Centrale Maths 2 PC 2007

Thème de l'épreuve Résolution de l'équation P(g)=f avec f et g deux endomorphismes
Principaux outils utilisés algèbre linéaire et bilinéaire, diagonalisation simultanée, théorème de d'Alembert-Gauss

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Concours Centrale - Supélec 2007

Épreuve :

MATHÉMATIQUES II

Filière

PC

MA THÉMA TIQUES II Filière PC

MATHÉMATIQUES ||

Préliminaires et notations :
0 Soit n EUR IN* . K désigne l'un des corps IR ou EUR.
0 K [X ] désigne l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans K .

° L'espace IR" sera si nécessaire muni de son produit scalaire canonique, et
rapporté à la base canonique qui est orthonormale.

Partie I -

On rappelle que E = K "" est un espace vectoriel sur K de dimension n pour les
lois usuelles. On munit de plus E d'une multiplication notée >< et définie par :

Pour tout x : (x1,...,xn) et y : (y1, ...,yn) dans E, x xy =(x1--y1,...,xn-yn).

I.A - Soit x : (x1,...,xn) fixé dans E. Pour PEK[X] , on notera :

P(x) : (P(xl), ...,P(xn)).
I.A.1) Vérifier que (I) : P H P(x) est une application linéaire de K [X ] vers 
E ,
telle que (P -- Q) : CD(P) >< CD(Q) pour tout P, Q EK[X].
I.A.2) Montrer que Ax : {P(x), P E K [X ]} est un sous-espace vectoriel de E .
Montrer que Ax est stable pour >< , c'est-à-dire que, si y, 2 EUR Ax alors y >< 
2 EUR Ax .
I.A.3) On suppose ici xi ==xj pour tout i,j EUR [[ 1, n]] tels que i:j.
On note K "_ 1[X ] l'ensemble des polynômes de K [X ] dont le degré est 
inférieur
ou égal à n -- 1 .
Montrer que la restriction de (I) à K "_ 1[X ] est injective.

Montrer que Ax est de dimension n .

LB - Soit y : (y1, yn) donné dans E, ainsi que PEK[X] fixé de degré 2 1.
On s'intéresse à l'ensemble noté Ry,P : Ry,P : {x E E/P(x) : y} .

I.B.1) Montrer que si K = (D , Ry, P n'est jamais vide.

I.B.2) Montrer que si K : IR, R % P peut être vide : donner un exemple.
I.B.8) On suppose K = EUR, et P(X) : Xp avec p EUR IN*.

Déterminer le cardinal de R...... noté Card(Ryap), en fonction de p et de
my : Card({iEUR[[l,n]]/yi;æ0}).

Concours Centrale-Supé/ec 2007 1/6

MA THÉMA TIQUES II Filière PC

Filière PC

I.B.4) D'une façon générale, donner un majorant de Card(Ry, P) en fonction de
n et du degré de P.

I.C - Pour F partie non vide de E , et P E K [X ] fixé de degré 2 1 , on 
s'intéresse
à l'ensemble noté Rr,P : {x E E/P(x) E F} .

1.0.1) Exemple 1 : On prend K : IR, n = 2, P(X) : X2. Déterminer et des-
siner F et RF. P , dans chacun des cas suivants :

1) I' : {(x,y) EUR IRZ/2x+y : l} ,

ii) r = {(...) EUR lR2/x--y = 1},

iii) r = {(x,y) EUR lR2/x2--y2 = 1} .
1.0.2) Exemple 2 : On prend K = ]R, n = 3 , P(X) : X2. Déterminer et don-
ner la nature géométrique de F et RP, P , dans chacun des deux cas suivants :

1) F : {(x,y,z)ElR3/x+y--z =1},

ii) F : {(x,y,z)EURlR3/x--y =1}.
I.C.8) Exemple 3 : On prend K : IR, n = 2 , P(X) : X3--X et soit:

I' : {(x,y) EUR IRZ/x--y : O} .

Déterminer et dessiner F et RP, P.

I.D - Pour cette question, on pourra utiliser sur E la norme infinie définie 
par :
si x : (x1,...,xn) est dans E, llxllOO : max lx,--| .

lszsn

I.D.1) On suppose que F est de cardinal fini. Donner un majorant de
Card(Rn P) en fonction de Card (F) , de n et du degré de P.

I.D.2) Si F est borné, montrer que RP, P est borné. Lorsque K : IR , donner
un exemple pour lequel F est non borné et RP, P est borné. Lorsque K = (13, si
RP, P est borné, montrer que F est borné.

Partie II -

Soit V un espace vectoriel sur K de dimension finie N 2 1 et ..?(V) l'espace 
vec-
toriel sur K des endomorphismes de V, qui est aussi muni de la loi de composi--
tion 0 .

On note idV l'application identité de V dans V.

Concours Centrale-Supélec 2007 2/6

MA THÉMA TIQUES II Filière PC
II.A-Soit nEIN*, nsN.

On considère n projecteurs non nuls pl, p2, pn de fiV) tels que :
ÏL
2 pk =idV,et piopJ- : 0 pourtout i,jEUR[[1,n]] tels que i:j.
k = 1

n
On pose % = { 2 xkpk/(xl, ...,xn)EKn}.
k=1

II.A.1) Montrer que % est un K -espace vectoriel de dimension n, stable
pour 0 .

II.A.2) Montrer que l'application 'Il de E vers % , définie par :

n
'P : (x1,...,xn)H 2 xkpk
k=1
est un isomorphisme tel que, pour tout x, y E E, 'P(x >< y) : 'P(x) o 'P(y) .

II.A.8) Montrer que, pour tout x E E et P E K[X] , OE(P(x)) : P('P(x)) .

n
II.B - Soit fEM, avec f = 2 Àkpk, où (7... ...,)»,JEK".
k=1
On suppose x, := ?»]. pour tout i,j EUR [[ 1, n]] tels que i:j.

ÏL
II.B.1) Soit 536% avecg : 2 Mkpk,et PEK[X].
k =1
Montrer que g : P(f) si et seulement si P(kk) : ..., pour tout le E [[ 1, n]] .

II.B.2) Montrer que pour tout j EUR [[ 1, n]] , il existe P]. E K[X] tel que
Pj : Pj(f) -

II.B.3) Montrer que f est diagonalisable, et préciser ses valeurs propres.
II.C - Soit ;" EfiV) supposé diagonalisable. On note xl, xn ses valeurs pro-
pres distinctes et on pose ?» = (>... xn) .

Pour P @ K[X] donné, on note Rf,P = {g efiV)/f = P(g)} .

II.C.1) Donner n projecteurs non nuls pl, p2, pn tels que

ÏL ÏL

2 pk=idV,piopj : 0 pourtout i,jE[[l,n]] telsquezëj,etf : 2 Àkpk.
k=l k=l

On dispose ainsi de l'application 'P définie en II.A.

Concours Centrale-Supélec 2007 3/6

MA THÉMA TIQUES II Filière PC

II.C.2) Soit g E Rf7P.

Montrer que fog : gof.

Montrer que chaque sous-espace V ]-- : ker(f -- kjidv) est stable par g, pour 
tout
j Ell1,nll -

On suppose que g est diagonalisable. Montrer qu'il existe une base de vecteurs
propres pour f et propres pour g .

II.C.3) Montrer que 'P(Rh P) C Rf. P et que, si toutes les valeurs propres de ;"
sont simples, on a l'égalité 'P(Rh P) : Rf. P.

On suppose que K = (D et que P(X ) : Xr avec rE IN* . Déterminer le cardinal
de R P P lorsque toutes les valeurs propres de ;" sont simples.

II.C.4) On suppose que K = C et que P(X) : X'" avec rE IN et r 2 2.
Lorsque N 2 2 , montrer que Ridv, P est de cardinal infini.

Montrer que R P P est de cardinal infini si et seulement si ;" admet au moins 
une
valeur propre multiple.

II.C.5) On suppose que K = C et que P(X) : X'" avec rE IN*.

Si l'on suppose que les complexes ?... Àn sont tous non nuls, montrer que si
g E R P P , alors g est diagonalisable.

Si l'on suppose que M = 0 et que g E R f) P, montrer que g est diagonalisable si
et seulement si f et g ont le même rang.

II.D - Exemple 4: On prend K : IR, et ;" Efi]R') de matrice dans la base
canonique :

--1
F:

y_ay_ay_a

l
l 1
l 1
Déterminer, par leur matrice G dans la base canonique, toutes les applications
gEfilR'), telles que g2 = f.

Partie III -

Dans cette partie on considère un espace vectoriel euclidien V de dimension
N 2 1 , muni d'un produit scalaire noté (....) , la norme euclidienne associée 
étant
notée ||.ll .

On note O(V) le groupe (pour la loi 0 ) des automorphismes orthogonaux de V.
On note de plus S (V) l'ensemble des endomorphismes symétriques de V.

Concours Centrale-Supé/ec 2007 4/6

MA THÉMA TIQUES II Filière PC

Soit r E ]N* donné. Pour fEfiV) , on s'intéresse à R,.(f) : {g EfiV)/f : gr}
et aux sous--ensembles S(V) fi R,.(f) ou O(V) n R,.(f).

III.A -
III.A.1) Montrer que si S(V) fi Rr(f) est non vide alors ;" EUR S(V) .

III.A.2) On suppose ici que r est pair et f E S(V) . Montrer que S(V) fi Rr(f) 
est
non vide si et seulement si toutes les valeurs propres de ;" sont dans IR+ .

III.A.3) On suppose ici que r est impair et f E S(V) . Montrer que S(V) fi Rr(f)
est non vide et est réduit à un seul élément.

III.A.4) Exemple 5 :

SoitA={1 1}.
ll

Déterminer toutes les matrices B E% 2(1R) telles que B2 = A .

Déterminer toutes les matrices B E% 2(1R) symétriques telles que B3 = A .

III.B -
III.B.1) Montrer que si O(V) fi R,.(f) est non vide, alors ;" EUR O(V).

III.B.2) Soit g E O(V). Montrer que si F est un sous-espace vectoriel de V sta-
ble par g , il en est de même de son orthogonal Fl .

III.B.3) On suppose ici N = 2 et V orienté, et on suppose que f est la rotation
d'angle de mesure 6 , avec 6 EUR IR. Déterminer O(V) n R,.( f).

III.B.4) Exemple 6 :

Soit A = {O _1}.
10

Déterminer toutes les matrices B E%2(C) telles que B2 = A .

Déterminer toutes les matrices B E% 2(1R) orthogonales telles que B2 = A .
III.C - Soit F un sous-espace vectoriel de V de dimension m , et f la symétrie
orthogonale par rapport à F.

III.C.1) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur r et m pour
que R,( ;" ) soit non vide, et exhiber dans ce cas un élément g E O(V) n R,.( 
f) .

III.C.2) Étudier S(V) n R,.(f).

III.B - On suppose ici que N = 3 , et on considère l'espace euclidien V : IR3
orienté, muni de son produit scalaire canonique, la base canonique étant ortho--
normale directe.

Concours Centrale-Supé/ec 2007 5/6

MA THÉMA TIQUES II Filière PC
Soir r E ]N*, et soit f la rotation d'angle de mesure 9, avec 8 EUR ]R\2nZ, 
d'axe
D : 1Ru,où Hull : 1 ;f#idV.

III.D.1) Déterminer O(V) fi R,...(f).

III.D.2) Déterminer O(V) fi Rr(--f).

III.D.3) Exemple 7 :

Déterminer, par leur matrice dans la base canonique, toutes les rotations g de
V, telles que g3 soit la rotation d'axe dirigé par u : --Ë(O, 1, 1) et d'angle 
de

TC
mesure 5 .

ooo FIN 000

Concours Centrale-Supé/ec 2007 6/6

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Centrale Maths 2 PC 2007-- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Rafik Imekraz (ENS Cachan) ; il a été relu par Paul
Pichaureau (Professeur en CPGE) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

L'épreuve se compose de trois parties.
· La première partie considère un sous-ensemble quelconque  du K-espace 
vectoriel Kn (K = R ou C), un polynôme P de degré au moins 1, et s'intéresse aux
propriétés de l'ensemble
R,P = {(x1 , . . . , xn )  Kn | (P(x1 ), . . . , P(xn ))  }
On établit que si K = R, alors le caractère borné de  implique celui de R,P ;
si le corps de base est C, c'est une équivalence.
· La deuxième partie introduit un endomorphisme f diagonalisable sur un
K-espace vectoriel V de dimension finie (K = R ou C). On montre que l'on
peut écrire f sous la forme
f=

n
P

i pi

i=1

où les applications pi sont des projecteurs et les i les valeurs propres de f .
Puis, étant donné un polynôme P  K[X], cette décomposition est utilisée pour
l'étude de l'ensemble
Rf,P = {g  L (V) | P(g) = f }
Si P = Xr , on montre notamment que cet ensemble est fini si et seulement si
les valeurs propres de f sont simples, et son cardinal est alors calculé.
· Dans la dernière partie, l'espace V est supposé euclidien et l'étude 
précédente
est reprise pour un endomorphisme f orthogonal ou symétrique. La recherche
s'oriente naturellement vers les éléments orthogonaux ou symétriques de Rf,P .
Le sujet est long. Les questions de fin de partie le sont d'autant plus qu'elles
comportent souvent plusieurs sous-questions. Les trois parties sont globalement 
indépendantes, sauf pour les questions finales qui nécessitent les résultats 
des parties
précédentes.

Indications
Partie I
I.A.1 Utiliser la définition d'une application linéaire.
I.A.2 Appliquer d'abord la question précédente puis utiliser la définition de 
la multiplication de E.
I.A.3 Il suffit de montrer qu'un élément du noyau a plus de racines que son 
degré.
Pour la dimension, penser au théorème du rang.
I.B.1 Utiliser le théorème de d'Alembert-Gauss.
I.B.2 Penser à un polynôme dont la fonction associée n'est pas surjective sur R.
I.B.3 Calculer le cardinal des composantes coordonnées des vecteurs de Ry,P .
I.B.4 Même indication qu'à la question précédente.
I.C.1 Expliciter des équations des ensembles Ry,P .
I.C.2 Faire comme à la question précédente.
I.C.3 Expliciter une équation de l'ensemble Ry,P . Penser à factoriser P(x) - 
P(y).
I.D.1 Remarquer que R,P = y Ry,P et utiliser la question I.B.4.
I.D.2 Pour le premier point, faire une démonstration par l'absurde, et montrer 
que
si  est borné et si R,P ne l'est pas, alors il existe M > 0 tel que pour tout
réel K > 0 il existe un scalaire a de module supérieur à K tel que |P(a)| 6 M.
Pour le deuxième point, essayer P = X2 . Enfin, se rappeler que l'image d'un
disque fermé de C par un polynôme est une partie bornée de C.

Partie II
II.A.1 On pourra montrer que la famille (p1 , . . . , pn ) est libre. Pour la 
stabilité par
la composition, on pourra utiliser la bilinéarité de .
II.A.2 Utiliser la définition de la linéarité. Montrer que  est injective, puis 
utiliser
le fait que Kn et E sont de même dimension. Faire un calcul pour prouver la
formule (x × y) = (x)  (y).
II.A.3 Remarquer que (xk ) = (x)k pour tout x  E et pour tout entier naturel k,
puis utiliser un argument de linéarité.
II.B.2 Utiliser la question précédente avec des polynômes particuliers.
II.B.3 Montrer à l'aide de la question II.B.1 que f annule un polynôme scindé à
racines simples.
II.C.1 Utiliser les n projecteurs associés à la somme directe des sous-espaces 
propres
de f .
II.C.2 Utiliser le fait que g induit un endomorphisme diagonalisable de Vj , 
puis
appliquer à un vecteur de Vj l'égalité f  g = g  f .
II.C.3 Pour l'inclusion, utiliser la question II.A.3 et remarquer que f = ().
Pour l'égalité, constater que l'endomorphisme induit par g sur Vj est une
homothétie quel que soit j  [[ 1 ; n ]]. En notant son rapport µj , comparer g
et ((µ1 , ..., µn )).

II.C.4 Lorsque N = 2, montrer qu'il existe une infinité de matrices A qui 
vérifient
la relation Ar = I2 . Traiter le cas N > 3 à l'aide du cas N = 2 et de calculs
par blocs.
n

II.C.5 Introduire le polynôme

 (Xr - i ), puis raisonner en termes de matrices et
i=1

utiliser le dernier résultat de la question II.C.2.

II.D Calculer un polynôme caractéristique. Utiliser la question II.C.1 puis la 
question II.C.3.

Partie III

III.A.1 Pour tous endomorphismes f et g on a la relation (f  g) = g   f  .
III.A.2 Appliquer le théorème de diagonalisation en base orthonormée des 
endomorphismes symétriques (parfois nommé théorème spectral).
III.A.3 Utiliser la même méthode qu'à la question précédente.
III.A.4 Pour l'équation B2 = A, appliquer le théorème spectral et montrer que A
est diagonalisable à valeurs propres simples. Utiliser la question II.C.3 pour
connaître le nombre de matrices solutions, puis calculer la matrice A2 .
Réutiliser ce calcul pour l'équation B3 = A avec B symétrique. Faire enfin 
appel au résultat de la question précédente.
III.B.2 Rappeler pourquoi g(F) = F puis considérer un élément u de F et montrer 
que
w  F

hg(u), wi = 0

III.B.3 Un automorphisme orthogonal d'un plan orienté est soit une symétrie 
orthogonale par rapport à une droite vectorielle, soit une rotation.
III.B.4 Calculer un polynôme caractéristique, puis appliquer la même méthode 
qu'à
la question II.D.
III.C.1 Justifier que F est stable par g, et appliquer le déterminant de L (F ) 
à
la relation
r
g|F = -idF

III.C.2 Utiliser les résultats des questions III.A.3 et III.A.2 en séparant les 
cas r pair
et r impair.

III.D.1 Raisonner encore avec les matrices. Montrer qu'une matrice d'un élément
de O(V)  Rr (f ) est nécessairement de la forme

A 0
G=
0 
où A est une matrice orthogonale d'ordre 2 et  = +
- 1.
III.D.2 Procéder de la même façon qu'à la question précédente.
III.D.3 Utiliser des matrices.

Première Partie
I.A.1 Utilisons la définition de la linéarité : pour tous polynômes P et Q et 
tous
scalaires a et b,
(aP + bQ) = (aP(x1 ) + bQ(x1 ), . . . , aP(xn ) + bQ(xn ))
= a(P(x1 ), . . . , Q(xn )) + b(Q(x1 ), . . . , Q(xn ))
(aP + bQ) = a(P) + b(Q)
L'application  est linéaire.

Ainsi
De même,

P, Q  K[X]

(PQ) = (PQ(x1 ), . . . , PQ(xn ))
= (P(x1 )Q(x1 ), . . . , P(xn )Q(xn ))
= (P(x1 ), . . . , P(xn )) × (Q(x1 ), . . . , Q(xn ))

P, Q  K[X]

(PQ) = (P) × (Q)

I.A.2 Ax étant l'image de l'application linéaire ,
L'ensemble Ax est un sous-espace vectoriel de E.
Montrons la stabilité de Ax par multiplication. Si u et v sont deux éléments de 
Ax ,
il existe par définition P et Q deux polynômes tels que u = (P) et v = (Q). 
Alors
u × v = (P) × (Q) = (PQ)
Or, PQ est un polynôme, donc u × v  Im , d'où u × v  Ax .
Par conséquent

L'ensemble Ax est stable par multiplication.

Il est souvent utile d'interpréter des sous-ensembles d'un espace vectoriel
comme des noyaux ou des images d'applications linéaires pour montrer que
ce sont des sous-espaces vectoriels.
I.A.3 Notons |Kn-1 [X] la restriction de  à Kn-1 [X]. Comme  est linéaire,
l'application |Kn-1 [X] l'est également. Soit P  Ker |Kn-1 [X] . On a
(P) = (P(x1 ), P(x2 ), . . . , P(xn )) = (0, 0, . . . , 0)
d'où
i  [[ 1 ; n ]] P(xi ) = 0
Les nombres xi étant deux à deux distincts, P admet n racines distinctes. Comme
son degré est inférieur à n - 1, il est nul.
La restriction de  à Kn-1 [X] est injective.
Utilisons maintenant le théorème du rang :
dim Kn-1 [X] = rg |Kn-1 [X] + dim Ker |Kn-1 [X]
donc

n = dim (Kn-1 [X])