E3A Maths A PC 2008

Thème de l'épreuve Étude d'une famille d'applications linéaires et d'équations différentielles associées
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, réduction, séries entières, équations différentielles linéaires

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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3
Concours ENSAM - ESTP -- ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A PC
Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa 
copie et poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Concours ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A PC
Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa 
copie et poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Le problème comporte quatre parties qui peuvent être traitées de façon 
largement indépendante.
Notations : n est un entier supérieur ou égal à 2.
Rn [X ] est l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à. n à 
coefficients réels.
ï est l'ensemble des réels strictement positifs.
et est un paramètre réel.
Objectifs : Etude d'une famille d'applications linéaires et d'équations 
différentielles associées à ces applica--
tions linéaires .

1 Première partie : Etude de l'application :
A..: R3[X] _> Rg[X]
P ...--.. X(X+1)P"(X) + (aX-1)P'(X).

1.1 Propriétés élémentaires de A...

1.1.1) Montrer que Aa est un endomorphisme de R3 [X ]
1.1.2) Ecrire la matrice Ma de Aa dans la base canonique de R3 [X ], (X "" , 0 
_<_ le S 3).

1.1.3) Etude du cas particulier a = -----4.
0 -----1 0 0
a) La matrice M_4 : 8 34 ----(-)6 3 est-elle diagonalisable'?
0 0 O --6

b) Déterminer les valeurs propres et les sous--eSpaces propres de A...4.
1.1.4) a) Déterminer en fonction du réel & les valeurs propres de Aa.
b) Pour quelles valeurs de @ l'endomorphisme Aa admet--il des valeurs propres 
doubles?
c) Existe--t--il une valeur du réel & pour laquelle Aa admet une valeur prepre 
triple ?
1.1.5) Pour quelles valeurs de &, Aa est-il diagonalisable '?

1.1.6) Pour quelles valeurs du réel 0. le degré du polynôme Aa(P) est-il égal 
au degré de P, pour tout polynôme
P non constant de R3 [X ] ?

1.2 Etude de cas particuliers.

On suppose dans tout ce paragraphe que & n'appartient pas a {----2, ----1,0}.

1.2.1) Déterminer Ker(/la) par la donnée d'une de ses bases.

1.2.2) Montrer que (-----1 + a.X, X2, X3) est une base de Im(Aa).

1.2.3) Discuter selon 1) E N , 0 __<__ p _<_ 3, l'ensemble des polynômes de 
R3{X] solutions de l'équation :

X(X + 1)P"(X) + (aX -- 1)P'(X) == XP.

2 Deuxième partie : Quelques propriétés de l'application :

A(a'n)î Rn]X] ---> Rn]X]
P .__+ X(X+1)P"(X) + (aX--1)P'(X).

2.1) Justifier rapidement que A(a,n) est un endomorphisme de R,, [X ]

2.2) Ecrire la matrice Ma de A(a,n) dans la base canonique de R,,[X ], (X '" , 
0 5 k: _<__ n).

2.3) Soit A EUR R. Montrer que A est une valeur propre de A(a,n) si et 
seulement si il existe k EUR N, 0 _<__ k 5 n
tel que A : k(a + k---- 1).

2.4) Montrer que si & EUR R* , l'endomorphisme A(a,n) est diagonalisable.
Dans le cas particulier où a = O, A(O,n) est -il diagonahsable ?

3 Troisième partie : Recherche de solutions développables en série entière
d'une équation différentielle.

Soit 8 l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles définies dans 
l'intervalle ouvert ] ---- 1, +1[ et qui sont
des sommes de séries entières dans cet intervalle : ainsi f appartient à. 8 
s'il existe une série entière z ana?"
+oo
telle que pour tout 33 EUR] ---- 1, +1], f(æ) : Z ancc".
n=0

3.1) Montrer que si f EUR 8 alors f est de classe 000 sur ] ---- 1, +1].

On considère alors dans toute cette partie l'endomorphisme '!)a de 8

Da:£--+ 5

f "'--""' Da(f)
ou Da(f)(oe) : a:(oe + 1)f"(æ) + (acc ---1)f'(æ) pour tout 56 EUR] -- 1, +1].
+00
3.2) Soit f EUR EUR telle que Da(f) : af. On pose pour tout :1: EUR] ----- 1, 
+1], f(æ) = Zanæ".
n=O

a) Montrer que :

Vn EUR N, (77. --1)((n + a)an + (n + 1)an+1) : 0.
b) Montrer que pour tout 77. EUR N, n 2 3 :

et dans le cas particulier où ao = cm = 0 et CL2 == 1, donner les valeurs de a 
pour lesquelles la série
entière est un polynôme; on déterminera alors son degré et son coefficient 
dominant en fonction de
a.

c) Déterminer, selon 0. EUR R, le rayon de convergence de la série entière }: 
anoe".
3.3) En déduire l'ensemble des solutions dans 8 de Da( f ) = a f .

3.4) Comparer, selon @ EUR R, les dimensions des sous--espaces propres 
Ker(A(a,n) ---- aIan[x]) et
Ker(Da ------- aIdg).

4 Quatrième partie : Résolution d'une équation différentielle

On note 600 l'espace vectoriel des fonctions de classe C°° sur lRÎ'TL et Aa 
l'endomorphisme de (300 :

Aa: C°° ----> C°°
f *""""' Aa(f)
où pour tout cz: EUR R* , Aa(f)(oe) : æ(:13 +1)f"(æ) + (aæ ---- l)f'(oe).

4.1) On considère l'équation différentielle :
(E) :c(æ + 1)y" + (aa; --- l)y' ---- 2(a + l)y : 0 .

Montrer que toute solution sur R; est de classe 000 sur Ri}...

4.2) Soit 90 une solution sur R*+ de l'équation (E), on pose go(æ) : æ2.w(oe) 
pour tout a: E R*+. Montrer

. ' . , . . , . . , .
que ?,b est une fonction de C'", et que $ est solution sur RÎ}_ d'une equat10n 
differentielle lmea1re du
premier ordre. Peut-on prévoir ce résultat ?

Déterminer cette équation différentielle.

4.3) Résoudre sur R*+ l'équation différentielle linéaire du premier ordre :
(El) oe(oe + l)u' + ((4 + a)oe + 3)u : 0.

En déduire «p'.
4.4) On se place dans le cas particulier a = ----4.
a) Résoudre (E).
b) Comparez les dimensions des sous-espaces propres Ker(A_4 + 61dR3[X]) et 
Ker(A_4 + 61dgoe).

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



E3A Maths A PC 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thomas Chomette (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Florence Monna (ENSTA) et Guillaume Dujardin (Chercheur à l'INRIA).

Le sujet se divise en quatre parties pouvant être traitées de façon très 
largement
indépendante. Elles ont trait à des aspects variés du programme, de l'algèbre 
linéaire
aux séries entières, pour résoudre des questions relatives à des équations 
différentielles
linéaires. Si la difficulté est dans l'ensemble assez raisonnable et 
progressive, la fin
demande d'être capable de faire le lien entre des problèmes de formulation 
analytique
et des outils d'algèbre linéaire.
· La première partie est consacrée à l'étude de l'application linéaire
(
R3 [X] - R3 [X]
Aa :
P 7- X(X + 1)P (X) + (aX - 1)P (X)
où a est réel, et notamment au cas particulier a = -4. On s'intéresse aux 
valeurs
propres de cet endomorphisme et à sa diagonalisation éventuelle. On y détermine 
également l'image et le noyau de Aa pour résoudre, avec p  [[ 0 ; 3 ]],
les équations
Aa (P) = Xp
Cette partie est élémentaire du point de vue des calculs mais permet de passer
en revue les notions de base d'algèbre linéaire et de réduction. La fin peut 
être
abordée dès la première année.
· La deuxième partie est plus théorique et généralise la première, puisqu'elle
étudie l'application
(
Rn [X] - Rn [X]
A(a,n) :
P 7- X(X + 1)P (X) + (aX - 1)P (X)
Précisément, il s'agit de calculer ses valeurs propres. On montre que 
l'endomorphisme est diagonalisable lorsque a est strictement positif.
· Dans la troisième partie, on recherche les solutions développables en série 
entière
sur ] -1 ; 1 [ de l'équation différentielle
x(x + 1)y  + (ax - 1)y  - ay = 0
Pour cela, on raisonne par analyse-synthèse en cherchant des relations de 
récurrence satisfaites par la suite des coefficients de la série entière, afin 
de pouvoir
les expliciter, puis trouver le rayon de convergence de la série entière 
obtenue.
Le lien est fait avec les deux premières parties puisque l'on recherche parmi 
les
solutions trouvées les fonctions polynomiales, qui correspondent à des vecteurs
propres de A(a,n) associés à la valeur propre a.
· Enfin, la quatrième partie s'intéresse à l'équation différentielle
x(x + 1)y  + (ax - 1)y  - 2(a + 1)y = 0
On détermine les solutions au moyen d'un changement de fonction inconnue
qui ramène le problème à une équation différentielle linéaire du premier ordre,
que l'on sait résoudre.

Indications
Partie I
I.1.3.a Utiliser les blocs diagonaux de la matrice M-4 pour montrer qu'elle 
n'est pas
diagonalisable.
I.1.4.c Examiner les cas pour lesquels on a une valeur propre au moins double, 
trouvés
à la question précédente.
I.1.5 Distinguer les cas particuliers trouvés précédemment, plus le cas général.
I.1.6 Examiner l'effet de Aa sur le terme dominant, en distinguant les cas 
selon le
degré du polynôme.
I.2.2 Montrer que les polynômes proposés sont bien dans l'image et conclure par
un argument de dimension.
I.2.3 Lorsque l'équation admet des solutions, commencer par trouver une solution
particulière.
Partie II
II.3 Utiliser la matrice déterminée à la question précédente pour trouver les 
valeurs
propres.
II.4 Lorsque a > 0, montrer qu'il y a n + 1 valeurs propres distinctes.
Pour le cas a = 0, utiliser l'étude de la première partie.
Partie III
III.2.a Retraduire l'équation Da (f ) = af sous forme d'une égalité de séries 
entières
et penser à justifier proprement l'identification des coefficients.
III.2.b Raisonner par récurrence.
III.2.c Ne pas oublier de distinguer le cas où l'on a affaire à un polynôme.
III.3 Écrire une solution à l'aide de deux paramètres réels pour trouver une 
base
de l'ensemble des solutions.
Partie IV
IV.1 Montrer par récurrence que toute solution f est n fois dérivable en 
écrivant
l'équation différentielle sous la forme
x > 0,

f  (x) = -

2(a + 1)
ax - 1 
f (x) +
f (x)
x(x + 1)
x(x + 1)

IV.2 Remplacer, dans l'équation différentielle (E), (x),  (x) et  (x) par leurs
expressions en fonction de (x),   (x) et   (x).

IV.3 Pour primitiver x 7- (4+a)x+3 /x(x+1), décomposer en éléments simples.

IV.4.a Calculer  puis .

I. Étude de l'application
Aa :

(

R3 [X] - R3 [X]
7- X(X + 1)P (X) + (aX - 1)P (X)

P

I.1.1 Commençons par établir que Aa est bien à valeur dans R3 [X]. Soit P  R3 
[X].
En dérivant, deg P (X) 6 2 donc deg(aX - 1)P (X) 6 3, puis deg P (X) 6 1 donc
deg X(X + 1)P (X) 6 3. Effectuant la somme, on a bien deg Aa (P) 6 3, 
c'est-à-dire
que Aa (P) appartient à R3 [X]. Reste à établir la linéarité de Aa . Soient P, 
Q  R3 [X]
et , µ  R. On a
Aa (P + µQ) = X(X + 1)(P + µQ) (X) + (aX - 1)(P + µQ) (X)
= X(X + 1) (P + µQ ) (X) + (aX - 1) (P + µQ ) (X)
= X(X + 1)P (X) + µX(X + 1)Q (X)
+(aX - 1)P (X) + µ(aX - 1)Q (X)
Aa (P + µQ) = Aa (P) + µAa (Q)
Ainsi, on a fini d'établir que
Aa est un endomorphisme de R3 [X].
C'est une question très classique, mais qu'il convient de traiter correctement.
En particulier, il ne faut surtout pas oublier de montrer la partie « endo »,
c'est-à-dire la stabilité de R3 [X] par l'application Aa . Le rapport du jury
précise que trop de candidats oublient de vérifier ce point.
I.1.2 Pour écrire Ma , on calcule l'image par Aa des vecteurs de la base 
canonique.
Aa (1) = 0
Aa (X) = aX - 1
Aa (X2 ) = X(X + 1)2 + (aX - 1)2X = (2a + 2)X2
enfin

On obtient

Aa (X3 ) = X(X + 1)6X + (aX - 1)3X2 = (3a + 6)X3 + 3X2

0 -1
0 a
Ma = 
0 0
0 0

0
0
2a + 2
0

0
0 

3 
3a + 6

I.1.3.a La matrice M-4 étant diagonale par blocs, pour qu'elle soit 
diagonalisable
il faut que ses blocs diagonaux le soient. En effet, si la matrice M-4 est 
diagonalisable
alors elle admet un polynôme annulateur scindé à racines simples, et ce polynôme
annule alors chacun
des blocs
diagonaux de M-4 .

-6 3
Or, le bloc
n'est pas diagonalisable : sa seule valeur propre étant -6,
0 -6
il serait semblable à -6I2 donc égal à -6I2 , ce qui n'est pas le cas.
M-4 n'est pas diagonalisable.

I.1.3.b On calcule le polynôme caractéristique de M-4 , qui vaut
det (M-4 - XI4 ) = -X(-X - 4)(-X - 6)2 = X(X + 4)(X + 6)2
Les valeurs propres de A-4 sont ainsi 0, -4 et -6.
La matrice étant triangulaire supérieure, les valeurs propres sont les 
coefficients diagonaux, que l'on peut donc obtenir sans polynôme 
caractéristique.
· La matrice M-4 est de rang 3 (ses trois dernières colonnes forment une famille
libre) donc d'après le théorème du rang le sous-espace propre E0 = Ker A-4
est de dimension 1, engendré par le polynôme 1.

4 -1 0
0
0 0
0
0

· M-4 + 4I4 = 
0 0 -2 3  est également de rang 3 donc E-4 est de
0 0
0 -2

dimension 1. Et A-4 + 4 id R3 [X] (1+4X) = 0, en effet C1 +4C2 = 0, où C1 est
la première colonne de la matrice et C2 la seconde. Donc E-4 = Vect (1 + 4X).

6 -1 0 0
0 2 0 0

· M-4 + 6I4 = 
0 0 0 3 est également de rang 3 et E-6 est de dimen0 0 0 0

sion 1. On a A-4 + 6 id R3 [X] (X2 ) = 0 d'où E-6 = Vect (X2 ).
Les valeurs propres sont 0, -4 et -6, et les sous-espaces propres
associés E0 = Vect (1), E-4 = Vect (1 + 4X) et E-6 = Vect (X2 ).

On retrouve le résultat de la question précédente. La somme des dimensions
des sous-espaces propres vaut 3 et non 4, c'est-à-dire que M-4 n'est pas
diagonalisable.
I.1.4.a Dans le cas général la matrice Ma , obtenue à la question I.1.2, est 
triangulaire supérieure. Les valeurs propres de Aa sont les coefficients 
diagonaux de Ma .
Les valeurs propres de Aa sont 0, a, 2a + 2 et 3a + 6.
I.1.4.b On a une valeur propre au moins double dès que deux des réels précédents
sont égaux. Six égalités sont possibles, qui fournissent les valeurs 0, -1, -2, 
-3 et -4.
Aa admet une valeur propre double si et seulement si a  {-4, -3, -2, -1, 0}.
Pour savoir si ces valeurs propres sont exactement doubles ou non, il faut
déterminer si elles sont triples ou non, ce qui revient à résoudre la question
suivante.
I.1.4.c Précisément, lorsque a vaut 0, Aa a une valeur propre double et deux 
valeurs
propres simples. De même lorsque a vaut -1, -3 ou -4. Enfin lorsque a vaut -2,
on a 3a + 6 = 0 et 2a + 2 = a = -2, Aa a donc deux valeurs propres doubles.
Dans tous les autres cas, Aa a quatre valeurs propres simples.
Aa ne peut avoir de valeur propre triple.