E3A Maths B PC 2006

Thème de l'épreuve Étude d'un endomorphisme fonctionnel, équation matricielle et lieu géométrique
Principaux outils utilisés intégrales généralisées, calcul d'éléments propres, courbes en polaires, coniques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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CONCOURS ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques B PC

durée 3 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le 
signalesur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu 
i'l est
amené à prendre. '

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé

Exercice 1

E est l'espace vectoriel réel des fonctions continues sur R et à valeurs dans R.
E1 est le sous--ensemble de E formé des fonctions f telles que l'intégrale 
impropre

+oo

f ( ) exp( t)dt

converge pour tout a: E R.

1. Etude de quelques exemples :

+oo
a) Montrer que / exp(---t)dt converge pour tout x appartenant a R.
a:

+oo

Plus généralement, soit n EUR N, montrer que / . t" exp(----t)dt converge pour 
tout x appartenant à R.
113

_ +cx>
b) Soit 513 appartenant à R, l'intégrale impr0pre / cost exp(----t)dt 
existe--t--elle'?

(E

c) En déduire des exemples de fontions appartenant à E1.

2. Montrer que El est un sous--espace vectoriel de E.

3. Soit :

E f +----------> F +00 où F(a:) == exp(oe) f(t). exp(----t)dt pour tout x appartenant à R. (I) a) Montrer que ça est une application linéaire. 10) Montrer que F est de classe C1 sur R et que : F = F' + f c)

_ 0, alors : pour tout a: _>_ a. ( f (k) désignant la dérivée k'emede la fonction polynôme f) Exercice 2 2 3 ---2 3 -------2 1 Soient : A == ----1 -----2 2 et P = -----1 2 -------1 1 3 -------4 0 1 2 Soit ]" l'endomorphïsme de R3 canoniquement associé à la matrice A. 1. a) Montrer que A est diagonalisable. b) Montrer que la matrice P est inversible. 2. Soit g un endomorphisme de R3. Montrer que si f et g commutent, les vecteurs'propres de f sont des vecteurs propres de g. ' 3. En déduire que si f et g commutent, f et 9 sont simultanément diagonalisables. 4. On considère l'équation matricielle : (5) M2 ----- 6M : A d'inc0nnue M, matrice carrée d'ordre trois à coefficients réels. a) Montrer que si la matrice M est solution de (5), alors M et A commutent. b) En déduire que l'équation (EUR ) est équivalente à. l'équation (S' ) d'inconnue D matrice carrée d'ordre trois diagonale : (S') 192 -- 6D 3 A 0 0 -----5 c) Résoudre l'équation (S'), puis déterminer les solutions de (EUR ) 1 oùA= () 0 COO Exercice 3 __:--).__> 2 E est un espace affine euclidien rapporté à un repère orthonormal de sens direct R==(O, , ' ). On choisit ___) 0 comme pôle et (0, z' ) comme axe polaire; a est un réel strictement positif. 1. Tracer la courbe P d'équation polaire p : a(1 + c039) 2. Déterminer la longueur de F. 3. On considère l'application ga: ]----7r,+7r[ -----> K 0 9 +------> t=tan--2-- 1--t2i 4at a) Montrer que : a: : 2a sont des équations paramétriques de I'. (1+t2)2 ' y: (1+t2)2 b) Montrer que la tangente à F en le point M de paramètre 7" a pour équation : (7--3 ------- 37)y + (372 -- 1)oe + 2a == 0 0) Montrer que cette tangente recoupe I' en deux points P1 de paramètre t1 et P2 de paramètre t2 si et seulement si 7"2 ___>_ 3 et alors t1.t2 : 3. On considère les tangentes à F en ces points P1 et P2 ; montrer qu'elles se coupent en le point N de coordonnées (cv, fl) si et seulement si t1 et 152 sont racines de : ' P(t) = (t3 ---- 3t)fi + (3t? ---- 1)oz + 2a a-----2a 33 . d) En déduire que l'ensemble des points d'intersection N lorque 7' décrit ] --- oo, --JË[U] + \/3, +oo[ est inclus dans la courbe dont une équation est : et alors la troisième racine &; est 753 = 103:2 ... 54y2 -- 22cm: + 4a2 : 0 e) Reconnaître et déterminer les éléments remarquables de cette courbe. La représenter dans le repère ---> ----> orthonormal R=(O, 72 , j ).

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



E3A Maths B PC 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jérôme Gärtner (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Céline
Chevalier (ENS Cachan) et Chloé Dousset (ENS Cachan).

Ce sujet relativement long pour une épreuve de trois heures aborde plusieurs
points essentiels du programme, y compris la géométrie. Il est composé de trois
exercices.
· Le premier porte sur les intégrales généralisées et utilise un peu d'algèbre.
Le niveau est moyen pour ce type d'épreuve et la difficulté consiste souvent à
justifier l'existence des intégrales et les calculs qui sont effectués. La 
dernière
question demande du recul sur ce qui a été démontré.
· Le deuxième exercice, d'algèbre linéaire, est calculatoire. Il porte 
principalement
sur la réduction des endomorphismes et ne présente pas de difficulté 
particulière,
sauf dans la justification du fait qu'une matrice est diagonalisable.
· Le dernier exercice consiste en l'étude d'un lieu associé à une courbe en 
coordonnées polaires. Classique de géométrie, il a son lot de calculs. Il y est 
fait
usage de nombreuses formules sur les arcs paramétrés et les coniques, points du
cours indispensables ici et qui ont fait la différence le jour de l'épreuve 
d'après le
rapport du jury : « L'étude de courbes en coordonnées polaires bien qu'au 
programme est ignorée d'une grande partie des candidats. Plus nombreux encore
sont ceux qui ne connaissent pas l'expression de la longueur d'une courbe. »
En résumé, ce sujet est représentatif du concours E3A : calculatoire mais assez
bien construit pour pouvoir classer tous les candidats. « Chaque exercice 
demandait
l'utilisation (et donc l'énoncé) de théorèmes et définitions essentiels du 
cours, ce qui
semblait être hors de portée d'une partie non négligeable de candidats. » C'est 
un
bon sujet de révision.

Indications
Exercice I
1.a Utiliser les relations de comparaison.
1.b Trouver une majoration par une fonction intégrable.
3.c Ne pas oublier que  est linéaire.
3.d Procéder par analyse et synthèse.
3.e Intégrer par parties. Attention aux justifications !
4.b.ii Se rappeler que E2 est de dimension finie.
4.b.iii Calculer l'ensemble des valeurs propres.
4.c Utiliser la question 3.b, et vérifier que le résultat de la question 3.e 
est encore
valable ici.

Exercice II
1.a Prouver que les valeurs propres de A sont distinctes.
2 Utiliser le fait que les sous-espaces propres de f sont de dimension 1.
4.b Montrer que P définit un changement de base qui diagonalise A.
4.c Effectuer le changement de base sur les matrices vérifiant l'équation (E  ).

Exercice III
2 Calculer l'intégrale

Z

-

p
2 () + 2 () d.

3.a Exprimer les coordonnées d'un point de la courbe en fonction de tan (/2).
3.b Utiliser les coordonnées paramétriques trouvées à la question 3.a.
3.c Chercher les points de  qui satisfont l'équation de la tangente.
3.d Utiliser le fait que t3 est racine de P.
3.e Trouver une équation réduite de cette conique pour pouvoir appliquer les 
formules du cours.

Exercice I
1.a Soit x  R. La fonction t 7 e-t est continue sur [ x ; + [ donc son intégrale
converge sur tout intervalle du type [ a ; b ]  [ x ; + [. Étudions le 
comportement de
t 7 e-t en + : d'après le théorème de comparaison de fonctions
lim t2 e-t = 0

t+

Comme la fonction exponentielle est positive et que l'intégrale de la fonction 
t 7 1/t2
converge sur [ x ; + [, on en déduit que l'intégrale de la fonction t 7 e-t 
converge
sur [ x ; + [.
Z +
e-t dt converge pour tout x  R.
x

Soit n  N. La fonction t 7 tn e-t est continue et positive sur [ x ; + [ et 
vérifie
lim tn+2 e-t = 0. Le raisonnement ci-dessus s'applique donc et montre que

t+

Z

+

tn e-t converge pour tout x  R.

x

1.b La fonction t 7 cos t e-t est continue sur R. La majoration |cos t| 6 1 
valable
pour
tout t  R montre que |cos t e-t | 6 e-t . D'après la question 1.a, l'intégrale
Z
+

e-t dt converge pour tout x  R, ce qui permet d'affirmer, d'après le théorème

x

de majoration, que

Z

+

cos t e-t dt converge pour tout x  R.

x

Il est possible de justifier la convergence de l'intégrale de cette question en 
la
calculant, ce qui n'était pas demandé. Le rapport du jury déplore le fait que
beaucoup de candidats aient choisi cette méthode plus longue, car nécessitant
deux intégrations par parties, et sans fournir les justifications adéquates.
1.c La question 1.a montre que pour tout entier n, la fonction t 7 tn est dans
l'espace E1 et la question 1.b montre que la fonction cosinus est dans E1 .
cos  E1

et

n  N

t 7 tn  E1

La linéarité de l'intégrale permet d'affirmer par exemple que
Toute fonction polynomiale P est dans E1 .
Un raisonnement analogue à celui de la question 1.b montrerait que toute
fonction continue et bornée appartient à E1 .
2 La fonction nulle est continue sur R et son intégrale sur [ x ; + [ converge 
pour
tout x de R.
0  E1

Montrons que E1 est stable par combinaison linéaire. Soient (f, g)  E1 2 et   R
(le corps des scalaires est R comme indiqué par l'énoncé). Prouvons que f + g  
E1 .
On sait déjà que f + g est continue sur R. Soit x  R. Les intégrales
Z +
Z +
f (t) e-t dt
et
g(t) e-t dt
Z +
x
x
existent par hypothèse. La linéarité de l'intégrale montre que
g(t) e-t dt existe,
x
puis que
Z
+

(f (t) + g(t)) e-t dt

x

E1 est un sous-espace vectoriel de E.

converge. Ainsi,

3.a Montrons dans un premier temps que (f ) appartient à E si f appartient à E1 
.
Soit f  E1 . La fonction h : t 7 f (t) e-t est continue sur R donc
Z x
x 7
h(t) dt
0
Z +
est continue sur R. Comme
h(t) dt converge, on a pour tout x  R
Z + 0
Z +
Z x
h(t) dt =
h(t) dt -
h(t) dt
0
0
Zx+
h(t) dt est continue sur R et
Ainsi la fonction x 7
x

(f )  E
Montrons dans un second temps la linéarité de . Soient (f, g)  E1 2 et   R.
Vérifions que (f +g) = (f )+(g). Soit x  R. D'après la linéarité de l'intégrale,
Z +

Z +
Z +
x
-t
x
-t
-t
e
(f (t) + g(t)) e dt = e
f (t) e dt + 
g(t) e dt
x

x

x

Ce qui montre que pour tout x  R, (f + g)(x) = (f )(x) +  (g)(x).
 est une application linéaire de E1 dans E.
Il est important de vérifier que l'ensemble d'arrivée fourni par l'énoncé est
correct avant de montrer que l'application est linéaire.
3.b Comme la fonction t 7 f (t) e-t est continue sur R, la fonction
Z x
x 7
f (t) e-t dt
0

en est la primitive qui s'annule en 0. Elle est donc de classe C 1 sur R et sa 
dérivée
est la fonction x 7 f (x) e-x . Ainsi la fonction
Z +
Z +
Z x
x 7
f (t) e-t dt =
f (t) e-t dt -
f (t) e-t dt
0

x

0

est de classe C sur R et sa dérivée est la fonction x 7 -f (x) e-x car
Z +
f (t) e-t dt = Cte
1

0