Centrale Maths 2 PC 2010

Thème de l'épreuve Systèmes de racines et triplets admissibles
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, réduction matricielle

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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PC
4 heures

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2010

Mathématiques II

Les parties I et II sont indépendantes. La partie III est pour une large part 
indépendante des deux autres.

I Systèmes de racines
Les systèmes de racines interviennent dans divers domaines des mathématiques et 
en cristallographie.
Le couple (E, h., .i) désigne un espace euclidien de dimension n  1. On note k 
. k la norme associée au produit
scalaire h., .i. On rappelle qu'une réflexion de E est une symétrie orthogonale 
par rapport à un hyperplan
de E. Pour tout élément  non nul de E, on note  la réflexion de E par rapport à 
l'orthogonal de la droite
Vect().
I.A ­
Soit  un élément non nul de E. Montrer, pour tout vecteur x de E, l'identité :
h, xi

 (x) = x - 2
h, i
Pour tout sous-espace vectoriel F de E, on appelle système de racines de F une 
partie non vide R de F vérifiant
les quatre propriétés suivantes :
1. R est fini, engendre F et ne contient pas le vecteur nul ;
2. pour tout  dans R, on a  (R) = R ;
3. pour tout  dans R, les seuls éléments de R colinéaires à  sont  et - ;
h, i
 Z.
4. pour tout couple (, ) dans R2 , on a 2
h, i
I.B ­
On suppose dans cette question que l'espace E est de dimension 1.
Montrer que les systèmes de racines de E sont les ensembles {, -}, avec   E \ 
{0}.
I.C ­
Dans cette question, l'espace E est de dimension n  2.
Pour tout couple (, ) de vecteurs non nuls de E, soit , l'angle géométrique 
entre  et , c'est-à-dire l'unique
élément de [0, ] donné par : kk.kk cos , = h, i.
I.C.1)
Soit R un système de racines de E et soient ,  deux éléments de R non 
colinéaires.
kk
kk
a)
Montrer, à l'aide de la propriété 4, que : 2
|cos , |.2
|cos , |  3.
kk
kk
b)
On suppose kk  kk. Montrer que le couple (, ) se trouve dans l'une des 
configurations recensées
dans le tableau ci-dessous (chaque ligne correspondant à une configuration) :
, cos , kk/kk
/2

0

/3

1/2

2/3 -1/2

/4
2/2

3/4 - 2/2

/6
3/2

5/6 - 3/2

 1
1

1

2

2

3

3

I.C.2)

Réciproquement, on suppose qu'un couple (, ) de vecteurs non colinéaires de E 
se trouve dans
h, i
est un entier relatif ; en
l'une des configurations recensées dans le tableau ci-dessus. Montrer que le 
réel 2
h, i
préciser la valeur.
I.D ­
Dans cette question, l'espace E est de dimension n = 2.
Pour tout système de racines R de E, on pose
R = min{, | (, )  R2 ,  6=  et  6= -}
I.D.1)
Montrer que R est bien défini et est égal à /2, /3, /4 ou /6.
I.D.2)
Pour chaque valeur de k  {2, 3, 4, 6}, représenter graphiquement un système de 
racines Rk tel que
Rk = /k. Il n'est pas nécessaire de justifier que les figures tracées 
représentent bien des systèmes de racines.
Quel est le cardinal de Rk ? Aucune justification n'est attendue.
I.E ­
Dans cette question, l'espace E est de dimension n = 3.

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Soient (e1 , e2 , e3 ) une base orthonormale de E et R0 = {ei - ej | 1  i, j  
3, i 6= j}.
I.E.1)
Montrer que le sous-espace vectoriel de E engendré par la partie R0 est un plan 
vectoriel.
I.E.2)
Représenter graphiquement R0 dans le plan Vect(R0 ). Reconnaître l'un des 
systèmes de racines
représentés à la question I.D.2.

II Propriétés de M0 (n, K)
· La lettre n désigne un entier supérieur ou égal à 1.
· On note K le corps des nombres réels ou le corps des nombres complexes.
· On note respectivement M(n, K), GL(n, K), D(n, K) l'espace vectoriel des 
matrices carrées d'ordre n à
coefficients dans K, le groupe des matrices inversibles de M(n, K), le 
sous-espace vectoriel de M(n, K)
formé des matrices diagonales.
· On désigne par M0 (n, K) l'ensemble des matrices de M(n, K) de trace nulle.
· On note In la matrice identité et 0 la matrice nulle de M(n, K).
· On dit qu'une matrice A de M(n, K) est nilpotente s'il existe un entier 
naturel non nul r tel que Ar = 0. De
la même manière, on dit qu'un endomorphisme f est nilpotent s'il existe un 
entier naturel non nul r tel que
f  · · ·  f = 0.
| {z }
r fois

·
·

Pour tout couple (A, B) d'éléments de M(n, K), le crochet [A, B] est défini par 
[A, B] = AB - BA.
Pour tout A  M(n, K), on définit l'endomorphisme
A : M(n, K) -
B -
7 

M(n, K)
[A, B]

·

On dit qu'un triplet (X, H, Y ) de trois matrices non nulles de M(n, K) est un 
triplet admissible si les trois
relations suivantes sont vérifiées :
[H, X] = 2X ; [X, Y ] = H ; [H, Y ] = -2Y
On pose :

0 1
1 0
0 0
0 1
; H0 =
; Y0 =
; J0 =
X0 =
0 0
0 -1
1 0
-1 0
II.A ­ Généralités
II.A.1)
II.A.2)
M0 (n, K).

Montrer que M0 (n, K) est un K-espace vectoriel ; en préciser la dimension.
Justifier que, pour tout couple (A, B) d'éléments de M(n, K), la matrice [A, B] 
appartient à

II.B ­ Un isomorphisme
Montrer que l'application
j : K3 -
x
y -
7 
z

M0 (2, K)

x
y+z
y - z -x

est un isomorphisme de K-espaces vectoriels.
II.C ­ Caractérisation des matrices nilpotentes
Soit A une matrice non nulle de M0 (2, K). Montrer que les propriétés suivantes 
sont équivalentes :
i. La matrice A est nilpotente ;
ii. Le spectre de A est égal à {0} ;

0 1
iii. La matrice A est semblable à la matrice
.
0 0
II.D ­ Le cas complexe
On suppose dans cette question que K est égal à C.
II.D.1)
Montrer que deux matrices non nulles de M0 (2, C) sont semblables si et 
seulement si elles ont le
même polynôme caractéristique.
II.D.2)
Ce résultat reste-t-il vrai pour deux matrices non nulles de M0 (n, C), avec n  
3 ?
II.E ­ Le cas réel
On suppose dans cette question que K est égal à R.
II.E.1)
Soit A une matrice de M0 (2, R). On suppose que son polynôme caractéristique 
vaut X 2 + r2 , où r
est un réel non nul.
a) Justifier l'existence d'une matrice P  GL(2, C) vérifiant : irH0 = P -1 AP . 
Que vaut la matrice A2 +r2 I2 ?
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b) Soit f l'endomorphisme de R2 canoniquement associé à la matrice A, 
c'est-à-dire qui à un vecteur
colonne

u de R2 associe le vecteur Au. Soit w un vecteur non nul de R2 . Prouver que la 
famille 1r f (w), w est une base
de R2 , et donner la matrice de f dans cette base.
II.E.2)
Montrer que deux matrices non nulles de M0 (2, R) sont semblables dans M(2, R) 
si et seulement si
elles ont le même polynôme caractéristique.
II.E.3) On munit l'espace vectoriel R3 de sa structure affine euclidienne 
canonique et de son repère canonique.
Pour toute matrice A de M0 (2, R), on note QA l'ensemble des points de R3 dont 
l'image par l'application j
possède le même polynôme caractéristique que A.
a)
Soit r un réel strictement positif. Montrer que chacune des parties QX0 , QrJ0 
et QrH0 est une quadrique
dont on précisera une équation.
b)
Représenter graphiquement l'allure des quadriques QX0 ,QJ0 et QH0 sur un même 
dessin.
II.F ­ Un lemme
Soient A, B et M trois éléments de M0 (2, K).
II.F.1)
Exprimer la trace de la matrice M 2 en fonction du déterminant de M .
II.F.2)

Démontrer que la matrice M est nilpotente si et seulement si la trace de la 
matrice M 2 est nulle.

II.F.3)
On suppose que les matrices A et [A, B] commutent.
Démontrer que la matrice [A, B] est nilpotente.
II.G ­ Description des triplets admissibles de M0 (2, K)
II.G.1)
Déterminer les matrices M de M(2, K) qui commutent avec X0 . Quelles sont les 
matrices M de
M0 (2, K) qui commutent avec X0 ?
II.G.2) Soit P une matrice de GL(2, K). Vérifier que (P X0 P -1 , P H0 P -1 , P 
Y0 P -1 ) est un triplet admissible.
On se propose de démontrer que, réciproquement, tous les triplets admissibles 
de M0 (2, K) sont de cette forme.
Pour toute la suite de la question II.G, soient X, H, Y trois éléments de M0 
(2, K) tels que (X, H, Y ) forme un
triplet admissible.
II.G.3)
Montrer en utilisant les questions II.F et II.C qu'il existe une matrice Q  
GL(2, K) vérifiant
X = QX0 Q-1 .
On fixe pour la suite de la question II.G une telle matrice Q  GL(2, K).

0
1
.
et v = Q
II.G.4)
On définit les vecteurs u = Q
1
0
a) En calculant le vecteur [H, X]u de deux manières différentes, démontrer que 
u est un vecteur propre de la
matrice H.
b)
En calculantle vecteur
 [H, X]v de deux manières différentes, prouver l'existence d'un scalaire t 
vérifiant
1 t
Q-1 .
l'identité : H = Q
0 -1
c)
Trouver une matrice T  GL(2, K) commutant avec X0 et vérifiant la relation H = 
QT H0 (QT )-1 .
On pose désormais P = QT .
II.G.5)
Soit Y   M0 (2, K) telle que (X, H, Y  ) soit un triplet admissible.
a)
b)
c)

Déduire de la question II.G.1 les matrices de M0 (2, K) qui commutent avec X.
Calculer les matrices X (Y - Y  ) et H (Y - Y  ).
En déduire que l'on a Y  = Y .

II.G.6)

Démontrer l'identité (X, H, Y ) = (P X0 P -1 , P H0 P -1 , P Y0 P -1 ).

III Systèmes de racines et triplets admissibles d'un sous-espace de
M(n, K)
III.A ­ Diagonalisation simultanée
Soit V un K-espace vectoriel de dimension finie non nulle.
III.A.1)
Soient f un endomorphisme de V diagonalisable et W un sous-espace non nul de V 
stable par f .
Montrer que l'endomorphisme de W induit par f est diagonalisable.
III.A.2) Soient f et g deux endomorphismes de V qui commutent, c'est-à-dire 
tels que f  g = g  f . Montrer
que les sous-espaces propres de f sont stables par g.
III.A.3)
Soit I un ensemble non vide et soit {fi | i  I} une famille d'endomorphismes de 
V diagonalisables
commutant deux à deux. Montrer qu'il existe une base de V dans laquelle les 
matrices des endomorphismes fi ,
pour i  I, sont diagonales. Indication : on pourra traiter d'abord le cas où 
tous les endomorphismes fi sont
des homothéties, puis raisonner par récurrence sur la dimension de V .
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III.B ­ Application
On reprend dans cette partie les notations de la partie II.
Soit A un sous-espace vectoriel non nul de M(n, K) stable par crochet, 
c'est-à-dire vérifiant :
(A, B)  A × A, [A, B]  A
On note E l'intersection de A et D(n, K).
III.B.1)
Soit H un élément de E.
a)
Calculer l'image par H de la base canonique de M(n, K). En déduire que H est un 
endomorphisme
diagonalisable de M(n, K).
b)
Montrer qu'il existe une base de A dans laquelle les matrices des 
endomorphismes de A induits par les
H , pour H  E, sont diagonales.
Pour toute application  de E dans K, on pose :
A = {M  A | H (M ) = (H)M pour tout H  E}
III.B.2)

Soit  une application de E dans K.

a)
Montrer que A est un sous-espace vectoriel de A.
b)
Montrer que si A est non réduit à {0}, alors  est une forme linéaire de E.
On note E  l'espace vectoriel des formes linéaires de E et S(A) l'ensemble des 
éléments  de E  \ {0} tels que
A est différent de {0}.
III.C ­ Un exemple
On reprend dans cette question les notations des parties I et II ainsi que de 
la question III.B. On suppose
désormais

A B
3
t
t
|
(A,
B,
C)

(M(2,
R))
,
B
=
B
et
C
=
C
A=
C -tA
où, pour tout M  M(2, R), le symbole tM désigne la transposée de M.

D
0
| D  D(2, R) .
On a donc E =
0 -D
III.C.1)
Montrer que A est un sous-espace vectoriel de M(4, R) stable par crochet. 
Montrer qu'on a A0 = E,
où A0 désigne A lorsque  est la forme linéaire nulle. Donner une base de A0 .

D
0
III.C.2)
Pour k  {1, 2}, on note ek l'élément de E  qui à toute matrice
,
0 -D

d1 0
 D(2, R), associe le coefficient dk .
où D =
0 d2
a)
Vérifier que (e1 , e2 ) forme une base de E  .
On munit E  de l'unique produit scalaire faisant de (e1 , e2 ) une base 
orthonormale.
b)
Soit R = {e1 - e2 , e2 - e1 , e1 + e2 , -e1 - e2 , 2e1 , -2e1 , 2e2 , -2e2 }. 
Montrer que l'ensemble R est un
système de racines de E  . On pourra pour cela dessiner la partie R dans le 
plan euclidien E  et reconnaître
l'un des systèmes de racines rencontrés dans la question I.D
III.C.3)
Soit   R. Déterminer par le calcul le sous-espace vectoriel A . Vérifier que A 
est une droite
vectorielle.
M
III.C.4)
Établir la relation A = A0 
A .
R

III.C.5)

Démontrer l'égalité S(A) = R.

III.C.6)

1 0
0
0 -1 0
On pose désormais  = e1 - e2 ,  = 2e2 , H = 
0 0 -1
0 0
0

0
0
0
0
 et H = 
0
0
1
0

0
1
0
0

0 0
0 0
.
0 0
0 -1

a)
En utilisant les résultats de la question III.C.3, montrer qu'il existe un 
couple (X , X- )  A × A- et
un couple (X , X- )  A × A- tels que (X , H , X- ) et (X , H , X- ) soient des 
triplets admissibles de
A.
On fixe deux tels triplets admissibles.
b)
Montrer que A est le plus petit sous-espace vectoriel de M(4, R) stable par 
crochet et contenant les
matrices X , H , X- , X , H et X- .
· · · FIN · · ·

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 2 PC 2010 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) ; il a été 
relu
par Ludovic Béguin (École Polytechnique) et Guillaume Batog (ENS Cachan).

Ce problème d'algèbre linéaire est constitué de trois parties indépendantes,
à l'exception d'une question de la partie III.
· Dans une première partie, on s'intéresse aux systèmes de racines d'un espace
vectoriel euclidien ; on en démontre quelques propriétés et on les décrit 
complètement en dimensions 1 et 2, ce qui occasionne de jolis dessins.
· La deuxième partie est une étude des matrices de trace nulle en dimension 2,
à la fois sur R et sur C : on caractérise les matrices nilpotentes, les matrices
semblables, puis on décrit tous les triplets admissibles.
· Enfin, dans la troisième partie, on étend ceci à un sous-espace particulier de
M (4, R) après un petit intermède de diagonalisation simultanée.
Ce problème soulève peu de difficultés techniques mais, comme bien souvent (trop
souvent) au concours Centrale, il est affreusement long et bien pénible à 
rédiger,
surtout dans la dernière partie où les réponses aux questions se diluent au gré 
de
calculs matriciels bestiaux !
On peut quand même déplorer l'absence d'applications concrètes des diverses
propriétés démontrées au cours du problème ; les questions s'enchaînent bien, 
l'énoncé
est agréablement directif, mais on ne comprend pas forcément ses objectifs.

Indications
Partie I
I.A Déterminer la décomposition d'un vecteur x  E associée à la somme directe

E = Vect ()  Vect ().
I.B Utiliser les propriétés 1 et 3 pour déterminer la forme générale d'un 
système
de racines. Vérifier ensuite que les ensembles obtenus conviennent.
I.C.1.a Appliquer la propriété 4 aux couples (, ) et (, ), puis utiliser 
l'inégalité
(stricte) de Cauchy-Schwarz.
I.C.1.b À l'aide de la question précédente, déterminer les valeurs possibles 
des entiers
N1 = 2

kk
|cos , |
kk

et

N2 = 2

kk
|cos , |
kk

I.D.1 Utiliser le résultat de la question I.C.1.b pour montrer l'existence de

R = min , (, )  R2 ,  et  non colinéaires

I.D.2 Représenter un couple (, ) se trouvant dans l'une des configurations du
tableau et utiliser les propriétés 2 et 3 pour compléter la figure.
I.E.1 Il suffit d'exhiber une base de ce sous-espace vectoriel.
I.E.2 Pour la représentation, il suffit de montrer que le triangle de sommets 0,
e1 - e2 et e1 - e3 est équilatéral.
Partie II

II.A.1 Utiliser les propriétés de la trace.
II.B On montrera d'abord que j est un morphisme injectif.
II.D.1 Pour le sens indirect, on déterminera les spectres possibles et l'on 
utilisera
la question précédente.
II.E.1.b Raisonner par l'absurde et supposer que la famille proposée est liée.
II.E.2 S'inspirer de la stratégie adoptée au cours de la question II.D.1 et 
invoquer
la question II.E.1.a pour le nouveau cas de figure.
II.E.3.a Noter qu'en dimension 2, le polynôme caractéristique d'une matrice ne 
dépend que de sa trace et de son déterminant.
II.F.2 Utiliser les questions II.C, II.D.1 et II.E.2.

II.G.2 On pourra commencer par montrer que P A P-1 , P B P-1 = P [A, B] P-1
pour tous A, B  M (2, K) et P  GL(2, K).
II.G.3 Plus précisément, on utilisera la question II.F.3.
II.G.4.a Noter que [H, X] = 2X et appliquer ceci au vecteur u.
II.G.4.b Exprimer Hu et Hv en fonction de u et v, afin d'en déduire les images 
des
vecteurs de la base canonique de K2 par la matrice Q-1 H Q.
II.G.4.c Simplifier la relation désirée et utiliser la question II.G.1.
II.G.5.c Utiliser les résultats des deux questions précédentes.
II.G.6 Faire appel aux questions II.G.3, II.G.4.c et II.G.5.c.

Partie III
III.A.1 En considérant la matrice de f dans une base adaptée, montrer que 
l'endomorphisme induit fW est annulé par un polynôme scindé à racines simples.
III.A.3 Raisonner par récurrence sur la dimension de V. Pour l'hérédité, on 
utilisera
les sous-espaces propres de l'un des fi afin de décomposer V en somme
directe de deux sous-espaces stricts A et B, auxquels on appliquera ensuite
les résultats des questions III.A.2 et III.A.1.
III.B.1.b Utiliser la question III.A.3.
III.B.2.a Le plus élégant est de l'écrire comme intersection de sous-espaces 
propres.
III.C.1 On trouvera des conditions nécessaires
àA

d'appartenance

0 en s'intéressant
D
0
1 0
à la commutation avec H =
, où D =
.
0 -D
0 -1
III.C.3 En utilisant le fait que E est engendré par
f1 = Diag(1, 0, -1, 0)
et
f2 = Diag(0, 1, 0, -1)

on peut écrire A = M  A f1 (M) = (f1 ) M  f2 (M) = (f2 ) M .

III.C.4 Utiliser les résultats des questions III.C.1 et III.C.3, ainsi que la 
description
de A employée lors des calculs effectués à ces occasions.
III.C.5 Noter que l'on a construit au cours des questions précédentes une base 
de
vecteurs propres des endomorphismes H pour H  E.
III.C.6.a Exploiter les résultats de la question III.C.3. Comme les 
sous-espaces A ,
A- , A et A- sont des droites vectorielles, les choix des couples sont de
toute manière assez restreints.

Les conseils du jury
D'après le rapport du jury, « ce sujet était de nature conceptuelle », faisant
intervenir diverses techniques de démonstration (par condition nécessaire et
suffisante, par contre-exemple, par récurrence sur la dimension d'un sousespace 
vectoriel, par chaîne d'implications pour prouver l'équivalence de trois
assertions). Il est noté que « les différences entre les candidats ont davantage
tenu à la capacité à formuler des raisonnements complets ». Le jury regrette
enfin que « les candidats connaissent mal l'usage des quantificateurs ­ même
exprimés en langage courant. »

I. Systèmes de racines
I.A Notons tout d'abord que, comme  est un vecteur non nul, son orthogonal
{} est un hyperplan. Soit maintenant x  E : comme E = {}  Vect (),

il existe y  {} et z  Vect () tels que x = y + z. Par définition de la 
réflexion  ,
on a de plus
 (x) = y - z = x - 2z
Cherchons maintenant à exprimer z en fonction de x. Déjà, z  Vect () donc il 
existe

  R tel que z =  . Ainsi, y = x -  . De plus, y  {} si bien que
h | yi = 0 = h | xi - h | i
Il en découle que
d'où

=

h | xi
h | i

comme h | i 6= 0

 (x) = x - 2z = x - 2 = x - 2

Ainsi,

x  E

 (x) = x - 2

h | xi

h | i

h | xi

h | i

I.B L'espace E étant de dimension 1, il est de la forme E = R e, avec e un 
vecteur
non nul de E. Soit R un système de racines de E.
· D'après la propriété 1, cet ensemble est constitué de multiples non nuls de e 
;
en particulier, comme il est non vide, il en contient au moins un que l'on note 
.
· D'après la propriété 3, les seuls éléments de R colinéaires à  sont  et -.
De ce fait, R contient  et -, et ne peut pas contenir d'autres vecteurs de E
puisqu'ils sont tous colinéaires.
Par conséquent, R est nécessairement de la forme {, -} avec   E r {0}.
Réciproquement, vérifions que les ensembles de cette forme sont effectivement 
des
systèmes de racines. Soit R = {, -} avec   E r {0}.
(1) Cet ensemble R est bien fini, ne contient pas le vecteur nul et engendre 
forcément la droite vectorielle E.

(2) Comme  est la réflexion par rapport à {} = {0}, on a
 () = -

et

 (-) = 

Ainsi  (R) = R. De plus - =  : il s'ensuit que - (R) = R également.
(3) Les seuls éléments de R colinéaires à  sont clairement  et -. De même pour
les éléments colinéaires à -.
(4) Les seuls couples de R2 sont (, ), (-, -), (, -) et (-, ). Or
2h | i
2h- | - i
=
=2Z
h | i
h- | - i
2h | - i
2h- | i
=
= -2  Z
h | i
h- | - i

et
ce qui montre que

2h | i
 Z pour tout couple (, )  R2 .
h | i