Mines Maths 1 PC 2002

Thème de l'épreuve Équations différentielles linéaires du deuxième ordre
Principaux outils utilisés théorème de Cauchy-Lipschitz, norme d'opérateurs, suites récurrentes linéaires, formules de Taylor
Mots clefs séries entières, transformation de Laplace, équivalent de sommes, norme d'opérateur

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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J . 2074

A 2002 Math PC 1

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉROEURES DE L'AERONAUIIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICAIIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICAIIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2002

ÉPREUVE DE MA'l'HÈMATIQUES
PREMIERE EPREUVE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, 
TPE-ENR

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES 1-Filière PC.
Cet énoncé comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est

amené à prendre.

Soit F la somme de la série entière réelle de terme général

x2n

(nl)"

cette fonction F est définie par la relation suivante :

n = 0,1,2,...;

u,,(x) =

oe

F(x) = 2 6:32 .

n=0

Le but de ce problème est de rechercher une fonction équivalente à la fonction 
F à l'infini.

Première partie

1.1 Définition de la fonction F : ,
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction F. Etudier les variations de 
la fonction F et

la convexité de son graphe.

/5 Tournez la page S.V.P.
- 1 -

I.2 Encadrement de la fonction F :
Soient (v,,)neN et (w,,)nEURN les suites réelles définies par les relations 
suivantes :

v2 |2
v,: ("') 4n, wn----ÉÜ--'--l----4n;n=o,i,z,..., (0!=1).

(2n)! _ (2n+1)!

a. Démontrer que la suite (vn)...EN est monotone croissante. En déduire 
l'inégalité suivante :

1 < 4" - =012....
(n!)2" (2n)!'"

En déduire une majoration, sur la demi-droite fermée [O, 00 [, de la fonction F 
à l'aide de la
fonction x v--+ ch(2x).

b. Démontrer de même une minoration, sur la demi--droite ouverte :|0, oo [, de 
la fonction F à
l'aide de la fonction x .---> sh(2x)/2x.

Pour tout réel x strictement positif, soit G(x) la moyenne géométrique des 
réels ch(2x) et
sh(2x)/Zx. Soit (D la fonction définie, sur la demi-droite ouverte ]0, oo [, 
par la relation suivante :

_ e2x
d>(x) ---- JY .

c. Comparer les deux fonctions G et CD à l'infini.
Deuxième partie

Dans la suite il sera utile de considérer la transformation L suivante (dite de 
Laplace). À une
fonction f donnée t »----> f(t), définie et continue sur la demi-droite ouverte 
]0, oo [, intégrable sur

tout intervalle semi--ouvert 10, a :|, (a est un réel positif quelconque), la 
transformation L associe la
fonction L(f) qui, si elle existe, est définie parla relation suivante :

L(f)(x) = _[Îf(t) e'" dt.

II-l. Exemples : transformées de Laplace des fonctions F et (D :
a. Un résultat préliminaire : soit x un réel strictement positif donné (x > O) 
; calculer pour tout

entier naturel k (k E N), l'intégrale Ik suivante :

oe
Ik =_[ t" e'"dt.
0

b. Démontrer que la fonction t r---> F (t) e"" est intégrable sur la 
demi-droite fermée [O, oe[

dès que le réel x est strictement supérieur à 2 (x > 2). Déterminer la fonction 
L(F ) en calculant
L(F ) (x) au moyen de la somme d'une série.

L(F)(x) = J: F(t) e'"dt.

-2/5-

0. Soit g la somme d'une série entière définie par la relation suivante :

s(f) = 2 (Zn)! 12"-

n=0 (n!)2

Déterminer l'intervalle ouvert ]--R, R[ de définition de la fonction g. 
Déterminer au moyen de

fonctions élémentaires l'expression de g(t) en utilisant par exemple le 
développement en série
entière de la fonction

1 .
l+u

lil--+

d. En déduire l'expression, pour tout réel x supérieur strictement à 2, de la 
transformée de
Laplace de la fonction F.

e. Déterminer, en précisant son ensemble de définition, la transformée de 
Laplace de la
fonction (1), définie pour t > 0 par la relation suivante :

l

, . . °° x
Le resultat c1-contre est admis : [ e"2dt = --Jî_-- .
o

[1--2. Une propriété dela transformation de Laplace :
Etant donnée une fonction f définie et continue sur la demi--droite ouverte ]0, 
oo [, intégrable

sur tout intervalle semi--ouvert ]0, a ], (a est un réel positif quelconque), 
soit I(/) l'ensemble des
réels x pour lesquels la fonction 1 r----> f(t) e"" est intégrable sur la 
demi--droite ouverte ]0, oe|: :

[(f) = {x | t r---+f(t) e"" est intégrable sur ]0, oe[} .

a. Démontrer que si le réel xo appartient à l'ensemble I (f), alors la 
demi-droite fermée
[x... col: est contenue dans [(I)

Soit E l'ensemble des fonctions f, considérées ci--dessus, dont l'ensemble [(f) 
n'est ni vide ni
égal à toute la droite réelle (IQ) :: G et [(f) =# R).

b. Démontrer que, pour toute fonction f appartenant à l'ensemble E, l'ensemble 
[(f) admet une
borne inférieure (10) :

a(f) = inf{x | x EUR I(f)}.
En déduire que l'ensemble [(f) est la demi--droite ouverte ]a(f), °°l: ou la 
demi-droite fermée

[a(f), oo[.

c. Démontrer que, pour toute fonction f appartenant à E, la fonction x H 
L(/)(x) est continue
sur la demi-droite ouverte ]a(f), oo [ .

Démontrer que, si la fonction f est positive, la fonction LU) est décroissante 
; en déduire que, si
a(f) appartient à I(/), la fonction L(/) est bomée sur la demi--droite fermée 
[a(/), 00 [.

Tournez la page S.V.P.
-- 3 / 5 -

d. Soit g une fonction positive appartenant à l'ensemble E, dont la transformée 
de Laplace L(g)
est bomée sur la demi-droite ouverte ]a(g), oo [ Démontrer les propriétés 
suivantes :

i/ il existe une constante positive M, telle que, pour tout réel x strictement 
supérieur à a(g)
(x > a(g)) et tout réel positif A :

A
[ g(t) e""dt 5 M.
0

ii/ En déduire que la transformée de Laplace de la fonction g est définie sur 
la demi--droite
fermée [a(g), oo[.

II-3. Comparaison des transformées de Laplace de deux fonctions équivalentes :
Soient g et h deux fonctions, positives, appætenant à l'espace E. Ces deux 
fonctions sont
supposées croître vers l'infini lorsque le réel t tend vers l'infini et être 
équivalentes à l'infini

(g :: h).
a Démontrer que les deux réels a(g) et a(h) sont égaux.
b. Ici a(h) n'appartient pas à 1 (h). Quelle conclusion y-a--t--il lieu d'en 
tirer sur L(h)(x) lorsque

le réel x tend vers a(h) (par valeurs supérieures) ? Démontrer que, pour tout 
réel positifs, il existe
un réel A tel que, pour ! supérieur àA, il vienne l'inégalité :

|g --h| : -â--lh| e-x' dt + %-- J°°|h 
k(t) la fonction définie
par la relation suivante :

oo
_ _£î_ int
k(t) -- 2 n! e .
pp.--0

a. Démontrer que, pour tout réel x fixé, la fonction k : t r--+ k(t) est 
définie et continue sur la
droite réelle R, périodique et de période 27z.

--4/5-

En déduire la valeur de l'intégrale J ci--dessous au moyen du réel F (x).

21!
J = ] |k(t)|2dI.
0

b. Calculer k(t). En déduire une expression de |k(t) |2.

c. En déduire l'expression de F (x) au moyen de l'intégrale [; exp (2 x cost) 
dt.

III-2. Trois fonctions auxiliaires :
Etant donné un réel x strictement positif, soient h1 , h; et h3 les trois 
fonctions suivantes :

h1(x)=J:/Zexp(x cost) dt ; h;(x) : [; î'--f=Ï_--? dt ;

h3(x) = [lexp(xt) J1--tdt.

a. Justifier l'existence de ces trois intégrales.

b. En effectuant d'abord le changement de variable u : Jl ---- t dans 
l'intégrale servant à
calculer h2(x), déterminer un équivalent de h2(x) lorsque le réel x tend vers 
l'infini.

c. Déterminer de même un équivalent de h3 (x) lorsque le réel x tend vers 
l'infini.

, . . °° ::
Le resultat cr-contre est adrms : I e"" Jï du = --'/-2----
o

d. Établir la propriété suivante : il existe une constante C telle que, pour 
tout réel u de
l'intervalle semi--ouvert [O, 1 [, la relation ci--dessous soit vraie :

S CJ] ----u.

__Î_____L__
J] --u2 J2(1 --u)

e. Déduire des résultats précédents un équivalent de h1 (x) à l'infini.

III-3 Équivalent de la fonction F à l'infini :
Déduire des résultats précédents un équivalent de la fonction F à l'infini.

FIN DU PROBLÈME

--5/5--

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 1 PC 2002 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par David Lecomte (ENS Cachan) ; il a été relu par Éric
Ricard (agrégé de mathématiques) et Walter Appel (professeur en CPGE).

Ce sujet des Mines nous fait étudier une fonction F définie comme somme d'une
série. Son but est de rechercher le comportement de F en +. Il se compose de 
trois
parties.
· Dans la première partie, on étudie des propriétés élémentaires de F : ensemble
de définition, variations, encadrement par des fonctions usuelles. On introduit
aussi une fonction  dont on montre dans la suite du problème qu'elle est
équivalente à F, à une constante multiplicative près.
· Dans la deuxième partie, on calcule la transformée de Laplace de F par des
théorèmes d'interversion de somme et d'intégrale. Puis on étudie quelques 
propriétés générales de la transformation de Laplace. On montre par exemple que
la tranformée de Laplace L(f ) d'une fonction f a pour ensemble de définition
un intervalle I(f ) de la forme ](f ), +[ ou [(f ), +[.

On montre par la suite que si deux fonctions g et h, positives, continues
sur R+ et intégrables au voisinage de 0, ont le même comportement en +,
alors (g) = (h) et L(h)  L(g).
(h)

On montre enfin que 2  L(F)  L(). Puis on prend le résultat précédent à
(F)

rebours pour conjecturer que 2  F  .
+

· Enfin, dans la troisième partie, on calcule rigoureusement un équivalent de F
en + et l'on vérifie que la conjecture est vraie.
Il s'agit d'un problème d'analyse assez long mais de difficulté moyenne. On y 
manipule essentiellement des intégrales, des séries et les notations de Landau 
(petit « o »,
grand « O »). Il faut donc être très au point sur ces notions.
La partie sur la transformation de Laplace comporte un passage original et 
intéressant (questions II.2 et II.3).

Indications
Première partie
I.1 Utiliser la règle de d'Alembert pour trouver le domaine de définition de F.
Montrer que tous les termes de la somme définissant F sont convexes et ont
les mêmes variations. En déduire les variations et la convexité de F.
vn+1
et sa position par rapport à 1 pour en déduire la
I.2.a Étudier le rapport
vn
décroissance de (vn )nN .

I.2.c La moyenne géométrique de deux réels positifs a et b est ab. Calculer G et
en trouver un équivalent.
Deuxième partie
II.1.a Avant toute chose, montrer que l'intégrale proposée existe. Puis trouver 
une
relation de récurrence pour la suite (Ik (x))kN en effectuant une intégration
par parties.
II.1.b Utiliser la majoration de F obtenue à la question I.2.a. La transformée 
de
Laplace de F se présente comme l'intégrale d'une série ; utiliser le théorème de
convergence monotone pour intervertir les signes « somme » et « intégrale ».
(2n)!
II.1.c Utiliser la majoration et la minoration de
obtenues respectivement aux
n!2
questions I.2.a et I.2.b. Conclure par un théorème de comparaison de séries
à termes positifs.
1
= (1 + u)-1/2 pour se ramener à un développement
1+u
en série entière connu. Transformer l'expression du terme général de cette
(2n)!
série pour faire apparaître
.
n!2

II.1.e Calculer L() à l'aide du changement de variable u = t.
Remarquer que 

II.2.b Montrer que I(f ) est non vide et minoré pour appliquer l'axiome de la 
borne
inférieure.
Montrer que ](f ), +[ est inclus dans I(f ). Distinguer deux cas, suivant
que I(f ) contient (f ) ou non.
II.2.c Utiliser le théorème de continuité sous le signe « intégrale » pour 
établir que
L(f ) est continue.
Si f est positive, utiliser la décroissance de l'exponentielle pour établir que
L(f )(x2 ) 6 L(f )(x1 ) si x1 6 x2 .
Z A
II.2.d.ii Montrer que pour tout A positif, la fonction x 7-
g(t) e-xt dt est conti0

nue sur [(f ), +[. Utiliser la question II.2.d.i et passer à la limite lorsque x
tend vers (f ) pour en déduire que cette fonction est bornée sur [(f ), +[.
Se servir enfin d'une caractérisation de l'intégrabilité des fonctions 
positives.

II.3.a Montrer que I(f ) = I(g) en utilisant le fait que deux fonctions 
positives ayant
le même comportement à l'infini y sont simultanément intégrables.

II.3.b Utiliser la contraposée du résultat obtenu à la question II.2.d.ii pour 
en déduire que L(h) tend vers l'infini en (h).
La première inégalité n'est autre que la définition de g  h. L'inégalité 
suivante s'obtient en découpant l'intégrale définissant L(g - h) en une 
intégrale
sur ]0, A] et une autre sur [A, +[. Montrer enfin que la première intégrale

est inférieure à L(h) en utilisant la question II.3.b.
2
Troisième partie
III.1.a Penser au théorème de Parseval.
III.1.b Reconnaître dans la série définissant k un développement exponentiel.
III.2.d Utiliser la quantité conjuguée.
III.2.e Effectuer le changement de variable u = cos t dans l'intégrale 
définissant
h1 (x). Utiliser ensuite la question III.2.d.

Première partie
I.1

Définition de la fonction F

I.1 Soit x un réel non nul. Appliquons la règle de d'Alembert pour voir si la 
série
P x2n
converge :
positive
n!2
x2n+2 n!2
x2
=
- 0 < 1
(n + 1)!2 x2n
(n + 1)2 n+

P x2n
converge pour tout réel x non nul ; si x = 0, cette série ne
n!2
comporte qu'un terme non nul, celui d'ordre 0, et converge donc également.
On en déduit que

Le domaine de définition de F est R.
La méthode précédente est la plus classique pour déterminer le domaine de
définition de F. Cependant, on peut identifier DF sans faire appel à la règle
de d'Alembert, par comparaison de termes généraux de séries. En effet, pour
tout réel x, on a
n  N

x2n
x2n
x2n
= 2 6
2
n!
n!
n!

Le membre de gauche est le terme général du développement en série entière
de exp(x2 ), dont on sait qu'il converge. D'après le théorème de comparaison
des séries à termes positifs, F(x) est bien défini.
F(x) est somme d'une série de puissances paires de x, affectées de coefficients
x2n
positifs. Toutes les fonctions x 7-
sont décroissantes sur ]-, 0], croissantes
n!2
sur [0, +[ et convexes. Par conséquent,
F est convexe, décroissante sur R- et croissante sur R+ .
I.2

Encadrement de la fonction F

I.2.a Soit n un entier. Comme vn est non nul, on peut former le rapport
Ainsi,

vn+1
.
vn

vn+1
4n+1 (n + 1)!2
(2n)!
4(n + 1)2
2n + 2
=
× n 2 =
=
>1
vn
(2n + 2)!
4 n!
(2n + 2)(2n + 1)
2n + 1
Par conséquent

la suite (vn )nN est monotone croissante.

Tous les termes de cette suite sont donc supérieurs au premier terme v0 qui 
vaut 1 :
n  N
d'où

n  N

vn =

n!2 n
4 >1
(2n)!

1
4n
6
n!2
(2n)!