Centrale Maths 2 PC 2013

Thème de l'épreuve Matrices directement orthogonalement semblables et cercle propre
Principaux outils utilisés algèbre, géométrie

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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"à «
_/ PC

EÜNEÜUHS EENTHHLE°SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2013

Matrices directement orthogonalement
semblables et cercle propre

Pour n entier supérieur ou égal à 2, on note MAR) l'espace vectoriel des 
matrices carrées à coefficients réels a
n lignes, et GLAR) l'ensemble des matrices inversibles de MAR).

On rappelle qu'une matrice M de MAR) est dite orthogonale si tM M = I,, où "M 
désigne la transposée de
M et où I,, est la matrice identité. On note O(n) l'ensemble des matrices 
orthogonales de MAR), et SO(n) le
sous--ensemble de O(n) constitué des matrices orthogonales de déterminant 1. On 
rappelle que (O(n), ><) est un
sous--groupe de (GLAR), ><) et que (SO(n), ><) est un sous--groupe de (O(n), 
><). Le premier est appelé groupe
orthogonal, le second groupe spécial orthogonal.

Pour A E MAR), on note f A l'endomorphisme canoniquement associé à A, 
c'est--à--dire l'unique endomorphisme
de R" dont la matrice dans la base canonique de R" est A.

Si À est une valeur propre de A, on notera respectivement EAA) et E A f A) les 
sous-espaces propres associés à
À, pour A et f A respectivement.

On munit R2 de sa structure euclidienne orientée canonique, de sorte que la 
base canonique est orthonormée
directe. Le produit scalaire est noté (l) et la norme euclidienne associée est 
notée H -- H.

Pour tout couple (a, v) de vecteurs non nuls de R2, on dit que 9 est une mesure 
de l'angle orienté (a, @) lorsque
(Ul'U) lu, "Ul

_ llUll ll'Ull , _llUll ll'Ull'
quelle base orthonormee d1recte.

cos9 et sinb' : où [., ] désigne le produit mixte, c'est--à--dire le 
déterminant dans n'importe

On appelle similitude de rapport k tout endomorphisme f de R2 pour lequel il 
existe un réel k > 0 et une
matrice M de O(2) tels que la matrice de f dans la base canonique de R2 soit 
égale à kM .

I Le groupe orthogonal en dimension 2

LA -- Les rotations planes

I.A.1) Montrer que A E SO(2) si et seulement si il existe un réel t tel que A : 
Rt avec R,, : (COSt _ s1nt)_

sin t cos t

I.A.2) Écrire une procédure ou une fonction dans le langage Maple ou 
Mathematica qui prend en entrée un

2) : Rt et un message

quadruplet (a, b, c, d) de réels et qui renvoie, lorsque c'est possible, un 
réel t tel que (î

d'erreur dans le cas contraire.

I.A.3) Vérifier que l'application qui, a tout réel t, associe la matrice R,, 
est un morphisme surjectif du groupe
(R, +) sur le groupe (SO(2), ><).

Oe morphisme est--il bijectif ?

/\

I.A.4) Montrer que, pour tout t de R et tout a non nul de R2, t est une mesure 
de l'angle orienté (a, pt(u)),
où pt est l'endomorphisme (la rotation d'angle t) th canoniquement associé à Rt.

Pour tout 16 EUR Rï et tout t E R, l'endomorphisme kpt est appelé similitude 
directe de rapport k et d'angle t.

I.B -- Matrices semblables et sous-espaces propres
Soit A, B E MAR) et P E GLAR) telles que B : P_1AP.
I.B.1) Montrer que f A et fB ont les mêmes valeurs propres.

I.B.2) Montrer que si À est une valeur propre de A, alors EÀ(fA) : fp(EAf3)).

I.C -- Les réfleoeions planes

I.C.1) On note K2 : (à _3).

Vérifier que l'endomorphisme 00 : fK2 est une réflexion (symétrie orthogonale 
par rapport a une droite du
plan) dont on précisera les éléments propres.

2013-04--16 14:30:22 Page 1/4 GC) BY--NC-SA

I.C.2) Pour tout réel t, préciser l'endomorphisme at canoniquement associé a 
Rt_1 K2 Rt et en particulier
ses éléments propres.

I.C.3) Montrer, que pour toute matrice A de O(2) telle que det(A) : --1, il 
existe un réel t tel que

A : (cos(2 t) sin(2 t))

sin(2 t) -- cos(2 t)

II Matrices directement orthogona1ement semblables

Pour A, B dans MAR), on dit que A est orthogonalement semblable a B (ce que 
l'on pourra abréger en:
A os B) s'il existe une matrice P de O(n) telle que B : P_1AP et on dit que A 
est directement orthogonalement
semblable a B (en abrégé : A dos B) s'il existe une matrice P de SO(n) telle 
que B = P _1AP .

II.A -- Propriétés fondamentales de la similitude

II.A.1) Montrer que pour toute A de MAR) on a A dos A, que pour tout (A, B) de 
Mn(R)2 si A dos B
alors B dos A et que pour tout (A, B, C) de Mn(R)3 si A dos B et B dos C alors 
A dos C.

On dira donc indifféremment que A est directement orthogonalement semblable a B 
ou que A et B sont
directement orthogonalement semblables.

On a les mêmes propriétés pour la relation de similitude orthogonale entre deux 
matrices carrées de même taille
et on ne demande pas de refaire ici les vérifications.

II.A.2) Quelles sont les matrices directement orthogonalement semblables a ozÏn 
pour oz réel ?
II.A.3) Quelles sont les matrices directement orthogonalement semblables a A si 
A appartient a SO(2) ?

II.A.4) Quelles sont les matrices directement orthogonalement semblables a K 2 ?

II.B -- Comparaison des relations de similitude.

Avec SO(n) C O(n) C GLMR), si deux matrices sont directement orthogonalement 
semblables alors elles sont
orthogonalement semblables et si deux matrices sont orthogonalement semblables 
alors elles sont semblables.

II.B.1) Montrer que (0 0

0 2) et (î î) sont directement orthogonalement semblables.

II.B.2) Montrer que (à g) et (_Î â) sont semblables mais ne sont pas 
orthogonalement semblables.

3
--1 0
orthogonalement semblables.

II.B.3) Montrer que et sa transposée sont orthogonalement semblables mais ne 
sont pas directement

III Cercle propre d'une matrice carrée réelle d'ordre 2

III.A -- Cercle propre

19

a
Pour A _ (e d

) de M2(R) et (oe,y) de R2, on note pA(oe,y) le déterminant de la matrice 
A(oe,y) :
a -- :D b -- y . . 2 , . ,, .
e + y al _ gr et on cons1dere CPA la courbe de R définie par l equation : 
gpA(oe, y) = O.
III.A.1) Vérifier que CPA est un cercle (on convient qu'un cercle peut être 
réduit a un point) ; on appellera
CPA cercle propre de A. Préciser son centre CA et son rayon r A.
III.A.2) Préciser, en fonction de A, le cardinal de l'intersection de CPA avec 
l'axe des abscisses R >< {O}.
III.A.3) Que représentent les solutions de l'équation g0A(oe, O) = 0 pour A ?

Préciser le nombre de valeurs propres réelles de A selon la valeur de AA : (a 
-- d)2 + 4 bc.

III.B -- Deus: cas particuliers

Soit A E M2(R).

III.B.1) Comparer le cercle propre de A et celui de sa transposée.

III.B.2) Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur CPA pour 
que A soit symétrique.

III.B.3)

a ) Déterminer les matrices dont le cercle propre est de rayon nul et 
caractériser géométriquement leur endomor--
phisme canoniquement associé.

b) Lorsque le cercle propre est réduit a son centre, préciser l'endomorphisme 
canoniquement associé, d'une part
quand ce centre appartient au cercle trigonométrique (de centre l'origine O = 
(O, O) et de rayon 1) et d'autre
part quand ce centre appartient a l'axe des abscisses.

2013-04--16 143022 Page 2/4 @°) BY--NC-SA

c) Que peut--on dire de la matrice A et de fA quand le cercle propre CPA est de 
rayon nul et de centre
appartenant a l'axe des ordonnées {O} >< R ?

III.C -- Cercle propre et matrices directement orthogonalement semblables

Montrer que deux matrices A et B de M2(R) sont directement orthogonalement 
semblables si et seulement si
elles ont le même cercle propre.

III.D -- Rectangle propre

Pour A : (î 19) dans M2(R) on considère les quatre points (éventuellement 
confondus) E = (d, --c), F =

d
(a,b), C : (d,b) et H = (a, --c).

III.D.1) Dans le cas où A = ( 7), représenter le cercle et le quadrilatère EH F 
C .

--13

III.D.2) Lorsque les quatre points E, F , C et H sont distincts montrer qu'ils 
sont les sommets d'un rectangle,
que l'on appellera rectangle propre de A.

III.D.3) Préciser les matrices pour lesquelles certains de ces points sont 
confondus, c'est--à--dire lorsque le
rectangle est aplati.

III.E -- Décomposition orthogonale d'un endomorphisme

Soit A : (î 19) de M2(R).

d
III.E.1) Montrer qu'il existe un unique triplet (oz, @ , y) de R2 >< R+ que 
l'on précisera, tel que A soit directement
orthogonalement semblable a (a + W _5 ).
5 a -- v

III.E.2) Suivant les valeurs de (oz, @ , y) préciser le nombre de valeurs 
propres réelles de A.

III.E.3) Montrer que pour tout endomorphisme f de R2, il existe des réels 
positifs ou nuls 16 et EUR, une rotation
plane pt et une réflexion 0t/ tels que f : kpt + lat/.

III.E.4) Écrire une procédure ou une fonction dans le langage Maple ou 
Mathematica qui prend en entrée
un quadruplet (a, b, c, d) de réels et qui renvoie un quadruplet (k,Æ,t,t' ) 
tel que si A : (î 2) on ait f A :
k'pt + KO}! .

IV Cercle propre et réduction

IV.A -- Cercle propre sécant avec l'aoee des abscisses

Dans cette section on considère un cercle C(Q,r) de centre O et de rayon r non 
nul, sécant avec l'axe des
abscisses.

On note L1 et L2, de coordonnées respectives (À1,0) et (Ag, 0), avec Al < À2, 
les deux points d'intersection de
C (O, r) avec l'axe des abscisses.

Soit A : (î g) une matrice de cercle propre égal a C(Q, r). On conserve les 
notations E, F, C, H de III.D.

IV.A.1) Montrer que A est diagonalisable.

--> -->
IV.A.2) Montrer que si c # 0, alors (L1E , L2E) est une base de R2 constituée 
de vecteurs propres pour f A.

IV.A.3) Lorsque c = O, peut--on donner une base de vecteurs propres pour f A a 
l'aide du cercle propre et du
rectangle propre ?

IV.A.4) Montrer que le carré du cosinus de l'angle de deux vecteurs propres de 
A associés a deux valeurs propres
distinctes est déterminé par le cercle C (O, r), et ne dépend pas du choix 
d'une matrice A de cercle propre égal
C (O, r) (on pourra, si on le juge utile, introduire la projection orthogonale 
de Q sur l'axe des abscisses).

Qu'en est--il si A est symétrique ?

IV.A.5) Oaractériser géométriquement f A lorsque Q = C, avec O = (0,0), et r = 
1.

IV.A.6) Oaractériser géométriquement f A lorsque CPA est le cercle de diamètre 
le segment [0,1] avec [ =
(1,0).

I V.B -- Cercle propre tangent a l'aoee des abscisses

Dans cette section on considère un cercle C (O, r) de centre O et de rayon r 
non nul, tangent a l'axe des abscisses.
On appelle L, de coordonnées (À, 0), le point de contact de C (O, r) avec l'axe 
des abscisses.

Soit A une matrice de cercle propre égal a C (O, r).

2013--04--16 14:30:22 Page 3/4 @C) BY--NC-SA

IV.B.1) La matrice A est--elle diagonalisable ? Est--elle trigonalisable ?
IV.B.2) Peut--on donner un vecteur propre a l'aide des points L, E, F , G et H ?

IV.B.3) Que peut--on dire des matrices dont le cercle propre est tangent a 
l'axe des abscisses et de centre situé
sur l'axe des ordonnées ?

IV.B.4) Montrer qu'il existe un unique réel non nul oz tel que A soit 
directement orthogonalement semblable

a la matrice T,\,a : (à î).

Préciser oz a l'aide des éléments de la matrice A.
Où peut--on retrouver ce nombre sur le cercle propre ?

IV.B.5) Montrer qu'il existe une base orthonormée directe (e1,e2) du plan telle 
que l'on ait, pour tout u de
R2, fA(u) : Àu + oz(e2lu)e1.

I V.C -- Cercle propre disjoz'nt de l'aoee des abscisses

Dans cette section on considère un cercle C (Q, r) de centre Q et de rayon r > 
0 disjoint de l'axe des abscisses.
On note K le projeté orthogonal de Q sur l'axe des abscisses.

Soit A une matrice de cercle propre égal a C (Q, r).

IV.C.1) Existe--t--il une matrice P de GL2(R) telle que la matrice P _1AP soit 
diagonale ?

Existe--t--il une matrice P de GL2(R) telle que la matrice P _1AP soit 
triangulaire supérieure ?

IV.C.2) Déterminer les points de C (Q, r) en lesquels la tangente a C (Q, r) 
contient K.

IV.C.3) Si U est l'un de ces points, exprimer les valeurs propres de A, 
considérée comme élément de M2(C),
a l'aide de l'abscisse de K et de la distance KU de K a U .

IV.D -- Deuoe eoeemples

. . . b .
Dans cette section, on cons1dere dans R2 un cercle C(Q, r) de centre Q et de 
rayon r et A : (î ) une matrice

d
de cercle propre égal a C (Q, r).
IV.B.1) Dans cette question, Q = (04,5) E R >< R*, r : fil et E : (oz + l5l,5).

Préciser les valeurs propres de A et donner une matrice B dont les termes non 
diagonaux sont opposés et qui
soit directement orthogonalement semblable a A, ainsi qu'une décomposition 
orthogonale de l'endomorphisme
canoniquement associé a B.

IV.B.2) Dans cette question Q = (0, oz) avec oz > 0 et r : a/2.

Préciser les valeurs propres A et donner une matrice B dont les éléments non 
diagonaux sont opposés et qui
soit directement orthogonalement semblable a A, ainsi qu'une décomposition 
orthogonale de l'endomorphisme
canoniquement associé a B.

Faire un dessin dans le cas où oz : 6 illustrant les questions IV.C.2 et IV.C.3.

V Quadrique propre

a !)
PourA--(C d

a--oe--iz b--y
c+y d--oe--iz

) de M2(R) et (ac, y, z) de R3, on note wA(oe, y, z) la partie réelle du 
déterminant de la matrice

), où i est l'affixe complexe du point ] = (0,1).

V.A --

V.A.1) Calculer wA(oe, y, z).

V.A.2) Préciser la nature de la quadrique 7--[A d'équation wA(oe, y, z) = O.

V.B --

V.B.1) Préciser l'intersection de 7--[A avec le plan d'équation z = O.

V.B.2) Préciser l'intersection ZA de 7--[A avec le plan d'équation :E = (a + 
d)/2.
V. C' --

V.C.1) Si la matrice A a deux valeurs propres non réelles, comment voir les 
valeurs propres de A sur "HA ?
(On pourra s'intéresser a l'intersection de Z A avec le plan d'équation y = 0.)

Peut--on voir une base de vecteurs propres a l'aide de "HA ?

7) faire un dess1n en perspective 1llustrant ce qui precede.

V.C.2) Dans le cas où A = (_1 3

oooFINooo

2013-04--16 143022 Page 4/4 @°) BY--NC-SA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 2 PC 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Émilie Liboz (Professeur agrégé à l'université), il 
a été
relu par Clément Mifsud (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Ce sujet est consacré à l'étude d'une relation de similitude entre matrices, 
appelée
similitude directement orthogonale, en lien avec le groupe orthogonal. Les 
principales
parties du programme d'algèbre traitées dans cette épreuve sont la description 
des
groupes O(2) et SO(2) ainsi que la réduction des endomorphismes. Mais ce sujet 
fait
appel aussi à de nombreuses connaissances de géométrie, comme l'étude de 
rotations
planes ou de cercles, de coniques et même de quadriques dans la cinquième et 
dernière
partie.
· La première partie est dédiée à l'étude des groupes O(2) et SO(2) avec 
quelques
rappels concernant la réduction de matrices semblables.
· La deuxième partie définit la relation de similitude directement orthogonale 
puis
établit quelques propriétés élémentaires. Elle se poursuit par des exemples.
· On relie ensuite cette similitude avec un cercle défini à partir d'une 
matrice A
appartenant à M2 (R), appelé cercle propre de la matrice, dans la partie III.
Cette étude géométrique permet en fin de partie, puis dans la partie IV, 
d'obtenir des informations algébriques sur cette matrice, notamment ses valeurs
propres et une décomposition de l'endomorphisme associé.
· Enfin, la partie V traite du cas des matrices à valeurs propres non réelles en
généralisant, à l'aide de quadriques, les raisonnements des parties précédentes.
Ce problème est long (54 questions !) et comporte quelques questions 
particulièrement pointues ; il est donc difficilement traitable en quatre 
heures, mais il constitue
un bon entraînement car il couvre de nombreuses parties du programme d'algèbre 
et
de géométrie.

Indications
Partie I
I.A.3 Pour montrer que, pour
 t, t  R

(t + t ) = (t)(t )

on peut calculer chaque côté de l'égalité séparément et les comparer.
I.A.4 Utiliser les formules données dans l'énoncé pour caractériser une mesure 
d'un
angle orienté.
I.B.2 Traduire en égalités matricielles les propriétés suivantes pour u  Rn :
u  E (fA )

et

u  fP (E (fB ))

puis les composer par les matrices P et P-1 .
I.C.1 Vérifier que K2  O(2) - SO(2) et déterminer les éléments fixés par 0 .
I.C.2 Vérifier que Rt -1 K2 Rt  O(2) - SO(2) et exprimer les éléments fixés par 
t
en fonction de ceux fixés par 0 .
I.C.2 Calculer le produit Rt -1 K2 Rt et utiliser la question précédente.
Partie II
II.A.3 Utiliser les questions I.A.1 et I.A.3.
II.A.4 Utiliser la question I.C.3.
II.B Chercher une « bonne » base de vecteurs propres de ces matrices.
II.B.3 Construire explicitement une matrice de passage orthogonale et remarquer
qu'elle et son opposé sont les seules solutions.
Partie III
III.B.1 Comparer les centres et les rayons des deux cercles.
III.B.3 Utiliser les résultats des questions I.A.1, I.A.4 et III.A.1.
III.C Pour montrer que deux matrices directement orthogonalement semblables ont
le même cercle propre, étudier les matrices suivantes :

-x -y
-x -y
A(x, y) = A +
et
B(x, y) = B +
y -x
y -x
Pour la réciproque, il faut étudier les parties symétriques et antisymétriques
de deux matrices qui ont le même cercle propre.
III.D.3 Traduire le fait que les points sont confondus en termes de propriétés 
des
coefficients de la matrice.
III.E.1 Utiliser le résultat de la question III.C et comparer le cercle propre 
de la
matrice A avec celui de la matrice donnée par l'énoncé.
III.E.2 Comme à la question III.A.3, il faut étudier les points d'intersection 
du cercle
propre avec l'axe des abscisses.
III.E.3 Utiliser le résultat de la question III.E.1 et les descriptions 
matricielles des
endomorphismes t et t faites à la partie I.

Partie IV
IV.A.3 Exprimer les valeurs propres dans le cas c = 0 en fonction de a et d et 
chercher
les vecteurs propres de A pour ces valeurs propres.
IV.A.4 Penser à utiliser des résultats basiques de géométrie du cercle et du 
triangle
rectangle.
IV.B.2 S'inspirer du raisonnement fait à la question IV.A.2.
IV.B.3 Déterminer l'unique valeur propre d'une telle matrice.
IV.B.4 Raisonner comme pour répondre à la question III.E.1.
IV.C.1 Étudier les valeurs propres de A.
IV.C.2 Voir ces points comme les points d'un autre cercle.
IV.C.3 Exprimer xK et KU en fonction des coefficients de la matrice A afin de 
relier
ces grandeurs aux valeurs propres de A.
IV.D Utiliser la question III.E.1 pour déterminer la matrice directement 
orthogonalement semblable à A à partir du cercle propre.

I. Le groupe orthogonal en dimension 2
I.A

Les rotations planes

I.A.1 Le groupe SO(2) est défini de la manière suivante :
SO(2) = {A  M2 (R),

t

A A = I2 et det(A) = 1}

En général, pour montrer qu'une matrice A est un élément de O(2) on mont
t
trera indifféremment soit que A A = I2 , soit que A A = I2 , ou encore que
les colonnes de la matrice A forment une famille orthonormée car toutes ces
propriétés sont équivalentes.
Soit t  R. La matrice

cos t
Rt =
sin t

- sin t
cos t

a pour déterminant det(Rt ) = cos2 t + sin2 t = 1 et ses vecteurs colonnes sont 
clairement de norme 1 et orthogonaux. Cela suffit à assurer que Rt est un 
élément
de SO(2).
Réciproquement, considérons une matrice A  SO(2) et montrons que A peut
s'écrire sous la forme d'une matrice Rt , avec t  R. Pour cela, traduisons les 
hypothèses connues sur cette matrice A :
(

t
A A = I2
a b
A=
 SO(2) 
c d
det A = 1
 2
a + b2 = 1
(1)

 ac + bd = 0
(2)

2
2

c +d = 1
(3)

ad - bc = 1.
(4)

L'égalité (1) implique les encadrements 0 6 a2 6 1 et 0 6 b2 6 1. Ainsi, le 
réel a
appartient à [ -1 ; 1 ] et, sachant que l'image de la fonction cos est 
l'intervalle [-1, 1],
on sait qu'il existe t  R tel que a = cos t. Mais alors b2 = 1 - cos2 t = sin2 
t donc
b=+
- sin t. Les fonctions cos et sin étant respectivement paire et impaire, quitte 
à
remplacer t par -t, on peut choisir b = - sin t.
De la même manière, on peut trouver un réel u tel que d = cos u et c = sin u.
La condition (4) donne alors l'égalité
cos t cos u + sin t sin u = cos(t - u) = 1
ce qui impose t  u[2] et donc que cos t = cos u ainsi que sin t = sin u. Par 
conséquent, la matrice A est égale à Rt et finalement,
Une matrice A est un élément de SO(2) si et
seulement s'il existe un réel t tel que A = Rt .
I.A.2 Les réels a, b, c et d étant donnés, il faut commencer par vérifier que 
la matrice
est bien un élément de SO(2), c'est-à-dire que les coefficients donnés 
vérifient bien le
système des quatre équations de la question précédente.