Mines Maths 1 PC 2004

, ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ECOLES NATIONALES SUPEROEU@S DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TÉLÉCOMMUNIÇATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÊTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2004

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, 
TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES l-Filière PC.

Cet énoncé comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en eXpliquant les raisons des 
initiatives qu'il est

amené à prendre.

Ce problème met en évidence par une méthode originale une propriété et une 
méthode de
calcul de la moyenne et de la variance bien connues en Probabilités.

Soit S l'ensemble des suites réelles U = (un)"ÊN dont tous les termes u,, sont 
positifs ou nuls et
la somme égale à l :

S={Ul U=(un)neN, Vn,u,,20, Eu...=l}.
"zo

Soit F l'ensemble des fonctions réelles f qui sont des sommes de série entière 
de rayon de
convergence R supérieur ou égal à 1 ; ces séries entières sont convergenæs 
lorsque le réel x est égal
à 1 et leur somme vaut 1 en ce point ; toutes les dérivées des fonctions f en 0 
sont positives ou

nulles :

F= {f | f(x) = Zanx", Za,, = I, R 2 1, Vn,fl")(0) a o}.
n=0 n=0

À une suite U = (u,, )OEN, appartenant à S, est associée la fonction f définie 
par la relation
suivante :

f(x) = Ëu,, x".
n=O

Soit j l'application ainsi définie : U I--> f = j(U) ; la fonction j(U) est 
notée Ü.

Propriétés des fonctions de F et des suites de S :

1. Démontrer que toute fonction f, qui appartient à l'ensemble F, est, sur 
l'intervalle ouvert
1 = ]----1 , 1 [, une fonction indéfiniment dérivable, croissante sur le 
segment [0,1] et convexe sur
l'intervalle semi--ouvert [O, 1 [.

2. Démontrer que toute fonction fi qui appartient à l'ensemble F, est continue 
à gauche en 1.

Exemples : soient G, E' et Vles trois suites définies par les relations 
suivantes :
. G est la suite géométrique de terme général g,, = 1/2'" ' :

G= (âerr

- Étant donné un entier naturel q, E" est la suite dont tous les termes sont 
nuls sauf le terme de
rang q égal à 1 :

154 = (0,....,0,1,0,.---).

. V = (vu)"EN est la suite de réels définie par les relations suivantes :

® "1
v0=1/2;pourn21, v,,=«%--aveca= 22 ----15-- .
n n=l n

3. Montrer que les suites G, Eq et Vsont dans S. Déterminer les images @ == j(G 
), Ëî == j(E" )
des suites G et E9 ; calculer la dérivée V' de la fonction V : j(V) image de la 
suite V; puis donner
l'expression de V(x) à l'aide d'une intégrale.

4. Soit f une fonction appartenant à l'ensemble F.

Démontrer que, si la fonction f est nulle en () (f(0) = 0), la fonction f est, 
soit égale à x sur le
segment [O, 1 ], soit strictement majorée par x sur l'intervalle ouvert ]0, 1 [
(O flx)  O), 
l'équation

f(x) = x
a, dans l'intervalle ouvert ]0, 1 [, au plus une solution.
5. Démontrer que, pour toute suite U appartenant à l'ensemble S, la fonction j 
(U) appartient à

l'ensemble F. Démontrer que l'application j est une application bijective de 
l'ensemble S sur
l'ensemble F.

Une loi de com position dans l'ensemble S :

Étant données deux suites U = (un)"EURN et V = (v,,)nGN appartenant à 
l'ensemble S, soit U * V
la suite, dont les termes w... n G N, sont définis par la relation suivante :

n
W,, = E a,, Vn_p.
p=0

6. Démontrer que la suite U * V = (W,, )mEN ainsi définie appartient à 
l'ensemble S.

7. Démontrer qu'étant données deux suites U et Vde S, àla composée U * Vde ces 
suites
correspond par l'application j le produit des fonctions j(U) et j( V) :

AA

j(U*V)=J'(OEJ'(V) ou ÜÎ'Y= U.V.

8. Démontrer que la loi de composition * définie ci--dessus est associative, a 
un élément neutre
et est commutative.

Étant donnés un réel p, strictement compris entre 0 et 1 (0 < p < 1 ) et un réel À strictement positif, soient BP , I'" et I'!" les suites définies de la manière suivante : . B" est la suite dont tous les termes fifi, n EUR N, sont nuls sauf les deux premiers : [3% == 1 --- p aÆ=p= B" = (1 --p, p, 0, 0,...). - N' est la suite de terme général 75 = (l ---- p) p", n e N : F'=(U--pnfL@r . H" est la suite de terme général 7tâ == %-- e*À, n e N : Produit de com position * de chacune de ces suites q fois avec elle--même : 9. Démontrer que les trois suites BP , PP et 1'IÂ appartiennent à l'ensemble S. Déterminer leurs A A A images BP, PP et H" par l'application j. 10. Étant donné un entier naturel q strictement positif, déterminer les suites BP"), PP"! et Hi"! obtenues respectivement à partir des suites BP, PP et II" par composition q fois avec elle--même. Préciser les termes de ces suites notés respectivement fifi", EUR" et 7râ*" , n e N. Pour un réel À donné, limite de la suite B'Ë'*'I lorsque l'entier q croît vers l'infini. 11. Le réel strictement positif 1 est donné ; lorsque l'entier q est suffisamment grand, le rapport À/q est un réel strictement compris entre 0 et 1. Déterminer, pour tout entier n fixé, la limite du terme À- . B;,' "' de rang n de la suite B'Ê'*q , lorsque l'entier q croît vers l'infini. Exprimer cette limite à l'aide du terme 7rä de rang n de la suite H*. Suite d'éléments de S : 12. Soit une suite (Uq ) @ d'éléments de l'ensemble S. Soit u?, le terme de rang n de la suite U" : * U" = (uî,')nEN . Cette suite d'éléments de S est supposée telle que chacune des suites des termes de rang n (u3 ) @ est, lorsque l'entier q croît vers l'infini, une suite convergente de limite v,,. Démontrer que la série de terme général v,,, n & N, est une série de terme général positif ou nul, convergente, de somme inférieure ou égale à 1 : «) Ev,,_<_l. n=0 Donner un exemple de suite (Uq ) @ d'éléments de l'ensemble S telle que chacune des suites (u?, >qu définie par les termes de rang n soit convergente et de limite v,, 
nulle.

Étant donné un réel r strictement positif (r > 0), soit Sr le sous--ensemble 
des éléments
U = (u,, ),,eN de l'ensemble S tels que la série de terme général u,, n', n 6 N 
, soit convergente.

S,= {Ul UES, U=(un)nÈN, Zu,,n' 0, s > O) , 
démontrer que, si les

réels r et s sont distincts l'un de l'autre (r = s), l'un des deux 
sous--ensembles S, et S, est contenu
dans l'autre.

À une suite U = (un)"eN appartenant à l'ensemble S 1 , est associé le réel M( 
U), appelé
moyenne de U, défini par la relation suivante :

M(U) = in un.
n=l

À une suite U = (un)"ëN appartenant à l'ensemble 52, est associé le réel V( U), 
appelé
variance de U, défini par la relation suivante :

V(U) = Ên2 un ----M(U)2.
n=l

Dans toute la suite du problème l'élément U de S appartient au sous--ensemble 
SZ .

Positivité de la variance :
14. Un résultat préliminaire : soient N un entier strictement positif et A = 
(a,-- ) ISISN une suite de

N réels strictement positifs (1 5 i S N, a,-- > O) . Démontrer que 
l'application (p qui, à deux
vecteurs de R" , X = (x,--) 15i5N et Y = (Vi)1sigv associe le réel

N
(Û(X, Y) '" Za: xiyia

i=l

est un produit scalaire dans RN .

15. Pour tout élément U de 82, démontrer l'existence des deux grandeurs M(U) et 
V(U).
Démontrer que la variance V(U) est positive ou nulle :

nmzu

Indication : comparer, pour tout entier N, les deux expressions suivantes :

(Ënun)2_ et (ÈuJ.(ËÆ un).

Une expression approchée de la fonction Üà l'aide de la moyenne et de la 
variance :

A A A
16. Démontrer que les dérivées première U ' et seconde U " de U admettent une 
limite lorsque

le réel x tend vers 1 par valeurs inférieures. Déterminer ces deux limites, 
notées Ü'(1) et Ü"(l ),
en fonction de M(U) et V(U).

17. Soit x +--+ e(x) la fonction définie sur l'intervalle ouvert ]--1 , 1 [ par 
la relation suivante :
s(x) = 'Ù"(1)- 'Ü"(x).

Démontrer, pour tout réel x compris strictement entre 0 et 1, l'inégalité 
suivante :

îf(x)--1--M(U>----â--(V(U)+M(Uÿ --M(U))(x-- 1>Zl : %;(x-- 1)2 e(x).

Moyenne et variance des trois suites B", I'" et Il :
18. Démontrer, lorsque p est un réel strictement compris entre 0 et 1 et À un 
réel strictement
positif, que les trois suites BP , PP et l'I'1 définies ci--dessus, 
appartiennent à l'ensemble Sz.

19. Calculer pour chacune de ces suites BP , PP et D'" la moyenne et la 
variance. C'est--à--dire
les six grandeurs :

M(BP), V(B"), M(FP), V(FP), M(II"), V(H").

FIN DU PROBLÈME