M ]. On note  = min(, 1 - ),
c = M max(, 1 - ) . Pour chaque réel u on pose:
 = max(, 1 - ) et, M
(
c
c)2 ), si |u| > M
exp(- 12 (|u| - M
M (u) =
c
1,
si |u|  M
7) Soit x, y  R. On pose z = x + (1 - )y. Prouver que si |y|  M alors
(x)  M (z). De même, prouver que si |x|  M alors (y)  M (z).

8) Soit  ]0, 1[, f = f +  et g = g + . Montrer que
x, y  R,

1-
f (x) g (y)1-  h(z) +  (kf k + kgk
) (M (z)) + (z),

où z = x + (1 - )y. On commencera par appliquer l'inégalité de la question 2, 
puis
les deux questions précédentes. On rappelle que f (x) = 0 si |x| > M et que 
g(y) = 0
si |y| > M ).
9) En déduire que si f et g sont nulles en dehors d'un intervalle borné alors 
l'inégalité
"P-L" est satisfaite.

3

Soit n  N. On désigne par n : R  R la fonction continue qui vaut 1 sur [-n, n],
qui vaut 0 sur ] - , -n - 1]  [n + 1, +[ et qui est affine sur chacun des deux
intervalles [-n - 1, -n] et [n, n + 1].
10) Soit n  N . Montrer que:
x, y  R, n (x) n (y)1-  n+1 (x + (1 - )y) .
11) Montrer que l'inégalité "P-L" (1) est satisfaite (si on choisit d'utiliser 
le théorème
de convergence dominée alors on vérifiera soigneusement que ses conditions de 
validité
sont remplies).
Partie II. Fonctions log-concaves.
Soit n un entier strictement positif. On dira qu'une fonction f de Rn dans R+ 
est
log-concave si pour tout  dans l'intervalle ]0, 1[
x  Rn , y  Rn ,

f (x + (1 - )y)  f (x) f (y)1- .

12) Soit N : Rn  R+ une norme sur l'espace vectoriel Rn . Prouver alors que
l'application définie par
x  Rn ,

f (x) = exp (-N (x)2 ) ,

est continue et log-concave sur Rn . (On pourra observer que la fonction u 7 u2 
est
convexe sur R+ ).
Partie III. Quelques applications géométriques.
Dans cette partie on admettra que l'inégalité "P-L" démontrée dans la partie I 
reste
vraie dans l'espace des fonctions de R dans R+ continues par morceaux et 
intégrables.
C'est-à-dire que pour toutes fonctions f, g, h de R dans R+ , continues par 
morceaux
et intégrables sur R, et pour tout  dans l'intervalle ]0, 1[ tels que
x  R, y  R, h(x + (1 - )y)  f (x) g(y)1- ,
l'inégalité suivante est vérifiée
Z
Z +
h(x)dx 
-

+

f (x)dx
-

 Z

+

g(x)dx
-

1-

.

Soit f une fonction continue de R2 dans R. On dit que f est à support borné si 
il
existe un réel M > 0 tel que f est nulle en dehors du carré [-M, M ]2 , c'est à 
dire que
f (x, y) = 0 si |x| > M ou |y| > M .
On admettra que
Z M Z
-M

M

f (x, y)dy dx =
-M

Z

M

-M

Z

M

-M

f (x, y)dx dy ,

et que cette
du choix de M . On définit alors l'intégrale
R R valeur commune ne dépend pas
2
double
comme
la valeur commune des deux intéf
(x,
y)dxdy
de
f
(x,
y)
sur
R
R2
grales itérées écrites dans l'égalité précédente.

4

13) Soit  ]0, 1[ et f, g, h des fonctions de R2 dans R+ continues à support 
borné et
telles que
X  R2 , Y  R2 ,
Montrer que
Z Z

R2

h(x, y)dxdy 

h(X + (1 - )Y )  f (X) g(Y )1- .

Z Z

f (x, y)dxdy
R2

 Z Z

g(x, y)dxdy
R2

1-

.

Dans la suite on munit R2 de la norme euclidienne canonique.
14) Soit A une partie ouverte bornée non vide de R2 . On désigne par C(A) 
l'ensemble
des fonctions continues f de R2 dans [0, 1] telles que (x, y)  R2 \ A, f (x, y) 
= 0 (en
d'autres termes f est nulle hors de A). Montrer alors que la borne supérieure
Z Z
f (x, y)dxdy
sup
f C(A)

R2

existe et définit un réel noté V (A).
15) On considère un rectangle ]a, b[×]c, d[ du plan R2 , avec a < b et c < d. 
Calculer
le réel V (]a, b[×]c, d[). Que représente-t-il? (On pourra utiliser des 
fonctions du type
(x, y) 7 f (x, y) = (x)(y) ,
où  et  sont des fonctions continues et affines par morceaux bien choisies).
16) Soient A et B deux parties ouvertes bornées non vides de R2 et  ]0, 1[. 
Vérifier
que A + (1 - )B est un ouvert borné de R2 . Puis montrer que
V (A + (1 - )B)  V (A) V (B)1- .
Pour démontrer cette inégalité, on utilisera le résultat admis suivant. Pour 
tout
f  C(A) et g  C(B), la fonction h déterminée par:
Z  R2 , h(Z) = sup{f (X) g(Y )1- / X, Y  R2 , Z = X + (1 - )Y }
définit une fonction continue sur R2 .
17) Soit u : R2 ]0, +[ une fonction continue et log-concave au sens de la partie
II. Prouver que l'inégalité précédente reste vraie si on remplace l'application 
V par
l'application  définie pour toute partie ouverte bornée (non vide) A de R2 par
Z Z
f (x, y)u(x, y)dxdy .
(A) = sup
f C(A)

R2

Fin du Problème.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 1 PC 2011 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jules Svartz (ENS Cachan) ; il a été relu par Vincent
Leclère (École polytechnique) et Guillaume Dujardin (chercheur à l'INRIA).

Cette épreuve se compose de trois parties de tailles inégales. Celles-ci sont 
très
liées, de sorte qu'aucune question n'est vraiment indépendante des autres.
· Dans la première partie, le but est d'établir l'inégalité de Prékopa et 
Leindler
reliant les intégrales sur R de trois fonctions continues et intégrables 
vérifiant
une inéquation fonctionnelle. L'idée est d'établir cette inégalité 
successivement pour les fonctions strictement positives, puis pour celles à 
support borné,
et enfin d'en déduire le cas général. Pour ce faire, on utilise des techniques 
de
convexité et d'analyse élémentaire.
· La deuxième partie (réduite à une question !) permet d'illustrer une 
définition
qui interviendra à la toute fin de problème et qui a pour cadre Rn , avec n
quelconque, alors que dans le reste du problème l'espace considéré est R ou R2 .
· Enfin, la troisième partie étend les résultats de la première à des intégrales
doubles et en donne une application géométrique dans l'expression d'une 
inégalité reliant les aires de certains ouverts du plan. Plus exactement, on 
montre
que pour A et B deux ouverts bornés du plan et   ] 0 ; 1 [, les aires V(A),
V(B) et V(A + (1 - )B) sont reliées par la formule
V(A + (1 - )B) > V(A) V(B)1-
Cet énoncé atypique est de difficulté soutenue tout au long du sujet. Néanmoins,
l'enchaînement des questions est logique et bien guidé. La troisième partie 
exige de
mobiliser son intuition géométrique pour bien comprendre ce dont il est 
question.

Indications
Partie I
1 Penser au logarithme pour la première partie de la question et raisonner à 
l'aide
de la fonction x 7 xu pour la seconde partie.
2 Fixer une variable et faire une étude de fonction.
3 Se rappeler de la définition d'une intégrale sur un intervalle autre qu'un 
segment.
4 Utiliser la formule donnant la dérivée d'une fonction à partir de celle de sa 
fonction
réciproque.
5 Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
6 On pourra utiliser le résultat de la question 1 avec u = 2.
7 Cette question et la suivante sont assez techniques, il ne faut pas avoir 
peur de
b et z > M.
b
se lancer dans des calculs ! On pourra distinguer les cas |z| 6 M

8 Développer le produit f (x)g1- (y) en quatre termes et majorer chacun d'entre
eux pour se ramener à l'expression donnée par l'énoncé, à l'aide d'une inégalité
triangulaire.
9 Chercher à appliquer P-L à f et g et faire tendre  vers 0.
10 Distinguer les cas |x| < n + 1 et |x| > n + 1.
11 Utiliser n f et n g.
Partie II
12 Penser à l'inégalité triangulaire.
Partie III
13 Raisonner en deux temps, tout d'abord avec une fonction partielle, 
c'est-à-dire en
fixant une variable et ensuite avec les deux variables x et y.
14 Il s'agit de montrer que, pour f décrivant l'ensemble C(A), la quantité
ZZ
f (x, y) dx dy
R2

reste bornée indépendamment de f .
15 Une intégrale pouvant être vue comme le calcul de « l'aire sous la courbe »,
une intégrale double peut être interprétée comme un volume. On pourra essayer
de visualiser ce dont il est question.
16 Montrer que h est dans C(A+(1-)B) et appliquer le résultat de la question 13.
17 Quelle inégalité relie les fonctions f u, gu, et hu ?

I. Une inégalité de Prékopa et Leindler.
Dans tout le corrigé,  désigne un réel de l'intervalle ] 0 ; 1 [ et nous 
adopterons
la convention 0 = 0, de sorte que x 7 x est continue sur R+ .
1 Si l'un au moins des deux réels a ou b est nul, le terme de droite est nul, 
et comme
le terme de gauche est positif, l'inégalité est démontrée. Sinon, a et b sont 
strictement positifs. La fonction ln, définie sur R+ a pour dérivée la fonction 
x 7- 1/x
décroissante. Ainsi ln est concave. On en déduit que
ln(a + (1 - )b) >  ln(a) + (1 - ) ln(b)
En composant avec l'exponentielle, qui est une fonction croissante sur R, on 
obtient
 a, b > 0

a + (1 - )b > a b1-

Établissons maintenant la deuxième inégalité demandée. On remarque que si a
ou b est nul, l'inégalité est vérifiée car u > 1, et de plus   ] 0 ; 1 [, ainsi 
u 6 
et (1-)u 6 1-. Supposons maintenant a > 0 et b > 0. Pour tout u > 1, la fonction
( 
R+ - R
u :
x 7- xu
est de classe C 2 et vérifie pour tout x  R+
u (x) = uxu-1

et

u (x) = u(u - 1)xu-2 > 0

Ainsi u est croissante sur R+ et  est convexe. D'où
 a, b > 0

(a + (1 - )b)u 6 au + (1 - )bu

2 Si a = 0, l'inégalité à démontrer est évidente. Fixons a > 0 et considérons
(
R+ - R
fa :
b 7- (a + b) - a - b
La fonction fa est continue sur R+ , dérivable sur R+ avec, pour tout b > 0
fa (b) = (a + b)-1 - b-1 = ((a + b)-1 - b-1 )
Comme   ] 0 ; 1 [, t 7 t-1 est décroissante sur R+ , fa est négative car a > 0, 
et fa
est décroissante. C'est pourquoi, pour tout b > 0, fa (b) 6 fa (0) = 0, d'où
 a, b > 0

(a + b) 6 a + b

3 Par stricte positivité de f sur R, pour tout u  R,
Z
1 u
0<
f (x) dx < 1
F -

ce qui justifie la définition suivante

 R - ] 0 ; 1 [
Z
f :
1 u

u
-
7

f (x) dx

F -

La fonction f est de classe C 1 sur R et a pour dérivée f /F. Par conséquent
elle est strictement croissante. Montrons que f a pour limite 0 en - et 1 en +.
Par définition
Z +
Z
Z M
f (x) dx =
sup
f (x) dx = sup
f (x) dx
I segment  R

-

M>0

I

-M

car tout segment est inclus dans un segment de la forme [ -M ; M ]. Soit  > 0, 
il existe
un réel M > 0 tel que
Z
1 M
f (x) dx > 1 - 
F -M
La fonction f étant croissante, on en déduit f (-M) 6  et f (M) > 1 - .
Ceci étant valable pour tout , on a bien
lim f (u) = 0

u-

et

lim f (u) = 1

u+

Ainsi, d'une part, pour tout t dans ] 0 ; 1 [, il existe, d'après le théorème 
des valeurs
intermédiaires, un réel u(t) tel que f (u(t)) = t, et d'autre part ce réel est 
unique
d'après la stricte croissance de f .
En toute rigueur, pour utiliser le théorème des valeurs intermédiaires,
il faudrait tout d'abord mener le raisonnement suivant : soit t  ] 0 ; 1 [.
Comme lim f (t) = 0, il existe u0 , tel que f (u0 ) < t. De même,
t-

lim f (t) = 1, et il existe u1 , tel que f (u1 ) > t. On peut appliquer le

t+

théorème à f sur l'intervalle [ u0 ; u1 ].
La fonction g vérifie les mêmes hypothèses de stricte positivité et 
d'intégrabilité sur R
que f . Par conséquent, on peut reprendre le raisonnement précédent à 
l'identique,
en remplaçant f par g, F par G et u par v. Ainsi,
! u(t)  R

et

! v(t)  R

f (u(t)) = t

et

g (v(t)) = t

4 D'après ce qui a été démontré à la question précédente, f (R) = ] 0 ; 1 [. 
Comme
la fonction f est de classe C 1 et sa dérivée est strictement positive, f 
réalise un
difféomorphisme de classe C 1 de R vers ] 0 ; 1 [. Ainsi u, fonction réciproque 
de f ,
est également de classe C 1 et vérifie de plus
u (t) =

f

1
F
=
 u(t)
f  u(t)

et de même

v  (t) =

G
g  v(t)

5 D'après la question 3,
lim u(t) = lim v(t) = -

t0

t0

et

lim u(t) = lim v(t) = +.

t1

t1

Comme   ] 0 ; 1 [, il en va de même pour w. De plus w est somme de fonctions de
classe C 1 sur ] 0 ; 1 [, elle est par conséquent de classe C 1 sur ce même 
intervalle et y
est en particulier continue. Ainsi, d'après le théorème des valeurs 
intermédiaires,
w(] 0 ; 1 [) = R
Même remarque qu'à la question 3 concernant l'utilisation du théorème des
valeurs intermédiaires.