Centrale Maths 2 PC 2002

Thme de l'preuve Produit vectoriel de R4 R4 dans R6 ; recherche de plans stables par un endomorphisme
Principaux outils utiliss espaces euclidiens, produit vectoriel, dterminants, rduction des endomorphismes
Mots clefs rn, plan stable, dterminant

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrig

(tlcharger le PDF)

nonc complet

(tlcharger le PDF)

Rapport du jury

(tlcharger le PDF)

nonc obtenu par reconnaissance optique des caractres


MA Sujets 2002:Bon  tirerzPC Math ]] 27 .9.01--l version du 26 mars 2002 16:44

Oo:oo:OE GOE:OE - OE:bmOEo NN

...e z>mz>..._ocmoe =

Hm vc &: .cwm mme ...: amo--535... %...m 5--55m mG--oem 53. 55 mB5--555-
55985... 55 ....m--mcfl m $... m...% m05...... 
...555...m % 55: 55553 mom--555
n55o555oe 9... ooe5oe ......m ...OE5- Umoe o5o555oe...
. 55 mw5oe cm...- A......... ......v 05 : . ...... :... ...5.o5 mo...oe 
%... aoe5x  ?... ......a5  :Aoe...V
......Aoe...v " :Aoe...v > :L
...A......V H : > :Aoe...v

--.> . U55m ooe$oe @5oeoeao5 o5 85mE@ ...moe m5@oooeoeoe :...... :... m 
oM\U ... moe
5...oefi-oeoe ....oeoe5oeo ......V " :C3 > 
:C. o5fi-oew

l

as...... m... ...... 55m o... <9-oe <... mm...... &: > ......V " :C3 > 
:C...... ... ES.m ...... n :.

....O - UOE.555OE. m.......

m.... : m.... ...... mo5_... aoe5m oM\Q ... Bo5fi.OE- @5oe :M...... n ... 
on...... .

m... : mm__... ...5 - mo? : am5m oM\U @@ ...... " <... 55 5--55 m...oe oe.... : .

o5fiw 55m : > ...... mm_...  ...... @ ......moe aoe :_...o.

=.w - ...5 ...... n ... 
.

...umoe ...\oe

MA Sujets 2002:Bon  tirerzPC Math ]] 27 .9.01--l version du 26 mars 2002 16:44

Oo:oo:OE GOE:OE - OE:bmOEo NN

...e z>mz>..._ocmoe =

Hm vc &: .cwm mme ...: amo--535... %...m 5--55m mG--oem 53. 55 mB5--555-
55985... 55 ....m--mcfl m $... m...% m05...... 
...555...m % 55: 55553 mom--555
n55o555oe 9... ooe5oe ......m ...OE5- Umoe o5o555oe...
. 55 mw5oe cm...- A......... ......v 05 : . ...... :... ...5.o5 mo...oe 
%... aoe5x  ?... ......a5  :Aoe...V
......Aoe...v " :Aoe...v > :L
...A......V H : > :Aoe...v

--.> . U55m ooe$oe @5oeoeao5 o5 85mE@ ...moe m5@oooeoeoe :...... :... m 
oM\U ... moe
5...oefi-oeoe ....oeoe5oeo ......V " :C3 > 
:C. o5fi-oew

l

as...... m... ...... 55m o... <9-oe <... mm...... &: > ......V " :C3 > 
:C...... ... ES.m ...... n :.

....O - UOE.555OE. m.......

m.... : m.... ...... mo5_... aoe5m oM\Q ... Bo5fi.OE- @5oe :M...... n ... 
on...... .

m... : mm__... ...5 - mo? : am5m oM\U @@ ...... " <... 55 5--55 m...oe oe.... : .

o5fiw 55m : > ...... mm_...  ...... @ ......moe aoe :_...o.

=.w - ...5 ...... n ... 
.

...umoe ...\oe

MA Sujets 2002:Bon  tirerzPC Math ]] 27 .9.01--l version du 26 mars 2002 16:44

Oo:oo:OE GOE:OE - OE:bmOEo NN

...e z>mz>..._ocmoe =

Hm vc &: .cwm mme ...: amo--535... %...m 5--55m mG--oem 53. 55 mB5--555-
55985... 55 ....m--mcfl m $... m...% m05...... 
...555...m % 55: 55553 mom--555
n55o555oe 9... ooe5oe ......m ...OE5- Umoe o5o555oe...
. 55 mw5oe cm...- A......... ......v 05 : . ...... :... ...5.o5 mo...oe 
%... aoe5x  ?... ......a5  :Aoe...V
......Aoe...v " :Aoe...v > :L
...A......V H : > :Aoe...v

--.> . U55m ooe$oe @5oeoeao5 o5 85mE@ ...moe m5@oooeoeoe :...... :... m 
oM\U ... moe
5...oefi-oeoe ....oeoe5oeo ......V " :C3 > 
:C. o5fi-oew

l

as...... m... ...... 55m o... <9-oe <... mm...... &: > ......V " :C3 > 
:C...... ... ES.m ...... n :.

....O - UOE.555OE. m.......

m.... : m.... ...... mo5_... aoe5m oM\Q ... Bo5fi.OE- @5oe :M...... n ... 
on...... .

m... : mm__... ...5 - mo? : am5m oM\U @@ ...... " <... 55 5--55 m...oe oe.... : .

o5fiw 55m : > ...... mm_...  ...... @ ......moe aoe :_...o.

=.w - ...5 ...... n ... 
.

...umoe ...\oe

@... %

.xNV.X.

QoOEoeoeNoe...... .OEEOE . o u & . . n & . N 25 23 &... m5 & ...N N ...N 
fio . HA...--
. ... " ... x N__ 25 839% mm .oeEoe--Soeoe ... v @@ QoE

-ow moe N=m < @: ...6 ...=w_e | wa: .EE98 "wmv 3 mfi . &... m9... 
oe...mfipoqoflfio fiooe

@; +...

Q oeOEm C... @@ oeE E 28 -oa
. %... ...Moed .m Q d...EOESoe ...5 oe.oeoeomfi :oS%fi8 oe:: 
....oe>:o. - Q.--

. < @@ oeEEoQ
oeoep @ C... u...8> @@ oeEEOE flofifi.5oeoe@ 25 passe...... ... w u % x N @@ 
o u m 6 u w
5 .w u \... X N 98 23 &... mfi... \... ...N. m2 oe53 oe....Eo@ ... o u m ...m 
...EOE $.OAE

.w ... \... x ...... 25 28 &... % > ...N %... 38 %  ou oe % $.o.
@ .mflmoe.--o -N
m3 m58 E˩ ... ... u D @@ 31 o @ @ m my... " N E ...QEoeNOE .O.E...

@ .Q " Gq a...... w ... \...X...... 25 28 %: 93...
N 8... ......sa " m .Q ....  ... % @ ...m ...6 oe % :.o.E

.h " oe

@@ @@ " < 39... flo ... AV oe> @OE m5... w ...oefioeoegoe>fi flow - 
OA...--
A&V @ " AAwV\Q...AWV

oe5v

....ofi ... &... mfi@ ooe %  N- o   X X oeE...  @@ ...@ m... w 
fioOE - m.--=

ww @
... u @@ ......oe ... " QE
J _M

$

oefioe>fiooe%oeu ...oe6o$oe

Il
W

_...
...... v %... mfi...  @@ moe@fi-- mqofioefi_noe m2 @ ...B & ...EoeBoe

.o n % X un 28
oQ Y mfi \... @@ N. oe oeoeoe ....b oehmoeo... flo˩:8 oe... >sP . 
<.--:

QQ ...

.o mfid... &... x %...= % oe3.
V-oe....d .wE...B QEQ oe... oe x 38 :ˮoe2owfi oe:@oe oe... :O
. ...OE % 3...onfi8 ooe> fi5@o. 2 oe ...OE> fi5@o ....oe-OEw oeo

@ ,
... _w < M n %  Wal-wa " < 098 ... fi < ... 803 m3 Q fiw @ @@ .oeoe>

\

_ w @
oeoeoe -mepo_oefl...OEww...w  w_d o @ ... " . T... V " N...m

... ...35m oeEEooe . X M M... moe--u \... ...B N .oQ ...m fin...--@@ GO
. QE |
C...: | ......

...oeo03 Q ...oe..8m mo"... 23 oeooe @@
g g

... ... " QE EUR EUR " GQ... ... JOE % .... H N
.N...x... _...x.

oeoe> ms <

.moe5fi9o moeoe& oe. @ oeo@ oeoeo
m2 flo  oeoe5@Eofl8 moefifioe%flofi moep5aufioe m.oe... @@ m...... p %... 
finsfi :O

.... 35% .... x &...
... ...oe.Q... 353%-- fi oe= ? 2efi....2oeQ - N oe.8

.oe.......
oeoe oe......oe .oeu ...fi % &... @@ oeoe%wuwa 83% m3 q 
moe%fidoe...s
moeoeu @ moe3%dfid ooe ...S.oe .v woe....... @... d...c ooeow 
oe...

.<.... Efimoe5 E @ mOE@ &... @@ ...: p...... :... moefioeE@fifioe M5oe 
m2 Q
moefifioe oeEoe>fiooewoeg mSQ moe oeouoeooep  ...... 3559: 330 SQ< - 
Q.:

. .fifi\uo mfi oe:@:o2oe5OE 3 Q 5Q
do .oe--oe> mEEou @ oeoe...... oeoe...: A%...n oeS...@ : .Q oeoeBoe 
mQ moe-- ....oeo
{Boa .:?E == oeh5w a......-- ....l Q moeEoe wS... %... ...Eooe 3 
....oea 33
.3m mQ m3 ... & _oem.... B .oQ ...oe:v Qo . 3 % oeo .oe> pm @ @m 
oe8
-oeoeoe @@ Jm : @@ oe.o --oe> pm...... o m:@ .OEbo2 . fifi\uo mfi@ : 
fioOE - O.=

.oeoeQ oefioeoe 95% 2528 @@ ....oefiooeoe @@ ...... 3...

308% 2oefi....oflofio ......me oeQ: umoe @  3 25 338382 2.32... QQ . : && mE
-oe poe@ ......8> " ...... oe5d QoE 625: mon pm m ...... oeoooeoe oeo 
.oe> ... ...oe

: mOEDO <...IH <

@... %

.xNV.X.

QoOEoeoeNoe...... .OEEOE . o u & . . n & . N 25 23 &... m5 & ...N N ...N 
fio . HA...--
. ... " ... x N__ 25 839% mm .oeEoe--Soeoe ... v @@ QoE

-ow moe N=m < @: ...6 ...=w_e | wa: .EE98 "wmv 3 mfi . &... m9... 
oe...mfipoqoflfio fiooe

@; +...

Q oeOEm C... @@ oeE E 28 -oa
. %... ...Moed .m Q d...EOESoe ...5 oe.oeoeomfi :oS%fi8 oe:: 
....oe>:o. - Q.--

. < @@ oeEEoQ
oeoep @ C... u...8> @@ oeEEOE flofifi.5oeoe@ 25 passe...... ... w u % x N @@ 
o u m 6 u w
5 .w u \... X N 98 23 &... mfi... \... ...N. m2 oe53 oe....Eo@ ... o u m ...m 
...EOE $.OAE

.w ... \... x ...... 25 28 &... % > ...N %... 38 %  ou oe % $.o.
@ .mflmoe.--o -N
m3 m58 E˩ ... ... u D @@ 31 o @ @ m my... " N E ...QEoeNOE .O.E...

@ .Q " Gq a...... w ... \...X...... 25 28 %: 93...
N 8... ......sa " m .Q ....  ... % @ ...m ...6 oe % :.o.E

.h " oe

@@ @@ " < 39... flo ... AV oe> @OE m5... w ...oefioeoegoe>fi flow - 
OA...--
A&V @ " AAwV\Q...AWV

oe5v

....ofi ... &... mfi@ ooe %  N- o   X X oeE...  @@ ...@ m... w 
fioOE - m.--=

ww @
... u @@ ......oe ... " QE
J _M

$

oefioe>fiooe%oeu ...oe6o$oe

Il
W

_...
...... v %... mfi...  @@ moe@fi-- mqofioefi_noe m2 @ ...B & ...EoeBoe

.o n % X un 28
oQ Y mfi \... @@ N. oe oeoeoe ....b oehmoeo... flo˩:8 oe... >sP . 
<.--:

QQ ...

.o mfid... &... x %...= % oe3.
V-oe....d .wE...B QEQ oe... oe x 38 :ˮoe2owfi oe:@oe oe... :O
. ...OE % 3...onfi8 ooe> fi5@o. 2 oe ...OE> fi5@o ....oe-OEw oeo

@ ,
... _w < M n %  Wal-wa " < 098 ... fi < ... 803 m3 Q fiw @ @@ .oeoe>

\

_ w @
oeoeoe -mepo_oefl...OEww...w  w_d o @ ... " . T... V " N...m

... ...35m oeEEooe . X M M... moe--u \... ...B N .oQ ...m fin...--@@ GO
. QE |
C...: | ......

...oeo03 Q ...oe..8m mo"... 23 oeooe @@
g g

... ... " QE EUR EUR " GQ... ... JOE % .... H N
.N...x... _...x.

oeoe> ms <

.moe5fi9o moeoe& oe. @ oeo@ oeoeo
m2 flo  oeoe5@Eofl8 moefifioe%flofi moep5aufioe m.oe... @@ m...... p %... 
finsfi :O

.... 35% .... x &...
... ...oe.Q... 353%-- fi oe= ? 2efi....2oeQ - N oe.8

.oe.......
oeoe oe......oe .oeu ...fi % &... @@ oeoe%wuwa 83% m3 q 
moe%fidoe...s
moeoeu @ moe3%dfid ooe ...S.oe .v woe....... @... d...c ooeow 
oe...

.<.... Efimoe5 E @ mOE@ &... @@ ...: p...... :... moefioeE@fifioe M5oe 
m2 Q
moefifioe oeEoe>fiooewoeg mSQ moe oeouoeooep  ...... 3559: 330 SQ< - 
Q.:

. .fifi\uo mfi oe:@:o2oe5OE 3 Q 5Q
do .oe--oe> mEEou @ oeoe...... oeoe...: A%...n oeS...@ : .Q oeoeBoe 
mQ moe-- ....oeo
{Boa .:?E == oeh5w a......-- ....l Q moeEoe wS... %... ...Eooe 3 
....oea 33
.3m mQ m3 ... & _oem.... B .oQ ...oe:v Qo . 3 % oeo .oe> pm @ @m 
oe8
-oeoeoe @@ Jm : @@ oe.o --oe> pm...... o m:@ .OEbo2 . fifi\uo mfi@ : 
fioOE - O.=

.oeoeQ oefioeoe 95% 2528 @@ ....oefiooeoe @@ ...... 3...

308% 2oefi....oflofio ......me oeQ: umoe @  3 25 338382 2.32... QQ . : && mE
-oe poe@ ......8> " ...... oe5d QoE 625: mon pm m ...... oeoooeoe oeo 
.oe> ... ...oe

: mOEDO <...IH <

... ::::

ooo ZHdoo

.oe:::.: oefioeo % ::oeB
:::OOE m. m... >: :$ m::::oe...50 C39 oe:::.:& :_ @@ m.:::oe> moe_ m58 oe::d 
.:oeOE:.:oe > 8:. m... >...

_ N.N:+ en ...::5o .l ....:3 oe:::.:om3oe:.oeoe
._m :::oeEoeoeoe @@ ._m AV : :._oe.._m_fioem w .:::oe:boe> oe_ . :+.@: m:::% 
.oe5v .:oeOE:.:oe > a. a >:
.A\OEV :... ...:mEm :: .:::oe:boe> 2 oeoe . TN m::@ .oe::d .:oe.:m > $. m 
>...

.m:._o__a_sfi @@ moe.: m.:S oe:v _m::_oe  @@ m@.:QO.:Q m.:::> m2 
oe.:˩m ::OE

+

.Tluw .:OE...L " :-....N :.: Tn: .:OE...L " : :.:

moe3:::m::oe m .:oeEED Q..m....>...

:.. oeBoequoe% oe:oe-oe &: mo_oeE oeA $.m...>:

.: m:: moe:vqoo

-_oesv :.:..m....:: " \: @@ ::.m.:: " N .:::oQ C: x...@... .:oeSfi:98 
::::5Q ::o... :OE
% oe53::o::oe...... oemQ  :... :::oe8oe>fioe: :..... % W< mo_.::.oefl: :_ 
.:oeEEQ OE.m.>:
. :7:. @@ oeoe.:Qo m.:::oe:.ooe> moe...... ooe %: @@ oe:::o::oeoe

3.3  % m.:53o>. :::... oe::_o .:oe.:w> :: :OE:: "NA:..... V 28 .:oe.:o 
EUR.m.>...
.:::oeo

C& oe.:Qo :::oe:ooe> ...: oe:v9:oe: oeoeoep. :_ m:: m3

" N _m OE.m.>...

.oe:::.: oefioev
@@ :.m : :::: oefifim ::Q :.53 :floeEoeoe:oe>fi.5 .:oe.:o .: .:oea oefioe 
::: ::
:.m@ 2.5: .Nr8> " & oe::d .:oe.::.::o .: @@ _5:: ::c:: .::oeoe> :::: N- 
...__ooe .m.>--

_oe::_oe : @@ GQ: x N "
-:::oeoQSoo moeoe :::: .:oefifi:oe . : m::...... :::: ::ofi :oeoe :: .m .: 
.::v:

QQ OE:OE

:.. oeoe.&o m:::oe:ooe> moe ::.-oe : ... N: .:oeESD 3.OE.>...
@ : o o
_ _| o o @
.::. o o o : N
@ @ :.. @

:oea _q_...:@_... Wo m:: : oe::::o ::o ... oeEoeNOE - H.>H

. : @@ ?:Qo .:::oe:boe> :: :moe .: X N 23 .:oe.::.::ofi

... :: .: ......B :oe::o::oe> : :: .:: .> " .: :: :.::...o : :: ::.... 
. ::.>:
. ..A:.....V " %%...o m:: : :::8 .:::oQ .oe:v .:oe.:o--Z - O.>H

. : o : u : ::: oe...oe: :: ...:ME :: :::.8QoB oeoe:.::uoeQoe .: &: 
oeoe
-m.:::QSoe :: :: % ::oe.::oe N.: &: &: : oeoeQ$ :::: ::oQ ..::: 
:oe: :O
.:::oeooe :oeoe : oe:v oe:˩oe ::oe :.oe @. oew&  m::: : @@

oeo_.:::: E m.:2 .:oe:EMoe. . ::..: .: ....(K .:5 339: oeoe.:Qol m.:::> 
moe......:..... oe@_oooemoe
: @@ oeoe.o m.:::3ooe> : oemfi.: ::.: ....oe .N...: .::: " &. oe:.ooe:% 
oeS-:ofiofi:o ammo--
oe::::. oeoqoepm_xm._ .:oeOEBoe::.-- . :. @@ .oeB=oe oe:::oeEQ-:ofio:oe 
:: pm : _oe . m.>H
.m.=-- .:oeoe___ ::::SQ ::o. : @@ ::oofi:o oe::OEEQSSOE

:: :.oeoe :..... oe:: .:oe.::::oE. &: @@ E::oofi oe::::oeEQEQOE :::: :.m 
: _oe- :>--

%...o ::...: : :: : :::Q. : o : n :o : ::: oeoe%m ::.E: :O

cc: .. :....N::: H:: x .fi...... ... w :.:_>

:: ::.:

::: ::.: EUR5&o m:.... :M :::.: .:: ::oe.::8 ....:.:: : : .KWo 
oe:.:::...: .:oeoe : .:.oe.

:: .:::--
moeB. .:--39: m3: ::e.:.:.--oefioe  : oe: :: oeoe.:QLQQOE--S
:: :.: .oe.:oeoeoe8 : m...: :>:. oeoe.::--:eefififi - >-- m.:

.:OE @@ oe::::ooeu oeoeoe& 2 :moe &. oe:::o

ww.:.v.:w\oex.:oev H @.

-m.:2 @. .:oefiED . : % oeE:S oeoe:3 23 www
...: :: :::... 85EUR: .::: - %::

AIM . :WVA:::M . Mv | A:::.... . :Wv AIM . Mv " A:::.... < ZMV . A:w < Mv

m.:OE . :OE @@ 3oeE:ofiofi:o oeoep 95 :$ ::.:

. 
...
m::... m.:::oe:boe> .:w .:w ..w .....: .:5oQ oe3oe> .oeoe>oe ESE-:$  
.:oeoe ::::5Q ::O

.: OEMDO <...Ih <

vv=91 z00z smw % np ...s... l'10'6'LZ 11 ww 3d1191!16 uoa=z00z sas_fns vw

... ::::

ooo ZHdoo

.oe:::.: oefioeo % ::oeB
:::OOE m. m... >: :$ m::::oe...50 C39 oe:::.:& :_ @@ m.:::oe> moe_ m58 oe::d 
.:oeOE:.:oe > 8:. m... >...

_ N.N:+ en ...::5o .l ....:3 oe:::.:om3oe:.oeoe
._m :::oeEoeoeoe @@ ._m AV : :._oe.._m_fioem w .:::oe:boe> oe_ . :+.@: m:::% 
.oe5v .:oeOE:.:oe > a. a >:
.A\OEV :... ...:mEm :: .:::oe:boe> 2 oeoe . TN m::@ .oe::d .:oe.:m > $. m 
>...

.m:._o__a_sfi @@ moe.: m.:S oe:v _m::_oe  @@ m@.:QO.:Q m.:::> m2 
oe.:˩m ::OE

+

.Tluw .:OE...L " :-....N :.: Tn: .:OE...L " : :.:

moe3:::m::oe m .:oeEED Q..m....>...

:.. oeBoequoe% oe:oe-oe &: mo_oeE oeA $.m...>:

.: m:: moe:vqoo

-_oesv :.:..m....:: " \: @@ ::.m.:: " N .:::oQ C: x...@... .:oeSfi:98 
::::5Q ::o... :OE
% oe53::o::oe...... oemQ  :... :::oe8oe>fioe: :..... % W< mo_.::.oefl: :_ 
.:oeEEQ OE.m.>:
. :7:. @@ oeoe.:Qo m.:::oe:.ooe> moe...... ooe %: @@ oe:::o::oeoe

3.3  % m.:53o>. :::... oe::_o .:oe.:w> :: :OE:: "NA:..... V 28 .:oe.:o 
EUR.m.>...
.:::oeo

C& oe.:Qo :::oe:ooe> ...: oe:v9:oe: oeoeoep. :_ m:: m3

" N _m OE.m.>...

.oe:::.: oefioev
@@ :.m : :::: oefifim ::Q :.53 :floeEoeoe:oe>fi.5 .:oe.:o .: .:oea oefioe 
::: ::
:.m@ 2.5: .Nr8> " & oe::d .:oe.::.::o .: @@ _5:: ::c:: .::oeoe> :::: N- 
...__ooe .m.>--

_oe::_oe : @@ GQ: x N "
-:::oeoQSoo moeoe :::: .:oefifi:oe . : m::...... :::: ::ofi :oeoe :: .m .: 
.::v:

QQ OE:OE

:.. oeoe.&o m:::oe:ooe> moe ::.-oe : ... N: .:oeESD 3.OE.>...
@ : o o
_ _| o o @
.::. o o o : N
@ @ :.. @

:oea _q_...:@_... Wo m:: : oe::::o ::o ... oeEoeNOE - H.>H

. : @@ ?:Qo .:::oe:boe> :: :moe .: X N 23 .:oe.::.::ofi

... :: .: ......B :oe::o::oe> : :: .:: .> " .: :: :.::...o : :: ::.... 
. ::.>:
. ..A:.....V " %%...o m:: : :::8 .:::oQ .oe:v .:oe.:o--Z - O.>H

. : o : u : ::: oe...oe: :: ...:ME :: :::.8QoB oeoe:.::uoeQoe .: &: 
oeoe
-m.:::QSoe :: :: % ::oe.::oe N.: &: &: : oeoeQ$ :::: ::oQ ..::: 
:oe: :O
.:::oeooe :oeoe : oe:v oe:˩oe ::oe :.oe @. oew&  m::: : @@

oeo_.:::: E m.:2 .:oe:EMoe. . ::..: .: ....(K .:5 339: oeoe.:Qol m.:::> 
moe......:..... oe@_oooemoe
: @@ oeoe.o m.:::3ooe> : oemfi.: ::.: ....oe .N...: .::: " &. oe:.ooe:% 
oeS-:ofiofi:o ammo--
oe::::. oeoqoepm_xm._ .:oeOEBoe::.-- . :. @@ .oeB=oe oe:::oeEQ-:ofio:oe 
:: pm : _oe . m.>H
.m.=-- .:oeoe___ ::::SQ ::o. : @@ ::oofi:o oe::OEEQSSOE

:: :.oeoe :..... oe:: .:oe.::::oE. &: @@ E::oofi oe::::oeEQEQOE :::: :.m 
: _oe- :>--

%...o ::...: : :: : :::Q. : o : n :o : ::: oeoe%m ::.E: :O

cc: .. :....N::: H:: x .fi...... ... w :.:_>

:: ::.:

::: ::.: EUR5&o m:.... :M :::.: .:: ::oe.::8 ....:.:: : : .KWo 
oe:.:::...: .:oeoe : .:.oe.

:: .:::--
moeB. .:--39: m3: ::e.:.:.--oefioe  : oe: :: oeoe.:QLQQOE--S
:: :.: .oe.:oeoeoe8 : m...: :>:. oeoe.::--:eefififi - >-- m.:

.:OE @@ oe::::ooeu oeoeoe& 2 :moe &. oe:::o

ww.:.v.:w\oex.:oev H @.

-m.:2 @. .:oefiED . : % oeE:S oeoe:3 23 www
...: :: :::... 85EUR: .::: - %::

AIM . :WVA:::M . Mv | A:::.... . :Wv AIM . Mv " A:::.... < ZMV . A:w < Mv

m.:OE . :OE @@ 3oeE:ofiofi:o oeoep 95 :$ ::.:

. 
...
m::... m.:::oe:boe> .:w .:w ..w .....: .:5oQ oe3oe> .oeoe>oe ESE-:$  
.:oeoe ::::5Q ::O

.: OEMDO <...Ih <

vv=91 z00z smw % np ...s... l'10'6'LZ 11 ww 3d1191!16 uoa=z00z sas_fns vw

Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



Centrale Maths 2 PC 2002 -- Corrig
Ce corrig est propos par Alexis Devulder (ENS Ulm) ; il a t relu par ric
Ricard (Enseignant-chercheur  l'Universit) et David Lecomte (Universit de 
Stanford).

L'objectif de ce problme est de dterminer les plans stables d'un 
endomorphisme,
en dimension 3 puis en dimension 4, o l'on dfinit un nouveau produit 
vectoriel.
Il traite essentiellement d'algbre euclidienne et de rduction des 
endomorphismes
et fait appel aux notions de produit vectoriel, de produit mixte, de comatrice, 
d'adjoint, d'endomorphisme orthogonal, etc. Il constitue donc une bonne 
rvision de ces
concepts. Ce problme n'est globalement pas trs difficile ; certaines 
questions sont
nanmoins dlicates et l'nonc est plutt long.

 La premire partie associe  tout u  L R3 un endomorphisme u
e  L R3
dfini  l'aide du produit vectoriel. On y tudie les proprits de 
l'endomorphisme u
e et de l'application u 7- u
e.
 La deuxime partie est courte mais plus dlicate que la prcdente. On y 
tablit
une mthode gnrale pour dterminer les plans stables de u  partir de l'tude
de u
e, puis on applique cette mthode  deux exemples.
 La troisime partie est longue. On y introduit un produit vectoriel de R4  R4
vers R6 dont on tudie les proprits. La plupart des questions sont assez 
faciles,
hormis la question III.C qui demande plus de soin et d'intuition gomtrique.

 La quatrime partie est la plus facile du problme et peut tre rsolue 
rapidement. Elle traite de rduction des endomorphismes, est assez calculatoire 
et
consiste surtout en l'tude d'un exemple.

Indications
Partie I
I.C Utiliser l'unicit de la question I.B.
g = (e
I.D Pour montrer que (u)
u) , montrer qu'elles ont mme matrice dans la
base B.

I.E.2 Pour rg (u) = 2, montrer que Ker (u)  Ker u
e, puis que dim Ker u
e 6 2.
Pour cela, montrer que (Ker u
e)  (Ker u) = 0.
Partie II

II.A Exprimer la matrice de u dans une base orthogonale x, y  , x  y  avec y   P
et hx, y  i = 0.
II.B Si z est un vecteur propre de u
e de norme 1, utiliser une base orthonorme
de z  .

II.C Utiliser les questions II.A et II.B pour tablir une  correspondance  
entre
les plans stables de u et les valeurs propres de u
e.
Partie III

III.C.1 Dterminer X, puis trouver un Y0 particulier tel que X  Y0 = C. 
Conclure
 l'aide de III.A.
III.C.3 Pour la condition ncessaire, montrer que l'on peut appliquer le 
rsultat de
la question III.C.1 avec C = L (X).
III.C.4 
Pour trouver
Vect (X, Y) dans le cas o A 6= 0, ne pas oublier que la matrice

a a
a pour dterminant 1, donc est inversible.
 
Partie IV
IV.A Un endomorphisme est orthogonal si, et seulement si, il existe une base 
orthonormale dont l'image est une base orthonormale par cet endomorphisme.
IV.B Trouver une base orthonormale dans laquelle u
e est diagonale, en dduire que
u
e est auto-adjoint.

IV.C Prouver la proprit demande dans les cas particuliers des endomorphismes
orthogonaux puis auto-adjoints, puis gnraliser  l'aide de la dcomposition
fournie par l'nonc.

I.

tude dans E euclidien orient de dimension 3

I.A On calcule u
e1 (e1 ), u
e1 (e2 ), etc. en utilisant les formules fournies par l'nonc :
     
0
-1
3
u
e1 (e1 ) = 0  -3 = -1
1
-3
0
     
-1
0
3
u
e1 (e2 ) = -3  1 =  0
-3
0
-1
u
e1 (e3 ) = e2  e3 = e1

On obtient donc la matrice de u
e1 :

3
3
e 1 = -1
U
0
0 -1

1
0
0

On obtient la matrice de u
e2 par un calcul similaire :

2 0 0
e 2 =  0 0 0
U
-2 0 0
Cette question n'est pas l uniquement pour tester les capacits calculatoires
des candidats. Elle a pour rle de leur donner deux exemples qui leur 
permettent de mieux comprendre les objets tudis et de guider l'intuition de
l'lve. N'hsitez pas  tudier ces exemples lorsque vous bloquez sur une des
questions suivantes.
I.B Soit u  L (E). On commence par vrifier la formule demande pour x et y
appartenant  la base B :
u
e(e1  e2 ) = u
e(e3 ) = u(e1 )  u(e2 )

u
e(e2  e3 ) = u
e(e1 ) = u(e2 )  u(e3 )

u
e(e3  e1 ) = u
e(e2 ) = u(e3 )  u(e1 )

On remarque par ailleurs que pour tout i  {1, 2, 3} :

u
e(ei  ei ) = u
e (0) = 0 = u (ei )  u (ei )

De plus le rsultat reste vrai pour les couples (e2 , e1 ), (e3 , e2 ), (e1 , 
e3 ) par antisymtrie
du produit vectoriel et linarit de u et de u
e.
On remarque ensuite que la formule reste valable pour tous vecteurs x et y dans 
E,
le produit vectoriel tant bilinaire et les applications u et u
e linaires. On a donc :
(x, y)  E2

u
e(x  y) = u(x)  u(y)

Raisonner ainsi en termes de linarit permet souvent de gagner du temps et
d'viter des calculs fastidieux.

D'autre part, si v est un endomorphisme de E vrifiant :
(x, y)  E2
alors

v(x  y) = u(x)  u(y)

(x, y)  E2

Or

e1 = e2  e3

Par consquent

v(x  y) = u
e(x  y)
et

e2 = e3  e1

i  {1, 2, 3}

e3 = e1  e2

v(ei ) = u
e(ei )

u
e et v concident donc sur une base de E ; comme ce sont des applications 
linaires,
elles sont gales.
v=u
e

I.C Il suffit de remarquer que :

Par consquent

e 1 ) = e1
Id(e

e 2 ) = e2
Id(e

et

e = Id
Id

e 3 ) = e3
Id(e

Soient u et v dans L (E). On sait d'aprs la question prcdente que u]
 v est
l'unique endomorphisme w de E tel que
(x, y)  E2

w(x  y) = (u  v)(x)  (u  v)(y)

Prenons alors un couple (x, y) d'lments de E. On calcule :

Par suite

u
e  ve(x  y) = u
e(v(x)  v(y)) = (u  v)(x)  (u  v)(y)

Si u est inversible
On a donc

u]
v =u
e  ve

^
-1 )
gE = u^
Id E = Id
 u-1 = u
e  (u
u
e est inversible et (e
u)

-1

-1 .
= ug

e = (e
I.D Notons U = (ui,j )i,j{1,2,3} et U
ui,j )i,j{1,2,3} .
e et com (U) et de constater
Pour rpondre  cette question, il suffit de calculer U
qu'elles sont gales.
e = com (U)
U
De faon un peu plus conceptuelle, on peut prolonger la notation ui,j
de la faon suivante : pour (i, j)  {1, 2, 3}2 et pour k et l entiers, on pose
ui+3k,j+3l = ui,j , par exemple : u4,5 = u1,2 . On peut alors crire que
u
ei,j = he
u (ei ) , ej i

= hu (ei+1 )  u (ei+2 ) , ej i
= det (u (ei+1 ) , u (ei+2 ) , ej )

u
ei,j =

ui+1,j+1
ui+1,j+2

ui+2,j+1
ui+2,j+2