E3A Maths A PC 2006

Thème de l'épreuve Développement en série entière de fonctions composées et réciproques
Principaux outils utilisés calcul matriciel, coefficients du binôme, fonctions négligeables, développements limités, développements en série entière

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A PC

durée 4 heures

' '

Si, au cours de l'epreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le 
signale-sur sa
' copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives 
qu'il est
amené à prendre.

, L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé

partie I

Un entier naturel n > 2 étant fixé, on note lR[X] le R--espace vectoriel des 
polynômes à coefficients
réels et Rn[X] le sous-espace vectoriel des polynômes de degré au plus n.

On définit alors pour tout polynôme P = z pk X k de R[X] :
k;0

. n
---- le polynôme tronqué de P au degré n : Tn(P) : Z pk Xk;
k-O

---- le polynôme composé de P et X + X2 : 90(P) : z pk (X + X2)k.
k>0
On confondra tout polynôme P E R[X] avec sa fonction polynomiale réelle 
associée : a: l--> P ($)

1. (a) Établir que Tn' : P +--+ Tn(P) définit un projecteur de R[X].
(b) Déterminer l'image de Tn.
(c) Montrer qu'un polynôme P de R[X] appartient au noyau de Tn si et seulement 
si :

P(oe) OEî0 o(oe").

2. (a) Déterminer, pour tout P de R[X] une relation entre le degré de P et 
celui de 90(P).
(b) Prouver que 90 définit un endomorphisme injectif de R[X] ; 

< 5). (b) Montrer que, pour tout entier naturel n > 2, la matrice Mn est triangulaire inférieure, et expliciter son terme général mi,j lorsque 0 { j { i < n. 1 ' Tournez la page S.V.P 4. (a) Inverser la matrice M4. (b) Montrer que, pour tout entier naturel n> 2, la matrice M,, est inversible. Que peut- on en conclure pour l'endomorphisme (,on? . (c) Montrer que la matrice inverse de M... notée Q,, : [Qi,j]0 R une application admettant un développement limité d'ordre n > 2 en O, de partie régulière P E R,,[X] ; c'est--à--dire que : f(OE) = P(OE) + O(OE")- æ-->O (a) En utilisant éventuellement le 11°C, montrer que l'application ac 1----> f (a: + æ2) admet en 0 un déve10ppement limité d'ordre n de partie régulière go,,(P), c'est--à--dire que : f(æ + 5132) oeî0 T,,(P(oe + æ2)) + 0(æ"). (b) Si P = po + p1X + -- -- - + ann, déterminer à l'aide des notations de la partie 1, un calcul " Vmatr1ciel fournissant directement le développement limité d'ordre n de :c 1--> f (a: + 5172) en 0 a partir du vecteur colonne formé de po, . . . , p,, ; expliciter alors ce déve10ppement limité. 2. (a) Appliquer le Ill°b pour obtenir le déve10ppement limité d'ordre 4 en 0 de l'application : 1 1+OE+a:2° (b) Vérifier ce résultat par un calcul direct de déve10ppement limité que l'on détaillera. g:a:+----> 3. Soit une application f, somme d'une série entière de rayon de convergence R > O, fini ou non: * VoeEUR e.] R R[, =Î ,\ a:" (a ) Déterminer le plus grand ensemble ouvert Q C R tel que, pour tout oe EUR (2, la série numérique "EO )... (+ W) converge (il faudra distinguer différents cas selon les valeurs de R). N (b) Pour tout 33 EUR R et pour tout N E N, on pose : gN(oe) : nî: An (51: + 332)". Montrer que : =0 min( (lc, N) ... =î( z .,,_( £...) 71: k/2 (Dans une telle somme, 71 ne prkend que les valeurs entières entre les bornes indiquées.) (c) Soit, pour tout k E N : ..., _ Z )... (k ΰn) n= [9/2 Pour tout a: E R et pour tout N E N, on pose hN(æ) : }: ..., acl". Montrer que : ' ' k=0 N th(OE) --ÿN(OE)I < 2 lf\nl(âî2 + (TI)"- n=N/2 (d) Déduire de ce qui précède que, sur un intervalle a préciser, on a : f (a: + 5132) = 2 ,u.;, m'". Retrouver alors le développement limité d'ordre n en 0 de a: 1----> f(a: + 332) obtenu en II 1°b. 4. (a) En remarquant que 1 ---- 5123 = (1 ------- æ)(l + ZB + 1132), déve10pper en série entière au voisinage de 1 . W et préciser le rayon de convergence de cette série entière. ac ac () l'application g : a: 1----> (b) Utiliser ce résultat et celui de la question Il 3°d pour évaluer, selon k E N, les sommes : k S,: E <--1>"(kÎ...)-- n=k/2 partie III 1.- (a) Déterminer des intervalles ouverts ] et J, contenant 0 et aussi grands que possible, tels que a : sc 1----> u = a: + 562 définisse une bijection de 1 vers J. Exprimer alors af"1(u) pour U E J. (b) Montrer que cette fonction (1 :J ----> I est développable en série entière au voisinage de 0, +oo * et préciser le rayon de convergence de la série entière associée que l'on notera 2 [);EUR u'EUR . , k=0 (c) Montrer, a l'aide du 15°a, que les coefficients bo, b1, . . . , bn sont les termes de la deuxième colonne de Q,, = (M,,)'"' (colonne d'indice 1). (d) Calculer directement le déve10ppement en série entière de a"1(u) au voisinage de O et comparer les résultats obtenus à ceux résultant du I5°e. 2. On considère maintenant l'application oz : z +--+ w -- z + 22, définie sur le demi- plan ouvert II formé des z- ---- :1: + iy tels que (oe, y) E R2 et oe > -----1/2. On identifie @ a R2, si bien que en posant w = u + i ?} avec (u, @) EUR R2, 01 est aussi l'application (a:, y) +----> (u, @) définie sur l'ensemble II des (oe, y) de R2 tels que a: > --1/2. (a) Établir que lorsque 111 décrit @, les solutions dans C de l'équation z + z2 111 restent symétriques par rapport a un point fixe, puis montrer ensuite que l'application oz définit un %14difféomorphisme entre II et le plan @ = R2 privé d'une demi--dr0ite a préciser. (b) Soient dans II les droites D;,, d'équations oe : k (k E K, k > --1 / 2). Montrer que ces droites ont pour images par oz des paraboles d'axe Ou et toutes de même foyer F, a préciser. +00 3. On pose maintenant fi ( )= 2 b;., w"EUR lorsque cette série converge, les bk étant définis au III1°b. 16: 0 Montrer que, sur son disque de convergence, cette série a pour somme & 1(w). (On pourra considérer, sans le calculer, le développement en série entière au voisinage de 0 de l'application w 1--> (6(w))2 + fi(w) -- w.) Æg@JÆJLÆÀ_M--QÀ ; r 1

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E3A Maths A PC 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Guillaume Dujardin (Chercheur à l'INRIA) et Tristan Poullaouec (Professeur
agrégé).

Ce problème sans grande difficulté théorique est assez technique.
· Il commence par l'étude d'un endomorphisme de R[X], qui fait l'objet de la
partie I. On y alterne étude générale (questions I.1, I.2 et I.3), cas 
particulier
de R4 [X] (question I.4) et un retour au cas général à la question I.5 avec 
l'étude
de R5 [X] aux questions I.5.d et I.5.e. Les principales difficultés de cette 
partie
sont calculatoires, puisqu'il faut manipuler des matrices 5 × 5 et 6 × 6 et 
surtout
inverser une matrice 5 × 5.
· Dans la deuxième partie, on utilise l'endomorphisme étudié dans la partie I
pour déterminer un développement limité d'une fonction composée, puis à la
question II.2 on étudie un exemple. On passe ensuite à l'application aux séries 
entières et on retrouve le résultat obtenu pour les développements limités.
Il n'y a toujours pas de difficultés théoriques et les propriétés sur les séries
numériques et les séries entières utilisées restent élémentaires, classiques et 
à
connaître absolument. Par contre, il y a toujours des difficultés techniques,
de niveau nettement plus élevé qu'à la partie précédente. Vous trouverez par
exemple deux inversions de sommation qui sont probablement ce que vous risquez 
de rencontrer de plus difficile en concours : cela constituera un excellent
entraînement sur cette technique souvent mal connue. La partie II se termine
par le calcul des sommes

k
P
n
(-1)n
k-n
n=k/2
· Dans la troisième partie, on détermine un développement en série entière de la
fonction réciproque de la fonction x 7 x + x2 sur des intervalles appropriés.
On étend ensuite ce résultat à un C 1 -difféomorphisme défini entre deux 
ouverts du plan complexe. Cette partie est relativement difficile, surtout la 
dernière question. Son intérêt essentiel est de mettre en jeu des résultats de 
calcul
différentiel que l'on a rarement l'occasion d'utiliser.
En résumé, c'est un problème intéressant à travailler pour aborder des 
techniques
délicates et une partie du cours n'intervenant pas très souvent dans les 
problèmes de
concours. Il peut permettre à des 5/2 d'éliminer certaines impasses.

Indications
I.2.b
I.3
I.4.a
I.4.b
I.4.c
I.5.a
I.5.b
I.5.c
I.5.d
II.1.a
II.1.b
II.2.a
II.3.a

II.3.b
II.3.c

Déduire de la question I.2.a que tous les polynômes ne sont pas dans Im ().
Utiliser la formule du binôme de Newton.
Pour déterminer M4 -1 , utiliser la relation M4 X = Y  X = M4 -1 Y.
Utiliser l'expression de la matrice déterminée à la question I.3.b.
Généraliser le raisonnement fait à la question I.4.a.
Se rappeler qu'un automorphisme transforme une base en une base, ce qui
permet de considérer sa matrice comme celle d'un changement de base.
Utiliser la définition d'une matrice de changement de base.
Établir que les réels qij - qi-1,j-1 + qi,j+1 sont les coefficients des termes 
de
degré inférieur à n d'un polynôme qui est un o(xn ).
On peut déterminer la diagonale à partir des questions I.4.b et I.4.c, il suffit
ensuite d'utiliser la relation vue à la question précédente.
Utiliser l'hypothèse sur f pour exprimer f (x + x2 ) en fonction de P puis
utiliser les questions I.1.a et I.1.c.
Pour P  Rn [X], exprimer les coordonnées de n (P) en utilisant Mn puis
utiliser la question I.3.b.
Chercher une fonction f telle que g(x) = f (x + x2 ).
Commencer par une représentation graphique de la fonction x 7 |x + x2 |
puis en déduire le nombre de solutions de l'équation |x + x2 | = R. Justifier
ensuite par une étude précise des équations du second degré et en déduire les
ensembles cherchés. Il y a un cas où les hypothèses de l'énoncé ne permettent
pas de donner une réponse unique.
 
N
2n
P
P
k
Montrer que gN (x) =
n
xk puis permuter les deux sommes.
n
n=0
k=n
Pour déterminer les bornes des sommes on peut faire un dessin.
Exprimer |hN (x) - gN (x)| puis en ajoutant des termes et en inversant les
sommations (même technique qu'à la question précédente) montrer que :

N
2n
P
P
k
|hN (x) - gN (x)| 6
|n |
|x|k
k
-
n
k=N
n=N/2

II.3.d Penser que le reste d'une série convergente tend vers 0 pour justifier 
que hN (x)
tend vers f (x + x2 ) quand N tend vers l'infini.
1-x
1
=
II.4.a Utiliser l'égalité
1 + x + x2
1 - x3
II.4.b Utiliser l'unicité du développement en série entière d'une fonction.
III.1.a Exprimer x en fonction de u en utilisant une équation du second degré.

III.1.c Exprimer x sous la forme d'une combinaison linéaire des Tn (x + x2 )k et
d'un o(xn ) puis utiliser la question I.5.a.
III.1.d Déterminer le DSE de a-1 au voisinage de 0 à partir des DSE usuels puis
utiliser l'unicité du DSE.
III.2.a Montrer que  définit un C 1 -difféomorphisme de  dans R2 privé de la 
demidroite ] - ; -1/4 [ × {0}.
III.2.b Montrer qu'une équation cartésienne de l'image de Dk par  est
v 2 = (1 + 2k)2 (k + k 2 - u)

III.3 Justifier  (w) = w, pour tout nombre complexe w tel que |w| < 1/4.
Montrer ensuite que (w)  .

Partie I
I.1.a L'application Tn est linéaire. En effet, soit (, µ) un couple de réels 
ainsi que
deux polynômes
+
+
P
P
P=
pk Xk
et
Q=
qk Xk
k=0

k=0

les suites (pk )kN et (qk )kN étant nulles à partir d'un certain rang. Alors,
n
P
Tn (P + µQ) =
( pk + µ qk ) Xk
k=0
n
P

=

pk Xk + µ

k=0

n
P

qk Xk

k=0

Tn (P + µQ) = Tn (P) + µTn (Q)
L'application Tn consiste à supprimer tous les termes de degré strictement 
supérieur à n, donc si le polynôme est de degré inférieur ou égal à n, on ne 
supprime rien
et la restriction de Tn à Rn [X] est égale à l'application identité.
Si on applique une première fois Tn on obtient un polynôme de degré inférieur ou
égal à n, donc une deuxième application de Tn ne change rien. Ainsi, Tn Tn = Tn 
et
Tn est un projecteur.
Le rapport du jury signale que des candidats ont confondu (Tn  Tn )(P)
2
avec [Tn (P)] . C'est une confusion classique à laquelle il faut prendre garde,
pour une fonction à valeur dans une algèbre (ici l'algèbre des polynômes),
2
f 2 (x) peut désigner f  f (x) ou [f (x)] .
On pouvait aussi justifier l'égalité Tn  Tn = Tn de la manière suivante.
n
P
Soit P  Rn [X], c'est-à-dire qu'il est de la forme P =
pk Xk . Ainsi,
k=0
n
P
Tn (P) =
pk Xk = P
k=0

Comme Tn (P)  Rn [X] pour tout P  R[X], il en découle que

P  R[X]
Tn  Tn (P) = Tn Tn (P) = Tn (P)
si bien que

Tn  Tn = Tn

Remarquons que la restriction d'un projecteur à son image est l'identité,
propriété utile pour la suite.
I.1.b Tout élément de Rn [X] est dans l'image de Tn , puisqu'il est sa propre 
image,
réciproquement, l'image de Tn est contenue dans Rn [X] par définition. Par 
suite,
Im Tn = Rn [X]
La démonstration alternative suivante était aussi possible. Puisque Tn est un
projecteur, on sait que Im (Tn ) = Ker (Id -Tn ). Or,
P  Ker (Id -Tn )
On a vu précédemment que
P  Rn [X]

=

Tn (P) = P
Tn (P) = P

La réciproque étant immédiate, il en découle que Im (Tn ) = Rn [X].

I.1.c P est dans Ker Tn si et seulement si P n'a pas de terme non nul de degré
inférieur ou égal à n. Il existe alors un polynôme Q tel que
P(x) = xn+1 Q(x) = xn xQ(x)
La fonction x 7 xQ(x) est nulle en 0 et comme c'est un polynôme, elle est 
continue,
donc xQ(x) tend vers 0 quand x tend vers 0. Par conséquent, P(x) est par 
définition
un o(xn ) en 0.
+
P
Réciproquement, soit P(x) =
pi xi un o(xn ). Si P est nul, il appartient au
i=0

noyau de Tn . Si P n'est pas nul, soit k le plus petit entier tel que pk soit 
non nul.
P(x) est équivalent en 0 à pk xk , donc P(x)/xn est équivalent en 0 à pk xk-n .
P(x)/xn tend vers 0 quand x tend vers 0, donc k est strictement supérieur à n,
ce qui entraîne que P appartient au noyau de Tn .
P  Ker Tn

P(x) = o (xn )
x0

ou P = 0

I.2.a Pour tout k  N, le degré de (X + X2 )k est égal à 2k, donc si le degré du
polynôme non nul P est égal à n, celui de (P) est égal à 2n.
deg (P) = 2 deg P
Notons que si P est le polynôme nul, alors (P) est aussi le polynôme nul
et deg (P) = deg P quelle que soit la valeur que l'on choisit d'adopter pour
le degré du polynôme nul. En tous cas, il ne s'agit pas d'un cas particulier
bien intéressant.
I.2.b Soient  et µ deux réels ainsi que deux polynômes
+
+
P
P
P=
pk Xk
et
Q=
qk Xk
k=0

k=0

+

Alors,

P + µQ =

P

( pk + µ qk ) Xk

k=0
+

donc

(P + µQ) =

P

( pk + µ qk ) (X + X2 )k

k=0
+
P

=

+

pk (X + X2 )k + µ

k=0

(P + µQ) = (P) + µ(Q)

P

qk (X + X2 )k

k=0

 est bien un endomorphisme. Si P n'est pas le polynôme nul, il a un degré n  N 
et
(P) est de degré 2n, donc n'est pas nul. Cela montre que le noyau de  est réduit
au vecteur nul et par conséquent,
L'endomorphisme  est injectif.
La démonstration de la linéarité pouvait aussi utiliser la linéarité de la 
composition des polynômes :
(P + µQ) = (P + µQ)(X + X2 )
= P(X + X2 ) + µQ(X + X2 )
(P + µQ) = (P) + µ(Q)