Centrale Maths 2 PC 2016

Thème de l'épreuve Études d'opérateurs linéaires sur des espaces de polynômes et de fonctions
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, polynômes, combinatoire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Mathématiques 2
PC

4 heures Calculatrices autorisées

2016

Dans tout le texte, N est l'ensemble des entiers naturels, [R l'ensemble des 
réels, n désigne un entier naturel
supérieur ou égal à l et [R,JX] est l'ensemble des polynômes à coefficients 
réels de degré au plus n.

Pour a < b dans Z, on note [[a, b]] l'ensemble (a, b] 0 Z.

Pour le EUR D\l*, on note Pk le polynôme ka1. On rappelle que IRn(X] est un 
[R--espace vectoriel de dimension n+l
dont la famille (Pk) kEUR[Ü'n +1l] est une base. Pour P EUR Gîan], on note 
deg(P) le degré de P et, lorsque P est non

nul, cd(P) désigne le coefficient dominant de P, c'est--à--dire le coefficient 
du monôme Xdcg(P>.

k: le!
Pour le EUR N et j EUR [[0, le], le coefficient binomial _ vaut _.
] J!(k -- J)!

Pour un ensemble E et f : E + E, on définit par récurrence sur k; EUR Ù\l 
l'application fk : E --> E de la façon
suivante :
f() : ldE et fk+l : f 0 fk

Si f est bijective, on note fi1 la réciproque de f et pour le EUR N, on note 
fik : (fil))?

Pour p EUR N*, on note Mp(lR) l'ensemble des matrices carrées réelles de taille 
p.

I L'opérateur de translation et l'opérateur de différence

I.A -- L'opérateur de translation

L'opérateur de translation est l'endomorphisme T de [Ran] donné par

, . {MX} --> MX}
' P(X) |--> P(X+l)
I.A.1) Pour un polynôme non nul P EUR Üîn(X], exprimer deg(r(P)) et cd(r(P)) a 
l'aide de deg(P) et cd(P).
I.A.2) Soit P EUR [RÆX]. Pour le EUR N, donner l'expression de 7'k (P) en 
fonction de P.

I.A.3) Donner la matrice M : (M

...-)1 "?anl
' P(X) l--> P(X + 1) -- P(X)

I.B.1) Pour un polynôme non constant P EUR R,,]X], exprimer deg(ô(P)) et 
cd(6(P)) à l'aide de deg(P) et
cd(P).
1.8.2) En déduire le noyau ker(6) et l'image lm(ô) de l'endomorphisme 6.

I.B.3) Plus généralement, pour j EUR []l,n]], montrer les égalités suivantes :
ker(ôj) : [RJ--ÿl]X] et Im(cW) : [R...,--]X] (1.3)

I.B.4) Pour [EUR EUR IN et P EUR lR,,]X], exprimer 5'"(P) en fonction des Tj(P) 
pour j EUR ]]0, k]].
I.B.5) Soit P EUR [RnEUR1le- Montrer que

Î<--1>W(")PU> = 0 (L4)

j=0

I.B.6) Dans cette question, on se propose de montrer qu'il n'existe pas 
d'application linéaire u : R,, ]X ] % [Rn ]X ]
telle que u 0 u : 6 . On suppose, par l'absurde, qu'une telle application u 
existe.

a ) Montrer que u et 52 commutent.
b) En déduire que [Rl]X ] est stable par l'application u.
c) Montrer qu'il n'existe pas de matrice A EUR M2(IR) telle que

2* 0 1
A --(0 o)
d) Conclure.

I.B.7) Dans cette question, on cherche tous les sous--espaces vectoriels de R,, 
]X ] stables par l'application 5 .

a) Pour un polynôme non nul P de degré d < n, montrer que la famille (P, 6 P), 
5d(P)) est libre. Quel est
l'espace vectoriel engendré par cette famille '?

b) En déduire que si V est un sous--espace vectoriel de [R,,]X ] stable par 5 
et non réduit à {0}, il existe un entier
d EUR ]]Û,n]] tel que V : Rd]X].

II Applications en combinatoire

Pour tout couple (p, k) d'entiers naturels non nuls, on note S (p, [EUR) le 
nombre de surjections de ]]1, p]] dans ]]1, k]].
De façon cohérente, pour tout p EUR N*, on pose S(p, O) = O.

II.A * Quelques cas particuliers

II.A.1) Que vaut S(p,n) pour p < n ?

II.A.2) Déterminer S(n, n).

II.A.3) Déterminer S(n + 1,71).

II.B * Recherche d'une empression générale
II.B.1) Combien y a--t--il d'applications de []1, p]] dans []1, n]] '?
II.B.2) Pour p 2 n, établir la formule

nP= " (Z)S(p,k) (111)

où S(p, O) = 0 par convention.
II.B.3) En déduire une expression de S(p, n) pour p 2 n.

II.B.4) En relisant la question I.B.5, commenter la cohérence de cette 
expression pour p < n.

II. C -- Simplifier autant que possible les expressions suivantes :
Z(_1)nfk (Z) ku et Z(_1)nfk: ("> kn+1
k=0 k=0 "'

2016--01--05 11:12:58 Page 2/4 ("à BY--NC-SA

III Étude d'une famille de polynômes

On considère la famille de polynômes
H0 : 1

k'+1
Hk : % H)(X--j) pour % EUR [[LTLl
]:

III.A + Généralités

III.A.1) Montrer que la famille (Hk)ke[[0.nfl est une base de Ûîn{X].

III.A.2) Calculer 5(H0) et, pour [EUR EUR [[1,n]], exprimer 5(Hk) à l'aide de 
ka1-

III.A.3) La matrice M définie à la question l.A.3 et la matrice M' de taille 11 
+ 1 donnée par

1 1 0 0
0 .. --. s

M': = 0
1

0 0 1

sont--elles semblables ?
III.A.4) Montrer que, pour k, l EUR [[O,n]],

ôk--{a

III.A.5) Montrer que, pour tout P EUR Rn{X],

P = (ôk(P))(0)Hk

k=0
III.B + Étude d'un eæemple

III.B.1) Donner les coordonnées du polynôme X3 + 2X2 + 5X + 7 dans la base (H0, 
H1, H2, H3) de [Rng].
III.B.2) En déduire un polynôme P EUR [R5{X] tel que

62(P) : X3 +2X2 +5X+7
III.B.3) Déterminer les suites réelles (uk)kEURN telles que
uk+2--2uk+l+uk=k3+2k2+5k+7 (keN)

III.C + Polynômes à valeurs entières

III.C.1) Soit [EUR EUR Z. Calculer Hn (k). On distinguera trois cas : [EUR EUR 
[[O,n -- l]], le 2 n et [EUR < 0. Pour ce dernier
cas, on posera k : --p.

III.C.2) En déduire que Hn (Z) C Z, c'est--à--dire que H" est à valeurs 
entières sur les entiers.

III.C.3) Soit P EUR Rn{X] à valeurs entières sur les entiers. Montrer que 5(P) 
est aussi à valeurs entières sur les
entiers.

III.C.4) Montrer que P EUR [R,JX] est à valeurs entières sur les entiers si et 
seulement si ses coordonnées dans
la base (H k) kEUR[lÛml sont entières.

III.C.5) Soit P EUR MX] de degré d EUR D\l. Montrer que si P est à valeurs 
entières sur les entiers alors d!P est un
polynôme à coefficients entiers. Étudier la réciproque.

IV Généralisation de l'opérateur de différence et application
Pour une application f : [Rî --> [R de classe 600, on définit l'application

[Rî-->[R
5U)îlm-->f(m+D--f@)

IV.A +
IV.A.1) Montrer que 5(f) est de classe 800 sur [Rî. Comparer (5(f)), et 5(f').

2016--01--05 11:12:58 Page 3/4 GQ BY--NC-SA

TL

_) et des f(oe+j) (où

IV.A.2) Pour 71 EUR N et a: > O, exprimer (6"(f))(oe) a l'aide des coefficients 
binomiaux (
.?

l'indice j appartient à [[O,n]]).
IV.A.3) Expliquer pourquoi, pour tout a: > 0, il existe un 111 EUR ]0, li tel 
que

(5(f))(OE) = f'(OE + %)

IV.A.4) En déduire que pour tout 95 > O, pour tout 71 EUR D\l*, il existe un 
y,, EUR ]0, nl tel que

]

" (--1)"_j (?) f(OE+J') = f("'(æ+yn)- (IV-1)
=()

On pourra procéder par récurrence sur n EUR W et utiliser les trois questions 
précédentes.

I V.B * On considère dans toute la suite de cette partie un réel &. On suppose 
que pour tout nombre p premier,
pa est un entier naturel. On se propose de montrer que oz est alors un entier 
naturel.

IV.B.1) Montrer que pour tout entier le strictement positif, k°' appartient à 
D\l*.
IV.B.2) Montrer que oz est positif ou nul.

IV.B.3) On considère l'application fa définie sur [R*+ par fa (SC) : 33". 
Montrer que oz est un entier naturel si
et seulement si l'une des dérivées successives de ]",l s'annule en au moins un 
réel strictement positif.

I V.C * On applique la relation (l\/l) a la fonction fa et à l'entier n = La} + 
1 (où U désigne la partie
entière). On choisit désormais 33 EUR N*.

IV.C.1) Montrer que l'expression

.. (--1>"*fl'(">fi.<æ + j)
-=O .]

J

est un entier relatif.

IV.C.2) Les notations sont celles de la question IV.A.4. Quelle est la limite 
de l'expression fg"(oe + yn) quand
25 EUR IN* tend vers +oo '?

IV.C.3) Conclure.

oooFlNooo

2016--01--05 11:12:58 Page 4/4 ("à BY--NC-SA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 2 PC 2016 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur en CPGE) ; il a été 
relu
par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l'université) et Vincent Puyhaubert
(Professeur en CPGE).

Ce problème d'algèbre linéaire est composé de quatre parties.
· La première porte sur l'étude de deux opérateurs linéaires de Rn [X], 
l'opérateur
de translation et celui de différence. On détermine en particulier la matrice du
premier opérateur dans la base canonique et son inverse. Elles permettent 
d'établir une formule d'inversion pour des suites liées par une formule 
ressemblant
à celle du binôme de Newton.
· La deuxième partie, plus courte, applique les résultats de la première au 
dénombrement des surjections de [[ 1 ; p ]] sur [[ 1 ; n ]].
· La troisième reprend l'étude de l'opérateur de différence dans une base 
adaptée, la famille des polynômes de Hilbert. On en déduit quelques propriétés 
des
polynômes à valeurs entières sur Z.
· La dernière partie, plus courte, étend l'opérateur de différence aux 
fonctions de
classe C  sur R+ et propose une application arithmétique.
Hormis quelques questions purement combinatoires de la deuxième partie, qui
peuvent effrayer les personnes insensibles aux charmes discrets du dénombrement,
le sujet ne comporte pas de difficulté notable et n'utilise que des techniques 
très
classiques d'algèbre linéaire. Les questions sont de plus bien détaillées et de 
difficulté
progressive. Enfin, ce problème porte uniquement sur le cours de première année 
et
peut donc parfaitement être traité en fin de PCSI.

Indications
Partie I
I.A.1 Utiliser la formule du binôme de Newton pour faire apparaître le terme de 
plus
haut degré du polynôme  (P).
I.A.3 Pour tout j  [[ 1 ; n + 1 ]], calculer les coefficients du polynôme  (Pj 
) dans
la base (Pk )k[[ 1 ; n+1 ]] grâce à la formule du binôme de Newton.
I.A.4 Utiliser le résultat de la question I.A.3.
I.A.5 Montrer par le calcul que  est bijective.
I.A.6 Procéder comme à la question I.A.3.
I.A.8 Utiliser les résultats des questions I.A.7 et I.A.6.
I.A.9 Se servir à nouveau de la formule du binôme de Newton.

I.B.1 Déterminer le terme dominant de  Xk pour tout k  [[ 0 ; d ]], puis 
utiliser
la linéarité de  pour trouver celui de (P).
I.B.2 Commencer par déterminer le noyau à l'aide de la question précédente.
I.B.3 Trouver d'abord, en utilisant les questions I.B.1 et I.B.2, le degré de  
k (P)
pour tout k  N et pour tout polynôme non nul P.
I.B.5 Utiliser les résultats des questions I.B.3, I.B.4 et I.A.2.
I.B.6.b Se servir des questions I.B.4. et I.B.6.a.
I.B.6.d Considérer la matrice dans la base {1, X} de l'endomorphisme induit par 
u.
I.B.7.b Commencer par trouver qui peut être d. Utiliser ensuite la question 
I.B.7.a.
Partie II
II.A.3 Le plus simple est de voir comment construire une surjection de [[ 1 ; n 
+ 1 ]]
sur [[ 1 ; n ]], en raisonnant sur les antécédents des éléments de [[ 1 ; n ]].
II.B.2 Commencer par compter le nombre d'applications de [[ 1 ; p ]] dans [[ 1 
; n ]] dont
l'image a pour cardinal k  [[ 1 ; n ]].
II.B.3 Penser aux relations (I.1) et (I.2).
II.C Utiliser les résultats des questions II.B.3, II.A.2 et II.A.3.
Partie III
III.A.3 On pourra reconnaître les matrices de  dans des bases différentes.
III.A.4 Établir d'abord l'expression du polynôme  k (H ) pour (k, l)  [[ 0 ; n 
]]2 .
III.A.5 Utiliser les résultats des questions III.A.1 et III.A.4.
III.B.1 Appliquer la question III.A.5 ainsi que les résultats de la partie I 
pour n = 3.
III.B.3 On pourra rechercher la solution particulière sous la forme d'une 
fonction
polynomiale, en gardant en tête le résultat de la question précédente.
III.C.1 Faire apparaître des coefficients binomiaux à l'aide de changements 
d'indice.
III.C.4 Utiliser les résultats des questions III.C.3, III.A.5 et III.C.2.
III.C.5 Se servir de la question précédente pour l'implication directe. Pour 
montrer
que la réciproque est fausse, prendre un polynôme de degré 2.

Partie IV
IV.A.2 Procéder comme à la question I.B.4.
IV.B.1 Utiliser la décomposition de k en facteurs premiers.
IV.B.2 Se servir de la définition de .
IV.C.2 Commencer par déterminer l'expression de f (n) .
IV.C.3 Utiliser les résultats des questions IV.A.4, IV.C.1, IV.C.2 et IV.B.3 
pour
étudier la suite (vx )xN de terme général vx = f (n) (x + yn ).

I. L'opérateur de translation
et l'opérateur de différence
I.A.1 Soit P  Rn [X] un polynôme non nul. Il s'écrit P =

d
P

ak Xk , avec ak  R

k=0

pour tout k  [[ 0 ; d ]], d = deg(P)  N et ad = cd(P) 6= 0. Il en découle que
 (P) = P(X + 1) =

d
X

ak (X + 1)k = ad (X + 1)d + R1

k=0

où deg(R1 ) < d. De plus, on a d'après la formule du binôme de Newton
d  
X
d
d
(X + 1) =
X = Xd + R2

=0

avec deg(R2 ) < d également. De ce fait,
 (P) = ad Xd + R1 + ad R2 = ad Xd + R
où le polynôme R = R1 + ad R2 vérifie deg(R) < d. Comme ad 6= 0, ceci montre que
 (P) est un polynôme non nul de degré d et de coefficient dominant ad . Ainsi,
Pour tout P  Rn [X] non nul, deg( (P)) = deg(P) et cd( (P)) = cd(P).
I.A.2 Soit P  Rn [X]. Considérons la propriété P définie pour k  N par
P(k) : «  k (P) = P(X + k) »
· P(0) est vraie puisque  0 (P) = P = P(X + 0).
· P(k) = P(k + 1) : supposons que la propriété P est vraie au rang k  N.
D'après la proposition P(k), on a  k (P) = P(X + k) d'où
 k+1 (P) =  ( k (P)) =  (P(X + k)) = P(X + k + 1)
Ainsi, la proposition P(k + 1) est vraie.
· Conclusion : d'après le principe de récurrence, la proposition P(k) est vraie
pour tout k  N, ce qui signifie que
 P  Rn [X]

k  N

 k (P) = P(X + k)

I.A.3

m
Par convention, on pose
= 0 dès que p > m.
p
Pour déterminer cette matrice M, il faut calculer les images par  des différents
éléments de la base (Pk )k[[ 1 ; n+1 ]] . Soit j  [[ 1 ; n+1 ]]. Comme Pj = 
Xj-1 , on déduit
de la formule du binôme de Newton que

j-1 
j 
n+1
X
X
X j - 1
j-1
j-1
j-1
k
 (Pj ) = (X + 1)
=
X =
Pi =
Pi
k
i-1
i-1
k=0

i=1

i=1

en utilisant le changement d'indice i = k + 1 et la convention rappelée plus 
haut.
Les coefficients de la matrice M de  dans la base (Pk )k[[ 1 ; n+1 ]] sont donc

j-1
 (i, j)  [[ 1 ; n + 1 ]]2
Mi,j =
i-1
On reconnaît ici les coefficients binomiaux apparaissant dans le triangle de
Pascal. En fait, M est tout simplement la transposée de ce triangle.