Mines Maths 1 PC 2001

Thème de l'épreuve Étude d'une classe d'équations sur L(R[X])
Principaux outils utilisés espaces vectoriels réels, applications linéaires, matrices, polynômes, séries entières

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2001 Math PC 1

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏIÛNS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNÏCATIÔNS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière STI).

CONCOURS D'ADMISSION 2001

Émmrvs DE. MATHEMATIQUES
PREMIERE EPREUVE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT 
TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES l--Filière PC.

Cet énoncé comporte 8 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est

amené à prendre.

NOTATIONS

Soit Vun espace vectoriel réel _; l'espace vectoriel des endomorphismes de 
l'espace vectoriel V

est désigné par L(V). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel V; 
l'endomorphisme noté f " ,
où k est un entier naturel désigne l'endomorphisme unité Id V si l'entier k est 
nul, l'endomorphisme

obtenu en composant f k--fois avec lui-même si l'entier k est supérieur ou égal 
à 1 :

f° =IdVÂfk+l =fk°f

Soit E l'espace vectoriel des polynômes réels ; étant donné un entier naturel 
n, soit E ,, l'espace
vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à n :

E = R[X] ; E,, = R,,[X].

Soit D l'endomorphisme de l'espace vectoriel E = R[X] qui, au polynôme Q, fait 
correspondre
le polynôme dérivé Q'. De même, soit D,, l'endomorphisme de l'espace vectoriel 
E ,, = R,,[X] qui,

au polynôme Q, fait correspondre} le polynôme dérivé Q'.

L'objet du problème est de rechercher des réels ). pour lesquels 
l'endomorphisme ). Id E + D
est égal au composé d'un endomorphisme g de l'espace vectoriel E avec lui-même 
; ainsi que des
réels il pour lesquels l'endomorphisme À Id F,, + D,, est égal au composé d'un 
endomorphisme g de

l'espace vectoriel E ,, avec lui--même.

Tournez la page S.V.P.
- 1/8 --

Les troisième et quatrième parties peuvent être abordées indépendamment des 
première et
deuxième parties ainsi que des préliminaires.

müünmmxmæs

Noyaux itérés :

Soient Vun espace vectoriel réel et f un endomorphisme de V.

a. Démontrer que la suite des noyaux des endomorphismes f k , k = O, 1, 2, est 
une suite de
sous--espaces vectoriels de Vemboitée croissante :

kerf° (: kerjrl c: kerf2 <: c kerf" c kerf"'+1 c:

b. Démontrer que, s 'il existe un entier p tel que les noyaux des 
endomorphismes f P et f ?"
soient égaux (ker f P -- ker f 1" 1 ), pour tout entier q supérieur ou égal a 
p, les noyaux des

endomorphismes f '1 et f '1+1 sont égaux (ker f '1 -- ker f q+1 ) , en déduire 
la propriété suivante :
pour tout entier k supérieur ou égal à p, ker f " : ker f P.

En déduire que, si l'espace vectoriel Vest de dimension finie n, la suite des 
dimensions des
noyaux des endomorphismes f " est constante à partir d'un rang p inférieur ou 
égal à la dimension n
(p 5 n). En particulier les noyaux ker f ", ker f "" sont égaux.

c. Démontrer que, si l'endomorphisme u d'un espace vectoriel Vde dimension 
finie n, est tel
qu'il existe un entier q supérieur ou égal à 1 (q__ > 1), pour lequel 
l'endomorphisme u'--' est nul
(uq= O), l'endomorphisme u" est nul (u" = O).

L'endomorphisme u est dit nilpotent.

IÆEMËOEEEMUÛ£

Le but de cette partie est d'établir des propriétés des endomorphismes g 
recherchés et de
donner un exemple.

1--1 Une caractérisation des sous--espaces vectoriels stables par g:
Soit À un réel donné.
a Étant donné un entier naturel 11 (n G N), soit p un entier naturel inférieur 
ou égal à l'entier n
(0 5 p 5 n). Démontrer que, s'il existe un endomorphisme g de l'espace 
vectoriel E ,, = R,,[X],
tel que

g2 = Â Idg,, +D,,,
l'endomorphisme g commute avec D,,
g 0 D" = D" o g.

En remarquant que le sous-espace vectoriel Ep = R}) [X] est égal à ker(D,, )"1 
, démontrer que
E P est stable par l'endomorphisme g de E ,, ; soit g,, la restriction de 
l'endomorphisme g à E p.
Démontrer la relation :

oew2=xfig+Dp

.y&.

b. Démontrer que, s'il existe un endomorphisme g de l'espace vectoriel E = 
R[X], tel que
g2 : À Id}; + D,
l'endomorphisme g commute avec D :
g 0 D = D o g.

En déduire que, pour tout entier naturel n, le sous--espace vectoriel E ,, : 
R,,[X] est stable par
l'endomorphisme g et que, si g,, est la restriction de l'endomorphisme g à E 
... il vient :

(gn)2 : ÀÏdE,, +Dn-

0. Soit g un endomorphisme de l'espace des polynômes réels E : R[X] tel que :
g 2 = ). Id E + D.

i/ Soit F un sous--espace vectoriel de l'espace vectoriel E de dimension n + 1 
stable par
l'endomorphisme D. Démontrer que l'endomorphisme D_p, restriction de D à F, est 
nilpotent.

En déduire que le sous--espace vectoriel F est égal à E ,, : Rn[X]. Déterminer 
ensuite tous les
sous-espaces vectoriels G de E (de dimension finie ou non) stables par D.

ii/ Démontrer que, pour qu'un sous-espace vectoriel G de E soit stable par 
l'endomorphisme g,
il faut et il sufiit qu'il soit stable par D.

I--2\. Une application immédiate : le cas A < 0 :
a, A quelle condition nécessaire sur le réel À existe--t--il un endomorphisme g 
de l'espace
vectoriel E 0 = R0 [X] tel que

g2 : ÂIdEO +Do ?

b. Soit ). un réel strictement négatif (À < 0), déduire des résultats 
précédents les deux
propriétés :
. Il n'existe pas d'endomorphisme g de E tel que :

g2 = À Id E + D
. Il n'existe pas d' endomorphisme g de E ,, tel que :

g2 = ÀIdEn +Dn.

1--3. Une représentation matricielle simple de D" :
Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 1, À un réel.

Matrice A 1 : soit A À la matrice carrée d'ordre n + 1 définie par les 
relations suivantes : ses

coefficients a,.j, i = 0,1,...n, j : 0,1,...,n, sont définis par les relations :

aii=À, a =l, a,...=Osij4=iousijii+l.

i i+l ]

Tournez la page S.V.P.
-- 3/8 -

C'est--à--dire :

À 1 0 0
0 À 1 0
Ag, == 0 0 Â 0
0 0 0 À.

a. Soitf un endomorphisme d'un espace vectoriel Vde dimension finie n + 1 tel 
que
l'endomorphismef"+1 soit nul sans que l'endomorphisme f " le soit :

f"+1 : 0, f" $ 0.

Démontrer qu'il existe un vecteur y de l'espace vectoriel Vtel que la famille
B = (f" 07), j""1 (y), y) soit libre. Quelle est la matrice associée à 
l'endomorphisme f dans la

baseB ?

b. En déduire qu'il existe une base B ,, de l'espace vectoriel E n = R,,[X] 
pour laquelle la
matrice associée à l'endomorphisme Dn est la matrice A0. Que vaut la matrice 
associée à

l'application À IdE" + DM dans cette base En ?

1--4. Un exemple :

Dans cette question l'entier n est égal à 2.
a. Démontrer que les seuls endomorphismes h de E 2 qui commutent avec 
l'endomorphisme D 2_

sont les polynômes de degré inférieur ou égal à 2 en D2 :
h = aIdE2 +b D2 +C (D2)2.
a, b, c sont trois réels.

b. En déduire qu'il existe des endomorphismes g de E 2 qui vérifient la 
relation suivante :

g2 = Âldgz +D2.
Déterminer les matrices carrées G d'ordre 3 qui vérifient la relation suivante :

G2 ==A1.

DEUXIÈME PARTIE

L'objet de cette partie est d'étudier le cas où le réel À est nul. Dans cette 
partie l'entier n est
supposé donné supérieur ou égal à 1.

IL]. Existence d'un endomorphisme g tel que g2 = D" :
a. Montrer que, s'il existe un endomorphisme g de l'espace vectoriel E n = 
R,,[X] tel que
g2 = D... alors l'endomorphisme g est nflpotent et le noyau de l'endomorphisme 
g2 a une

dimension au moins égale à 2 (dim kerg2 Z 2).

b. En déduire qu'il n'existe pas d'endomorphisme g de l'espace vectoriel E ,, = 
R" [X] tel que

-4/8-

c. En déduire qu'il n'existe pas d'endomorphisme g de l'espace vectoriel E = 
R[X] tel que
2 ,
g = D.

Il--2. Existence d'un endomorphisme g tel que g" = D'" : .
Soit 111 un entier supérieur ou égal à 1 (m 2 l) et k un entier supérieur ou 
égal à 2 (k 2 2). Soit
g un endomorphisme de l'espace vectoriel E = R[X] tel que la relation 
ci--dessous soit vérifiée :

gk : Dm .
a. Démontrer que les deux endomorphismes D et g sont surj ectifs.

b. Démontrer que les sous--espaces vectoriels de E, kerg'l ont des dimensions 
finies lorsque
l'entier q est inférieur ou égal à l'entier k (0 5 q 5 k).

0. son p un entier supérieur ou égal à 2 et inférieur ou égal à k (2 S p _<_ 
k). Soit (1)
l'application définie dans l'espace vectoriel kergP par la relation :

(D :P r----> g(P).

Démontrer que cette application @ est une application linéaire de kergP dans 
l'espace vectoriel
kergP'l. Quel est le noyau de l'application  O) soitL_,, 
l'application de R dans
_ l'espace des matrices carrées réelles d'ordre n + 1, M ,... (R) qui, au réel 
: associe la matrice Ln
définie par la relation suivante-:

M) = Î<--l)"*l£,Ë-- (L,,(t))" :
a. Démontrer que, pour tout t réel, la matrice [... + tDn est inversible et que 
son inverse, noté

Tournez la page S.V.P.
-- 5/8 -

-1 , , . .
(I,... + tD,,) , s ecnt sous la forme suivante :

(l,... + m,)"1 = Za...) (D,,)".
k=0

Déterminer les fonctions ak : t u-----> ak(t) (bien sûr : (D")0 : ...).

b. Démontrer que l'application de R dans l'ensemble des matrices, réelles, 
carrées, d'ordre
--1 , . . , . , : , . .
n + 1 : t i----+ (I,... + 1D") est denvable ; exprimer sa denvee al aide des 
matrrces

(r,,+l +:D,,)'1 etD,,.

c. Démontrer que, pour tout réel t, la matrice L,,(t), élevée à la puissance n 
+ 1 est nulle :

(Ln(1))"+1 = 0-

d. Calculer la fonction dérivée t +---+ -â--L,,(t) de la fonction ! +--> L,,(t) 
au moyen des matrices
D,, et (In+1+tDn)--l.

Étant donné un entier naturel k donné, déduire des résultats précédents 
l'expression de la

fonction dérivée ! i--» %(Ln(t))k de la fonction ! +--+ (L,,(t))" à l'aide de 
l'entier k et des matrices

L,,(t), D,, et (I,... + tD,,) "l.

III--2. Matrice (p,,(t) : .
Etant donné un réel u, soit (p,,(t) la matrice définie par la relation suivante 
:

rpu = 2 %Ê--(Ln>k.
H) .

La matrice (Ln (t) )k est la matrice L,,(t) élevée à la puissance k.

a. Démontrer qu'étant donnés deux réels u et v le produit des matrices (p,,(t) 
et (p,,(t) est égal à
la matrice (p...(t) :

 O) ; en utilisant les résultats de 
la question précédente

-6/8--

et en remarquant la relation suivante

u......1 +Dn = A (I... + â--Dn),

démontrer qu'il existe une matrice carrée réelle d'ordre n + 1 telle que
[VP = À I,... + D...

Exprimer cette matrice M avec une matrice (pu(t). En déduire l'existence d'un 
endomorphisme
g de En tel que :

g2 : ÀIdËn +Dn.

b. Retrouver les matrices obtenues à la question 1--4.

QUATRÏÈME PARTIE

IV--1 Un développement en série entière:
a. Soit h la fonction définie sur la demi-droite [---1_ 00[ par la relation:

h(x) = J1 +x.

Déterminer une équation différentielle linéaire du premier ordre dont une 
solution est cette
fonction h.

b. En déduire qu'il existe un intervalle ouvert ]--R,R[ dans lequel la fonction 
h est la somme
d'une série entière de terme général b _p xP , p = 0,1, 2, Déterminer le rayon 
de convergence R et
les coefficients b p.

pour tout réel x appartenant à ]--R,R[, h(x) = 2 EP xP.
p=0

c. Déterminer les valeurs des réels c... n = 0,1, 2, définis par la relation 
suivante :

= Eb,, bn_p.
p___0

lV--2 Existence d'un endomorphisme g de E tel que g2 = À IdE + D où /l est 
strictement
positif :

Soit ). un réel strictement positif donné (À > 0).

a. Soit T l'application définie dans E : R[X] par la relation :

pour tout P de E, T (P) = E --Ê% DPF.

Démontrer que T est un endomorphisme de E .

b. Calculer pour tout polynôme P de E son image par l'application composée T 0 
T = T 2.

Tournez la page S.V.P.
- 7/8 -

c. En déduire l'existence d'un endomorphisme g de E qui vérifie la relation 
suivante :

g2 = Àldg+D.

d. En déduire, pour tout entier naturel n, l'existence d'un endomorphisme g" de 
l'espace
vectoriel E ,, = Rn[Xj tel que la relation ci-dessous ait lieu :

(gn)2 : ÀIdEn +Dn.

Exprimer l'endomorphisme g,, comme un polynôme de l' endomorphisme D,,. 
Retrouver les
matrices obtenues àla question 1--4.

FIN DU PROBLÈME

-8/8--

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 1 PC 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par François Michel (École Polytechnique) ; il a été relu
par Benoît Chevalier (ENS Ulm) et David Lecomte (ENS Cachan).

Ce long sujet d'algèbre est composé de quatre parties et quelques questions 
préliminaires classiques. On y aborde des notions fondamentales du programme 
d'algèbre
de classes préparatoires, sans faire intervenir les méthodes de réduction 
d'endomorphismes.
On travaille sur les espaces vectoriels R[X] et Rn [X] sauf dans les questions 
préliminaires. Le but du problème est de rechercher des réels  pour lesquels on 
peut
trouver un endomorphisme g de l'un de ces deux espaces tel que g  g = Id + D (),
où D désigne l'opérateur de dérivation.
Les questions préliminaires permettent d'introduire une propriété classique des
endomorphismes nilpotents grâce à la « suite de noyaux itérés ».
· Dans la première partie, on détermine les sous-espaces stables par g et l'on
élimine le cas  < 0 avant de construire une base adaptée au traitement 
matriciel du problème. On parvient, grâce à ces résultats, à résoudre le 
problème
suivant : trouver les matrices réelles G carrées d'ordre 3 vérifiant G2 = A1 où

1 1 0
A1 = 0 1 1
0 0 1

· L'objet de la deuxième partie est d'étudier le cas où  est nul en partant des
propriétés des endomorphismes g et D.

· Dans la troisième partie, indépendante des deux précédentes, on construit 
directement un endomorphisme solution de () à partir d'une somme de matrices.
On retrouve finalement les matrices G obtenues au cours de la première partie.
· Enfin, la quatrième partie, également indépendante des précédentes, débute
par l'étude d'un développement en série entière. Les coefficients de celui-ci
interviennent ensuite dans la définition d'une solution de (). On termine une
nouvelle fois en retrouvant les matrices G solutions de l'équation G2 = A1 .

Indications
Préliminaires
b Démontrer par une unique récurrence les propriétés
(
Ker f q = Ker f q+1
q  N, q > p
Ker f q = Ker f p
Montrer que la suite (dim Ker f k )kN est réelle, croissante et majorée ;
en déduire qu'elle converge. Utiliser ensuite le fait que cette suite prend ses
valeurs dans N.

Première partie
I-1.a Pour montrer que g et Dn commutent, comparer ce que l'on obtient en 
composant g 2 =  id En +Dn par g, soit à gauche, soit à droite.
I-1.c Pour montrer que DF est nilpotent, chercher q  N tel que F  Eq et en
déduire que DF q+1 = 0. L'unique sous-espace vectoriel G de E de dimension
infinie et stable par D est E lui-même (raisonner par l'absurde).
I-2.a Comme dim E0 = 1, g  L(E0 ) est de la forme g =  id E0 . . .

I-3.a Choisir y tel que f n (y) 6= 0. Montrer par récurrence que B est libre.

I-3.b Appliquer le résultat de la question précédente à f = Dn .

I-4.a Se donner les coefficients de Mat B2 (h) = (hi,j )16i,j63 ; exprimer la 
relation
h  D2 = D2  h sous forme matricielle.

I-4.b Montrer que g  L(E2 ) vérifie la relation

g 2 =  id E2 +D2
si, et seulement si, il existe trois réels a, b et c solutions du système
 2
a = 
2ab = 1

2ac + b2 = 0

et tels que g puisse s'écrire

g = a id E2 + b D2 + c (D2 )2

Deuxième partie
II-1.a Pour obtenir l'inégalité dim Ker g 2 > 2, montrer en raisonnant par 
l'absurde
que Ker g 6= {0} puis que Ker g 6= Ker g 2 .

II-1.b Raisonner par l'absurde et chercher une contradiction sur dim Ker Dn .
II-2.a Montrer dans cet ordre que D, Dm , g k et g sont surjectifs.

II-2.d Montrer qu'il existe g  L(E) vérifiant g k = Dm si et seulement si k 
divise m.

Troisième partie
III-1.a Montrer que (In+1 + t Dn )

-1

=

n
P

(-1)k tk Dn k .

k=0
-1

III-1.b Dériver la relation (In+1 + t Dn ) (In+1 + t Dn ) = In+1 par rapport à 
t  R.
n-1

k+1
P
k
k t
III-1.c Remarquer que Ln (t) = Dn
(-1)
Dn .
k+1
k=0

III-2.a Utiliser la formule du binôme de Newton pour développer (u + v)k dans 
l'expression de u+v (t).
III-2.c Déduire de la question précédente que
t  R

Dn 1 (t) = (In+1 + t Dn ) 1 (t)

et dériver cette relation par rapport à t.
III-3.a Utiliser successivement lesrésultats
des questions III-2.c et III-2.a pour ob

1
 Mn (R).
tenir les matrices +
-  1
2

Quatrième partie
IV-1.b Appliquer la méthode de l'équation différentielle, sans oublier 
d'utiliser l'unicité de la solution de l'équation différentielle établie à la 
question IV-1.a avec
une condition initiale donnée.
Montrer par récurrence que les bp sont données par
p

b0 = 1

et

p  N

bp = (-1)p

 (2p - 2k - 1)
k=1
2p p!

IV-1.c Développer la série h(x)2 par un produit de Cauchy et reconnaître les 
coefficients cn .
IV-2.a Utiliser le fait que :
P  E, q  N, q > d (P)

=

T(P) =

q b
P
p p
D (P)
p

p=0

Préliminaires
Noyaux itérés
a Comme f  L(V), pour tout entier naturel k,
· Ker f k est bien un sous-espace vectoriel de V et
· pour tout x  Ker f k , f k+1 (x) = f (f k (x)) = f (0) = 0
d'où

Ker f k  Ker f k+1

k  N

b Supposons qu'il existe p  N tel que Ker f p = Ker f p+1 . On procède alors par
récurrence : pour tout entier q > p, on note P(q) la propriété
Ker f q+1 = Ker f q = Ker f p
· P(p) est vraie par hypothèse.

· P(q) = P(q + 1) : comme Ker f q+1 = Ker f p d'après P(q), il reste à montrer 
que Ker f q+1 = Ker f q+2 . On procède par double inclusion.
­ D'après la question précédente, Ker f q+1  Ker f q+2 .
­ Montrons l'inclusion réciproque. Soit x  Ker f q+2 .
Par définition,

f q+2 (x) = 0

soit

f q+1  f (x) = 0

ou encore

f (x)  Ker f q+1 = Ker f q

Par suite,

f q  f (x) = 0

ie

x  Ker f q+1

d'où

(d'après P(q))

Ker f q+2  Ker f q+1

Finalement, on obtient l'égalité Ker f q+2 = Ker f q+1 = Ker f p , c'est-à-dire
que P(q + 1) est vraie.
· Conclusion : P(q) est vraie pour tout q > p.
p  N

Ker f p = Ker f p+1

=

(q  N, q > p

Ker f q = Ker f p )

Supposons que V soit de dimension finie n  N. D'après la question précédente,
la suite (dim Ker f k )kN est bien définie, réelle et croissante. De plus, pour 
tout k  N,
l'inclusion Ker f k  V entraîne l'inégalité dim Ker f k 6 n : cette suite est 
majorée.
Elle converge donc. En outre, étant à valeurs dans N, elle est même constante à 
partir
d'un certain rang p  N.
Montrons que ce rang p vérifie p 6 n. C'est bien le cas si p = 0. Supposons donc
p non nul. D'après ce qui précède, p est le premier rang pour lequel on a 
l'égalité
Ker f p = Ker f p+1 , ce qui implique
k  N, k 6 p - 1
d'où

k  N, k 6 p - 1

Ker f k

Ker f k+1

dim Ker f k+1 > dim Ker f k + 1