Centrale Maths 2 PC 2015

Thème de l'épreuve Étude d'une fonction « bosse » et distributions
Principaux outils utilisés représentations graphiques, dérivation, intégrales à paramètre, suite de fonctions
Mots clefs suites de fonctions, théorème de convergence dominée, intégration par parties, intégrale à paramètre, distribution

Corrigé

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cunnnuns EENTHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N

L'objet du problème est l'étude de quelques outils permettant l'étude des 
signaux déterministes.
On note .7([R, [R) l'espace vectoriel des fonctions de [R dans [R.

On dit qu'une fonction f de .7([R, [R) est a support compact s'il existe deux 
réels a et b vérifiant a < b tels que
f est nulle en dehors du segment [a, b].

On considère dans tout le problème l'ensemble .78T des fonctions continues par 
morceaux de [R dans [R ; on
appelle de telles fonctions des signaux réguliers.

On note f (k) la fonction dérivée k-ième d'une fonction de classe E'" ; si k = 
0, f (k) = f.

I Etude de nouveaux espaces fonctionnels

I.A -- Fonction test 800 à support compact
On note 2? l'ensemble des fonctions de [R dans [R de classe 800 et à support 
compact.
Dans cette sous-partie, on note cp la fonction définie par :

{cp(oe)=0 si |x|21

2

--1--oe2) si |oe|<1

I.A.1)

a ) Étudier les variations de cp.

[) ) Tracer la représentation graphique de +oo æ-->--oo

On note 5 l'ensemble des fonctions de [R dans [R de classe 8°° a décroissance 
rapide.
I.B.1) Montrer que 5 est un espace vectoriel sur [R.

I.B.2) Montrer que si f est dans 8 alors f @ est dans 5 pour tout entier 
naturel p.

I.B.3) Montrer que si P est une fonction polynôme et si f est dans 5, alors P f 
appartient a 5.

II Espace des distributions sur D

II.A -- Définitions, eoeemples

17
On dit que la suite de fonctions ('Pn)new de D converge dans D vers la fonction 
cp de D et on note Lpn --> Lp

si, pour tout entier [EUR E N, la suite de fonctions (cp£k))neN converge 
uniformément vers 900") et s'il existe un réel
(1 > 0 tel que

VnEIN,VOEE[R, |oe|>a= [R qui 
vérifie

D
Vw EUR 9. V( @ => T(%) --> T(tP)

On note D' l'ensemble des distributions sur D.
II.A.1) Montrer que si f E .78T alors l'application Tf définie par

+oo

VtP EUR @ Tf(0
U(oe)=0 sioe<0

Justifier que U définit une distribution sur D.

II.A.3) Soit (1 un nombre réel.

(1) Montrer que l'application du qui a tout 

a' æ-->a+ La différence f (a+) -- f (a"), appelée saut en a, est notée a(a). (1) Soient al, ...,ap des réels tels que (11 < < ap. Soit f : [R --> [R une fonction de classe 81 par morceaux. On suppose de plus que f est continue sur ]--oo,a1[ U ]a1, a2[ U U ]ap, +oo[. Montrer que P i=1 () ) Retrouver par cette méthode les résultats des questions II.B.3 et Il.B.4.b. II.C -- Suites de distributions sur D On dit que la suite de distributions (Tn)nEUR[N converge vers la distribution T si % E D, lim Tn(oo II.C.1) Pour n entier naturel non nul, on considère la fonction Un nulle sur les réels négatifs, affine sur l'intervalle [O, 1/n], égale à 1 pour les réels plus grand que 1/71 et continue sur [R. (1) Montrer que la suite de distributions régulières (TUn)neN converge vers TU. () ) Montrer que 1/n ch EUR D Td (

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 2 PC 2015 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Mathilde Perrin (Docteur en mathématiques) ; il a été
relu par Émilie Liboz (Professeur en CPGE) et Benjamin Monmege 
(Enseignantchercheur à l'université).
Ce sujet d'analyse porte sur les distributions, qui généralisent la notion de 
fonction. Elles sont utiles aux physiciens, qui les ont manipulées bien avant 
leur formalisation, afin d'obtenir des « solutions » à des problèmes 
discontinus. Elles ont de
nombreuses applications en ingénierie, en traitement du signal...
· La partie I.A définit l'espace D des fonctions de classe C  de R dans R qui
sont nulles en dehors d'un segment. On montre que D est un espace vectoriel
stable par dérivation qui contient une fonction « bosse » donnée par l'énoncé.
Puis on construit une suite de fonctions de D définies par l'intégrale sur [ -1 
; 1 ]
d'une fonction bosse dilatée. Cette partie très classique représente un tiers du
problème et porte sur de nombreux outils d'analyse : représentation graphique,
prolongement dérivable, intégrale à paramètre, convergence uniforme... Ses 
résultats ne sont pas réutilisées dans la suite.
· La partie I.B est complètement indépendante des autres. Elle établit quelques
résultats théoriques sur l'espace de Schwartz des fonctions de R dans R de 
classe
C  à décroissance rapide, c'est-à-dire dont toutes les dérivées sont 
négligeables
en + et - par rapport à toute fonction puissance. Cet espace intervient en
théorie des distributions, d'où sa présence dans le problème.
· La partie II.A définit une distribution comme une application linéaire T sur D
à valeurs dans R qui est continue en un sens faisant intervenir la convergence
uniforme des dérivées de fonctions de D. On étudie des exemples comme les
distributions régulières Tf définies à partir d'une fonction réelle f continue 
par
morceaux sur R par
Z +
  D
Tf () =
f (x)(x) dx
-

ou comme les distributions de Dirac a :  7- (a) pour a  R qui ne sont
pas régulières. Le but est de se familiariser avec cette nouvelle notion.
· La partie II.B introduit la dérivation de distributions. Elle s'intéresse 
plus particulièrement aux distributions régulières Tf , dont on donne une 
formule générale
de dérivation pour les fonctions f de classe C 1 sauf en un nombre fini de 
points :
P
(Tf ) = Tf  +
(ai ) ai
i

où (ai ) représente le saut de discontinuité de f au point ai . En ce sens, on
peut définir une « dérivée » d'une fonction non dérivable !
· La partie II.C étudie des suites de distributions et de dérivées de 
distributions.
L'épreuve se termine sur une question difficile qui demande d'étudier la 
convergence de trois suites de distributions régulières.
Cette épreuve est longue et difficilement faisable en 4 heures, mais elle a le 
mérite
d'aborder un sujet très important en mathématiques. Elle constitue un bon sujet 
de
révision ou d'entraînement sur l'analyse réelle, les suites de fonctions, 
l'intégration
et tout particulièrement le théorème de convergence dominée.

Indications
I.A.1.c Montrer par récurrence que  est de classe C k sur R en établissant une 
formule générale pour (k) et en utilisant le théorème de la limite de la 
dérivée.
I.A.1.d Montrer que D est un sous-espace vectoriel de F (R, R) contenant .
I.A.3.b Effectuer le changement de variable y = nx.
I.A.4 Montrer que la fonction f  n est de classe C k sur R pour tout entier
naturel k en utilisant le théorème de la classe C k des intégrales à paramètre.
I.A.5.b Montrer que la fonction In est nulle en dehors de [ -1 - 1/n ; 1 + 1/n 
] en utilisant l'expression de In obtenue à la question I.A.5.a.
I.A.5.d Utiliser l'expression de In obtenue à la question I.A.5.a. et étudier 
la convergence de la suite (In (x))nN dans les cas |x| < 1, |x| = 1 et |x| > 1.
I.A.5.e Raisonner par l'absurde.
I.B.3 Utiliser la formule de Leibniz.
II.A.1 Appliquer le théorème de convergence dominée sur [ -a ; a ] à une suite 
de
fonctions bien choisie.
II.A.3.b Comparer a (n ) et lim Tf (n ).
n

II.B.1 Montrer que si (n )nN est une suite de fonctions de D qui converge dans
D vers   D, alors la suite (n  )nN converge dans D vers  .
II.B.2 Lorsque f est de classe C 1 , effectuer une intégration par parties pour 
des
fonctions de classe C 1 . Lorsque f est supposée continue et de classe C 1 par
morceaux, choisir une subdivision adaptée à f et décomposer (en utilisant
la relation de Chasles) l'intégrale sur les intervalles de cette subdivision,
où la fonction f est de classe C 1 . Appliquer ensuite la formule d'intégration 
par parties pour des fonctions de classe C 1 sur chaque intervalle de la
subdivision.
II.B.5.a Décomposer (en utilisant la relation de Chasles) l'intégrale sur les 
intervalles
de la subdivision (ai )16i6p donnée, sur lesquels la fonction f est prolongeable
en une fonction continue et de classe C 1 par morceaux. Appliquer la formule
démontrée à la question II.B.2 sur chaque intervalle.
II.C.1.a Effectuer le changement de variable u = nt puis appliquer le théorème
d'intégration d'une limite uniforme sur un segment à la suite de fonctions
fn (u) = u(u/n) sur [ 0 ; 1 ].
II.C.1.b Calculer directement la dérivée (TUn ) en utilisant la formule 
d'intégration
par parties pour les fonctions de classe C 1 sur [ 0 ; 1/n ], ou utiliser le 
résultat de la question II.B.2 pour les fonctions continues et de classe C 1 par
morceaux.
II.C.1.f Utiliser les résultats des questions II.C.1.a, II.C.1.e et II.B.3.
II.C.2.c Montrer que la suite (Tfn )nN tend vers la distribution 0 lorsque n  
Z +
en remarquant que pour tout n  N ,
fn (x) dx = . De la même
-

manière, montrer que la suite (Tgn )nN tend vers la distribution 1 en reZ +
marquant que
gn (x) dx = n/(n + 1) ---- 1. Enfin, effectuer une
-

n

intégration par parties pour calculer Thn () puis conclure en utilisant 
l'égalité des accroissements finis d'une part, le théorème de convergence 
dominée
d'autre part.

I. Étude de nouveaux espaces fonctionnels
I.A.1.a Commençons par étudier la régularité de . Puisqu'elle est paire, il 
suffit
de l'étudier sur R+ . Elle est continue sur ] 0 ; 1 [ comme composée de 
fonctions qui le
sont, et sur ] 1 ; + [ où elle est constante. Étudions ses limites à gauche et 
à droite
en x = 1. Par définition de , la limite à droite est nulle. Lorsque x tend vers 
1 par
valeurs inférieures, on a
x2
lim- (1 - x2 ) = 0+ donc
lim- -
= - puis
lim (x) = 0
1 - x2
x1
x1
x1-
Puisque lim- (x) = lim+ (x) = (1) = 0,  est continue en 1 donc sur R+ entier.
x1

x1

 est dérivable sur [ 0 ; 1 [ comme composée de fonctions qui le sont, avec

2x
x2 
x  [ 0 ; 1 [
 (x) = -
exp
-
60
(1 - x2 )2
1 - x2
d'où le tableau de variation suivant :
x
 (x)

-

(x)

-1
+

0

0
0

1
-

+

0

1
0

0

0

0

y
1
I.A.1.b La représentation graphique de  admet une tangente
horizontale en x = 0.
-1

0

y = (x)

1

x

D'après un calcul effectué à la question suivante,
lim  (x) = lim+  (x) = 0

x1-

x1

Cela assure que le graphe de  admet une demi-tangente horizontale à gauche
en x = 1 (et une demi-tangente horizontale à droite en x = -1, par parité).
I.A.1.c Par parité de , il suffit de montrer qu'elle est de classe C  sur R+ . 
Elle est
constante donc de classe C  sur ] 1 ; + [. Sur [ 0 ; 1 [, la fonction x 7- -x2 
/(1 - x2 )
est de classe C  comme produit de fonctions qui le sont. L'exponentielle étant 
de
classe C  sur [ 0 ; 1 [,  l'est aussi comme composée de fonctions qui le sont.
Étudions maintenant  en x = 1. Montrons par récurrence que la propriété
P(k) : «  est de classe C k sur R+ et il existe un polynôme à coefficients
réels Pk tel que pour tout x  [ 0 ; 1 [

Pk (x)
x2 
(k) (x) =
exp -
2
2k
(1 - x )
1 - x2
et (k) (x) = 0 pour x  [ 1 ; + [. »
est vraie pour tout k  N.
· P(0) est vérifiée avec le polynôme P0 (x) = 1 car  est continue au point 1
d'après la question I.A.1.a.

· P(k) = P(k + 1) : (k) est dérivable sur ] 1 ; + [, de dérivée nulle, et 
dérivable sur [ 0 ; 1 [ comme produit et composée de fonctions qui le sont, avec
x  [0;1[
où

(k+1) (x) =

Pk+1 (x)
x2 
exp
-
1 - x2
(1 - x2 )2(k+1)

Pk+1 (x) = Pk  (x)(1 - x2 )2 + 4k xPk (x)(1 - x2 ) - 2xPk (x)

qui est bien un polynôme réel.
Par hypothèse de récurrence, (k) est continue sur R+ et dérivable sur R+ r{1}.
Le théorème de la limite de la dérivée permet alors d'affirmer que  est de 
classe
C k+1 sur R avec (k+1) (1) = 0.
Calculons la limite de (k+1) en x = 1. Puisqu'elle est nulle sur ] 1 ; + [, sa
limite à droite en 1 est également nulle. En utilisant la croissance comparée
m  N

lim y m e-y = 0

y+

avec y = 1/(1 - x2 ) lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures, l'expression
de (k+1) sur [ 0 ; 1 [ établie ci-dessus entraîne
lim (k+1) (x) = 0

x1-

Les limites à gauche et à droite de (k+1) en x = 1 coïncident, donc la limite
de la fonction (k+1) au point x = 1 existe et est égale à 0. Par le théorème
de la limite de la dérivée, on en déduit que (k) est dérivable en x = 1 et
(k+1) (1) = 0. Ainsi la fonction (k+1) est continue sur R+ et  est de classe
C k+1 sur R+ , ce qui achève de démontrer que la propriété P(k + 1) est vraie.
· Conclusion :

 est de classe C  sur R.

I.A.1.d Montrons que l'ensemble D est un sous-espace vectoriel du R-espace 
vectoriel F (R, R). D'une part, on observe que la fonction identiquement nulle 
appartient à D. D'autre part, vérifions que D est stable par combinaisons 
linéaires. Soient
  R et f, g  D nulles en dehors des segments [ a ; b ] et [ c ; d ] 
respectivement.
La combinaison linéaire f + g est clairement de classe C  sur R par les 
théorèmes généraux. Elle est de plus à support compact puisque nulle en dehors 
du
segment [ Min (a, c) ; Max (b, d) ] car ce segment contient à la fois [ a ; b ] 
et [ c ; d ].
Ainsi f + g  D et D est stable par combinaisons linéaires.
On a démontré à la question I.A.1.c que la fonction  est de classe C  , et par
définition elle est nulle en dehors du segment [ -1 ; 1 ]. On en déduit que   
D, et
comme  est non nulle,
D est un espace vectoriel sur R non réduit à {0}.
I.A.2 Soit f  D. La fonction f étant de classe C  sur R, elle est dérivable sur 
R
et sa dérivée f  est également de classe C  sur R. Par ailleurs, soient a et b 
deux
réels vérifiant a < b tels que f soit nulle en dehors du segment [ a ; b ]. Sa 
dérivée
f  est par conséquent elle aussi nulle en dehors du segment [ a ; b ], elle est 
donc à
support compact. On en déduit que
Si f  D alors f   D.