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cunnnuns EENTHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N
L'objet du problème est l'étude de quelques outils permettant l'étude des
signaux déterministes.
On note .7([R, [R) l'espace vectoriel des fonctions de [R dans [R.
On dit qu'une fonction f de .7([R, [R) est a support compact s'il existe deux
réels a et b vérifiant a < b tels que f est nulle en dehors du segment [a, b]. On considère dans tout le problème l'ensemble .78T des fonctions continues par morceaux de [R dans [R ; on appelle de telles fonctions des signaux réguliers. On note f (k) la fonction dérivée k-ième d'une fonction de classe E'" ; si k = 0, f (k) = f. I Etude de nouveaux espaces fonctionnels I.A -- Fonction test 800 à support compact On note 2? l'ensemble des fonctions de [R dans [R de classe 800 et à support compact. Dans cette sous-partie, on note cp la fonction définie par : {cp(oe)=0 si |x|21 2 --1--oe2) si |oe|<1 I.A.1) a ) Étudier les variations de cp. [) ) Tracer la représentation graphique de +oo æ-->--oo
On note 5 l'ensemble des fonctions de [R dans [R de classe 8°° a décroissance
rapide.
I.B.1) Montrer que 5 est un espace vectoriel sur [R.
I.B.2) Montrer que si f est dans 8 alors f @ est dans 5 pour tout entier
naturel p.
I.B.3) Montrer que si P est une fonction polynôme et si f est dans 5, alors P f
appartient a 5.
II Espace des distributions sur D
II.A -- Définitions, eoeemples
17
On dit que la suite de fonctions ('Pn)new de D converge dans D vers la fonction
cp de D et on note Lpn --> Lp
si, pour tout entier [EUR E N, la suite de fonctions (cp£k))neN converge
uniformément vers 900") et s'il existe un réel
(1 > 0 tel que
VnEIN,VOEE[R, |oe|>a= [R qui
vérifie
D
Vw EUR 9. V( @ => T(%) --> T(tP)
On note D' l'ensemble des distributions sur D.
II.A.1) Montrer que si f E .78T alors l'application Tf définie par
+oo
VtP EUR @ Tf(0
U(oe)=0 sioe<0 Justifier que U définit une distribution sur D. II.A.3) Soit (1 un nombre réel. (1) Montrer que l'application du qui a tout a' æ-->a+
La différence f (a+) -- f (a"), appelée saut en a, est notée a(a).
(1) Soient al, ...,ap des réels tels que (11 < < ap. Soit f : [R --> [R une fonction de classe 81 par morceaux.
On suppose de plus que f est continue sur ]--oo,a1[ U ]a1, a2[ U U ]ap, +oo[.
Montrer que
P
i=1
() ) Retrouver par cette méthode les résultats des questions II.B.3 et Il.B.4.b.
II.C -- Suites de distributions sur D
On dit que la suite de distributions (Tn)nEUR[N converge vers la distribution T
si
% E D, lim Tn(oo
II.C.1) Pour n entier naturel non nul, on considère la fonction Un nulle sur
les réels négatifs, affine sur
l'intervalle [O, 1/n], égale à 1 pour les réels plus grand que 1/71 et continue
sur [R.
(1) Montrer que la suite de distributions régulières (TUn)neN converge vers TU.
() ) Montrer que
1/n
ch EUR D Td (
