Centrale Maths 2 PC 2006

Thème de l'épreuve Correspondances algébriques et théorème de Poncelet
Principaux outils utilisés géométrie analytique, polynômes, algèbre linéaire, coniques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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on_ e......___... _ _ __ oe...:QÈËEË ......ää...

mËN oOEmQ=OE - QOEÈOEQ oeS8ËU

Dans ce problème, les figures ou les commentaires, même non demandés, qui
éclaireraient les situations ou les hypothèses rencontrées seront les bienvenus.

Dans tout le problème, gn désigne par @ un plan affine euclidien rapporté à un
repère orthonormé (0; i, j ) , par (C) le cercle centré en O et de rayon donné 
R ,

R > 0 , et par Al , A2 et A3 les points de coordonnées respectives (R, O) , (O, 
R) et
(--R, O) .

Partie I - Un exemple pratique
Dans cette partie, on désigne par (E) la courbe d'équation 4x2 + Sy2 -- 4Ry : 0 
.

I.A - Montrer que (E) est une ellipse. En déterminer deux axes de symétrie et
un centre de symétrie.

I.B - Étudier le signe de l'expression (4x2 + Sy2 -- 4Ry) -- 4(x2 + y2 -- R2) 
pour
(x, y) E ]R2 . En déduire les positions relatives de (E) et (C) .

I.C -

1.0.1) Soit (% ) l'ellipse de représentation paramétrique

(x : acos9, y : bsin9) , où a et b sont deux réels non nuls et où le paramètre 6
décrit IR. Montrer que la. droite (D) d'équation y : mx +m' rencontre (% ) en
un point unique si et seulement si il existe x E IR tel que

x mx+m'
_2+( 2 ) :]
a la

x mx+m'
--2+m 2 =()
a b

En déduire que, dans ce cas, (D) est tangente à (% ) .

I.C.2) En se ramenant àla question précédente, montrer que, si dans @ une

droite coupe une ellipse en un seul point, elle lui est tangente. Est-ce encore 
le
cas pour une parabole ? Pour une hyperbole ?

I.C.3) Montrer que les droites d'équation x + y = R et --x + y = R sont tan-

gentes à (E) en des points que l'on précisera. Tracer soigneusement (C) et (E) ,
ainsi que ces deux droites.

I.D - On considère l'arc paramétré défini par :

------> 1--t2--.--> 2t --.>
OM(t)= 2 i+ 2] ,avectElR.
l+t 1+t

Montrer que l'on définit ainsi une bijection de IR sur une partie (y) de (C) que
l'on précisera. Si t est réel, on dira que t est le paramètre du point M (t) .

LE - Soit t et u deux réels. Montrer que (1 -- p)x + sy --R(1 + p) = O est une 
équa-
tion dela droite (M(t)M(u)) , si l'on a posé s : t+ u et p = tu.

Si t = u , la notation (M (t)M (u)) désignera cette fois la tangente en M (t) à 
(y).
On admettra sans le vérifier que l'équation trouvée convient encore dans ce cas.

LF -'

I. F. 1) Soit M un point de (y) , de paramètre t. Montrer que, sauf dans un cas
particulier a préciser, son symétrique orthogonal M par rapport à (0; j -->) 
est un
point de (y) , en exprimer le paramètre, notét

Si A0 désigne le point de coordonnées (R, 212) , montrer que, lorsque t# 1 , la
droite (ADM ) recoupe (y) au point de paramètre --1----t (on pourra utiliser les
résultats de LE).

I.F.2)

Dans le cas particulier où tv: 1 et u= ,on pose toujours 8 _ t--+ u et p-- _ tu.

l--t
Montrer que la droite (M(t)M(u)) est tangenteà (E) (on pourra exprimer
(p + 1)s en fonction de p seulement et utiliser les resultats de I. C. 2. ).

LFB) En utilisant les questions qui précèdent, montrer que, si un point A de
(C) est distinct des points A1 , A2 et A3 définis dans le préambule, alors une
construction géométrique simple, que l'on détaillera, permet de construire deux
autres points A' et A" de (C) tels que les côtés du triangle AA'A" soient tan-
gents à (E) . Étudier le cas des points A,- pour i E {l, 2, 3} .

LG - Récapituler les résultats de cette partie à l'aide d'une figure.

Partie II - Correspondances algébriques

Soit P une application de IR2 dans IR de la forme

(x, y) l--> P(x, y) : ul, 1x2 + 2u1'2xy + u2'2y2 + v]x + v2y + w
où les coefficients ui, ]- , ,
On lui aSsocie la relation % définie sur (y) x (y) par

M(t)ÆM...) @ P(s, p) = 0

v,- et w sont des réels.

où l'on a posé 3 : t+ u et p = tu . On dira que % est une 2-correspondance si
ul ] , ul 2 et u2 2 ne sont pas tous les trois nuls, et une 1-correspondance si
"1,1 : u1',2 : u2,2 : O,ma1s v1 et v2 non tous nuls.

II.A - Exemple de 1- correspondance

Soit A un point donné de @, différent de A3. Montrer que la relation sur
(y)x(y) définie par M(t)ÆM(u)©AE(M(t)M(u)) est une l-correspondance.
Donner un exemple simple de 1- correspondance qui ne soit pas de cette forme.

II.B - Exemple de 2- correspondance
Soit (F) le cercle de centre Q de coordonnées (or, 0) et de rayon r, r > 0 
donnés.

II.B.1) Si (D) est la droite d'équation ax + by : c, avec (a, b) :: (0,0), 
donner
une expression du carré de la distance de 9 à (D) , noté d2(Q, D) .

II.B.2) En déduire que, si t et u sont des réels, la droite (M(t)M(u)) est tan-
gente à (F) si et seulement si

22

((R +d)2--r2)p2--r s +2(R2+r2

--oz2)p+(R----or)2----r2 : 0

puis que cela définit ici une 2- correspondance.

II.C - Si % est une 1- correspondance, montrer que l'ensemble des tE IR tels
que" M (t)% M (t) est fini (ou vide). Montrer que cette propriété tombe en 
défaut
pour une 2-- correspondance et une seule.

Pour fournir certains des exemples demandés dans la partie qui suit,
les candidats pourront mettre à profit l'exemple II.B en choisissant de
façon adéquate le cercle (F) .

Partie III - L'alternative de Poncelet

Le but de cette partie est l'étude de l'existence, étant donné une 2- cor-
respondance % vérifiant quelques propriétés supplémentaires, de
paramètres réels (distincts ou non) 1t1 , t2, t3 et ::4 fermant un 4-cycle
pour 9? , c'est-à-dire tels que M(zt,-)9YM(t,+ ]) pour 1 sis 3 et
M(t,,)%M(t,).

III.A - Comment interpréter géométriquement un 4- cycle dans le cas où % est
la 2-- correspondance définie à la question II.B.2 ? Montrer par un choix de (F)
qu'il peut y avoir une infinité de solutions, et qu'il peut n'y avoir aucune 
solution.

III.B '-
Pour tE IR , on pose

t
t
1

V(t) :

III.B.1) --t etu étant réels, à quelle condition la famille {V(t), V(u)} 
est-elle liée
dans 133 ?

III.B.2) Soit P , Q, R E IR2[X] ; on pose :
P(t) 3
W(t) : Q(t) EUR IR
R(t)

Montrer qu'il existe % E% 3(1R) unique telle que W(t) : MV(t) pour tout
réel t.

III.B.3) Caractériser à l'aide de % la liberté de la famille {P,Q,R} dans
l'espace vectoriel IR[X ]. En déduire que si {P, Q, R} est libre, alors la 
famille
{W(t), W(u)} est libre si et seulement si t: u .

III.BA)

a) On suppose, jusqu'à la fin de ce III.B, que {P, Q, R} est de rang 2.

Montrer que % admet 0 comme valeur propre et en déduire qu'il existe trois
réels a , b , 0 tels que

2 2
at u
{W(t),W(u)} liée © 19 t u = O.

011

b) Montrer que ce déterminant est égal à (t--u)(a--bs+cp), avec 3 = t+ u et
p = tu.

Établir alors le résultat suivant, vrai sauf pour des valeurs particulières de
(a, b, c) que l'on mettra en évidence :

Il existe une 1- correspondance @@ telle que, chaque fois que les réels t
et u vérifient M(t)9YOM(u) , la famille {W(t), W(u)} est liée.

III.C - On considère une 2-- correspondance de la forme
4M(t)ÆM(u) @ P(s,p) : Ap2+ 23p8 + C32+ 2Dp + 2Es +F : 0

où A , B et C sont des réels non tous nuls, D , E et F des réels, et où p et s
désignent encore tu et t+ u .

III.C.1) Écrire P(s, p) sous la forme Pl(t)u2 + 2P2(t)u +P3(t), où Pl , P2 et P3
sont dans ]R2[X ].

Exemple 1. Lorsque P(s, p) = 32 -- 4 p , déterminer P 1 , P2 et P3 ainsi que le 
rang
de la famille {P1, P2, P3}.

Exemple 2. On considère, pour ce seul exemple, deux réels ou et [5 strictement
positifs tels que o2 + {52 = R2 et on pose P(s, p) : a2(1 --p)2 + {5232 -- R2(1 
+ p)2 = 0 .
Montrer que {P1, P2, P3} vérifie les hypothèses du III.B.4-a) puis déterminer la
1- correspondance définie comme dans le III.B.4-b).

III.C.2)

Montrer que si, pour u2 EUR IR, l'équation en u : P1(u2)u2 + 2P2(u2)u +P3(u2) : 
0
possède deux solutions réelles (distinctes ou non) ul et u3 , alors on a
M(ul)%M(u2) et M(u2)%M(u3) .

III.C.3)

a) On pose A(t) = Pâ(t) --Pl(t)P3(t).

Montrer, par un exemple, qu'il est possible que Vt EUR IR, A(t) < 0 , ou que 
A(t) < 0
sauf en un point. Que penser dans chacun de ces cas de l'existence de 4- cycles 
?

On suppose maintenant qu'il existe tOEIR, supposé choisi, tel que

A(t0) > 0 . On suppose en outre que P1(to) : 0 (ce qui, en fait, ne restreint
nullement la généralité recherchée).

b) Montrer qu'il existe alors un intervalle ouvert non vide {fo en tout point
duquel A(t) >0 et Pl(t) :=0.

c) En conclure que si la famille {P1, P2, P3} est libre, il n'existe aucun 4-- 
cycle
formé de paramètres distincts.

d) Si la famille {Pv P2, P3} est de rang 2, montrer qu'il existe une 1- corres-
pondance 9Y0 telle que, chaque fois que l'on a L'l Efi, et M (t1)<% 0M(t2), il
existe u] et u2 tels que af:1 , u1 , t2 , u2 soit un 4- cycle. Peut-on alors 
faire en sorte
que ces quatre paramètres soient distincts ?

III.C.4)

a) Dans le cas de l'exemple de II_.B, montrer que l'hypothèse du III.B.4-a) 
quant
au rang de {P, Q, R} équivaut à

(R2 _ oc2)((R2 _ a2)2 _ 2r2(R2 + a2)) = 0 .

b) Que signifie la condition R2--a2 : 0 ? Indiquer une construction géométri-
que de 4-- cycles dans le cas où elle est vérifiée. Prouver géométriquement que
cette construction convient.

ooo FIN ooo

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 2 PC 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Hicham Qasmi (ENS Lyon) ; il a été relu par Benoît
Chevalier (ENS Ulm) et David Lecomte (Professeur en CPGE).

L'épreuve se compose de trois parties interdépendantes.
· La première partie étudie l'ensemble des cordes d'un cercle (C) donné qui sont
tangentes à une ellipse (E) située à l'intérieur de celui-ci. Le but est 
notamment
de prouver qu'il existe une infinité de triangles inscrits dans (C) et dont les 
trois
cotés sont tangents à (E). Une méthode de construction de tels triangles est
également mise au point.
· Dans la deuxième partie, une certaine classe de relations symétriques définies
sur presque tous les points du cercle (C) est introduite : les correspondances
algébriques de degré 1 et 2. Deux exemples de correspondances algébriques
sont analysés. Le caractère réflexif de telles correspondances est aussi 
envisagé.
· Enfin, dans la troisième partie, une propriété particulière des 
correspondances
algébriques est mise en avant : l'existence et la nature des 4-cycles. Cette 
étude
permet au final de démontrer le grand théorème de Poncelet pour deux cercles.
Le sujet est de difficulté moyenne, mais sa longueur est redoutable. Il fait 
appel à des notions élémentaires de géométrie analytique : droites, cercles et 
coniques.
Des outils d'algèbre linéaire en dimension finie sont aussi utilisés : rang, 
liberté d'une
famille de vecteurs et polynômes. En résumé, c'est un sujet complet, excellent 
pour
des révisions de géométrie.

Indications
Partie I
I.B Écrire la condition pour qu'un point soit à l'intérieur ou à l'extérieur 
d'un
cercle donné.
I.C.1 Former une équation du second degré dont x est solution, puis considérer
le discriminant réduit.
I.C.2 Que vaut la pente de la tangente à (E ) au point d'intersection avec (D) ?
I.C.3 Trouver les paramètres m et m pour chacune des deux droites considérées,
puis utiliser le résultat de la question précédente.
I.D Reconnaître le changement de variable de « l'arctangente moitié ».
--
b Ensuite, pour trouver le paramètre
I.F.1 Calculer l'ordonnée du vecteur MM.
b avec (), comparer les équations des
de la deuxième intersection de (A0 M)
[ en utilisant le résultat de la question
droites (M(t)M(1/(1-t))) et (A0 M(t))
précédente.
I.F.2 Exprimer p en fonction de t, puis (p + 1)s en fonction de p pour vérifier
que (M(t)M(u)) satisfait I.C.1 . Conclure à l'aide du résultat de la question 
I.C.2 .
I.F.3 Considérer, pour un point de () de paramètre t, le symétrique orthogonal

du point de paramètre (1/(1 - t)) par rapport à (O, -
 ).
Partie II
II.A Utiliser le résultat de la question I.E .
II.B.2 Utiliser le résultat de la question I.E et celui de la question 
précédente.
II.C Étudier le nombre de racines de l'équation P(2t, t2 ) = 0.
Partie III
III.A Que dire du quadrilatère M(t1 )M(t2 )M(t3 )M(t4 ) ? Pour un choix de (),
penser à la question I.E et au cas où (C) et  sont concentriques.
III.B.3 Appliquer le résultat de la question précédente.
III.B.4.a S'intéresser à la liberté de la famille {Z, V(t), V(u)} pour un 
vecteur Z du
noyau de A , et utiliser le résultat de la question III.B.1 .
III.B.4.b La question précédente permet de prouver le résultat.
III.C.1 Pour chaque exemple, former la matrice A correspondante. Pour l'exemple 
2, exploiter le résultat de la question précédente.
III.C.3.a S'inspirer de la question II.B pour construire un exemple. Relier 
ensuite
la nature et le nombre de solutions de l'équation quadratique de la question 
III.C.2 à l'existence de 4-cycles.
III.C.3.c Étudier, lorsque (t1 , t2 , t3 , t4 ) est un 4-cycle, les racines des 
deux polynômes
suivants : P1 (t1 )X2 + 2P2 (t1 )X + P3 (t1 ) et P1 (t3 )X2 + 2P2 (t3 )X + P3 
(t3 ).
III.C.3.d Utiliser les questions III.C.2 et III.C.3.b .
III.C.4.a Calculer le déterminant de la matrice A associée à {P, Q, R}.
III.C.4.b Exploiter la symétrie par rapport à l'axe des abscisses.

I. Un Exemple Pratique
I.A L'équation de la courbe (E) fait apparaître le terme (5y 2 - 4Ry) qui peut 
être
vu comme le début d'un carré. En effet,

2
2
4
5 y - R = 5y 2 - 4Ry + R2
5
5
donc l'équation de la courbe est équivalente à

2
4
2
4x2 + 5 y - R = R2
5
5
2

2
y- R
x2
5

2 +  2 = 1
R
2R

5
5

ou encore à

où l'on reconnaît l'équation d'une ellipse du plan.
(E) est une ellipse dont les coordonnées du centre sont (0; 2R/5) et
dont les axes des symétries ont pour équations x = 0 et y = 2R/5.
I.B Soit f la fonction réelle définie sur R2 par
(x, y)  R

f (x, y) = (4x2 + 5y 2 - 4Ry) - 4(x2 + y 2 - R2 )

Si l'on simplifie f (x, y), on obtient
f (x, y) = y 2 - 4Ry + 4R2
= (y - 2R)2
donc

(x, y)  R2

f (x, y) > 0

Considérons un point M0 appartenant à (E) et notons (x0 , y0 ) ses coordonnées.
D'après le résultat de la question précédente, on a
f (x0 , y0 ) > 0
Or,

4x0 2 + 5y0 2 - 4Ry0 = 0

donc

-4(x0 2 + y0 2 - R2 ) > 0

aussi

car M0  (E)

x0 2 + y0 2 6 R2

La distance de l'origine O au point M est alors inférieure à R ; en 
conséquence, M0
est situé à l'intérieur du cercle (C). Or, M0 est un point arbitraire, donc
L'ellipse (E) est située dans le disque délimité par (C).

I.C.1 (D) et (E ) se rencontrent en un unique point si et seulement si le 
système
d'inconnues (x, y)
 2
2
 x +y =1
a2
b2

mx + m = y
admet une unique solution. Il vient alors que

2
 2
 1 = x + (mx + m )
a2
b2

y = mx + m

2

2
 0 = 1 + m x2 + 2 mm x + m - 1
a2
b2
b2
b2
ce qui équivaut à

y = mx + m

La première équation est un trinôme du second degré puisque le coefficient 
dominant
à savoir 1/a2 + m2 /b2 n'est pas nul. On sait qu'il admet une unique racine x 
si et
seulement si son discriminant réduit  est nul. Ce dernier vaut

2 
  2

mm
1
m2
m
1 m2
m2
 =
-
+
-
1
=
-
-
1
+ 2
2
2
2
2
2
2
b
a
b
b
a
b
b
La solution unique correspondant à  nul vérifie alors
1
mm
x=- 2
b
1
m2
+
a2
b2
m2
mm
x
d'où
0 = 2 + 2 x+ 2
a
b
b
mx + m
x
puis
0 = 2 +m
a
b2
Ainsi, si (D) et (E ) se rencontrent en un unique point, alors il existe un 
réel x tel que
 2
x
(mx + m )2

=1
 2 +
a
b2

 x + m mx + m = 0
a2
b2
Réciproquement, s'il existe un réel x0 solution de ce système d'équations, 
alors x0
est une solution de la première équation quadratique. Précisément,

mm
1
  {-1, 1}
x0 = - 2
+  
2
b
1
m
+ 2
2
a
b
Or, x0 vérifie la deuxième équation, d'où
mm
1
x0 = - 2
b
1
m2
+ 2
2
a
b
Par conséquent,  est nul. Ainsi, x0 est l'unique solution du système et le 
point de
coordonnées (x0 , mx0 + m ) est l'unique intersection de (D) et (E ).
Appelons M0 ce point d'intersection. Une équation de la tangente TM0 à (E )
en M0 est
x0 x y0 y
+ 2 =1
a2
b
Comme TM0 et (D) passent par le même point M0 , il suffit de montrer que ces 
droites
ont la même pente pour prouver qu'elles coïncident.