Centrale Maths 2 PC 2004

Thème de l'épreuve Étude de coniques dans le plan
Principaux outils utilisés coniques, courbes paramétrées, algèbre linéaire, dualité, déterminants, polynômes

Corrigé

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@@ Ë... __ oe...50Ç<ËEË ë...ä...

ËQN oÆmQ:OE - ÆOEËOEQ mÈPËeQ

' \ , . . . 2 .
Dans tout le probleme, P des1gne le plan affine euchd1en IR mun1àde> son pro-
duit scalaire canonique, de son repère orthonormé canonique (O ; i, j) de son
orientation canonique et de son repère polaire canonique.

On appellera conique toute partie % (vide ou non) de P ayant une équation de
la forme

{M cos26 ; 6 +--> sin26 ; EUR) +--> cos9 ;6 
l----> sin8 ;
() |----> 1 de IR vers IR forment une famille libre dans l'espace des fonctions 
numé--
riques définies sur IR.

1.2) Soit un cercle quelconque du plan P , que l'on supposera de rayon p > 0 .
Montrer que si le cercle est inclus dans la conique %(A, B, C, D, E, F) , alors 
A = C
et B = 0 . Réciproquement, que peut-on dire d'une conique % satisfaisant aux quatre
conditions:

MOE? E=o
A=C F=0

II.A -

II.A.1) Montrer que le seul élément, noté (gl) , de %1 qui soit un cercle a pour
, . 2 * 2 2
equat10n xO(X + Y )--(x0+y0)X : 0.

Montrer que (gl) est tangent à l'axe Oy et indiquer une construction géomé-
trique de son centre.

II.A.2) Montrer qu'il existe un seul élément, noté (YË2) , de gl qui ait une
équation de la forme BXY + CX : 0 . En indiquer une caractérisation géométri-
que.

II.A.3) Déterminer (%1) n (%2) . En discuter le nombre d'éléments. En
déduire l'ensemble des points communs à tous les éléments de %1 .

II.B - On appelle cp l'application de F dans P qui, au point M de coordonnées
polaires (p, 6) , tel que p :O et que pour tout entier relatif k , 6 == (2k + 
1)n/2,

associe M ' de coordonnées polaires (ptan6,%E -- EUR) .

II.B.1) Montrer que cette définition de cp(M ) est cohérente, c'est-à-dire 
qu'elle
ne dépend pas du choix de (p, 8) parmi les coordonnées polaires possibles du
point M . Montrer que cp(Mo) appartient à toutes les coniques de 51 .En déduire
une construction géométrique de cp(M0) à l'aide d'un cercle et d'une droite.

II.B.2) Pour MEP' , quand a-t-on cp(M) E P' ? Que dire alors de cp o cp(M) ?
II.B.3) On appelle y la courbe d'équation polaire

6EUR]--%;%[ i-->p : 2asin6,0ùa>0 estdonné.

Reconnaître y ; déterminer une représentation polaire de la courbe y' : cp(y) ;
étudier et tracer cette courbe, avec justifications.

II.C - Dans cette question, MO(xO, yo) est un point de P' tel que le] := | y0' 
et on lui
associe M6 : cp(M0) comme ci-dessus.

II.C.D

a) Montrer que, quel que soit le couple &, M de réels non tous nuls, il existe 
un

unique réel \! , que l'on calculera, tel que la conique (%...,) d'équation
X(X2+Y2)+2uXY+VX : 0 appartienne à %1 .

b) Lorsque IM == |M| , montrer que ('ÎËN l,) a un centre Qk, " dont on 
déterminera
les coordonnées. [Pour ce faire, il est possible d'effectuer une translation 
arbi-
traire de l'origine du repère puis de faire en sorte que la nouvelle origine 
devienne
centre de symétrie de la conique (%À, M) .]

II.C.2) Le point Mo restant fixé, montrer que tous les points Q,, u (où IM : 
|... )
appartiennent àla conique I' d'équation
2 2

x +
X2--Y2-- () yo
2x0

X+yOY : 0.

En déterminer le genre, le centre, les sommets et les axes.

II.C.3) Déterminer les intersections de F avec les droites Ox, Oy , OMG, OMÔ
et MOMÔ . On trouvera en général six points en tout, pour lesquels le centre de
F joue un rôle particulier que l'on mettra en évidence.

II.C.4) Faire une figure d'ensemble.

II.C.5) Étudier et représenter (fil, 1) et (%1,_1) . On réalisera la figure en 
pre--
nant. x0 = 2 , yo : 1 . Que remarque-t-on quant à leurs axes ?

On identifiera pour la suite du problème les espaces vectoriels euclidiens

. 2 . .
canoniques IR et C . On dés1gnera par t le complexe de module 1 et d'argument 
Tt/ 2 .

Partie III -

On admet que le déterminant de Vandermonde

1 2 3
23 23 23
2 3

en les complexes 21 , 22, 23 , 24 est nul si, et seulement si, deux au moins 
des Zi
sont égaux.

Dans cette partie et la suivante, on étudie un problème analogue à celui de la 
pre-
mière, mais par une méthode sensiblement différente.

III.A - On s'intéresse à l'ensemble %2 des parties de IR2 ayant une équation de
la forme Aäz + B(z2 + 22) + Üz + Câ + D = 0 où les réels A , B , D et le 
complexe C
ne sont pas tous les quatre nuls, et qui contiennent trois points M1 , M 2 , M 
3 non
alignés donnés, d'affixes respectifs 21 , 22 , 23 .

III.A.1) Vérifier que les éléments %2 sont bien des coniques et donner une pro-
priété commune de leurs axes.

III.A.2) Pour 24 donné dans C , on définit les matrices

22 Z Z Z Z
__ 22 2 2 2 2 _ _
%-- et %_ 22 221

_ 23 23 1
2424 z4+z4 24 24 1

a) Établir que la matrice % est inversible. Quelle conclusion peut--on en tirer
quant au rang de % ?

b) On définit le IR --espace vectoriel E : IR x IR x @ x IR . En donner la 
dimension.
Montrer que

S = {(A,B,C,D)EE,Vie{1,2,3},AZ,z,+B(zÏ+z--iz)+cîi+ôzi+o:o}

est un sous-espace vectoriel de E et en donner la dimension.

c) Montrer que le point M 4 d'affixe 24 appartient à toutes les coniques 
éléments
de gg si, et seulement si, le rang de % est égal à 3 . [Pour la condition néces-
saire, on pourra faire intervenir un système linéaire bien choisi.]

III.B - On suppose dans cette question que les complexes 21 , 22 , z3 sont égaux
respectivement à aexp(i91), aexp(i92) et aexp(i83) , où a > 0 et 61, 92 , 63 
sont des
réels.

III.B.1) Montrer qu'il existe un unique cercle dans %2 et que si le point M 4
d'affixe z4 appartient à toutes les coniques éléments de êâ2, alors 24 est de la
forme aexp(i64) .

III.B.2) Soit le déterminant

2 4 4 3

22 24 + a4 23 2
g = 2 2 2 2
2 4 4 3
23 23 + a 23 23
2 4 4 3
24 24 + a 24 24
Montrer que @ est de la forme (21222324 --a4) % , où % s'exprime très sim-
plement à l'aide de V(21a22»23»24) .
III.B.3) Montrer que la condition énoncée en III.A.2-c) est équivalente àla nul-
lité de @ .

III.B.4)

a) En déduire l'ensemble des points communs aux coniques de %2_ Discuter
soigneusement le nombre d'éléments de cet ensemble.

b) Lorsque ce nombre est égal à 4 , que peut-on dire des directions des 
biseectri-
ces du couple de droites (M 1M2, M 3 M 4) ?

III.C -

III.C.1) Généraliser les résultats de III.B.4 au cas où l'on ne fait plus 
l'hypo--
thèse III.B. [On montrera comment on peut se ramener à ce cas.]

III.C.2) Soit trois points A , B , C non alignés dans P et (A) une droite. Par 
A ,
resp - B , resp - C , on mène la parallèle à la symétrique de la droite BC , 
resp - CA ,
resp - AB , par rapport à (A) . Montrer que ces trois droites concourent. [On
pourra commencer par le cas où (A) est l'axe Ox ; dans ce cas, il suffit 
d'utiliser
les résultats de la partie III.]

Partie IV -

On considère dans cette partie des équations de la forme
Âz2+Az_2+Ëz+Bä--+C :O (1)
où A := 0 et B sont deux complexes et C un réel.

IV.A-

IV.A.1) Soit 8 un réel et (I) l'application de C dans C qui à z associe z 
exp(i6).
Montrer que, si ( F) C P a une équation de la forme (1), alors on peut choisir 6
pour que CD(F) ait une équation de la forme

A'

?
où l'on ait de plus A' E IR+* .

(22+z--2)+Ë--'2+B'2_+C'= 0

IV.A.2) En déduire la nature d'une telle partie (F) de P. [On pourra revenir en
coordonnées cartésiennes.]

IV.B - Soit trois points M1 , M 2, M 3 non alignés donnés, d'affixes respectifs 
21 ,
22, 23 . On appelle CCË3 l'ensemble des coniques de P contenant ces trois points
et ayant une équation de la forme (1). Soit M 4 un point de P , d'affixe z4 . 
Mon-
trer que toutes les coniques de êÛ3 passent par M 4 si, et seulement si, le rang
de la matrice

est égal à une valeur que l'on précisera.
IV.C - Dans cette question, on suppose que de plus 21 , 22 et 23 sont de même
module a > 0 et ont a3 pour produit.

IV.C.1) Déterminer deux complexes u et v tels que 21 , 22 et 23 soient solu--
tions de Z3 --uZ2 + vZ--a3 : O.

IV.C.2) En déduire des complexes (1, a' , [3 , |3' tels que 21 , 22 et 23 
soient solu-
tions de

H,(Z) : Z2+aZ+B--aË : o
H2(Z) : Z+a'+B'Ë--âZ2 : o

IV.C.3) Grâce à des combinaisons linéaires bien choisies sur les rangées de
%' , montrer que toutes coniques de êâ3 passent par M 4 si, et seulement si,

H1(24) : H2(Z4) : 0 (2)

IV.C.4)

&) Montrer qu'il existe un polynôme m(Z ) à coefficients complexes, de degré 4,
tel que (2) implique m(z4)_ -- 0 ,on donnera d'un tel polynôme les coefficients 
en
Z4 et en Z3 ,en fonction de a, u et 0.

b) Déterminer les zéros de ur en en discutant la multiplicité. [On remarquera
que trois zéros de m sont déjà connus.] On ne demande pas de vérifier qu'inver--
sement tous les complexes obtenus vérifient (2).

IV.C.5) On choisit z4' : 21 +22 + 23 .

a) Détermmer la valeur du produit scala1re (M1M4, M 2M 3) . [On pourra zntro-
duit le produit (24 --zl)(z3 --z2) .]

b) Que représente M 4 pour le triangle M1M2M3 '?

IV.D - Généraliser les résultats de IV.C.5-b) au cas où l'on ne fait plus 
l'hypo-
thèse du NC.

000 FIN ooo

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 2 PC 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Hicham Qasmi (ENS Lyon) ; il a été relu par Aurélien
Alvarez (ENS Lyon) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE).

Ce sujet traite des coniques de R2 et de leurs applications pour prouver 
certains
théorèmes en géométrie. Il porte essentiellement sur l'étude des points communs 
à
certains ensembles de coniques. Il est constitué d'un préliminaire et de trois 
parties
indépendantes.
· La première partie permet d'établir quelques résultats simples qui sont utiles
dans la deuxième partie. Elle fait appel à des notions de base, en algèbre 
linéaire
et sur les coniques.
· La deuxième porte sur l'étude de certaines coniques ainsi que de leurs points
fixes. Elle est longue, assez calculatoire et technique.
· La troisième étudie également les points communs à certaines coniques,
mais par une autre méthode, plus algébrique, en utilisant les nombres 
complexes, les déterminants de matrices et la dualité.
· Enfin, la quatrième partie démontre un théorème de géométrie en introduisant
un ensemble judicieux de coniques dont on réalise l'étude algébrique.
Dans l'ensemble, le sujet est très long et assez difficile. Il présente le fort 
intérêt
d'être un sujet de géométrie très complet car il fait appel à des notions 
variées :
l'étude des courbes paramétrées et la réduction des coniques pour ce qui est 
des outils
de géométrie ; les déterminants, la dualité et les polynômes pour les outils 
algébriques.

Indications
Partie I
I.2 Introduire une représentation paramétrique du cercle.
Partie II
II.A.3 Raisonner sur
T une équation cartésienne d'une conique de E3 pour relier
C1  C2 à
C.
C E1

II.B.1 Utiliser les coordonnées cartésiennes pour montrer que  est bien définie.

II.C.1.b Que dire d'une conique dont l'équation ne présente pas de partie 
linéaire ?
Partie III
1 x1 y1
III.A.2.a Montrer et utiliser le fait que 1 x2 y2 6= 0.
1 x3 y3
III.A.2.b On peut considérer S comme l'intersection de trois hyperplans.
III.A.2.c Associer à M4 un hyperplan judicieusement choisi.
III.B.2 Garder à l'esprit que le déterminant est une forme multilinéaire 
alternée.
III.B.4.a Utiliser les questions III.A.2.c et III.B.3.
III.B.4.b Trouver des vecteurs directeurs simples des bissectrices du couple de 
droites
((M1 M2 ), (M3 M4 )).
III.C.1 Penser à changer de repère.
III.C.2 On pourra montrer que la droite (BC) et la parallèlle passant par A qui 
lui
est associée constituent une conique appartenant à E2 .
Partie IV
IV.B S'inspirer de la question III.A.2.c et introduire des hyperplans adaptés.
IV.C.2 On peut écrire que a3 = az¯i zi .
IV.C.4.a Combiner les fonctions H1 et H2 .
IV.C.4.b M4 peut-il être confondu avec M1 ou M2 ou M3 ?
IV.D Introduire un nouveau repère bien choisi.

Partie I
I.1 L'ensemble des fonctions réelles définies sur R est un espace vectoriel 
réel.
Soit (a, b, c, d, e) un quintuplet de réels vérifiant
  R

a + b cos  + c cos 2 + d sin  + e sin 2 = 0.

En évaluant pour certaines valeurs de  cette identité fonctionnelle, on obtient
un système linéaire d'équations satisfait par (a, b, c, d, e) :

a + b + c = 0 pour  = 0

a - b + c = 0 pour  = 
a
- c + d = 0 pour  = /2

a - c - d = 0 pour  = 3/2

En retranchant la deuxième équation à la première et la quatrième à la 
troisième,
on obtient le système équivalent

a+b+c=0

a-b-c=0
2b = 0

2d = 0
Puis si l'on somme les deux premières équations, il vient

a+c = 0

2a = 0
2b = 0

2d = 0
Finalement,

a=b=c=d=e=0

La famille de fonctions considérées est donc libre.
I.2 Soit D le cercle de P de centre (;) , de rayon  strictement positif. 
Montrons
que si D est inclus dans C(A,B,C,D,E) , alors A = C et B = 0.
Une représentation paramétrique de D est

X() =  cos  + 
  R
Y() =  sin  + 
Par hypothèse D est inclus dans C(A,B,C,D,E) donc pour tout réel 

avec

Or,

A2 cos2  + B2 sin  cos  + C2 sin2  + D  cos  + E  sin  + F = 0
 
 D = 2A + B + D
E = 2C + B + E
 
F = A2 + B + C 2 + D + E + F

 sin 2 = 2 sin  cos 
2 cos2  = 1 + cos 2
  R

2 sin2  = 1 - cos 2

de sorte que, pour tout réel ,

A-C
B
A+C
2 cos 2 + 2 sin 2 + D  cos  + E  sin  + F +
2 = 0
2
2
2

D'après la question précédente, les fonctions  7- cos 2,  7- sin 2,  7- cos ,
 7- sin  et  7- 1 sont linéairement indépendantes, donc

A-C = 0

B=0

D = 0

E = 0

 F + A + C 2 = 0
2
où l'on a utilisé le fait que  est non nul. On a bien
A=C

et B = 0

Réciproquement, soit A non nul et une conique de la forme C(A,0,A,D,E,F) .
M  C(A,0,A,D,E,F)  AX2 + AY2 + DX + EY + F = 0
2

2

E
D2 + E2
D
 A X +
+A Y+
+F-
=0
2A
2A
4A

2

2
D
E
D2 + E2
 A2 X +
+ A2 Y +
+ AF -
=0
2A
2A
4
où l'on a utilisé le fait que A est non nul.
· Si 4AF > D2 + E2 , alors C(A,0,A,D,E,F) = .
· Si 4AF 6 D2 + E2 , alors C(A,0,A,D,E,F) est le cercle de centre (-D/2A; -E/2A)
r
D2 + E2 - 4AF
de rayon  =
.
4A2
Une conique de la forme C(A,0,A,D,E,F) est soit un cercle soit l'ensemble vide.