Centrale Maths 2 PC 2014

Thème de l'épreuve Symétries, quaternions et sommes de carrés
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, nombres complexes, arithmétique, programmation

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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® / .

î«î Mathemaüques 2  1 
sur le corps @ des nombres
complexes.

Soient F et G deux sous--espaces supplémentaires de E (ie. E = F GB G). On 
appelle symétrie (vectorielle) de
E par rapport à F parallèlement à G l'endomorphisme s de E défini par V(y, z) 
EUR F >< G, s(y + z) = y -- z.

Pour tout endomorphisme u de E, on pose F,, = Ker(u -- Id E) et G,, = Ker(u + 
Id E)

LA -- Symétries et involuti0ns

I.A.1) Soient F et G deux sous--espaces supplémentaires de E et s la symétrie 
par rapport à F parallèlement
à G.

(1) Montrer que F = F3 et G = G,.

b) Montrer que s o s = Id E. En déduire que s est un automorphisme de E.

0) Déterminer les valeurs propres et les sous--espaces propres de 3. On 
discutera selon les sous--espaces F et G.

I.A.2) Soit 3 un endomorphisme de E tel que s o s = IdE. On pose F = Ker(s -- 
IdE) et G = Ker(s + IdE).

(1) Montrer que F et G sont deux sous--espaces supplémentaires de E.
b ) En déduire que s est une symétrie dont on précisera les éléments.

LB -- Couples de symétries qui anticommutent

I.B.1) Soient s et 15 deux symétries de E qui anticommutent, c'est-à--dire 
telles que s o t + t o s = 0.
a) Prouver les égalités t(F3) = G3 et t(G3) = F3.

b ) En déduire que F 8 et G 3 ont la même dimension et que n est pair.

I.C -- H--systèmes
On appelle H--système d'endomorphismes de E toute famille finie de symétries de 
E qui anticommutent deux a

deux, c'est--à--dire toute famille finie (S1, ..., Sp) d'endomorphismes de E 
tels que
V7:7£j SZ°Sj+S_ÏOS'L :D

De même, on appelle H--système de matrices de taille n toute famille finie (Al, 
..., A,) de matrices de M,,(C)
telles que

w A3 =1,,
Vi;£j A,A,+A,A, =0

Dans les deux cas, p est appelé longueur du H--système.

I.C.1) Montrer que la longueur p d'un H--système d'endomorphismes de E est 
majorée par n2.

I.C.2) Montrer que l'existence d'un H--système (S1, ..., Sp) de E équivaut à 
l'existence d'un H--système de
matrices de taille n. En déduire que la longueur d'un H--système de E ne dépend 
que de la dimension n de E
et pas de l'espace E.

On note p(n) le plus grand nombre entier p > 1 tel que E admet un H-système de 
cardinal p.

I.C.3) Soit n un entier impair. Prouver que p(n) : l.

I.D -- Majoration de p(n)

I.D.1) On suppose ici que n est pair et on pose n : 2m. On considère :

-- un H--système (Sl,..., Sp, T, U) de E,

-- le sous--espace E0 : FT : Ker(T -- Id),

-- pour j EUR [[l,p]], l'endomorphisme Rj : iU 0 S, de E.

a ) Montrer que, pour tout j EUR [[1, p]], le sous--espace E() est stable par 
R,.

b) Pour j EUR [[l,p]], soit sj l'endomorphisme de E0 induit par R,... Montrer 
que (sl, ..., sp) est un H--système
de E0.

c) En déduire p(2m) < p(m) + 2.

I.D.2) Montrer que si n : 2dm avec m impair, alors p(n) < 2d + 1.

LE -- Constructions de H--systèmes maoeimauoe

I.E.1) Soient N : p(n) et (al, ..., aN) un H--système de matrices de taille n 
c'est--à--dire tel que

En considérant les matrices suivantes de M2n((Ü) écrites par blocs

_ a, 0 . _ 0 I,, _ 0 il,,
Aj _ (0 _aj) (] EUR H17Nll)7 AN--l--1 _ (In 0 7 AN--l--2 _ _lln 0 7

montrer que p(2n) > N + 2.

I.E.2) Déterminer p(n) en fonction de l'unique entier d EUR IN tel que n 
s'écrive n : 2dm avec m impair.

I.E.3) Écrire, pour chacun des entiers n = l, 2, 4, un H--système de matrices 
de taille n de longueur p(n).

II Quaternions et sommes de quatre carrés

Pour (a, 19) EUR C2, on désigne par M(a, b) la matrice carrée complexe M(a, b) 
: (î _OEb) EUR M2(C).

Une matrice de la forme M (a, 19) sera appelée quaternion. On considèrera en 
particulier les quaternions @ = 12 :
M(1,0), ] : M(O, 1), J : M(i,0), K : M(O, --i) et on notera IH : {M(a, b) l (a, 
b) EUR C2} le sous--ensemble de
M2(C) constitué par tous les quaternions.

On veillera à ne pas confondre la matrice ] : M(O, l) et la matrice unité 12 = 
c : M(1,0).

II.A -- Le « corps » des quaternions

On munit l'ensemble C' : M2(C) des matrices complexes à deux lignes et deux 
colonnes de l'addition +, de la
multiplication >< usuelles et de la multiplication par un réel notée - et 
définie usuellement par

a b Àa Àb
VÀEIR, VM_(C d)eC', À-M_(ÀC Ad)

On rappelle que (C' , +, ><, -) est une algèbre sur le corps IR des réels.

II.A.1) a ) Donner, sans justification, une base et la dimension de C' sur le 
corps IR.

b) Montrer que [H est un sous--espace vectoriel réel de C' et que {e, I , J , K 
} en est une base sur le corps IR.
c) Montrer que [H est stable par multiplication.

II.A.2) Montrer que (ll--| \ {O}, ><) est un sous--groupe non commutatif du 
groupe linéaire (GL2(C), ><).

(ll--|, +, ><) a toutes les propriétés d'un corps sauf la commutativité de >< : 
on dit que c'est un anneau à divisions
(ou, parfois, un corps non commutatifi.

II.A.3) a ) Calculer les produits deux a deux des matrices e,] , J , K . On 
présentera les résultats dans une
table a double entrée.

b) En déduire que (il , iJ , iK ) est un H--système.

II.B -- Conjugaison et normes
Ainsi tout élément q E [H s'écrit de manière unique q : wc + y] + zJ + tK avec 
a:, y, z, t E IR.
Pour :o, y, z, t E IR et q : oee+yl+zJ+tK E [H on pose q* : oee--yl--zJ--tK EUR 
IH et N(q) : :c2+y2+2:2+t2 EUR IR+.

II.B.1) a) Vérifier que, pour tout q E [H, q* est la transposée de la matrice 
dont les coefficients sont les
conjugués des coefficients de (1.

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b} En déduire que, pour tout (q,r) EUR [H2, (qr)* : r*q*.
c) Montrer que q** = q pour tout (1 E [H et que q l--> q* est un automorphisme 
du lR--espace vectoriel [H.

d) Pour q E [H, exprimer qq* a l'aide de N (q) En déduire la relation valable 
pour tout (q, 7") EUR IH2
N (Q"'") = N (CDN (?")

II.B.2) &) Soient (oe,y, z,t) EUR IR4 et q : ace + y] + Z.] + tK. Exprimer la 
trace de la matrice q EUR M2(C) en
fonction du réel oe.

b} En déduire que, pour tout (q, 7") EUR [l--l2, qr -- rq = q*r* -- r*q*.
c} Soient &, b, c, d des quaternions. Établir la relation (acb*)d + d*(acb*)* : 
(acb*)*d* + d(acb*).
En déduire l'identité (N(a) + N(b))(N(C) + N(d)) : N(ac -- d*b) + N(bc* + da).

III Un théorème de Hurwitz

Soit un entier naturel n > 1. On munit IR" du produit scalaire usuel et de la 
norme euclidienne usuelle définis,
pour tout X = (oe1,....,aÿ,,) et Y : (y1, ...,y,,) de IR", par

(XiY)=ZOE.-y. et iXi=,/£oeä
z'=1 k=1

L'objet de cette partie est d'étudier l'existence d'une application bilinéaire 
B,, : (IP")2 --> IR" vérifiant
vx. Y = nan. iiB.H = ... >< ... (HM)

III.A -- Des formules pour n = 1, 2, 4, 8
III.A.1) Montrer l'existence d'une telle application bilinéaire B,, lorsque n 
est l'un des entiers 1, 2, 4.

Pour n = 2 (respectivement 4) on pourra considérer le produit de deux nombres 
complexes (respectivement
de deux quaternions).

III.A.2) En utilisant la question II.B.2 montrer, pour n = 8, l'existence d'une 
application bilinéaire vérifiant
(111.1). On ne demande pas d'expliciter une application bilinéaire Ba: mais 
seulement de prouver son existence.

III.B -- Le théorème de Hurwitz

Dans la suite on suppose que n > 3 et qu'il existe une application bilinéaire B 
telle que
VX,Y EUR IR", HXH >< HYH : HB(X,Y)H (111.2)
Soit (el, ..., e,,) la base canonique de il?" et, pour 72 EUR [[1, n]], soit 
u,- l'endomorphisme de il?" défini par
VX EUR IR", u,(X) : B(X,e,)

La matrice de u,- dans la base canonique de IR" sera notée A,.
III.B.1) &) Prouver que, pour tout X EUR IR", on a

VY = (311. ---7yn) EUR 'an Z y,y,(u,(X)lu,-(X)) : |lel2 î:in
ij=1 i=1

b} En déduire que les endomorphismes u,- vérifient les relations
v... = 1. ...,n,VX @ nan. iiu.i = ... et 1=1= (u. n -- 1 où p(n) est défini dans la 
section 1.0.
III.B.3) Prouver que n est élément de {1,2,4,8}.

IV Représentation des parties de N et quelques algorithmes

Soient X et Y deux parties de IN. On note X + Y l'ensemble des sommes d'un 
élément de X et d'un élément
de Y, c'est--à--dire X+Y : {oe+y \ oe EUR X,y E Y} C IN.

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Dans les questions suivantes, on supposera que les parties X et Y considérées 
contiennent 0 de sorte que X + Y
contiendra toujours X et Y.

Soit N E l]\l*. On représente une partie X de [[O, Nl] par le tableau A indexé 
de 0 a N, tel que, pour 72 E [[O, Nl],
on ait Ali] : 1 si 72 EUR X, Ali] : 0 sinon.

I V.A -- Écrire en langage Maple ou Mathematica une fonction ou une procédure 
carres telle que, pour N E l]\l*,
carres(N) retourne le tableau associé a l'ensemble des carrés inférieurs ou 
égaux a N . On n'utilisera pas la
fonction racine carrée.

On note 5" = {l, 2, 3, 5, 7, ...} C IN la réunion de {l} et de l'ensemble des 
nombres premiers.

Le crible d'Ératosthène est l'algorithme qui, dans un tableau des entiers de 1 
a N, consiste a :

-- a l'étape 1, supprimer les multiples de 2 strictement supérieurs a 2 ;

-- a l'étape 2, supprimer les multiples de 3 strictement supérieurs a 3 ;

-- a l'étape k, supprimer les multiples stricts du plus petit entier pk qui n'a 
pas encore été supprimé.

À la fin du processus, les entiers supérieurs ou égaux a 2 qui n'ont pas été 
supprimés sont les nombres premiers
inférieurs ou égaux a N . (On ne demande pas de justifier ce résultat.)

I V.B -- Écrire en langage Maple ou Mathematica une fonction ou une procédure 
Eratosthene utilisant l'al--
gorithme ci--dessus et telle que, pour N E l]\l*, Eratosthene (N) retourne le 
tableau C associé a l'ensemble
X = {p EUR 5" l p < N} U {0}. On rappelle que C est un tableau de 0 et de 1, 
indexé de 0 a N et caractérisé par

Clil=l <=> i=Oou(l<) un anneau commutatif. Pour p EUR l]\l*, on note C,,(A) 
l'ensemble des sommes de p carrés
d'éléments de A.

Prouver que pour tout anneau A, les ensembles C,,(A) sont stables pour la 
multiplication lorsque p vaut 1, 2, 4
ou 8.

On pourra utiliser les formes bilinéaires B,, définies partie III et, 
éventuellement, se limiter au cas où
l'anneau A est l'anneau Z des entiers relatifs.

V.B -- Le théorème des quatre carrés

On note @ : {me + y] + zJ + tK } a:, y, z, t E Z} l'ensemble des quaternions « 
entiers >>.

V.B.l) &) Montrer que G est un sous--groupe de [H pour l'addition et qu'il est 
stable par multiplication.

b} Montrer que pour tout (1 E [H, il existe ,a E @ tel que N(q -- u) < 1.

c) Quel est l'ensemble des q E [H tels que Vu EUR @, N(q -- u) > 1 ?

V.B.2) Soit p un nombre premier impair. Pour tout entier 7" EUR Z, on note 
g0(r) le reste de la division euclidienne
de r2 par p. On a donc 0 < Sû("l") < p-- 1 et r2 -- g0(7") EUR pZ.

&) Montrer que la restriction de go a {(), ..., 521} est injective.

b) On considère les ensembles X = {p-- go(r) l 0 < r < %} et Y : {go(s) + 1l0 < 
3 < %}

Montrer que X et Y sont inclus dans {l, ..., p} et que leur intersection est 
non vide. En déduire qu'il existe
U,?) E {O, ..., %} et m EUR {1,...,p -- 1} tels que u2 + 112 + 1 : mp.

V.B.3) On suppose encore que p est un nombre premier impair. Justifier qu'il 
existe m EUR {1,...,p -- 1} et
u : me + y] + zJ + tK EUR © \ {0} tels que N...) : mp. On choisit m minimal et 
on suppose que m > 1.

&) Montrer que si m était pair, un nombre pair des entiers m, y, z, t serait 
impair et aboutir a une contradiction.
/ . _ + 2+ 2
On pourra ecrire (%)2 + (%)2 = --OE ;" .
b) On suppose m impair. Montrer qu'il existe 1/ EUR @ tel que N(,u -- mu) < m2.
c) Prouver que u' : %u(u -- mu)* est dans G \ {O} et que N (m') est un multiple 
de p strictement inférieur a

mp. Oonclure.

V.B.4) Montrer que tout entier naturel est somme de quatre carrés d'entiers.

oooFlNooo

2014--02-10 12:32:41 Page 4/4 lËC BY-NC-SA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 2 PC 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Gauthier Gidel (ENS Ulm) ; il a été relu par Yvon
Vigaud (Professeur en CPGE) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE).

Ce sujet est consacré à l'étude des sommes de carrés dans un anneau commutatif 
A quelconque. Étant donné un entier p non nul, on cherche à établir des formules
assurant la stabilité par produit de l'ensemble Cp (A) des éléments somme de p 
carrés dans A. Ces formules sont essentielles pour répondre à des questions 
classiques
d'arithmétique comme « quels entiers naturels sont somme de deux carrés ? »
Il utilise de nombreuses parties du programme d'algèbre, principalement les 
symétries vectorielles, la réduction des endomorphismes et les applications 
bilinéaires.
Mais ce sujet fait aussi appel à des connaissances en arithmétique, en 
programmation
et à des idées classiques analogues à celles utilisées sur les nombres 
complexes et les
entiers de Gauss. L'énoncé comporte cinq parties dont une entièrement consacrée 
à
l'algorithmique.
· La première partie concerne l'étude des symétries et des familles de symétries
anticommutant deux à deux.
· La deuxième partie permet d'introduire les quaternions et d'en démontrer 
certaines propriétés.
· Dans la troisième partie, on réutilise les deux parties précédentes pour 
l'étude
des applications bilinéaires conservant la norme. Il en résulte un théorème dû
à Hurwitz qui stipule que les formules recherchées n'existent pas pour p = 3.
· La quatrième partie est consacrée à la programmation d'algorithmes pouvant
permettre la vérification pratique des résultats démontrés.
· La cinquième partie conclut ce sujet par une preuve du célèbre théorème des
quatre carrés. En utilisant les propriétés arithmétiques des quaternions à 
coordonnées entières et en utilisant les résultats de la partie III, on 
démontre que
tout entier naturel est la somme de quatre carrés d'entiers.
Ce problème est long et comporte des questions difficiles. En particulier la 
question V.A où l'énoncé conseille même de traiter un cas particulier. Il est 
extrêmement
compliqué de traiter ce sujet en quatre heures. Néanmoins, il recouvre une 
partie
conséquente du programme d'algèbre et permet au passage de se familiariser sur 
les
quaternions.

Indications
Partie I
I.A.1.c Ne pas oublier que les espaces peuvent être triviaux.
I.A.2.b Remarquer que si u est un endormorphisme de E et F un sous espace
vectoriel de E alors

dim u(F) 6 dim(F)
I.C.1 Montrer qu'un H-système est libre.

I.C.3 Penser à utiliser I.B.1.
I.D.1.a Penser à utiliser I.B.1.
I.D.1.b Utiliser le fait que U et Sj anticommutent.
I.D.1.c Majorer p grâce à la définition d'un H-système et que dim(E0 ) =

n
.
2

I.D.2 Montrer le résultat par récurrence.
I.E.1 Effectuer des calculs par blocs.
I.E.2 Montrer le résultat par récurrence.
I.E.3 Utiliser le processus de la question I.E.1.
Partie II
II.A.1.a Ne pas oublier que C est un espace vectoriel réel de dimension 2.
II.A.2 Penser aux matrices M(i, 0) et M(0, 1).
II.A.3.b Utiliser le tableau de la question précédente.
II.B.1.b et c Voir la transformation  comme la composée de la transposition et 
du
passage au conjugué des coefficients et remarquer que ces deux endomorphismes 
commutent.
II.B.1.d Écrire N(qr)e = qr(qr) et utiliser la question II.B.1.b.
II.B.2.a Utiliser la linéarité de la trace.
II.B.2.b Remarquer que q = yI + zJ + tK  q  = -q.
II.B.2.c Appliquer la question précédente à un q et r bien choisis puis écrire
N(ac - d b)e = (ac - d b)(ac - d b)

Partie III
III.A.1 Utiliser pour tous quaternions q et r l'égalité N(qr) = N(q)N(r).
 
a
III.A.2 Se servir de la question II.B.2.b en remarquant que pour
 H2 ,
b
w w2
w a w
w
w
w b w = N(a) + N(b)

III.B.1.a Utiliser la linéarité du produit scalaire et de ui .

III.B.1.b Appliquer l'identité précédente avec Y un vecteur de la base canonique
de Rn .
III.B.1.c Penser à la relation
(a|b) =

ka + bk2 - kak2 - kbk2
2

III.B.1.a Utiliser le fait que An et Ai anticommutent.
III.B.3 Discuter selon que m = 1 ou que m > 3 et se ramener à l'étude de
3 × 2d-1 6 d + 1
Partie IV
IV.A Utiliser une boucle while.
IV.D Réutiliser les fonctions écrites pour les question IV.A et IV.C.
Partie V
V.A Constater que les applications bilinéaires et les relations associées de la
partie III peuvent s'écrire dans un anneau A.
V.B.1.b Remarquer que pour tout x dans R, il existe n dans N tel que
|x - n| 6

1
2

V.B.1.c Traiter le cas d'égalité de la question précédente.
V.B.2.a Se ramener à
pZ  {0, . . . , p - 1} = {0}
V.B.2.b Utiliser le lemme des tiroirs et l'injectivité de  ou alors raisonner 
sur
les cardinaux.
V.B.3.a Faire une disjonction de cas et utiliser l'indication sur des paires 
d'entiers impairs (dont la somme est toujours paire).
V.B.3.b Effectuer la division euclidienne de x, y, z et t par m.
V.B.3.c Utiliser le fait que N(qr) = N(q)N(r).

I. Symétries vectorielles
I.A.1.a Soit x appartenant à Fs . Alors puisque F et G sont deux sous-espaces
vectoriels supplémentaires de E, il existe un unique couple (y, z) appartenant 
à F × G
tel que x = y + z. Ainsi,
s(x) = s(y + z) = y - z
de plus,
d'où,

(s est une symétrie)
(x  Fs )

s(x) = x = y + z
et ainsi x = y

z=0

donc x  F. Si bien que Fs  F.
Réciproquement, soit x  F. Alors en appliquant la définition de s avec z = 0  G,
il vient
et donc

s(x) = x
Finalement par double inclusion

F  Fs

F = Fs

Faisons de même pour G et Gs , Soit x  Gs . Alors il existe un unique couple 
(y, z)
appartenant à F × G tel que x = y + z. Ainsi, il vient
y + z = x = -s(x) = -s(y + z) = -y + z
Ainsi x appartient à G, donc Gs  G. Soit x  G, alors en appliquant la définition
de s avec y = 0  F il vient s(x) = -x. Finalement, par double inclusion
G = Gs
I.A.1.b Soit x appartenant à E. Il existe un unique couple (y, z) dans F × G tel
que x = y + z. Ainsi,

s  s(x) = s s(y + z) = s(y - z) = y + z = x
d'où,

s  s = IdE

L'endomorphisme s a donc pour inverse lui-même.
L'application s est un automorphisme de E.
I.A.1.c D'après la question I.A.1.a,
Ker(s - IdE )  Ker(s + IdE ) = Fs  Gs = F  G = E.
Dès lors trois cas se présentent :
· Soient Fs = Ker(s - IdE ) 6= {0E } et Gs = Ker(s + IdE ) 6= {0E }. 
L'endomorphisme s a donc pour valeurs propres 1 et -1.
· Soit Fs = {0E} et alors Gs = E.
· Soit Gs = {0E} et alors Fs = E.
Il en découle trois conclusions possibles :
On a respectivement : soit Fs et Gs sont les deux espaces propres, les deux
valeurs propres sont 1 et -1. Soit Gs est le seul espace propre, la seule valeur
propre est -1. Ou soit Fs est le seul espace propre, la seule valeur propre est 
1.