Mines Maths 1 PC 2003

Thème de l'épreuve Étude de la fonction Γ et application au calcul d'une intégrale
Principaux outils utilisés analyse réelle, théorèmes de continuité et de dérivabilité, calcul intégral
Mots clefs fonction Gamma, intégrales à paramètre

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUS SÉES.
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AER9NAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMÜNÏCAÏIÛNS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2003

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
PREMIERE EPREUVE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, 
TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES l--Filière PC.

Cet énoncé comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

L'objet de ce problème est d'introduire suivant une méthode originale la 
fonction 1" et de
déterminer, à l'aide de cette fonction, une expression de l'intégrale 1 
suivante :

1t/2
[: _[ ln(ln(tanx))dx.
1t/4
Première partie

Il est admis que, si la fonction réelle f, définie sur un intervalle I de la 
droite réelle R, est
convexe, pour toute suite croissante de trois réels xl, x2, x3, (xl < x2 < x3) 
appartenant à
l'intervalle I, les valeurs prises par cette fonction en ces points vérifient 
la relation suivante :

f(xz)--f(x1) < f(x3)--f(xi) < f(x3)--f(xz)_

X2--Xl --' x3--x1 -- X3--X2

Soit F une fonction inconnue, définie sur la demi--droite ouverte ]O, 00 [, 
prenant des valeurs
strictement positives (F (x) > 0), qui vérifie les propriétés suivantes :
i. pour tout réel x strictement positif :

F(x+ 1) = xF(x).

ii. La fonction x n---+ lnF (x) est une fonction convexe.
iii. La fonction F prend la valeur 1 en 1 :

F(1) = 1.

Encadrement de F (n + x) et de F (x) :
Dans les quatre premières questions, x est un réel appartenant à l'intervalle 
semi--ouvert ]0, 1 ]

et n un entier naturel supérieur ou égal à 2 (n 2 2).
]. Démontrer les inégalités suivantes :

lnF(n +x) -- lnF(n)
___--___x _

lnF(n) -- lnF(n -- 1) _<_ _<_ lnF(n +1)---- lnF(n).

2. Calculer F (11). En déduire un encadrement de F (11 + x) à l'aide des deux 
expressions
(n ---- l)".(n --1)!etn'.(n -- l)! .
3. Établir la relation qui lie, pour tout entier p supérieur ou égal à 1 (p 2 
1), F (p + x) à F (x).

4. En déduire les inégalités suivantes :

x |
XÎ"F(x) S x(x+ln).Î(x+n) _<_F(x).

Unicité de la fonction F :
Dans les questions 5 et 6, il est admis qu'il existe une fonction F, positive 
(F (x) > O), définie
sur la demi-droite ouverte ]0, oo [, vérifiant les hypothèses i, ii et iii.

Étant donné un entier strictement positif n, soit un la fonction définie sur la 
demi-droite ouverte
10, oe[ par la relation suivante :

n".n!

u,,(x) : x(x+ l)...(x+n)'

5. Déterminer, en supposant le réel x appartenir à l'intervalle semi--ouvert 
]0, 1 ], la limite de
la suite (u,, (x))neNt lorsque l'entier n croît indéfiniment.

6. En déduire la limite de la suite (u,,(x))neN* lorsque l'entier n croît 
indéfiniment, pour tout
réel x strictement positif.

7. En déduire qu'il existe au plus une fonction F définie sur la demi--droite 
]0, oo [, strictement
positive, vérifiant les propriétés i, ii et iii.

Fonction l" :
Soit k la fonction définie sur le quart de plan ]0, °°[ x ]0, oe[ par la 
relation suivante :

k(x, t) = tx'1.e".

8. Étudier, pour un réel x donné, l'intégrabilité de la fonction : t |---+ t'" 
1.e" ' sur la demi--droite
ouverte ]0, oo [ .

Soit P la fonction définie sur la demi--droite ouverte ]0, oo[ par la relation 
suivante :
F(x) : [°° f--1.e--f dt.
o
9. Établir que cette fonction F est strictement positive (F(x) > O).

10. Établir que cette fonction I' est deux fois confinûment dérivable sur la 
demi-droite ouverte
]0, oo [. Donner les expressions de ces dérivées. Préciser l'expression de la 
dérivée de la fonction

F pour x = 1, I"(1 ), au moyen d'une intégrale.

Existence dela fonction F : ,
11. Démontrer que la fonction I' est la fonction F étudiée dans les questions 
précédentes.

11 est admis, dans la suite, que la constante d'Euler )! est définie par la 
relation suivante :

y=lim ( -}-(----lnn).
n--+oe k=l

Valeur de I"(1) : .
Soit (g,,),,21 la suite des fonctions définies, pour tout entier n supérieur ou 
égal à 1 (n a l), sur
la demi--droite ouverte ]0, 00]: par la relation suivante :

g,,(x) = x lnn------lnx--Êln(l + -î--)
k=l

12. Déterminer, à l'aide des résultats obtenus précédemment, la limite de g,, 
(x) lorsque l'entier
n croît vers l'infini et que le réel x appartient àla demi-droite ouverte ]0, 
oo [.

Soit (v,,)n21 la suite de fonctions définies, pour tout entier n supérieur ou 
égal à 1 (n 2 l), sur
la demi--droite ouverte ]0, oo[ par les relations suivantes :

vl (x) : gl (x) ; pour tout entier n supérieur ou égal à 2, v,,(x) : g,,(x) --- 
g,,_ 1 (x).

13. 11 est admis que chaque fonction v,,, 11 G N* , est conünûment défivable ; 
démontrer que la
série des fonctions dérivées, de terme général v,, '(x), n G N* , est 
convergente pour tout x
strictement positif puis uniformément convergente sur tout segment [a, b ] 
contenu dans la

demi--droite ouverte ]0, oo [

14. En déduire la limite de la suite des fonctions dérivées g,, '.

15. Que vaut F'(l) au moyen de la constante d'Euler y ?

Seconde partie

Soit s un réel donné strictement positif (s > 0).

Fonction L :

16. Etudier la convergence de la série de terme général w,,, n EUR N, défini 
par la relation
suivante : --

.. (--1)"

""' " (2n+1)'°

Soit L la fonction définie sur la demi-droite ouverte ]0, Go!: par la relation :

17. Démontrer que la série entière de terme général

H)" 2...
2n+1 x ' neN,

est uniformément convergente sur le segment [O, 1 ]. Soit rp(x) la somme de 
cette série :

Déterminer la fonction (p définie sur le segment [O, 1 ] En déduire L(l ).
18. Soit hs la fonction définie sur la demi--droite ouverte ]0, oo [, par la 
relation suivante :

hs(x) : ln

x
xs'

Étudier les variations de la fonction hs sur son ensemble de définition. Soit 
xs l'abscisse du
maximum de cette fonction. Préciser les variations de la fonction s o----> xs.

19. Démontrer que la fonction L est confinûment dérivable sur la demi-droite 
ouverte ]0, oo [
Exprimer la valeur prise en 1 par la fonction dérivée L', L'(1 ), au moyen de 
la somme d'une série.

Expression du produit L(s).F(s) :
20. Calculer, pour tout entier n strictement positif (n e N* ), au moyen d'une 
valeur prise par
la fonction I' , l'intégrale suivante :

®
],1 = I e"'" ts°1dt.
o
21. Démontrer la relation :

L(s).fls) = [: Î--ÎËÏÎ tS"1 dt.

Calcul de l'intégrale ] :

Il est admis que la fonction s r--+ L(s).F(s) est confinûment dérivable et que 
sa dérivée est
donnée par la relation suivante :

°° e"' Int
0 l+e""

%(L(s).f'(s)) = [ :... dt.

22. Après avoir donné au réels la valeur 1, effectuer le changement de variable 
u = e' dans
l'intégrale. Effectuer un nouveau changement de variables pour obtenir 
l'intégrale I définie dans le
préambule :

1r/2
I = " ln(ln(tanx)) dx.

1!

En déduire une expression de l'intégrale I à l'aide de la constante d'Euler et 
de la somme d'une
série.
Remarque : un calcul de L'(l) permet d'obtenir le résultat :

1r/2

_ _ F(3/4)
[_ mln(ln(tanx))dx .. %'n(Ær(1/4))

FIN DU PROBLÈME

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Mines Maths 1 PC 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Pierre Nolin (ENS Ulm) ; il a été relu par Benoît
Chevalier (ENS Ulm) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).

Ce sujet d'analyse propose d'étudier plusieurs fonctions définies à l'aide d'une
série ou d'une intégrale. Il se décompose en deux parties, qui sont liées 
puisque la
seconde utilise plusieurs résultats et définitions de la première.
Dans la première partie, la fonction  est introduite à l'aide d'une série de 
propriétés caractéristiques. On montre tout d'abord l'unicité d'une fonction 
vérifiant ces
propriétés, puis on vérifie que la fonction  convient. La fin est consacrée au 
calcul
de  (1) en fonction de la constante d'Euler .
Le but de la seconde partie, bien plus courte, est de calculer l'intégrale
Z /2
I=
ln(ln(tan x)) dx
/4

en étudiant, à l'aide des techniques usuelles, une série de fonctions et une 
intégrale
à paramètre. Dans la dernière question, on aboutit à une expression de I en 
fonction
de , de la constante  et de la somme d'une série.
Ce problème ne comporte pas de difficultés majeures, mais il utilise toutes les
techniques concernant l'étude de séries et d'intégrales dépendant d'un 
paramètre.
Il permet donc de bien faire le point sur cette partie du cours.

Indications
Première partie
2 Pour calculer F(n), itérer la relation (i).
4 F(n + x) peut s'exprimer en fonction de F(x).
6 Se ramener au cas où x  ] 0 ; 1 ] afin d'utiliser la question précédente.
10 On peut supposer x  ] a ; b [, avec 0 < a < b, pour obtenir une domination
indépendante de x.
11 Pour montrer que (x + 1) = x(x), procéder à une intégration par parties.
Pour prouver la convexité de ln  , utiliser la caractérisation par la dérivée 
seconde et l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
12 Remarquer que gn (x) = ln(un (x)).
n
P
14 On a gn =
k , et la convergence de cette série a été étudiée à la question
précédente.

k=1

15 Chercher le lien avec gn (1).
Seconde partie
17 Penser au critère des séries alternées et à l'inégalité qu'il fournit sur le 
reste.
Quelle propriété possède alors  ?
19 Pour la convergence uniforme de la série des dérivées, il faut utiliser, là 
aussi,
le critère des séries alternées. On peut pour cela supposer x  ] a ; + [, avec 
a > 0,
puis exploiter l'étude des variations de hs .
20 Faire un changement de variable.
21 Partir du membre de droite de la relation et développer en série entière par 
rapport
à la variable X = e-t le dénominateur. L'interversion entre somme et intégrale 
doit
alors être justifiée proprement, par exemple à l'aide du théorème de convergence
dominée.

Première partie
Encadrement de F(n + x) et de F(x)
1 Pour obtenir la partie gauche de l'inégalité, on applique le résultat admis 
dans
l'énoncé à la fonction ln  F (qui est convexe sur I = ] 0 ; + [) et aux réels 
x1 = n - 1,
x2 = n et x3 = n + x :
ln F(n) - ln F(n - 1)
ln F(n + x) - ln F(n)
6
n - (n - 1)
(n + x) - n
soit

ln F(n) - ln F(n - 1) 6

ln F(n + x) - ln F(n)
x

Pour la partie droite, on procède de même avec les réels x1 = n, x2 = n + x et
x3 = n + 1. En toute rigueur, il faut écarter ici le cas x = 1, pour lequel x2 
= x3 .
On constate qu'il y a alors égalité. Si x 6= 1,
ln F(n + 1) - ln F(n)
ln F(n + x) - ln F(n)
6
(n + x) - n
(n + 1) - n
c'est-à-dire

ln F(n + x) - ln F(n)
6 ln F(n + 1) - ln F(n)
x

2 On a F(1) = 1 (iii). En utilisant la propriété (i), on obtient successivement
F(2) = 1 × F(1) = 1, puis F(3) = 2, F(4) = 3 × 2, F(5) = 4 × 3 × 2, etc. Ceci 
suggère
de démontrer par récurrence que F(n) = (n - 1)! pour tout n  N (notons P(n)
cette propriété).
· P(1) est vraie d'après la propriété (iii).
· P(n) = P(n + 1) : si F(n) = (n - 1)!, alors d'après (i),
F(n + 1) = n × F(n) = n × (n - 1)! = n!
donc P(n + 1) est vraie.
· Conclusion : la propriété P(n) est vraie pour tout n  N :
F(n) = (n - 1)!
Si l'on combine cette expression avec l'inégalité de la question précédente, il 
vient
ln(n - 1)! - ln(n - 2)! 6
soit
puis

ln(n - 1) 6

ln F(n + x) - ln(n - 1)!
6 ln n! - ln(n - 1)!
x
ln F(n + x) - ln(n - 1)!
6 ln n
x

x ln(n - 1) + ln(n - 1)! 6 ln F(n + x) 6 x ln n + ln(n - 1)!

En prenant l'exponentielle de cette relation (ce qui préserve le sens des 
inégalités car
exp est une fonction croissante), on obtient
(n - 1)x (n - 1)! 6 F(n + x) 6 nx (n - 1)!

3 Comme à la question précédente, une récurrence immédiate donne, en itérant
la propriété (i),
F(p + x) = x(x + 1) · · · (x + p - 1)F(x)
4 En remplaçant F(n + x) par son expression en fonction de F(x) dans l'inégalité
de la question 2, il vient
(n - 1)x (n - 1)! 6 x(x + 1) · · · (x + n - 1)F(x) 6 nx (n - 1)!
La partie droite de cette inégalité entraîne que
nx (n - 1)!
F(x) 6
x(x + 1) · · · (x + n - 1)
nx n!
n
F(x) 6
x+n
x(x + 1) · · · (x + n)

d'où

La partie gauche de l'inégalité donne
F(x) >

(n - 1)x (n - 1)!
x(x + 1) · · · (x + n - 1)

Ceci étant vrai pour tout n, on peut remplacer n par n + 1 pour obtenir
F(x) >

nx n!
x(x + 1) · · · (x + n)

Unicité de la fonction F
5 Comme x  ] 0 ; 1 ], on peut appliquer les résultats donnés aux questions 1 à 
4.
D'après la question 4,
n
F(x) 6 un (x) 6 F(x)
x+n
ce qui entraîne

un (x) ---- F(x)
n

6 Il faut se ramener à la question précédente. Soit, pour x > 0, N  N tel que
N < x 6 N + 1. On a, en écrivant x = (x - N) + N,
un (x) =

nx-N n!
nN (x - N) · · · (x - N + n)
×
(x - N) · · · (x - N + n)
x · · · (x + n)

Or d'une part, d'après la question 5,
nx-N n!
---- F(x - N)
(x - N) · · · (x - N + n) n
et d'autre part, pour n > N,
nN (x - N) · · · (x - N + n)
nN
= (x - N) · · · (x - 1)
x · · · (x + n)
(x - N + n + 1) · · · (x + n)
et
d'où

nN
nN

---- 1
(x - N + n + 1) · · · (x + n) n nN n
un (x) ---- (x - N) · · · (x - 1)F(x - N)
n